de broglie
2023年1月19日发(作者：五四青年节放假通知(精选5篇))
第一章量子力学的诞生
1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，
ax
axx
xV
0,0
,0,
)(
试用deBroglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
解：据驻波条件，有),3,2,1(
2
nna
na/2（1）
又据deBroglie关系/hp（2）
而能量
,3,2,1
242
2/2/
2
222
2
22
222
n
ma
n
am
nh
mmpE
（3）
1.2设粒子限制在长、宽、高分别为cba,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。
动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为
zyx,,
轴方向，把粒子沿
zyx,,
轴三个方向的运动
分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有
,3,2,1,
xxx
nhndxp
即hnap
xx
2（
a2
：一来一回为一个周期）
ahnp
xx
2/,
同理可得，bhnp
yy
2/,chnp
zz
2/,
,3,2,1,,
zyx
nnn
粒子能量
2
2
2
2
2
2
22
222
2
)(
2
1
c
n
b
n
a
n
m
ppp
m
Ez
y
x
zyxnnn
zyx
,3,2,1,,
zyx
nnn
1.3设质量为m的粒子在谐振子势22
2
1
)(xmxV中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。
提示：利用
)]([2,,2,1,xVEmpnnhxdp)(xV
解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为
ax（1）
其中a由下式决定：22
1
()
2xa
EVxma
。a0ax
由此得2/2mEa，（2）
ax
即为粒子运动的转折点。有量子化条件
2222
22
1
22()2
2
2
2
aa
aa
pdxmEmxdxmaxdx
mamanh
得
m
n
m
nh
a
2
2（3）
代入（2），解出
,3,2,1,nnE
n
（4）
积分公式：c
a
ua
ua
u
duuaarcsin
22
2
2222
1.4设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。
提示：利用,,2,1,
2
0
nnhdp
p是平面转子的角动量。转子的能量IpE2/2
。
解：平面转子的转角（角位移）记为
。
它的角动量
.
Ip（广义动量），
p是运动惯量。按量子化条件
,3,2,1,22
0
mmhpdxp
mhp
，
因而平面转子的能量
ImIpE
m
2/2/222
，
,3,2,1m
第二章波函数与Schrödinger方程
2.1设质量为m的粒子在势场)(rV
中运动。
（a）证明粒子的能量平均值为rdE3，
V
m
**
2
2
（能量密度）
（b）证明能量守恒公式0
s
t
w
*
*2
2
ttm
s
（能流密度）
证：（a）粒子的能量平均值为（设
已归一化）
VTrdV
m
E
32
2
*
2
（1）
VrdV*3（势能平均值）（2）
**3
2
2
2
*3
2
)(
2
动能平均值
rd
m
m
rdT
其中T的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为
0
。因此
*3
2
2
rd
m
T
（3）
结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度,
2
**
2
V
m
（4）
且能量平均值rdE3。
（b）由（4）式，得
...
2
**
.....
2
*22**
..
22
22*
2
2
22
VV
tmtttt
VV
mtttttt
sVV
tmtm
sE
..
*
tt
t
Es
（
：几率密度）
s
（定态波函数，几率密度不随时间改变）
所以0
s
t
w
。
2.2考虑单粒子的Schrödinger方程
trriVrVtr
m
tr
t
i,,
2
,
21
2
2
（1）
1
V与
2
V为实函数。
（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。
（b）证明粒子在空间体积内的几率随时间的变化为
*3
2
***3
2
2
rd
V
Sd
im
rd
dt
d
S
证：（a）式（1）取复共轭，得
*
21
*2
2
*
2
iVV
mt
i
（2）
*（1）-
（2）,得
*
2
**
2
2
**22*
2
*
2
2
2
2
iV
m
Vi
mt
i
*
2
***
2
2
V
imt
（3）
即0
2
2
V
j
t
，
此即几率不守恒的微分表达式。
（b）式（3）对空间体积积分，得
*
2
3**
*
2
33***3
2
2
2
2
rVdSd
im
rVdrd
im
rd
t
S
上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积的几率（
Sdj
），而第二项代表体积中“产
生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。
2.3设
1
和
2
是Schrödinger方程的两个解，证明
0,,
2
*
1
3trtrrd
dt
d
。
证：
1
2
2
1
2
V
mt
i
（1）
2
2
2
2
2
V
mt
i
（2）
取（1）之复共轭：*
1
2
2
*
1
2
V
mt
i
（3）
2
（3）*
1
（2）,得
2
2*
1
*
1
2
2
2
2
*
12
mt
i
对全空间积分：
2
2*
1
*
1
2
2
3
2
2
*
1
3
2
,,rd
m
trtrrd
dt
d
i
2
*
1
*
122
*
1
*
12
3
2
2
rd
m
2
*
1
*
12
3
2
2
rd
m
0
22
*
1
*
12
2
Sd
m
，（无穷远边界面上，0,
21
）
即0,,.
