2022年CMO数学冬令营

第一章数学竞赛概述

教学要求:了解数学竞赛的产生、发展及影响；了解小学数学竞赛的组

织、内容、形式。

重点和难点：数学竞赛的发展及教育价值。

第1节数学竞赛的教育价值

（一）数学竞赛的产生

数学是锻炼思维的体操，而其核心则是问题．解数学难题的竞赛至

少可以追溯到16世纪初期．当时，不少数学家喜欢提出问题，向其他

数学家挑战，以比高低，其中解三次方程比赛的有声有色的叙述，使人

记忆犹新．意大利数学家丰坦那（NiccoloFontana），人称“塔塔利

亚”（Tartaglia意为口吃者），出身贫寒，自学成才，后以教书为

生．1535年意大利数学家菲奥（A．M．Fior）向塔塔利亚提出挑战，

要求举行一次解三次方程的公开比赛．菲奥是著名数学家费罗

（ScipiouedalFerro）的得意门生，费罗大约在1515年左右解出了形如

x3＋mx=n类型的三次方程，并把方法秘密传给了菲奥．比赛于当年2

月22日在米兰大教堂进行．双方各给对方出30道题．为迎接这场挑

战，塔塔利亚作了充分准备，他冥思苦想，终于在比赛前十天掌握了三

次方程的解法，因而大获全胜．意大利数学家发现的三次方程的代数解

法被认为是16世纪最壮观的数学成就之一．

公开的解题竞赛无疑会引起数学家的注意和激发更多人的兴趣，随

着学校教育的发展，教育工作者开始考虑在中学生中间举办解数学难题

的竞赛，以激发中学生的数学才能和引起对数学的兴趣．

世界上真正有组织的数学竞赛开始于1894年，当时匈牙利数学界

为了纪念著名数学家、匈牙利数学会主席埃特沃斯（L．Eütvos）荣任

匈牙利教育部长而组织了第一届中学生数学竞赛，本来是叫做Eütvōs竞

赛，后来命名为JószefKórschak竞赛，这一活动除两次世界大战和1956

年匈牙利事件中断七年外，每年十月举行一次，每次竞赛出三道题，

限四小时做完，允许使用任何参考书．这些试题难度适中，别具风格，

虽然用中学生学过的初等数学知识就可以解答，但是又涉及许多高等数

学的课题．中学生通过做这些试题，不但可以检查自己对初等数学掌握

的程度，提高灵活运用这些知识以及逻辑思维的能力，还可以接触到一

些高等数学的概念和方法，对于以后学习高等数学有很大帮助．匈牙利

数学竞赛试题的上述特点，使得它的命题方向对世界各国数学竞赛，乃

至国际数学奥林匹克（InternationalMathematicsOlympiad，简称IMO）

的

命题都产生了重大的影响。

（二）国际数学奥林匹克竞赛

数学奥林匹克的发展大致可以划分为以下三个阶段：

第一阶段（1894年～1933年）：数学奥林匹克的酝酿和发生时期．

这一阶段是自1894年匈牙利举办数学竞赛之后，罗马尼亚紧步匈

牙利的后尘，于1902年开始举办全国性的数学竞赛，在以后的30年中

没有其他国家举办过类似的活动．

第二阶段（1934年～1958年）：数学奥林匹克的萌芽和成长时期．

前苏联自1934年列宁格勒（今圣彼德堡）举办数学竞赛开始，1935年

莫斯科、第比利斯、基辅等也举办了数学竞赛，并把数学竞赛与体育竞

赛相提并论，而且与数学科学的发源地——古希腊联系在一起，称数学

竞赛为数学奥林匹克，它形象地揭示了数学竞赛是选手间智力的角逐．

由于有许多著名数学家，如狄隆涅、柯尔莫哥洛夫、亚历山大洛夫等参

与命题工作，所以前苏联的竞赛题质量很高，很多问题具有深刻的数学

背景而又以通俗有趣、生动活泼的形式表现出来．这期间，美国于

1938年举办了大学低年级学生参加的普特南数学竞赛（PutnamMC），

