六年级上册数学讲义-牛吃草问题-人教版(含答案)
2023年9月8日发(作者：感谢师恩手抄报内容)
欲速则不达告诉我们一个什么道理-
牛吃草问题
课程目标
1. 理解牛吃草这类题目的本质和解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路。
2. 初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系。
课程重点
1.
掌握牛吃草问题的解题思路；
2.
掌握变式的牛吃草问题与牛吃草问题的区别与联系。
课程难点
教学方法建议
1.
会正确熟练解不同类型的牛吃草问题，出其中不同的部分。
2.
掌握变式的牛吃草问题的区别与联系。
使学生理解基本牛吃草问题的解题思路及方法，同时学会类比出同类题型。
一、知识梳理
英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．
“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．
解“牛吃草”问题的主要依据：
① 草的每天生长量不变；
② 每头牛每天的食草量不变；
③ 草的总量
草场原有的草量 新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值
④ 新生的草量
每天生长量 天数．
二、方法归纳
同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：
⑴设定 1 头牛 1 天吃草量为“1”；
⑵草的生长速度
(对应牛的头数 较多天数
对应牛的头数 较少天数) (较多天数
较少天数)； ⑶原来的草量
对应牛的头数 吃的天数
草的生长速度 吃的天数； ⑸牛的头数
原来的草量 吃的天数 草的生长速度．
“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．
三、课堂精讲
（一）、草匀速增长，不同头数的牛吃同一片次的草：
例 1. 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧草可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头
牛吃 10 天，那么，供 25 头牛吃多少天？
【规律方法】掌握牛吃草问题的解题步骤及解题思路。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】 A
1. 牧场上有一片牧草，供 24 头牛 6 周吃完，供 18 头牛 10 周吃完。假定草的生长速度不变，那么供 19 头牛几周吃完？
2. 牧场上有一片匀速生长的草地，可供 27 头牛吃 6 周，或供 23 头牛吃 9 周，那么它可供多少头牛吃 18 周？
头牛吃几周？
例 2．一片牧草，每天生长的速度相同，现在这片牧草可供 16 头牛吃 20 天，或者可供 80
只羊吃 12 天，如果 1 头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量，那么 10 头牛与 60 只羊一起吃可吃多少天？
【规律方法】理解把两种不同动物的吃草量转化为同一种动物的吃草量。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】 B
4.
一片牧草，每天生长的速度相同。现在这片牧草可供 20 头牛吃 12 天，或可供 60 只羊
吃 24 天。如果 1 头牛的吃草量等于 4 只羊的吃草量，那么 12 头牛与 88 只羊一起吃可以吃几天？
将草吃完（4 只羊 1 天的吃草量相当于 1 头牛 1 天的吃草量），那么，17 头牛和 20 只羊多少天可将草吃完？
例 3．一水库存水量一定，河水均匀入库。5 台抽水机连续 20 天可抽干；6 台同样的抽水机连续 15 天可抽干。若要求 6 天抽干，需要多少台同样的抽水机?
【规律方法】掌握牛吃草问题的变形，会类比牛吃草问题解决问题。
【搭配课堂训练题】
【难度分级】 B
6.一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果用 12
人舀水，6 分钟可以舀完。如果只有 5 人舀水，要 20 分钟才能舀完。现在要想 2 分钟舀完，需要多少人？
例 4．某超市平均每小时有 60 人排队付款，每一个收银台每小时能应付 80 人，某天某时
段内，该超市只有一个收银台工作，付款开始 4 小时就没有顾客排队了，如果当时有
两个收银台工作，哪么付款开始几小时后就没有人排队了？
【搭配课堂训练题】
【难度分级】 B
8. 画展 9 点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样
多，如果开 3 个入场口，9 点 9 分就不再有人排队；如果开 5 个入场口，9 点 5 分就没有人排队。求第一个观众到达的时间？
【搭配课堂训练题】
【难度分级】 B
9. 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。如果牧场上的草可供 20 头牛吃 5 天，或者供 15 头牛吃 6 天，那么可供多少头牛吃 10 天？
（三）、草匀速增长，不同头数的牛吃同不同片草地的草
例 6．有三块草地，面积分别是 5 公顷，15 公顷和 24 公顷。草地上的草一样厚而且长得一样快。第一块草地可供 10 头牛吃 30 天；第二块草地可供 28 头牛吃 45 天。那么第三块草
地可供多少头牛吃 80 天？
【规律方法】掌握草匀速增长，不同头数的牛吃同不同片草地的草的题型的解决方法。
等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？
11. 牧场有三块草地,面积分别是 4、8、12 公亩,草地上的草一样密,生长一样快.第一块地可供 10 只小梅花鹿吃 15 天,第二块地可供 14 只小梅花鹿吃 25 天,第三块地可供 15 只小梅花鹿吃多少天?