2
*
1
3trtrrd
dt
d
。
2.4）设一维自由粒子的初态/
00,xipex，求tx,。
解：/
2
2
0
0,
t
m
p
xpi
etx
2.5设一维自由粒子的初态xx0,，求2,tx
。
提示：利用积分公式2sincos22
dd
或4expexp2idi
。
解：作Fourier变换：
dpepxipx
2
1
0,，
2
1
)(
2
1
0,
2
1
dxexdxexpipxipx，
dpeptxEtpxi
/
2
1
,
（mpE22）
dpe
pxt
m
pi
2
2
2
1
（指数配方）
dp
t
mx
p
m
it
etimx
2
2
2
exp
2
12
令
2
2
2
t
mx
p
m
t
，则
42
exp
2
2
2
1
2
2
1
,
2
4/2
2
2
22
t
mx
i
t
m
ee
t
m
de
t
m
etx
itimx
itimx
t
m
tx
2
,2。
2.6设一维自由粒子的初态为0,x，证明在足够长时间后，
t
mx
t
imx
i
t
m
tx
2
exp4exp,2
式中
dxexkikx0,
2
1
是0,x的Fourier变换。
提示：利用xeexii
24/lim。
证：根据平面波的时间变化规律
tkxiikxee，mkE22，
任意时刻的波函数为
dkektxmtkkxi2/2
2
1
,
2
2/
2
exp
2
12
t
mx
k
m
t
ikdketimx
（1）
当时间足够长后（所谓t），上式被积函数中的指数函数具有
函数的性质，取
mt2，
t
mx
ku
，（2）
参照本题的解题提示，即得
kd
t
mx
kke
t
m
etxitimx
4/2
2
2
1
,2
t
mx
ee
t
m
timxi
2/4/2（3）
2
2,
t
mx
t
m
tx
（4）
物理意义：在足够长时间后，各不同k值的分波已经互相分离，波群在x处的主要成分为tmxk，即
mktx，强度2k
，因子tm描述整个波包的扩散，波包强度
t12。
设整个波包中最强的动量成分为
0
k，即
0
kk时2k最大，由（4）式可见，当t足够大以后，
2的最
大值出现在
0
ktmx处，即mtkx
0
处，这表明波包中心处波群的主要成分为
0
k。
2.7写出动量表象中的不含时Schrödinger方程。
解：经典能量方程rV
m
p
E
2
2
。
在动量表象中，只要作变换
pp
，
dp
d
ir
所以在动量表象中，Schrödinger为：
pEp
dp
d
iV
m
p
2
2
。
第三章一维定态问题
3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，
其余区域,
0,0,0
),(
byax
yxV
求粒子的能量本征值和本征波函数。如
ba
，能级的简并度如何？
解：能量的本征值和本征函数为
m
E
yx
nn2
22
)(
2
2
2
2
b
n
a
n
y
x
,2,1,,sinsin
2
yx
y
x
nn
nn
b
yn
a
xn
aby
x
若
ba
，则)(
2
22
2
22
yxnn
nn
ma
E
yx
a
yn
a
xn
a
y
x
nn
y
x
sinsin
2
这时，若
yx
nn，则能级不简并;若
yx
nn，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10
yx
nn
与2,11''
yx
nn）
3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即
其余区域,
0,0,0,0
),,(
czbyax
zyxV
求粒子的能量本征值和本征波函数。如
cba
，讨论能级的简并度。
解：能量本征值和本征波函数为
)(
22
2
2
2
2
2
22
c
n
b
n
a
n
m
nnn
Ez
y
x
zyx
,
,3,2,1,,
,sinsinsin
8
zyx
z
y
x
nnn
c
zn
b
yn
a
xn
abc
nnn
z
yx
当
cba
时，
)(
2
222
2
22
zyx
nnn
ma
nnn
E
zyx
a
yn
a
yn
a
xn
a
nnn
z
y
x
z
yx
sinsinsin
22
3
zyx
nnn时，能级不简并；
zyx
nnn,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。
zyx
nnn,,三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。
如
)9,6,3()10,5,1(2086161210
)11,3,1()9,7,1(1043865
222222
222222
3.3）设粒子处在一维无限深方势阱中，
ax0,,
0,0
),(
x
ax
yxV
证明处于定态)(x
n
的粒子
)
6
1(
12
)x-(x,
222
2
2
n
aa
x
讨论n的情况，并于经典力学计算结果相比较。
证：设粒子处于第n个本征态，其本征函数
x
a
n
a
x
n
sin
2
)(.
2
sin
2
0
2
2
0
a
xdx
a
n
x
a
dxxxaa
n
分部
（1）
4
)(
2
2
0
2
2
22
a
dxxxxxx
n
a
4
)
2
cos1(
2
122
0
2
a
dx
a
xn
x
a
a
)
6
1(
1222
2
n
a
（2）
在经典情况下，在a,0区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改
变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于
xxdx
范围的几率为
a
dx
，故
20
a
a
dx
xxa，（3）
3
2
0
22
a
a
dx
xxa，
43
)(
22
2
22
aa
xxxx（4）
当n时，量子力学的结果与经典力学结果一致。
3.4）设粒子处在一维无限深方势阱中，
2,
2,0
),(
ax
ax
yxV
处于基态)1(n，求粒子的动量分布。
解：基态波函数为
a
x
a
cos
2
1
,（参P57，（12））
2
cos
2
2
cos
1
2
cos
11
2
1
2
11
2
1
)(
2
11
cos
2
2
1
)(
2222
3
2222
2
2
)()(
2
2
2
2
pa
pa
q
pa
p
a
pa
p
a
a
ee
p
a
i
ee
p
a
i
a
dxee
a
dxeee
a
dx
a
x
a
ep
ap
a
i
ap
a
i
ap
a
i
ap
a
i
a
a
p
a
i
p
a
i
a
xi
a
xi
a
a
ipx
a
a
ipx
动量的几率分布
2
cos
4
)()(2
2
2222
3
2pa
pa
a
pp
3.5）设粒子处于半壁高的势场中
ax
axVxV
,0
0,
0x,
)(
0
（1）
求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。
解：分区域写出
eqs.