吸引了美国、加拿大各大学成千上万的大学生参加，这一竞赛的首创者

是曾任哈佛大学校长的W．L．Putuam，早在1921年，他就撰文论述仿

照奥林匹克运动会举办大学生学习竞赛的优点，并在二十年代末，举行

过几次校际竞赛作为实验．他逝世后留下一笔基金，两个儿子就与全家

的挚友、著名美国数学家G．D．伯克霍夫商量，举办了普特南数学竞

赛．伯克霍夫强调说，再没有一个学科能比数学更易于通过考试来测定

能力了．首届普特南数学竞赛由美国数学会具体组织，考试分为A、B

两试（上、下午分别举行），每试6～7题，各用3个小时．为了保证竞

赛的质量，试题由三位著名数学家组成的命题委员会拟定，三位委员

是：波利亚（G．Polya），

拉多（TiberRaod），卡普兰斯基（Kaplansky）．该竞赛的试题形式活

泼，背景深刻，极富创造性，因而受到国际数学界的瞩目．值得注意的

是这些试题虽然是提供给大学生的，但有相当一部分属于初等数学问

题，完全不用高等数学知识，有一定思维能力和解题技巧的中学生都有

可能解决。到40年代以后，其他一些国家如保加利亚（1949年）、波

兰（1949年）、捷克斯

洛伐克（1951年）、中国（1956年）也举行了数学竞赛．第三阶段

（1959年至今）：数学奥林匹克的发展与完善时期．在上述背景

下，1956年罗马尼亚的罗曼（T．Roman）教授向东欧七国建议举办国

际数学竞赛，并于1959年7月，在罗马尼亚的古都布拉索夫（Brasov）

举行了第一届国际数学奥林匹克（IMO），参加的七个国家都是东欧国

家．在以后的几年中，参赛的国家未增多，在1963年和1964年，南斯

拉夫和蒙古先后开始加盟，1965年波兰参加，1967年法国、英国、意

大利和瑞典等西方国家也参加了．从此，参赛的国家逐渐增多，1971

年共有15个队，1974年美国姗姗来迟，共有18个队，1977年共有21

个队，1981年共有27队，1984年有34个队，1986年中国正式派队参

加，1990年在北京举行的第31届IMO有54个队，而2003年在美国举办

的第44届IMO已有82个队、457名选手参加，基本包括了世界上中学

数学教育水准较高的国家．IMO轮流做东，每年由各参赛国领队组成主

试委员会（JuryMetting），由东道国任主试委员会主席，各项工作都贯

穿着协商、信任的精神．IMO的命题工作是由参赛国提出候选题，每个

参赛国可提出三至五题，由东道国汇总后遴选出至少20个题目，其中

包括两份试卷（每份6题）及8个备用题，最后由主试委员会敲定6道

赛题．竞赛题除第2届及第4届为7个题目之外，每届都是6个题目．分

两个上午进行，每次3个题目，用4.5小时答完．自第24届（1983年）

以来记分方法采用每题7分、每人42分的计分方法，每个国家的代表队

由6人组成，团体总分为252分．如奥林匹克一样，IMO的表彰仪式上

也并不排出国家的名次顺序，但是各国和好事的记者，总是喜欢按总分

排出各国的名次顺序来．

（三）中国数学竞赛

第一阶段（1956年至1965年）：花开花落

我国的数学竞赛始于1956年，1956年在著名数学家华罗庚教授的

倡导下，首次在北京、天津、上海、武汉等四大城市举办了高中数学竞

赛．由于“左”的冲击，至1965年，只零零星星地举行过6届．比赛前

后，华罗庚等著名数学家直接给中学生作报告（当时称为“数学通俗讲

演会”），在这些报告的基础上，出版了一批优秀的课外读物———数

学小丛书，共计13册，如华罗庚的《从杨辉三角谈起》、《从祖冲之

