...学年高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
2023年8月18日发(作者：疫情期间发的暖心句子(精选200句))
马尔代夫马累岛图片-
北京市东城区2019-2020学年上学期期末考试
高二数学（理）试题
本试卷共4页，共100分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共 36分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的）
1. 若A, B两点的纵坐标相等，则直线 AB的倾斜角为
A. 0 B. - C. - D.
n
4 2
2. 已知命题p: x^ R , lgx0<0,那么命题一p为
A. -x R , lgx>0 B.
-Ix^
R , |g x。>0
C. -x R , Igx >0 D. 讽 R , Ig x
0> 0
3.
在直线的斜率之和为
A. -2 3
在平面直角坐标系中， 正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是 0,则边AB, AC所B.-1 C.0 D. 2 3
4. 已知m, n表示两条不同的直线，
A.充分不必要条件
a表示平面，且n二，则“ m// n”是“ m//
a
”的
D.既不充分也不必要条件
-的小正方体堆积成的
B.必要不充分条件 C.充要条件
5. 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为
2
正方体），其中白点O代表钠原子，黑点•代表氯原子
钠原子所在位置的坐标是
.建立空间直角坐标系 O-xyz后，图中最上层中心的
A. ^,-,1
2 2
B.(0,0,1) C.
D.
6. 如图所示，在正方体 ABCD-ABQD中，四面体 A-B1CD在面AADD上的正投影图形为 A
2
2
B C D
7.设椭圆笃+ =1 (a>b>0)的左、 右焦点分别是 F1, F2，线段FF被点
a
圆的离心率为
b
-,0份成3:1的两段，则此椭
12丿
A. - B.
3
1 C.
2
D.
2
2
8.已知直线l，
m和平面a
,B
l
la,
m〃
B ,
，且
则下列命题中正确的是
B
,
// B ,贝
U l
丄
A.若a丄B ,
则
1
// m
B.
若a
m
C.若
1
//
贝
H ml a
D.
若 1 丄 m,
y a
//
B
9. 若半径为1的动圆与圆(x-1)
2+y2=4相切，则动圆圆心的轨迹方程为
A.(x-I) +y =9 B.(x-l)
D.(x-1)
+y =3
2 2 2 2
C.(x-l) +y =9 或(x-l) +y =1 +y =3 或(x-l) +y =5
C的方程为
2 2
10. 已知双曲线C:笃-為=1(a>0,b>0)的焦距为10,点P(2,l)在C的一条渐近线上，则
a b
2 2 2 2
A.
x
y
=1
20 80
B.
x y
=1
5 20
2 2 2 2
C.
x
y
=1
80 20
D.
x y
=1
20 5
11. 平面上动点P到定点F与定直线I的距离相等，且点F与直线|的距离为1.某同学建立直角坐标系后, 得到点P的轨迹方程为x2=2y-1，则它的建系方式是
12. 正方体 ABCD-ABCD的棱长为2，M, N为棱AD, AB上的动点，且 MN =3，则线段 MN中点P的轨迹 A. 线段
B. 圆的一部分
C. 椭圆的一部分
D. 双曲线的一部分
第二部分(非选择题共
二、
64分)
填空题(本大题共 6小题，每小题3分，共18分)
13. 在空间直角坐标系中，点 P(2,-1,1)在yOz平面内的射影为 Q(x,y,z)，则x+y+z= _____________ .
14. 若直线I与直线2x-y-仁0垂直，且不过第一象限，试写出一个直线
15. 已知直线I
: x-y-m=0经过抛物线y2=8x的焦点，且与抛物线交于
AB = ________ .
16. 圆(x-l)
2+y2=2绕直线kx-y-k=0旋转一周所得的几何体的表面积为 ______________ .
17. 在长方体 ABCD-ABiCD中，M N分别是棱 BB, BQ的中点，若/ CMN=90，则异面直线 AD与DM所
成的角为 _________ .
J2
18. 已知曲线C上的任意一点M(x,y)满足到两条直线y
2x的距离之积为12.给出下列关于曲线 C的
2
描述：
① 曲线C关于坐标原点对称；
② 对于曲线C上任意一点M(x,y) —定有x, 6 ;
③ 直线y=x与曲线C有两个交点；
— 2 2
I的方程： ___________ .
A, B两点，贝U
m= _______ ，
④ 曲线C与圆x+y=16无交点.
其中所有正确描述的序号是 _________ .
三、 解答题(本大题共4小题，共46分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19. (本题满分10分)
已知直线l过点A(0,4)，且在两坐标轴上的截距之和为 1.
(I)求直线l的方程； (n)若直线丨1与直线l平行，且丨1与I间的距离为2,求直线11的方程.
20. (本题满分11分)
2 2
已知圆 C: x+y+10x+10y+34=0.
(I)试写出圆 C的圆心坐标和半径；
(H)
圆D的圆心在直线x=-5上，且与圆C相外切，被x轴截得的弦长为10，求圆D的方程;
(川)过点P(0,2)的直线交(n)中圆 D于E, F两点，求弦EF的中点M的轨迹方程.
21. (本题满分12分)
如图，在四棱锥 P-ABCD中，底面ABCD为菱形，/ BAD=60 , Q为AD的中点.
(I)
若 PA=PD求证：平面 PQBL平面 PAD
(n)点M在线段PC上，PM=tPC试确定实数t的值，使PA//平面MQB
(川)在(n)的条件下，若平面 PADL平面 ABCD且PA=PD=AD=2求二面角 M-BQ-C的大小.