:
ax,0)()(
ax0,0)()(
2
2"
2
1
2'"
1
xkx
xkx
（2）
其中'22
0
22
22
,k
E
kVE
（3）
方程的解为
kxkx
xikxik
DeCex
BeAex
)(
)(
2
1
''
（4）
根据对波函数的有限性要求，当x时，)(
2
x有限，则
0C
当
0x
时，0)(
1
x，则0BA
于是
ax,)(
x0,sin)(
2
'
1
kxDex
axkFx
（5）
在ax处，波函数及其一级导数连续，得
kakakDeakFkDeakF'''cos,sin（6）
上两方程相比，得
k
k
aktg
'
'（7）
即
E
EV
EVatg
0
0
2
2
（7’）
若令aakk,'（8）
则由（7）和（3），我们将得到两个方程：
222
0
2
(9)
(10)
2
ctg
V
a
（10）式是以
aVr2
0
2为半径的圆。对于束缚态来说，0
0
EV，
结合（3）、（8）式可知，和
都大于零。（10）式表达的圆与曲线ctg在第一象限的交点可决定束缚
态能级。当2r，即2
2
2
0
a
V
，亦即
8222
0
aV（11）
时，至少存在一个束缚态能级。这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。
3—6）求不对称势阱中粒子的能量本征值。
解：仅讨论分立能级的情况，即
2
0VE，
EVm
dx
d
2
2
2
当
x
时，0，故有
EVmkxaeA
mEkaxkxA
EVmkxeA
xk
xk
222
111
2,,
2,0,sin
2,0,
2
1
由
dx
dln
在
0x
、ax处的连续条件，得
kakctgkctgk
21
k,（1）
由（1a）可得
1
2
sin
mV
k
（2）
由于kkk,,
21
皆为正值，故由（1b），知ka
为二，四象限的角。
因而
2
2
sin
mV
k
ka
（3）
又由（1），余切函数ctg的周期为，故由(2)式，
1
1
12
sin
mV
k
n
(4)
由(3)，得
2
1
2
sin
mV
k
nka
(5)
结合(4),(5)，得
1
1
1
2
1
22
sin
2
sin
mV
k
n
mV
k
nka
或
2
1
1
1
2
sin
2
sin
mV
k
mV
k
nka
（6）
,3,2,1n
一般而言，给定一个n值，有一个解
n
k，相当于有一个能级：
m
k
En
n2
22
（7）
当
12
VV时，仅当
1
2
1
2sin
2
2
V
V
mVa
才有束缚态，故
21
,VV给定时，仅当
1
2
1
2
sin
2
2
V
V
mV
a
（8）
时才有束缚态（若VVV
21
，则无论
V
和a的值如何，至少总有一个能级）
当aVV,,
21
给定时，由(7)式可求出n个能级（若有n个能级的话）。相应的波函数为:
EVmkaxe
mV
k
A
axxkA
EVmkxe
mV
k
A
n
axk
n
n
n
nnn
n
xk
n
n
n
n
22
2
2
1
11
1
2,,
2
1
,0,sin
2,0,
2
2
其中
nnn
kkaA
21
112
3—7）设粒子（能量
0E
）从左入射，碰到下列势阱（图），求阱壁处的反射系数。
解：势阱为
.0,0
,0,
)(0
x
xV
xV
在区域Ⅰ上有入射波与反射波，在区域Ⅱ上仅有透射波。故
mEkCe
EVmkBeAe
xik
xikxik
2,
2,
22
011
2
11
由)0()0(
21
，得CBA。
由)0()0('
2
'
1
，得CkBAk
21
。
从上二式消去c,得BkkAkk
2121
。
反射系数
2
21
2
21
2
2
2
kk
kk
A
B
rR
将
21
,kk代入运算，可得
00
0
22
0
4
0
2
0
,41
,16
VEVE
VEEV
EEV
V
R
3—8）利用Hermite多项式的递推关系（附录A3。式（11）），证明
谐振子波函数满足下列关系
)(21)(12)(1
2
1
)(
)(
2
1
)(
2
1
)(
22
2
2
11
xnnxnxnnxx
x
n
x
n
xx
nnnn
nnn
并由此证明，在
n
态下，2,0
n
EVx
证：谐振子波函数)()(222xHeAx
n
x
nn
（1）
其中，归一化常数
m,
!2
n
A
n
n
（2）
)(xH
n
的递推关系为.0)(2)(2)(
11
xnHxxHxH
nnn
（3）
)(
2
1
)(
2
1
)(
2
1
!12
1
)(
2
!12
1
)(
!2
2
1
)(
!2
1
)(2)(
2
1
)(2
2
1
)()(
11
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
11
2
22
22
22
2222
22
2222
x
n
x
n
xHe
n
n
xHe
n
n
xHe
n
xnHe
n
xnHxHeA
x
xxHeAxxHeAxx
nn
n
x
n
n
x
n
n
x
n
n
x
n
nn
x
n
n
x
nn
x
nn
)(21)(12)(1
2
1
)(
2
2
)(
2
1
2
1
)(
2
)(
2
1
2
1
)(
2
1
)(
2
1
)(
22
2
22
2
11
2
xnnxnxnn
x
n
x
nn
x
n
x
nn
xx
n
xx
n
xx
nnn
nnnn
nnn
0)(
2
1
)(
2
1
)(
11
**
dxx
n
x
n
xdxxx
nnnnn
2
2
1
2
1
12
2
1
2
1
)(12
2
1
2
1
)(
)(
2
1
)(
2
2
2
2*
22*
n
nn
nn
Ennm
dxxnmx
dxxxmxV
3—9）利用Hermite多项式的求导公式。证明（参A3.式（12））
22
2
2
2
11
21121
2
)(
2
1
2
)(
nnnn
nnn
nnnnnx
