女的说落霞与孤鹜齐飞什么意思
2023年1月26日发(作者：幼儿园2022年园务工作计划(精选7篇))
1
落霞与孤鹜齐飞秋水共长天一色
-------评2013江西理科班数学试题第21题
江西省九江第一中学段训明
“落霞与孤鹜齐飞,秋水共长天一色”,这一句素称千古绝唱.青天碧水，天水相接，
上下浑然一色;彩霞自上而下，孤鹜自下而上，相映增辉，构成一幅色彩明丽而又上下浑成
的绝妙好图.2013江西理科数学卷第21题为我们展示了这样一幅美丽画卷.它把数与形巧
妙地结合起来，远近、上下、立体式地展现出一幅深秋江天图；它寓情于景，使整题变得意
境深远.
题：已知函数)
2
1
21()(xaxf，a为常数且0a.
(1)证明：函数()fx的图像关于直线
1
2
x对称；
(2)若
0
x满足
00
(())ffxx，但
00
()fxx，则称
0
x为函数()fx的二阶周期点，如果
()fx有两个二阶周期点
12
,xx，试确定
a
的取值范围；
(3)对于（2）中的
12
,xx和
a
，设
3
x为函数(())ffx的最大值点，
11
(,(()))Axffx，
22
(,(()))Bxffx，
3
(,0)Cx.记ABC的面积为()Sa，讨论()Sa的单调性.
本题的点睛之笔在于函数()fx的构造和问题（2）的设置.所构造的函数
)
2
1
21()(xaxf，(
a
为常数且0a)并不算复杂，为最简单的线性函数，但由于字
母系数
a
和绝对值的参与，让数学对象变得不那么单一，因此需要照顾的面就大了，弄得不
好就会顾此失彼.问题情景“
00
(())ffxx，但
00
()fxx”涉及到函数迭代和不动点这
些一般高中学生不太常见的数学概念，因此会让多数人觉得既离自己很近又与自己那么遥远.
下面重点分析（2）.
1.解题思路探析
由于处于复合函数))((xff中的内层)(xf，它既是一个函数值又是一个自变量，这种
双重身份预示着问题的复杂性.由
1
2,
2
()
1
2(1),
2
axx
fx
axx
知，为得到)(xf的取值，需
考虑
x
与
2
1
的大小，另一方面为得到))((xff，又必须比较)(xf与
2
1
的大小.因此，对
a
和
x
逐级讨论是不可避免的.
2
首先，注意到
1
()(12)
2
fxaxa，xR，从而axf
max
)(；另一方面由
1
2,
2
()
1
2(1),
2
axx
fx
axx
知，当
2
1
a时，
2
1
)(axf，从而)(2))((xafxff.因
此，当
2
1
x时，由(())2()ffxafx
xxa24，得0x（满足(0)0f）或x有无
数个值与题意不符；当
2
1
x时，由(())2()ffxafxxxa)1(42，得
14
4
2
2
a
a
x，
因为当
2
1
a时，
2
1
14
4
2
2
a
a
x，与
2
1
x矛盾.故
2
1
a时，
)(xf没有两个二阶周期点，所以一定有
2
1
a.
其次，当
2
1
a时，令
2
1
)(xf，得
1
4
x
a
或
1
1
4
x
a
，
因此就有下面四种情况（如图1）：
(1)当
2
1
4
1
a
x时，有
2
1
)(xf，
由(())2()ffxafx
xxa24，得0x，但(0)0f，
即0x非二阶周期点，舍去；
(2)当
2
1
4
1
x
a
时，有
2
1
)(xf，由(())2(1())ffxafx2(12)aaxx，得
14
2
2
a
a
x，经经验不满足xxf)(，故成立；
(3)当
11
1
24
x
a
时，有
2
1
)(xf，由(()2(1()ffxafx2[1(22)]aaaxx
得
a
a
x
21
2
，此时
2
1
21
2
a
a
x，故
a
a
a
a
a
a
a
f
21
2
)
21
2
1(2)
21
2
(
，舍去；
(4)当
11
1
42
x
a
时，有
1
()
2
fx，由(())2()ffxafxxaxaa)22(2，
得
14
4
2
2
a
a
x，经经验不满足xxf)(，故成立；
综上所述，当
2
1
a时，)(xf只有两个二阶周期点，故
a
的取值范围是
2
1
a.