的圆周率谈起》、《从孙子的“神奇妙算”谈起》、段学复的《对

称》、史济怀的《平均》、闵嗣鹤的《格点和面积》、姜伯驹的《一笔

画及邮递线路问题》、蔡宗熹的《等周问题》、常庚哲、伍润生的《复

数与几何》等．数学家、教育家与优秀的大、中学校教师一起切磋交

流，拟定了质量很高的试题．赛后数学家们又为同学们进行了居高临

下、深入浅出的试题分析与讲解．这段时间，我国数学竞赛活动的势头

很好，对我国的中等教育与人才培养起了很好的作用，引起各界的关

注．竞赛的方式、试题的难度、选手的水平等都与IMO相同或相近，我

们完全可以走向世界，参加国际的角逐．但是，1966年开始的“史无

前例”的文化大革命，使数学竞赛在中国完全绝迹．

第二阶段（1978年～1980年）：枯木逢春．

1978年是科学的春天，我国的数学竞赛活动又重新开始，华罗庚

教授亲自主持了规模空前的全国八省市数学竞赛，与此同时，许多省、

市都恢复了数学竞赛．1979年从八省市的竞赛发展为除台湾以外的全

国29个省、市、自治区的竞赛．由华罗庚教授任竞赛委员会主任，并

主持命题工作．竞赛分初赛和决赛两试进行．1980年全国竞赛暂停一

年．

第三阶段（1980年至今）：登上顶峰．

1980年，在大连召开了第一届全国数学普及工作会议，代表们着

重研究了数学竞赛工作，把全国数学竞赛作为中国数学会及各省、市、

自治区数学会的一项经常性工作，并正式定名为“全国各省、市、自治

区高中联合数学竞赛”（竞赛时间是每年的10月）．全国高中联赛的

命题贯彻在普及基础上提高的原则，要有利于促进中学数学教学改革、

提高教学质量，有利于提高学生学习数学的兴趣，有利于发现人才、培

养人才，有利于参加IMO队员的选拔工作．试题的命题范围以高中数学

竞赛大纲为准．1985年，全国初中数学联合竞赛开始举行（时间是每

年四月份第一个星期天）．1986年，团中央等单位又举办了小学高年级

学生与初一学生参加的“华罗庚金杯少年数学邀请赛”．1990年，小

学数学奥林匹克开始举行．1993年，中国数学会普及工作委员会又举

办了全国小学数学奥林匹克总决赛．1986年起，全国大学生夏令营也

举行了大学生数学竞赛．1985年，我国派出两名选手参加第26届IMO

以了解情况，投石问路，结果只获得一枚铜牌，与各国选手相比成绩处

于中下，为了改变这一落后状况，提高我国在IMO中的成绩，加速培养

数学人才，中国数学会决定：自1986年起，每年一月份由中国数学会

和南开大学、北京大学、复旦大学、中国科技大学中的一所大学联合举

办一次全国中学生数学冬令营．冬令营邀请各省、市自治区头一年全国

高中联赛的优胜者（每省、市、自治区至少一名）参加．冬令营通常安

排五天，第一天是开幕式，第二、三两天上午考试，第四天听学术报

告、交流学习数学的体会或旅游，第五天宣布考试结果并发奖．自1991

年起，冬令营定名为“中国数学奥林匹克”（简称CMO）．CMO的考

试方法类似于IMO，两天共考6题，每天3题，要求在4．5小时内完

成，试题的难度接近于IMO，从中选拔出20余名队员组成国家集训队，

然后经过集训，最后选出6名选手参加当年7月举行的IMO．

历届IMO试题、IMO备选题及各个国家（地区）不同层次的竞赛

题和训练题，浩若烟海，内容丰厚．由这些竞赛题所代表的是一种特殊

的数学——奥林匹克数学．其主要研究对象是数学奥林匹克命题与解题

的规律和艺术．其知识范围大致为：代数（数列、不等式、多项式、函

数方程）、平面几何、数论、组合．但是有些试题往往同时涉及几个学

科的知识，互相交叉，难以细分，因此只能给出一个比较粗糙的分类．