dx
d
nn
x
dx
d
证：A3.式（12）：)(2
dx
)(dH
),(2)(
1
n
1
'xHn
x
nHH
nnn
)(
2
1
)(
2
)(2)(
2
1
)(
2
)(2)(
)(2)()(
11
111
1
2
1
22222222
x
n
x
n
xnx
n
x
n
xnxx
xHnexHexAx
dx
d
nn
nnn
nn
n
x
n
x
nn
22
2
22
2
2
21121
2
2
2
2
1
2
1
22
1
2
)(
nnn
nnnnn
nnnnn
nnnnnn
x
dx
d
0
2
1
211
**
dx
nn
idx
dx
d
ip
nnnnn
22
1
2
1
12
4
12
4
21121
22
22
2
*
22
22
2
*
2
2
22
*
2
n
nn
nnnn
nn
E
nn
m
m
dxn
m
dxnnnnn
m
dx
dx
d
mm
p
T
3—10）谐振子处于
n
态下，计算
2
1
2
xxx，2
1
2
ppp，?px
解：由题3—6），
m
n
m
E
m
V
xxn
2
1
2
,0
22
2
由题3—7），mnmETmpp
n
2
1
2,02
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
npx
mnppppp
m
nxxxxx
对于基态，2,0pxn，刚好是测不准关系所规定的下限。
3—11）荷电q的谐振子，受到外电场的作用，
xqxmxV22
2
1
)(（1）
求能量本征值和本征函数。
解：xqHxqxm
m
p
H
0
22
2
2
1
2
（2）
0
H的本征函数为)(222xHeA
n
x
nn
，
本征值
2
1
0nE
n
现将
H
的本征值记为
n
E，本症函数记为)(x
n
。
式（1）的势能项可以写成2
0
2
0
2
2
1
)(xxxmxV
其中2
0
mqx（3）
如作坐标平移，令
0
'xxx（4）
由于'
'
p
dx
d
i
dx
d
ip（5）
H
可表成2
0
22,2
2'
2
1
2
1
2
xmxm
m
p
H（6）
（6）式中的
H
与（2）式中的
0
H相比较，易见
H
和
0
H的差别在于变量由x换成'x，并添加了常数项
2
0
2
2
1
xm，由此可知
2
0
20
2
1
xmEE
nn
（7）
)()()(
0
'xxxx
nnn
（8）
即
,2,1,0,
2
2
1
2
1
2
1
2
22
2
2
2
n
m
q
n
m
q
mnE
n
（9）
2
2
2
2
2
)(
m
q
xHeAx
n
m
q
x
nn
(10)
其中
m,
!2
n
A
n
n
(11)
3—12）设粒子在下列势阱中运动，
.0,
2
1
,0,
)(
22xxm
x
xV
求粒子能级。
解：既然粒子不能穿入
0x
的区域，则对应的的本征函数必须在
0x
处为零。另一方面，在
0x
的区
域，这些本征函数和谐振子的本征函数相同（因在这个区域，粒子的
H
和谐振子的
H
完全一样，粒子的波函数
和谐振子的波函数满足同样的）。振子的具有
12kn
的奇宇称波函数在
0x
处为零，因而这些波函数是
这一问题的解（
kn2
的偶宇称波函数不满足边条件0)0(）所以
,2,1,0,232kkE
k
3—13）设粒子在下列势阱中运动，
.0,
,0,
)(
xaxr
x
xV
0,ar(1)
是否存在束缚定态？求存在束缚定态的条件。
解：:Eaxr
dx
d
m
2
22
2
(2)
对于束缚态（
0E
），令mE2(3)
则0
2
2
2
2
2
ax
mr
dx
d
(4)
积分
a
a
dx,0,得'跃变的条件
)(
2
)()(
2
''a
mr
aa
(5)
在ax处，方程(4)化为
02
2
2
dx
d
(6)
边条件为束缚态0)(,0)0(
因此
.,
,0,
)(
axAe
axxsh
x
x
(7)
再根据ax点)(x连续条件及)('x跃变条件(5)，分别得
)(aAeasha(8)
)(
2
2
a
mr
achAea
(9)
由（8）（9）可得（以)(aa乘以（9）式，利用（8）式）
2
2
coth
mra
aaa(10)
此即确定能级的公式。下列分析至少存在一条束缚态能级的条件。
当势阱出现第一条能级时，0E，所以0a,
利用1
lim
coth
lim
00
ath
a
aa
aa
,
（10）式化为01coth
2
2
aaa
mra
,
因此至少存在一条束缚态能级的条件为1
2
2
mra
（11）
纯势阱中存在唯一的束缚能级。当一侧存在无限高势垒时，由于排斥作用（表现为0)(x，对
0x
）。
束缚态存在与否是要受到影响的。纯
势阱的特征长度mrL2。
条件（11）可改写为2La（12）
即要求无限高势垒离开
势阱较远（2La）。才能保证
势阱中的束缚态能存在下去。显然，当a（即
2La），a时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时1cotha，式（10）给出
22mr
即
2
222
2
2
mr
m
E
（13）
与势阱)()(xrxV的结论完全相同。
令a，则式（10）化为
2
2
coth1
mra
（14）
由于1coth1，所以只当
1
2
2
mra
时，式（10）或（14）才有解。解出根
之后，利用
mEaa2，即可求出能级
2
22
2ma
E
（15）
第四章力学量用算符表达与表象变换
4.1）设
A
与
B
为厄米算符，则BAAB
2
1
和BAAB
i
2
1
也是厄米算符。由此证明，任何一个算符
F
均可分
解为
iFFF，
F与
F均为厄米算符，且
FF
i
FFFF
2
1
,
2
1
证：ⅰ）BAABABBABAABBAAB
2
1
2
1
2
1
2
1
BAAB
2
1
为厄米算符。
ⅱ）BAAB
i
ABBA
i
BAAB
i
BAAB
i