2.命题背景揭示
本题难点在于如何破解方程xxff))((.受知识结构及应变能力所限，考生很难找到有
a
图1
O
1
y
x
3
效的替代办法.联想到新课改之前的教材有关“反函数”的内容中有这么一段描述“由
)(xfy,ByAx,解得)(1yfx,AyBx,；若)(1yfx，Bx是函数，
则)(1yfx，AyBx,叫做函数)(xfy，ByAx,的反函数.”在这里我想说
的是，旧教材中的这段话不仅给出了如何判断一个函数是否存在反函数，而且给出了求反函
数的一般步骤.
值得说明的是本题所给出的函数尽管没有反函数，但这并不妨碍使用这种转换或表达方
式，即由方程(())ffxx得)()(1xfxf.虽然在这里我们不好说)(1xfy是
)(xfy的反函数，但从方程得角度来说方程)(1xfy对应的曲线还是存在的.
基于以上的考虑，由方程(())ffxx得)()(1xfxf，这样就可以在同一个直角坐
标系中画出方程)(xfy对应曲线及其关于直线xy对称的曲线.此时不难发现满足方程
(())ffxx得x的值，即方程)()(1xfxf得交点的横坐标，而要求
00
()fxx，即两
曲线的交点不能在直线xy上.
不难发现，如图2，当
1
0
2
a时，两曲线只有一个交点，即原点，显然不满足条件；
当
1
2
a时，两曲线有无数个交点，即
1
{(,)|,}
2
xyyxx，显然也不满足条件；
当
1
2
a时，两曲线有四个交点，且有两个交点在直线xy上，另两个交点不在直线xy
上，满足条件，所以
2
1
a
由
)1(2
2
yax
axy
得
14
2
2
a
a
x，由
)1(2
2
xay
ayx
得
14
4
2
2
a
a
x
3.结束语
应该说，今年的第21题与往年相比更贴近学生，且2013江西卷整卷难度值不大，对于
尖子考生来说应该是有充足的时间来面对最后一题的,而事实情况并非如此.当然，原因有
多种：有无功而返的、有鞭长莫及的，更多的应该是因考试策略所致，而选择主动放弃的.
时
时
时
图4
O
1
y
x
a
x
y
1
O
1
图3
图2
1
O
1
y
x
a
4
无容置疑，本题的出发点和立足点都很有创意.问题1的设置不是简单意义下宽进严出式
的送分，更多的则是希望能让学生尽早发现问题背景，进一步保证了整题的连续性；问题2
采用了学生不太常见的叙述方式，呈现了一个又很常见的问题情景---函数与方程，目的是考
查学生在面对复杂背景下处理问题的能力，对学生的数形结合、分类讨论和等价转换等数学
思想的应用的要求是很高的.
值得指出的是：首先，函数表达式不直接给出分段函数而是采用绝对值式“打包处理”
是有深意的.一方面，从问题1的求解不难发现，保留绝对值比去掉绝对值要好得多，目的
是应用绝对值，间接地考查了学生对绝对值的认识和理解；另一方面，面对问题2中的方程
(())ffxx，你又必须去努力去掉这个绝对值.先后的两种不同处理，是需要有较深厚的
专业功底和灵活的应变能力的.其次，引入字母系数
a
，让学生能动态地面对问题情景不仅
是高考的基本要求，更是本题的立足点，是整个题目的精华部分.可见，字母系数
a
和绝对
值在本题中相映增辉、浑然一色构成了滕王阁前王渤式的佳境，真是难得一见的好题，是传
世之作的佳品.
需要说明的一点是：个人认为本题美中不足的是本题的第3问的设置.理由是：
（1）第3问与前面的问题不太协调，有喧宾夺主之嫌，也许是为了考导数而为之；
（2）基于考试的时间有限，加上问题2的难度值很高，学生做到问题2已经是强弩之末，
很难有时间和精力来完成它；
（3）关键是本题设置了多个问题之后，就降低了本题的价值.显然3个问题的设置，摊
到问题2的分数不就是一个选择、填空题分值吗？对于考生来说，花那么大的代价去尝试希
望不大的小利，值吗？而命题者苦心经营、又最有话语权的好题，他们完全可以不去理会或
少有问津，这恐怕不是命题者的初衷吧.反之，若拿掉问题3，问题2的价值就会上升，一方
面学生有机会得高分，另一方面对考生来说面对一个10分的题斯做还是不做，就成了一个
二难选择.
基于以上理由，一份好的试题是要让每一个试题都能发挥其应有的选拔功能，使其效
率最大化，在追求“在主干知识的交汇点出设置试题”的同时，不要拘泥于传统试题的命题
模式，更不能像以往的“压轴题”成为一个装饰.；否则,只能将数学的该有的150分降低为
140分，削弱了数学在高考分值中的权重.