2.
林子里有猴子喜欢吃的野果，23 只猴子可在 9 周内吃光，21 只猴子可在 12 周内吃光，
问如果 33 只猴子一起吃，需要几周吃完？（假定野果生长的速度不变）
3. 一片茂盛的草地，每天的生长速度相同，现在这片青草 16 头牛可吃 15 天，或者可供100 只羊吃 6 天，而 4 只羊的吃草量相当于 l 头牛的吃草量，那么 8 头牛与 48 只羊一起吃，可以吃多少天?
5. 画展 8 点开门,但早有人来排队入场,从第一个观众来到时起,若每分钟来的观众一样多,
如果开 3 个入场口,8 点九分就不再有人排队。如果开 5 个入场口,8 点 5 分就没有人排队。第一个观众到达的时间是多少？
6. 一牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供 17 头牛吃 30 天，或供 19 头牛吃 24
天。现有一牛，吃了 6 天后卖掉 4 头，余下的牛又吃了 2 天将草吃完，这牛原来有多少头？
8. 有三块草地，面积分别为 4 公顷、8 公顷和 10 公顷。草地上的草一样厚，而其长得一样快。第一块草地可供 24 头牛吃 6 周，第二块草地可供 36 头牛吃 12 周。问：第三块草地可供 50 头牛吃几周？
2.
有两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走。男孩每秒可以走 3 梯级，女孩每秒可
以走 2 级梯级，结果从附扶梯的一端到达另一端，男孩走了 100 秒，女孩走了 300 秒。请问：该扶梯共有多少级梯级？
3.
天山草场，假设每天草都均匀生长。这片草场经过测算可供 100 只羊吃 200 天，或可供
150 只羊吃 100 天。问：如果放牧 250 只羊可以吃多少天？放牧这么多羊对吗？为防止草场沙化，这片草场最多可以放牧多少只羊？
5.
经测算，地球上的资源可供 100 亿人生活 100 年，或可供 80 亿人生话 300 年.假设地球新生的资源增长的速度是一定的，为使人类有不断发展的潜力，地球最多能养活多少人?
6. 某火车站的检票口开始检票前已有 945 名旅客排队等待检票。此时，每分钟还有固定的若
干人前来进口处准备进站。如果开放 4 个检票口，15 分钟可放完旅客；如果开放 8 个检票口，7 分钟可以放完旅客。照此放人的速度，现要想在 5 分钟内放完所有旅客，需要开放几个检票口？
8. 一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15 天将草吃尽；如果让马和羊去吃，20 天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30 天将草吃尽。已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量。现在让马、牛、羊一起去吃草，几天可以将这片牧草吃尽？
9.（2016 年第二十一届“华赛杯”决赛）有一片草场，10 头牛 8 天可以吃完草场上的草；
15 头牛，如果从第一天开始每天少一头，可以 5 天吃完。那么草场上每天都长出来的草够
头牛吃一天。
原有草量(10－5)×20=100 或 200－5×20=100．
25 头牛分两组，5 头去吃生长的草，其余 20 头去吃原有的草那么 100÷20=5(天)
答：可供 25 头牛吃 5 天.
【搭配课堂训练题】
1.设 1 头牛吃一周的草量的为一份.
(1)24 头牛吃 6 周的草量24 6 144
(份)
(2)18 头牛吃 10 周的草量1810 180
(份)
(3)（10 - 6）周新长的草量180 -144 36
(份)
(4)每周新长的草量36 （10 - 6） 9
(份)
(5)原有草量24 6 - 9 6 90
(份)或1810 - 910 90
(份)
(6)全部牧草吃完所用时间
不妨让 19 头牛中的 9 头牛去吃新长的草量,剩下的 10 头牛吃原有草量,有
90 （19 - 9） 9
(周)
答：供 19 头牛吃 9 周.