2
1
2
1
2
1
2
1
BAAB
i
2
1
也为厄米算符。
ⅲ）令
ABF
，则BAABABF
，
且定义
FF
i
FFFF
2
1
,
2
1
（1）
由ⅰ），ⅱ）得
FFFF,，即
F和
F皆为厄米算符。
则由（1）式，不难解得
iFFF
4.2）设),(pxF是
px,
的整函数，证明
F,F,,
p
iFx
x
iFp
整函数是指),(pxF可以展开成
0,
),(
nm
nm
mn
pxCpxF。
证：（1）先证11,,,nnmmpnipxxmixp。
111
111
331
33231
2221
11
1
,1
,3
,,2
,,
,,,
mmm
mmmm
mm
mmm
mmm
mmm
xmixixim
xxpxim
xxpxi
xxpxxpxxi
xxpxxpxxi
xxpxpxxp
同理，
1
221
2221
11
,2
,,
,,,
n
nn
nnn
nnn
pni
ppxpi
ppxppxppi
ppxpxppx
现在，
0,
1
0,0,
,,,
nm
nm
mn
nm
nm
mn
nm
nm
mn
pxmiC
pxpCpxCpFp
而
0,
1
nm
nm
mn
pxmiC
x
F
i。
F,
x
iFp
又
0,
1
0,0,
,,,
nm
nm
mn
nm
nm
mn
nm
nm
mn
pnixC
pxxCpxCxFx
而
0,
1
nm
nm
mn
pnixC
p
F
i
F,
p
iFx
4.3）定义反对易式BAABBA
,，证明
CABCBABCA
BCACBACAB
,,,
,,,
证：
BCACBA
BCAACCBBCACABACBACBABC
BCACBACAB
,,
,,,
CABCBACAACBCBAAB
BCABACBACABCCABCBABCA
,,
,,,
4.4）设A，B，C为矢量算符，A和B的标积和矢积定义为
BABABABA,
zyx,,,,，
为Levi-civita符号，试验证
CBACBACBA（1）
CBACBACBA（2）
CBACBACBA
（3）
证：
（1）式左端
xyyxzzxxzyzyzyx
CBCBACBCBACBCBACBA
CBA
（1）式右端也可以化成
CBACBA。（1）式得证。
（2）式左端
CBACBACBA
（3,2,1）
CBABACBACBACBCBACBCBA（2）式右
端
CBACBA
CBABACBACBA
CBACBACBACBACBACBA
故（2）式成立。
（3）式验证可仿（2）式。
4.5）设A与B为矢量算符，
F
为标量算符，证明
BFABAFBAF,,,（1）
BFABAFBAF,,,（2）
证：（1）式右端FBBFABFAAF
FBABFABFABAF
BAFFBABAF,（1）式左端
（2）式右端FBBFABFAAF
FBABFABFABAF
BAFFBABAF,（2）式左端
4.6）设
F
是由r，p构成的标量算符，证明
r
F
rip
p
F
iFL
,（1）
证：kFLjFLiFLFL
zyx
,,,,
（2）
)2.4(
,,,,,,
题
y
F
z
z
F
yip
p
F
p
p
F
i
p
p
F
i
y
F
zip
y
F
i
z
F
yi
pFzFpzpFyFpyFzpyypzFLx
y
z
z
y
y
z
z
yyzz
x
x
r
F
rip
p
F
i
（3）
同理可证，
y
y
yr
F
rip
p
F
iFL
,（4）
z
z
zr
F
rip
p
F
iFL
,（5）
将式（3）、（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得证。
4.7）证明pipLLp2
pLpLLpi,2。
证：
zyzyyzzyyzzy
x
pLLppLpLLpLppLLp,,
利用基本对易式
piLppL,,
即得
x
x
pipLLp2。
因此pipLLp2
其次，由于
x
p和
x
L对易，所以
x
yzzyyzzy
yzzyzyyz
xzzzxzxyyyxyxZxyx
pLLpi
pLpLLpLpi
pLLppLLpi
pLLLpLpLLLpLpLpLpL
,,,,,,,22
2
因此，pLpLLpi,2
4.8）证明priprprL222（1）
22
22pLLppLLppL
（2）
22224ppLpLLp（3）
2pLipLpL（4）
证:（1）利用公式，CBACBA，有
prrpPrp
prrprrpprrpprrpL
2
2
其中riprriprrp22222
iprriprrp3
因此priprprL
22
22
（2）利用公式，0ppLppL（Δ）
可得LppLLppL
0
2
,L0222
PpLLpLLppLppL①
pLpLpLpLpL2
0
2
,L
222
PpLpLpLpL②
LpLpLpLpLp2
222pLLpLppL③
由①②③，则（2）得证。
（3）piLpLppLLp2)1()7.4
222222
2
422
2
)(
)1()7.4ppLppLpiipL
pLpiLp
（4）就此式的一个分量加以证明，由4.4）（2），
CBACBACBA
xx
x
pLpLpLpLpLpL，
其中
yyzzxx
epepiLppL
（即kpijpikpjpipL
yzzyxx
0,
）
22pLipLi
ppLppLippLi
pLpLepeppLiLppLpLpL
x
x
xx
zyyzzx
x
类似地。可以得到
y
分量和z分量的公式，故（4）题得证。
4.9）定义径向动量算符
r
rppr
r
p
r
11
2
1
证明：
rr
ppa，
rr
ipb
r
1
，
iprc
r
,，
r
r
r
r
rr
r
pd
r
2
2
2
2
2
2
2
12
，
2
2
2
2
1
r
pL
r
pe
证：
ABCaABC，
r
11
2
1
11
2
111
2
1
ppr
rr
rp
pr
rr
rp
r
rppr
r
p
r