第1~44届IMO除第2、4届为7题外，其他各届均为6题，共266道题，

为说明问题方便，让我们先来看统计表1-3．

第2节小学数学竞赛的组织

1.“华罗庚金杯”少年数学邀请赛

“华杯赛”是以我国著名数学家华罗庚教授的名字命名的一项全国

性少年数学大赛。自1986年开展以来,两年一届的大赛,始终致力于弘

扬华罗庚教授的爱国主义精神和献身科学的优秀品质,在青少年中普及

数学知识与能力、开发学生智力、增进学生对数学的兴趣,吸引了国内

近百个城市的3000多万中小学生,香港、澳门、台湾地区学生及日

本、韩国、马来西亚、新加坡等国家纷纷组队加入竞赛,使这项数学科

普活动不仅成为帮助广大青少年探索数学王国的桥梁,而且成为增进大

陆与台湾之间、中国与世界之间青少年友谊和开展数学交流的纽带。″

华杯赛″在过去的二十年里成功举办了十届,首届比赛在北京举行,吉

林省长春市、四川省彭州市、江苏省金坛市、广东省广州市、深圳市、

中山市、潮州市、惠州市分别作为东道主承办过全国总决赛。据了解,

广东惠州市将在今后十年承办五届(11-15届)“华杯赛”总决赛,力

争把惠州办成“华杯赛”的竞赛中心、服务中心和培训中心,带动惠州

成为国内外有名的数学教育基地,让华罗庚科学精神不断发扬光大,让

开放的赛事走向世界,成为一项国际化的中小学数学赛事。

2.“希望杯”全国数学邀请赛

由中国科学技术协会普及部,中国优选法统筹法与经济数学研究

会,华罗庚实验室,《中国青年报》教科文部,《数理天地》杂志社举

办的“希望杯”全国数学邀请赛自1990年开始举办,至今已经18届

了。参赛对象为普通中学的初一、初二、高一、高二年级的学生。第l

届有11万名学生参加,到第9届,每年的参赛人数都超过百万。15届

以来,参赛学生累计超过1200万。“希望杯”命题委员会拥有国内第

一流的数学竞赛方面的专家,他们精心地编拟了历届的试题。此外,全

国有千余位出色的数学教师、数学教研人员和大中学生也提供了不少自

编的题目。同学们正是通过做这些题,学习它们、研究它们,从而更扎

实、更开阔地掌握了知识,增长了智慧和才干,使学习更有信心,成绩

更出色。“希望杯”如同一把金钥匙,对每个参赛的中学生,它既开启

了智慧之门,更开启了信心之门。这正是“希望杯”的魅力所在。

3.全国初中、高中数学联赛

1981年,中国数学会开始举办全国高中数学联赛,经过1981、

1982、1983三年的实践,这一群众性的数学竞赛活动得到了广大中学

师生欢迎,也得到教育行政部门、各级科学技术协会、以及社会各阶层

人士的肯定和支持。″试题所涉及的知识范围不超出现行教学大纲″这

一命题原则,得到了更多的理解和拥护,由此全国高中数学联赛形成制

度。1984年11月,在宁波召开的中国数学会第三次普及工作会议时,

一致通过了举办全国初中数学联赛的决定,并详细商定了一些具体办

法,规定每年四月的第一个星期天举行全国初中数学联赛。会上湖北省

数学会、山西省数学会、黑龙江省数学会分别主动承担了1985年、

1986年、1987年的全国初中数学联赛承办单位,从此,全国初中数学

联赛也形成了制度。全国初中数学联赛原来不分一试、二试。为了更好

地贯彻“在普及的基础上不断提高”的方针,1989年7月,在济南召

开的数学竞赛命题研讨会上,各地的代表商定,初中联赛也分两试进

行,并对一、二试各种题型的数目,以及评分标准作出明确的规定,使

初中联赛的试卷走向规范化。全国高中数学联赛,承办方式与初中联赛

相同,每年10月举行,分为一试和二试,在这项竞赛中取得优异成绩