2.如果每 1 头牛 1 周吃草 1 份,则
27 头牛 6 周吃 27×6=162 份
23 头牛周天吃 23×9=207 份
所以牧场每周长新草(207-162)÷(9-6)=15 份原来牧场有草 162－15×6=72 份
18 周共有草 15×18+72＝342 份
342÷18＝19 头
答：可供 19 头牛吃 18 周 =15（份）；
草地原有的草的份数：
27×6-15×6，
=162-90，
=72（份）；
每周生长的 15 份草可供 15 头牛去吃，那么剩下的 21-15=6 头牛吃 72 份草：
72÷（21-15），
=72÷6，
=12（周）；
答：这片草地可供 21 头牛吃 12 周．
例 2 设每头牛每天吃草 1 份，把羊的只数转化为牛的头数为：
80÷4=20（头），60÷4=15（头）；
草每天生长的份数：
（16×20-20×12）÷（20-12），
=（320-240）÷8，
=80÷8，
=10（份）；
草地原有的草的份数：
（16-10）×20=120（份）；
10 头牛和 60 只羊就相当于有牛：10+15=25（头）；所吃天数为：
120÷（25-10），
=120÷15，
=8（天）；
答：10 头牛和 60 只羊一起能吃 8 天． （15×24-20×12）÷（24-12）
=（360-240）÷12
=120÷12
=10（份）
草地原有的草的份数：
（20-10）×12=120（份）
12 头牛和 88 只羊就相当于有牛：12+22=34（头）；所吃天数为：
120÷（34-10）
=120÷24
=5（天）
答：12 头牛和 88 只羊一起能吃 5 天
5.
设一头牛一天的吃草量为 1 份，
那么 70 只羊，20 只羊转化成牛的头数是：
70÷4=17.5（头），20÷4=5（头）；
草每天的生长速度是：
（14×30-17.5×16）÷（30-16），
=140÷14，
=10（ 份 ），
原有的草是：
14×30-30×10=120（份），
那么 17 头牛和 20 只羊也就相当于牛的头数是：
17+5=22（头）；
那么每天生长的 10 份的草就够 22 头牛中的 10 头牛吃的，剩下的牛去吃 120 份需要的天数是：
120÷（22-10），
例 3 1 台抽水机 1 天抽水量为 1，
河水每天均匀入库量：（20×5-15×6）÷（20-15），
=10÷5，
=2，
水库原有存水量：20×5-2×20=60，
6 天抽干，需要同样的抽水机的台数：（60+2×6）÷6，
=72÷6，
=12（台），
答：6 天抽干，需要 12 台同样的抽水机，
【搭配课堂训练题】
6.
设每人每分钟舀的水是 1 份。
12 人 6 分钟：12 6 72
份
5 人 20 分钟：
5 20 100
份
也就是20 - 6 14
分钟进水量为100 - 72 28
份进水速度：
28 14 2
份每分钟
初始进水量为72 - 6 2 60
份
要 2 分钟舀完，总工作量：
60 2 2 64
份
需要人数：
64 2 32
人
答：需要 32 人舀水。
7.
设一部抽水机 1 小时的抽水量为 1 份
泉水每小时涌进进的量为：(10×20－15×10)÷(20－10)=5(份)
例 4 80×4-4×60=80（人） ，已经有 80 人在排队
设
x
小时后没有顾客排队，根据题意可得方程：
80×2×
x
=80+60
x
，
100
x
=80，
x
=0.8，
答：付款开始 0.8 小时就没有排队的人了．
【搭配课堂训练题】
8.
设每个入场口每分钟能进入的观众为 1 份.
如果开三个入场口,从 8 点到 8 点 9 分进入的观众数是:
3分）
如果开五个入场口
,从 8 点到 8 点 5 分进入的观众数是:
9
5
分）
5 5 2（7
每分钟来的观众数为（27 - 25）
（9 - 5） 0.（5 分）
8 点前来的观众数是：
25 - 5 0.5 22.（5 分）
这些观众来到需要：
22.5 0.5 4（5
分）
∵,8 点- 45
分钟=7 点 15 分
答：第一个观众到达时间是 7 点 15 分例 5 假设每头牛每天吃青草 1 份，
青草的减少速度为：
(20×5-16×6)÷(6-5)，
=4÷1， =12(份)；
那么 11 头牛每天吃青草 11 份，青草每天减少 4 份，可以看作每天有（11+4）头牛
吃草，草地原有的 120 份草，可吃：
120÷(11+4)，
=120÷15，
=8(天)；
答：可供 11 头牛吃 8 天.
【搭配课堂训练题】
9.