即
r
p为厄米算符。
rr
i
rr
i
r
i
r
r
r
r
i
r
i
r
rr
r
i
r
r
i
r
ri
p
r
r
r
r
ip
r
r
p
r
r
r
rppr
r
pb
1
13
2
3
2
11
22
2
111
2
1
3
r
i
r
r
r
ri
r
rr
ri
r
ri
rr
riprc
r
1
,
1
,,
)(
2
2
2
1b
rr
pd
r
22
2
2
111
r
rrrr
r
rr
rrr
rrrr
r
21111
2
2
2
222
2
2
r
r
r
r
2
2
2
1
e据4.8）（1），priprprL2
222。
其中
r
riripr
，
因而
r
r
r
r
r
rprL
22222
r
r
r
rpr2
2
2
2222
以2r左乘上式各项，即得
rr
r
L
r
p
21
2
2
22
2
2
d)9.4
2
2
2
1
r
pL
r
4.10)利用测不准关系估算谐振子的基态能量。
解：一维谐振子能量22
2
2
1
2
xm
m
p
Ex
x
。
又022
dxxexx
奇，
m
，0
x
p，
（由(3.8)、(3.9)题可知0,0
x
px）
xxxx，
xxxx
pppp，
由测不准关系，,
2
x
px得
x
p
x2
。
22
2
2
1
22
1
xm
xm
E
x
0
2
8
2
3
2
xm
x
mdx
dE
x
，得
m
x
2
2
2
1
22
12
8
2
2
0
m
m
m
m
E
x
同理有
2
1
0
y
E，
2
1
0
z
E。
谐振子（三维）基态能量
2
3
0000
zyx
EEEE。
4.11)利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量。
解：类氢原子中有关电子的讨论与氢原子的讨论十分相似，只是把氢原子中有关公式中的核电荷数e换成ze
（z为氢原子系数）而u理解为相应的约化质量。故玻尔轨迹半径
2
2
0ue
a
，在类氢原子中变为
z
a
a0。
类氢原子基态波函数are
a
3
100
1
，仅是r的函数。
而
d
d
r
e
d
d
r
e
dr
d
e
rsin
11
，故只考虑径向测不准关系~rp
r
，类氢原子径向能量为：
r
ze
u
p
Er
2
2
2
。
而
r
ze
u
p
H
22
2
，如果只考虑基态，它可写为
r
ze
u
p
Hr
2
2
2
，
rdr
d
ip
r
1
r
p与r共轭，于是~rp
r
，rr~，
r
ze
rm
r
ze
u
p
Er
2
2
22
2
2
~
2
（1）
求极值
r
ze
rm
r
E2
3
2
0
由此得a
z
a
mzer0
22（
0
a：玻尔半径；a：类氢原子中的电子基态“轨迹”半径）。代入（1）式，
得
基态能量，azeemzE22~2242
运算中做了一些不严格的代换，如
r
r
1
~
1
，作为估算是允许的。
4.12)证明在分立的能量本征态下动量平均值为0。
证：设定态波函数的空间部分为，则有EH
为求p的平均值，我们注意到坐标算符
i
x与
H
的对易关系：
upixVuppxHx
i
j
jjii
2,,。
这里已用到最基本的对易关系
ijji
ipx,，由此
0
,
ii
ii
iii
ExEx
i
u
HxHx
i
u
Hx
i
u
pp
这里用到了
H
的厄米性。
这一结果可作一般结果推广。如果厄米算符
C
可以表示为两个厄米算符
A和
B的对易子
BAiC,，则在
A
或
B的本征态中，
C
的平均值必为0。
4.13）证明在的本征态下，0
yx
LL。
（提示：利用
xyzzy
LiLLLL，求平均。）
证：设是
z
L的本征态，本征值为
m
，即mL
z
x
Li
yzzyzy
LLLLL,L，
y
Li
zxxzxz
LLLLL,L，
0
1
1
1
yy
yzzy
yzzyx
LmLm
i
LLLL
i
LLLL
i
L
同理有：0
y
L。
4.14)设粒子处于,
lm
Y状态下，求2
x
L
和2
y
L
解：记本征态
lm
Y为lm，满足本征方程
lmlllmL221，lmmlmL
z
，lmmLlm
z
，
利用基本对易式LiLL，
可得算符关系
xyzxzyxyzzyxxx
LLLLLLLLLLLLLiLi2
xyzzxyyxyzyzxy
LLLLLLLiLLLLiLLL2
将上式在lm态下求平均，因
z
L作用于lm或lm后均变成本征值
m
，使得后两项对平均值的贡献互相抵消，
因此
22
yx
LL
又22
2
2
221mllLLLL
zyx
22
221
2
1
mllLL
yx
上题已证
0
yx
LL。
22
2
2
2
2
21
2
1
mllLLLLLL
xxxxxx
同理22
21
2
1
mllL
y
。
4.15)设体系处于
202111
YCYC状态（已归一化，即
12
2
2
1
CC
），求
（a）
z
L的可能测值及平均值;
（b）2L的可能测值及相应的几率；
（c）
x
L的可能测值及相应的几率。
解：
11
2
11
22YYL，
20
2
20
26YYL；
1111
YYL
z
，
2020
0YYL
z
。
（a）由于
已归一化，故
z
L的可能测值为
，0，相应的几率为
2
1
C
，
2
2
C
。平均值
2
1
CL
z
。
（b）2L的可能测值为22，26，相应的几率为
2
1
C
，
2
2
C
。
（c）若
1
C，
2
C不为0，则
x
L（及
y
L）的可能测值为：
2
，
，0，
，
2
。
1）
x
L在
1l
的空间，
z
LL,2对角化的表象中的矩阵是
010
101
010
2
求本征矢并令
1
，则
c
b
a
c
b
a
010
101
010
2
1
，
得，ab2，bca2，cb2。1,0。
ⅰ）取
0
，得acb,0，本征矢为
a
a
0
，归一化后可得本征矢为
1
0
1
2
1
。
ⅱ）取