的全国约90名学生有资格参加由中国数学会主办的中国数学奥林匹克

(CMO)暨全国中学生数学冬令营(每年元月)。

4.中国数学奥林匹克(CMO)

中国数学奥林匹克(全国中学生数学冬令营)是在全国高中数学联

赛的基础上进行的一次较高层次的数学竞赛。1985年,由北京大学、

南开大学、复旦大学和中国科技大学四所大学倡议,中国数学会决定,

自1986年起每年一月份举行全国中学生数学冬令营。从1990年开始,

冬令营设立了陈省身杯团体赛。从1991年起,全国中学生数学冬令营

被正式命名为中国数学奥林匹克(ChineseMathematicalOlympiad,

简称CMO)。它成为中国中学生最高级别、最具规模、最有影响的数学

竞赛。

5.国际数学奥林匹克(IMO)

在中学里进行数学竞赛有着悠久的历史,一般认为始于1894年由匈牙

利数学界为纪念数理学家厄特沃什-罗兰而组织的数学竞赛。而把数学

竞赛与体育竞赛相提并论,与科学的发源

地———古希腊联系在一起的是前苏联,她把数学竞赛称为数学奥林

匹克。20世纪上半叶,不同国家相继组织了各级各类的数学竞赛,先

在学校,继之在地区,后来在全国进行,逐步形成了金字塔式的竞赛系

统。从各国的竞赛进一步发展,自然为形成最高一层的国际竞赛创造了

必要的条件。1956年罗马尼亚数学家罗曼教授提出了倡议,并于1959

年7月在罗马尼亚举行了第一次国际奥林匹克数学(International

MathematicalOlympiad简称IMO),当时只有保加利亚、捷克斯洛伐

克、匈牙利、波兰、罗马尼亚和苏联参加。以后每年举行(中间只在

1980年断过一次),参加的国家和地区逐渐增多,目前参加这项赛事

的代表队有90余支。经过40多年的发展,国际数学奥林匹克的运转逐

步制度化、规范化,有了一整套约定俗成的常规,并为历届东道主所遵

循:

目的:激发青年人的数学才能;引起青年对数学的兴趣;发现科技人才

的后备军;促进各国数学教育的交流与发展。

时间:每年举办一届,时间定于7月(今年7月将在越南举办第48届

IMO)。

主办:由参赛国轮流主办,经费由东道国提供。

对象:参赛选手为中学生,每支代表队有学生6人,另派2名数学家为

领队。

试题:试题由各参赛国提供,然后由东道国精选后提交给主试委员会表

决,产生6道试题。

东道国不提供试题。试题确定之后,写成英、法、德、俄文等工作语

言,由领队译成本国文字。

考试:考试分两天进行,每天连续进行4.5小时,考3道题目。同一

代表队的6名选手被分配到6个不同的考场,独立答题。答卷由本国领

队评判,然后与组织者指定的协调员协商,如有

分歧,再请主试委员会仲裁。每道题7分,满分为42分。

奖励:竞赛设个人一等奖(金牌:28-42分)、二等奖(银牌:19-

27分)、三等奖(铜牌:15-18分)和表扬奖(7-14分)(参见

最新第47届IMO2006比赛结果)。

我国第一次参加国际数学奥林匹克是在1985年,到2006年为止,我国

共参加了21届并获得了骄人的成绩(见表1)。从表1可以看到,我

国在1985年到2006年期间所参加的21届IMO中,共得14次团体第

一;3次团体第二;团体第四、六、八和三十二(非正式参赛)各1

次。可见我国是名副其实的IMO强国。

第3节竞赛选手的选拔和培训

竞赛数学介绍

(一)竞赛数学的基本特征

竞赛数学诞生以来,个性鲜明,别具特色。总结竞赛数学的内容与

方法,可发现它具有明显的知识性、趣味性和竞技性,归纳为四个基本

特征:

1.竞赛数学是一种“中间数学”。

竞赛数学介乎于中小学数学与大学数学之间;竞赛数学介乎于学校数学

与研究数学之间;竞赛数学介乎于严肃数学与趣味数学之间。所以说它

是一种“中间数学”。

2.竞赛数学是“前沿数学”。

竞赛数学追求内容的新颖性、方法的创造性和问题的研究性;它不断推

陈出新,代表着活的数学;既为古老问题带来新生,更为新鲜课题提供

阵地。所以说它是“前沿数学”。

3.竞赛数学称得上为“艺术数学”。

竞赛数学在解题时注重技巧性、艺术性,希望解法上能体现美、新、

奇、简。如果说数学是思维活动的体操,那么竞赛数学便是思维活动的

艺术体操。所以说它是“艺术数学”。

4.竞赛数学是一种教育数学。

竞赛数学本能地展示数学思想,生动地普及数学文化,大胆地剖析数学

结构,因而具有很高的教育价值。所以说它是一种“教育数学”。

(二)竞赛数学教育的意义

竞赛数学教育是以问题解答为基本形式,以竞赛数学为主要内容,以开

发智力为根本目的且带有综合教育功能的数学教育。其意义有如下四

点:

1.竞赛数学教育是较高层次的基础教育。

竞赛数学教育的对象主要是中小学生,教育载体是中小学生可以接受的

竞赛数学内容。但其内容、方法常带有大学的高等背景,教练也常由大

学教师、数学家出任。所以说它是较高层次的

基础教育。

2.竞赛数学教育是开发智力的素质教育。

数学竞赛与其说是知识竞赛,倒不如说是智力竞赛,所以竞赛数学教育

也只能是实施智能教育和素质教育;竞赛数学教育虽然把选拔尖子人才

作为一项直接目的,但它更重要、更深刻的目

的是在竞赛的培训和选拔、推广和深入的过程中,使广大青少年得到思

维上的训练与提高,得

到数学真与美的感染与熏陶,感知数学的力量和作用。所以说竞赛数学

教育是真正意义下的素质教育。

3.竞赛数学教育是生动活泼的业余教育。

竞赛数学教育不占据“第一课堂”,师生可以灵活机动地安排教学计

划、教学任务和教学形式;在开放、自由、广阔、愉悦的大环境中,师

生角色随时可以互换,能者为师。所以说竞赛数学教育是生动活泼的业

余教育。

4.竞赛数学教育是现代数学的普及教育。

竞赛数学教育最深刻的历史作用是普及了数学文化,它把高等背景的现

代数学初等化、特殊化、具体化、通俗化、趣味化和实用化,为中小学

生搭桥铺路,引导他们看到“今天的数学”和“数学的今天”。所以说

竞赛数学教育是现代数学的普及教育。

(三)竞赛数学的原理和方法

竞赛数学的原理包括有抽屉原理、容斥原理、排序原理、加法原理和乘

法原理、极端原理、相似原理、对称原理、数学归纳法原理、不动点原

理、关系-映射-反演原理等重要的解题原理;而竞赛数学的方法则包

括有奇偶性分析方法、同余方法、递归方法、一一对应方法、组合方

法、生成函数方法、分类与染色方法、组合几何计数方法、解析几何方

法、复平面方法、几何变换方法、构造性解题方法、数形结合法、逻辑

方法、局部调整法、赋值法、逆反转换方法、无穷递降法、待定系数法

等重要的解题方法。