每头牛吃草的速度一样,假设一头牛一天吃单位 1 的草草以每天 y 的速度在减少
则吃 5 天时：
20 51 5y 15 61 6 y
解得：
y 10
;
又草原总的草数为:
20 51 y 5 150
可供吃 10 天的牛数为：
150 -10 y
5
10
答：可供 5 头牛吃 10 天。
例 6 设每头牛每天的吃草量为 1，则每公顷 30 天的总草量为：10×30÷5＝60； 每公顷 45 天的总草量为：28×45÷15＝84；
那么每公顷每天的新生长草量为：(84-60)÷(45-30)=1.6；
每公顷原有草量为：60-1.6×30=12；
那么 24 公顷原有草量为：12×24＝288；
【搭配课堂训练题】
10.每公顷牧场每天草的生长量：
设 1 头牛 1 天吃 1 份牧草，则：(21×63÷30-12×28÷10)÷(63-28)=0.3(份)
每公顷牧场的原有草量：
21×63÷30-0.3×63=25.2(份)
72 公顷牧场 126 天可提供牧草：
(25.2＋ 0.3×126)×72=4536(份)
可供多少头牛吃 126 天：
4536÷126=36(头)
答：可供 36 头牛吃 126 天.
11. 假设每只小鹿每天吃草 1 份
第二块面积是第一块的 8÷4=2 倍
可供 10×2=20 只小鹿吃 15 天
20 只小鹿,15 天吃草 20×15=300 份
14 只小鹿,25 天吃草 14×25=350 份第二块地,
每天长草:(350-300)÷(25-15)=5 份
原来有草:300-5×15=225 份
第三块地,面积是第二块的 12÷8=1.5 倍每天长草:5×1.5=7.5 份
原来有草:225×1.5=337.5 份
可供 15 只小鹿吃:337.5÷(15-7.5)=45 天
每天长草:(450-406)÷(9-7)=22 份
草地原来有草:406-22×7=252 份
可供 252÷6+22=64 头牛吃 6 天
答：可供 64 头牛吃 6 天。
2.把每只猴吃一周的野果数量视为 1 份
23 只猴 9 周吃掉 23×9=207 份
21 只猴 12 周吃掉 21×12=252 份
那么 12 周与 9 周时间相差的 252-207=45 份就是 12-9=5 周新长的
则每周新长（252-207）÷（12-9）=15 份
原来一开始吃之前已经有 207-15×9=72 份
把 33 只猴分成 2 批,一批每周去吃新长出来的,一批去吃原来就有的 72 份,
当把原有的 72 份都吃光的同时刚好另一批把新长的也吃光.
72÷（33-15）=4 周吃光
答：需要 4 周吃完。
3.100÷4=25 头
100 只羊吃 6 天=25 头牛吃 6 天令 每 头 牛 每 天 吃 草 为 1
16×15×1=240
25×6×1=150
每天草产出：（240-150）÷（15-6）=10
原来有草：240-15×10=90
48÷4=12 头
48 只羊相当于 12 头牛 4.
设 1 个检票窗口 1 分钟检票 1 个单位.
则每分钟产生的旅客：（30×4-20×5）÷（30-20）=2 单位
在检票开始前有旅客：30×4-30×2=60 单位所以开 7 个检票窗口需：60÷（7-2）=12 分钟.
答：需要 12 分钟检完。
5.
设每个入场口每分钟能进入的观众为 1 份.
从 9 点到 9 点 9 分进入的观众数是：
3x9=27(份）
从 9 点到 9 点 5 分进入的观众数是：
5x5=25(份）
9 点前来的观众数是：
（27-25）
（9-5）=0.5（份）
每分钟来的观众数为：
27-9
0.5=22.5（份）
或：25-5
0.5=22.5 (份）
这些观众来到需要：
22.5
0.5=45（分钟）
9 点-45 分钟=8 点 15 分
答：第一个观众到达时间是 8 点 15 分
6.