1，得cab22，本征矢为
a
a
a
2，归一化后可得本征矢为
1
2
1
2
1
。
ⅲ）取
1，得cab22，归一化后可得本征矢为
1
2
1
2
1
。
在
0
0
1
1111
CYC态下，
x
L取
0
的振幅为
2
1
0
1
2
1
0011
1
C
C
，
x
L取
0
的几率为
2
2
1
C
；
x
L取
的振幅为
2
1
2
1
2
1
0011
1
C
C
，相应的几率为
4
2
1
C
；
x
L取
的振幅为
2
1
2
1
2
1
0011
1
C
C
，相应的几率为
4
2
1
C
。总几率为
2
1
C
。
2）
x
L在
2l
的空间，
z
LL,2对角化表象中的矩阵
利用1
2
1
1mjmjmjjmj
x
1
2
1
1mjmjmjjmj
x
11222
x
j，
2
3
0212
x
j，
2
3
1202
x
j，12212
x
j。
01000
10
2
3
00
0
2
3
0
2
3
0
00
2
3
01
00010
x
L，本征方程
e
d
c
b
a
e
d
c
b
a
01000
10
2
3
00
0
2
3
0
2
3
0
00
2
3
01
00010
ab
，bca
2
3
，cdb
2
3
，dec
2
3
，
ed
，2,1,0。
ⅰ）
0
，
0b
，ca
2
3
，
0d
，ce
2
3
本征矢为
1
0
3
2
0
1
8
3
。在
0
0
1
0
0
2202
CYC态下，测得0
x
L
的振幅为
2
1
0
3
2
0
1
8
3
001002
2
C
C
。几率为
4
2
2
C
；
ⅱ）
1
，
ab
，
0c
，
bd
，
ed
，本征矢为
1
1
0
1
1
2
1
。在
202
YC态下，测得
x
L的振幅为
0
1
1
0
1
1
2
1
00100
2
C，几率为
0
。
ⅲ）
1
，
ab
，
0c
，
bd
，
de
，本征矢为
1
1
0
1
1
2
1
，在
202
YC态下，测得
x
L几率为
0
。
ⅳ）
2
，
ab2
，ac6，
aed22
，a
c
e
6
，本征矢为
1
2
6
2
1
4
1
，在
202
YC态下，测得2
x
L
的振幅为
224
6
1
2
6
2
1
4
1
00100CC
。几率为
2
28
3
C；
ⅴ）
2
，
ab2
，ac6，
ad2
，ae，本征矢为
1
2
6
2
1
4
1
，在
202
YC态下，测得2
x
L的
几率为
2
28
3
C。
2
2
2
24
1
8
3
8
3
CC
。
在
202111
YCYC态中，测
x
L（和
y
L）的可能值及几率分别为：
2
2
2
1
2
2
2
1
2
1
2
28
3
4
1
4
1
2
1
4
1
8
3
202
CCCCCC
4.16）设属于能级
E
有三个简并态
1
，
2
和
3
，彼此线形独立，但不正交，试利用它们构成一组彼此正交归
一的波函数。
解：1
11
11,
1
a
1212
'
2
,，'
2
'
2
'
2
2
,
1
，
2321313
'
3
,,，'
3
'
3
'
3
3
,
1
。
321
,,是归一化的。
0,,,
,
1
,
112121
'
2
'
2
21
，
0,,,,,
,
1
,
2132113131
'
3
'
3
31
，
0,,,,,
,
1
,
2232123132
'
3
'
3
32
。
它们是正交归一的，但仍然是简并的（可验证：它们仍对应于同一能级）。
4.17）设有矩阵SCBA,,,等，证明
BAABdetdetdet，AASSdetdet1，
BATrABTr，TrAASSTr1，CABTrBCATrABCTr，
Adet
表示矩阵
A
相应的行列式得值，
TrA
代表矩阵
A
的对角元素之和。
证：（1）由定义
n
n
niii
ii
n
aaaiiPA
21
1
211
det，
0
11
11
1
1
1
其他情形
的奇置换是当
的偶置换是当
nii
nii
iiP
n
n
n
故上式可写成：
nn
n
ijijij
ii
nn
aaajjPiiPA
2211
1
11
det，
其中
n
jj
1
是n1的任意一个置换。
n
n
niii
ii
n
CCCiiPABC
21
1
211
detdet
nn
nnn
iijj
ijnjijjijjn
bababaiiP
11
222111
211
nn
nnn
jjii
ijijijnnjjj
bbbiiPaaa
11
221121
121
nn
nnn
jjii
ijijijnnnjjjn
bbbjjPiiPaaajjP
11
221121
11211
BAdetdet
（2）ASSSASASSdetdetdetdetdetdetdet111
AASSdetdetdet1
（3）BATrabbaABTr
ik
ikki
ik
kiik
（4）TrAASSTrSASTrASSTrASSTr1111
（5）CABTrbacBCATracbcbaABCTr
jkij
ijk
kiij
ijk
kijk
ijk
kijkij
第五章力学量随时间的变化与对称性
5.1）设力学量
A
不显含t，
H
为本体系的Hamilton量，证明
HHAA
dt
d
,,
2
2
2
证.若力学量
A
不显含t，则有HA
idt
dA
,
1
,
令CHA,
则HCHC
idt
Cd
i
dt
Ad
,
1
,
11
22
2
,
HHAA
dt
d
,,
2
2
2
5.2）设力学量
A
不显含t，证明束缚定态，0
dt
dA
证：束缚定态为:：tiE
nn
nertr,。
在束缚定态tr
n
,，有trEtr
t
itrH
nnnn
,,,
。
其复共轭为trEer
t
itrH
nn
tiE
nn
n,,***
*
。
nndt
dA
dt
dA
,
nnnnnn
AAA
dt
d
,,,
nnnn
H
i
AAH
idt
dA
1
,,
1