22. (本题满分13分)
2 2
已知椭圆C:
x2 Z =1(a>b>0)的焦点在圆x2+y2=3上，且离心率为.
a b
2
(I)求椭圆C的方程；
(n)过原点 0的直线I与椭圆C交于A, B两点，F为右焦点，若△ FAB为直角三角形，求直线
l的
方程.北京市东城区2019-2020学年上学期期末考试
高二数学(理)试题参考答案
、选择题(本大题共 12小题，每小题3分，共36 分)
题号
答案
1
A
2
C
3
C
4
D
5
A
6
A
7
C
8
B
9
C
10
D
11
C
12
B
、填空题(本大题共 6小题，每小题3分，共18分)
13 14
y = —lx —1
2
(答案不唯一)
注：两个空的填空题第一个空填对得 1分，第二个空填对得 2分.
15 16 17 18
题号
答案
0
2 16
8
n
90° ①③④
三、解答题(本大题共 4小题，共46分)
19. (本题满分10分)
解：(I)由直线l过点(0,4)，所以直线I在y轴上的截距为4. 由已知条件可得直线I在x轴上的截距为-3，即直线过点 B(-3,0).
故直线方程为 —y =1，即4x-3y+12=0.
-3 4
4 分
(H)由条件设直线I
1的方程为4x-3y+m=0,
由两条直线间的距离为 2,可得(0,4)到直线I
1的距离为2,
则有 2 = °，2-m，解得 m=2或 m=22.
74^7
故所求直线11的方程为4x-3y+2=0或4x-3y+22=0.
20. (本题满分11分)
10 分
解：(I)将圆的方程改写为 (x+5) +(y+5) =16，故圆心坐标为(-5,-5)，半径为4. 4 分
(H)设圆D的半径为r，圆心纵坐标为b，由条件可得r2=(r-1)
2+52,解得r=13.
此时圆心纵坐标 b=r-1=12.
所以圆D的方程为(x+5)
2+(y-12)
2=169. 8 分
(川)设 M(x,y)，依题意有 DMLPM.
即心(x工 0 且
XM -5 ),
x x 5
整理得 x2+y2+5x-14y+24=0 (XM 0 且
XM-5 ).当x=0时，y=12，符合题意，当 x=-5时，y=2，符合题意.
2 2
故所求点M的轨迹方程为x+y+5x-14y+24=0. 11 分
21. （本题满分12分）
证明：（I）连接BD.
因为 AD=AB / BAD=60 ,
所以△ ABD为正三角形.
因为Q为AD的中点，
所以ADL BQ.
因为PA=PD Q为AD中点，
所以ADL
PQ.
又 BQP
PQ=Q
所以ADL平面PQB.
因为AD 平面PAD
,
所以平面PQBL平面PAD. 4 分
(H)连接AC,交BQ于点N.
由 AQ/ BC,可得△ AN3A
CNB
所以A2 =空=1
BC NC 2
因为PA//平面 MQB
PA二平面PAC，平面PA6平面 MQB=MN
所以 PA// MN.
PM AN 11 1
所以 ，即PM PC ,所以t . 8 分
PC AC 3 3 3
(川)由 PA=PD=AD=2Q为AD的中点，贝U
PQLAD,又平面 PADL平面 ABCD
所以PQL平面ABCD.
以Q为坐标原点，分别以QA QB QP所在的直线为x, y, z轴，建立如图所示的坐标系，设平面MQB勺法向量为n =（x,y,z）
则A(1,0,0),
B 0, 3,0 , Q(0,0,0) , P 0,0, 3 . PA= 1,0,-、3 , QB 二 0r 3,0 .
FA
FBUM 一 3 X2 —
3
y〃2
=(k2 - 1)为x? — 3(Xi
X2) ' 3 可得n MN =0
jn QB =0.
因为PA// MN所以「0
即 x「3z=0,
jn QB 二 0,
.3y 二 0.
令 z=1，则 x = 3， y=0.
于是 n = 3,0,1 .
取平面ABCD的法向量m=(O,O,l)
所以
cos m, n =1.
故二面角 M-BQ-C的大小为60° .
C
22. (本题满分13 分)
解：(I)因为椭圆的焦点在 x轴上，所以焦点为圆 x2+y2=3与x轴的交点，即 —..3,0 ,
J2
3 又离心率e =—，所以a=2.
2
故所求椭圆方程为 -y24
=1. 4 分
(□)当厶FAB为直角三角形时，显然直线
l斜率存在,
可设直线l方程为y=kx，设A(xi,yd，B(x2,y
2).
(i)当 FA丄 FB时，FA = Xi -
3, yi
,
FB = x? -
3, y?.
由W
x +4y =4,
2 2
消 y 得(4k +1)x -4=0.
则
xi+x2=0,联 一4^FA
FBUM 一 3 X2 —
3 y〃2
=(k2 - 1)为x? — 3(Xi
X2) ' 3
.3,0 .
=(k 1)
2
4k +1
解得k
2 .
4
此时直线l的方程为y= ^x. 8 分
4
(ii)当FA与FB不垂直时，根据椭圆的对称性，不妨设
22
—4
3 =0
TT
./FAB =—
X2
—
y2
i
所以4=1,
解得y
kAB
kAF
丄—
0 -
i
X
i
*'3 - X|
所以k=里
2
x1 2
此时直线
l的方程为y
2x.
2
综上，直线
I的方程为y
2 x或y
2 x .
4
2J3
Xy
J62
2
分
13