按一头牛一天吃草的量为单位 1
30 天草的总量为：30
17=510（表示可供 510 头牛吃 1 天的量）
24 天草的总量为：24
19=456（表示可供 456 头牛吃 1 天的量）
24 天到 30 天,草 6 天生长的量为：510-456=54（表示草可供 54 头牛吃 1 天的量） 所以 8 天草的总量为=原来的草+8 天里生长的草=240+9
8=312（表示可供 312 头牛吃 1 天的量）
假如后 2 天 4 头牛没有卖掉,它门会吃掉的量将是 4
2=8
所以这牛的总头数为：（312+8）÷8=40（头）
7.一只蜗牛恰好用 5 个昼夜到达井底，白天爬;
20x5=100（分米）
另一只蜗牛恰好用 6 个昼夜到达井底，白天爬：
15
6=90(分米）
黑夜里往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的。说明，每夜下滑：
100-90=10（分米）
那么井深就是：
(10+20)
5=150(分米）=15 米或： （15+10）
6=150(分米）=15 米
答：井深 15 米。
8.设一头牛一周吃草量为 1 份
第一块的 24 头牛 6 周吃总草量：1×24×6=144（份）
第二块的 36 头牛 12 周吃总草量：1×36×12=432（份）
1 公顷一周新生草量：(432÷8-144÷4)÷(12-6)=3（份）
1 公顷原有草量：（144-3×4×6）÷4=18（份）
10 公顷一周新生草量：3×10=30（份）
10 公顷原有草量：18×10=180（份）
50 头牛分工：30 头牛专吃新生草，剩余 20 头牛专吃原有草。
所以可供 50 头牛吃：180÷20 =9（周）。 12 人 3 小时舀水=12×3=36 份；
8 人 5 小时舀水=8×5=40 份；
每小时漏进船的水=(40-36)÷(5-3)=2 份；
原来船内就有的水=36-3×2=30 份；
2 小时漏进船的水=2×2=4 份
要 2 小时舀完水,需要的人数=(30+4)÷2=17 人答：要 2 小时舀完水，需要 17 个人。
2.
扶梯每秒自动下降：
[（300×2）-（3×100）]÷（300-100）
=[600-300]÷200，
=300÷200，
=1.5（级）． 该扶梯共有： 300-100×1.5
=300-150，
=150（级）．
答：扶梯共有 150 级扶梯．
3.
根据题意可得：每只羊每天吃草量为 1 份；
新生草量：（100×200-150×100）÷（200-100）=50（份）；
原有草量：100×200-50×200=10000（份）；
250 只羊可吃：10000÷（250-50）=50（天）；
放牧这么多羊不对． 最多放牧 50 只羊，因为每天新增草 50 份，刚好够 50 只羊吃． 36÷3=12（头）
草每天生长的份数：
18×40-24×25）÷（40-25）
=120÷15
=8（份）
草地原有的草的份数：
（18-8）×40=400（份）
16 天吃完，需要牛的头数是：
（400+8×16）÷16=33（头）
（33-17）×3
=16×3
=48（只）
答：这片草地让 17 头牛与 48 只羊一起吃，刚好 16 天吃完．
5.100×100=10000（份），
80×300=24000（份），
24000-10000=14000（份），
14000÷200=70（亿人），
答：地球最多能养活 70 亿人．
6.设每个窗口,每分钟可以通行的旅客为 1 份
4 个窗口,15 分钟可通行：4×15=60 份
8 个窗口,7 分钟可通行：8×7=56 份相差 60-56=4 份
这 4 份,就是 15-7=8 分钟来排队的人 每分钟通行：55÷5=11 份需要开 11 个检票口
7.设每头牛每天吃草为 1 份
则：30×6×1=180 份
5×40×1=200 份
则草每天生长：（200-180）÷（40-30）=2 份原来有草：180-30×2=120 份
4 天后有草：120+2×30-4×30×1=60 份
还能吃：
60 ÷（
4 + 2）×1- 2= 15天
8.设马每天吃的草为 1 份
牛羊 30 天吃完,相当于马 30 天吃完
一共吃了 30 份即：
原有牧草+30 天长出牧草=30 份（1）
牛马 15 天吃完,则：
原有牧草+15 天长出牧草=15 份+牛 15 天吃草与（1）比较,得：
15 天长出牧草=15 份-牛 15 天吃草
1 天长出牧草=1 份-牛 1 天吃草
马羊 20 天吃完,则：
原有牧草+20 天长出牧草=20 份+羊 20 天吃草与（1）比较,得： 牛马 15 天,一共吃草：
(2+3)
15=75 份
马羊 20 天,一共吃草：
(1+3)
20=80 份
草地每天长草：
(80-75)
(20-15)=1 份
草地原来有草：
75-15
1=60 份
马牛羊同时吃,每天能吃：1+2+3=6 份
除了每天长出的 1 份,还要吃掉原来的：6-1=5 份吃尽需要：60
5=12 天
9.设草场原先有草 a 千克，每天长出草 x 千克，每头牛每天吃掉 y 千克，
因为 10 头牛 8 天可以吃完草场上的草，
所以
a 8x 108y
①
如果从第二天开始每天少一头，可以 5 天吃完，
所以
a 5x 15y 14 y 13y 12 y 11y
②
①-②得3x 15y
，
即
x 5 y
，
所以草场上每天长出来的草够 5 头牛吃一天。