nnnn
AH
i
HA
i
HA
it
A
,
1
,
1
,
1
nn
HAAH
i
HA
i
,
1
,
1
0,,
1
AHHA
i
。
5.3）
xx
iaP
x
aaD
expexp表示沿x方向平移距离a算符.证明下列形式波函数（Bloch波函数）
xex
k
ikx,xax
kk
是aD
x
的本征态，相应的本征值为ikae
证：axeaxxaD
k
axik
x
xexeeika
k
ikxika,证毕。
5.4）设m表示
z
L的本征态（本征值为m），证明
meey
z
ikL
ikL
是角动量L沿空间,方向的分量
n
L
cossinsincossin
zyx
LcLL
nLL
n
的本征态。
证：算符
y
ikLe
相当于将体系绕
y
轴转角，算符
z
ikLe相当于将体系绕z轴转
角，m原为
z
L的本征态，
本征值为
m
，经过两次转动，固定于体系的坐标系（即随体系一起转动的坐标系）的'z轴（开始时和实验室z
轴重合）已转到实验室坐标系的,方向，即n方向，mY
lm
变成了，即变成了
n
L的本征态。本征值是
状态的物理属性，不受坐标变换的影响，故仍为
m
。（还有解法二，参钱..《剖析》.P327）
5.5）设Hamilton量rV
u
P
H
2
2
。证明下列求和规则
u
xEE
n
nmmn2
2
2
。
x是r的一个分量，
n
是对一切定态求和，
n
E是相应于n态的能量本征值，nEnH
n
。
证：
xxx
p
u
i
pi
u
px
u
Hx
2
2
1
,
2
1
,2（
）
A
n
nmmn
xEE2mEEnnxm
mn
n
mxHnmHxnnxm
n
mHxnnxm
n
,)(
2,
2
1mPxnnxm
ux
n
mPnnxm
u
i
x
n
n
x
nxPm
u
i
又
A
n
mn
mxnnEEmmxnnHxm
n
,
)(
n
x
nxPm
u
i
A2
n
xx
mxPxPm
u
i
n
x
mPxm
u
i
,
u
i
u
i2
，
A
u
xEE
n
nmmn2
2
2
。
不难得出，对于ZY,分量，亦有同样的结论，证毕。
5.6）设prF,为厄米算符，证明能量表象中求和规则为
kFHFkFEE
n
nkkn
,,
2
12（1）
证：式（1）左端
令AkFnnFkEE
n
knkFHHFnnFk
n
kFHFk,,（2）
计算中用到了公式1
n
nn。
由于FH,是厄米算符，有下列算符关系：
FHHFFHFHHFFHHFFH,,
（3）
式（2）取共轭，得到
AAkFHFk,,kFFHk
,)3(
,kFFHk（4）
结合式（2）和（4），得
AkFHFkFEE
n
nkkn
,,
2
12
证毕。
5.7）证明schrödinger方程变换在Galileo变换下的不变性，即设惯性参照系'K的速度相对于惯性参照系
K
运
动（沿x轴方向），空间任何一点两个参照系中的坐标满足下列关系：
'''',,,ttzzyyvtxx。（1）
势能在两个参照系中的表示式有下列关系
txVttxVtxV,,,'''''（2）
证明schrödinger方程在'K参照系中表为''
2
22
'
'
2
V
x
mt
i
在
K
参照系中表为
V
x
mt
i
2
22
2
其中ttxt
m
x
m
i,
2
exp'
2
证：由波函数的统计解释，
和'的意义完全相同。
txwtx,,2
，是t时刻在x点找到粒子的几率密度；
'''
2
''',,txwtx，是't时刻在'x点找到粒子的几率密度。
但是在给定时刻，给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关，所以相应的几率应相等，即
''',,txwtxw（6）
从（1）式有txwttxw,,'（6’）
由此可以得出，
和'两个波函数彼此只应差绝对值为1的相因子，所以
ttxetxetxtxiSiS,,,','''（7）
txettxtxiS,,,'（7）
由（1）式，
x
x
'
,
tx
v
t
'
,
2
2
2
'
2
x
x
（3）式变为：'''''''''
2
22
,,,
2
txtxVtx
x
m
'''''',,tx
t
itx
x
i
（8）
将（7’）代入（8）式，可得
t
S
x
S
x
S
m
t
S
m
itxV
xx
S
m
i
x
m
2
2
2
22
2
22
22
,
2
t
i
（9）
选择适当的txS,，使得（9）（4），
0
x
S
m
。（10）
0
22
2
2
2
22
t
S
x
S
x
S
m
x
S
m
i
（10’）
从（10）可得tfx
m
S
。（11）
tf是的任意函数，将（11）代入（10’），可得
2
2m
t
f
积分，得Ct
m
tf
2
2
。
C
为积分常数，但
0时，'K系和
K
系重合，'应等于，即
S
应等于
0
，故应取
0C
，从而得到
t
m
x
m
S
2
2
（12）
代入（7’）式，最后得到波函数的变换规律：
tmxm
i
2'
2
11
exp
（13）
逆变换为
'2'''
2
1
exptmxm
i
eiS
（13’）
相当于式（13）中的，带
”
，
“
的量和不带
”
，
“
的量互换。
讨论：txS,的函数形式也可用下法求出：
因txS,和势能
V
无关，所以只需要比较平面波（自由粒子）在
K
和'K系中的表现形式，即可确定txS,.
沿x方向运动的自由粒子，在伽利略变换下，动量、能量的变换关系为
mPP'
22
2
2
'
'
2
1
2
1
22
mPEmP
m
P
m
P
E（14）
据此，
K
系和'K系中相应的平面波波函数为
EtPxie，
'''''tExPie（15）
（1）、（14）代入（15），即得
tmxm
i
2'
2
11
exp
此即（13）式，由于这个变换关系仅取决于
K
和'K系的相对速度，而与粒子的动量
P
无关，所以上式适用于
任何自由粒子。它正是所求的变换关系。