福建省福州市四校联盟2021-2022学年高二下学期数学期末联考试卷
2023年8月18日发(作者：关于感伤的句子大全)
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福建省福州市四校联盟2021-2022学年高二下学期数学期末联考试卷
阅卷人
一、单选题(共8题；共16分)
得分
1．（2分）已知集合𝑀={𝑥∣𝑦=√2−𝑥}，𝑁={𝑥∣−2<𝑥<3}，则𝑀∩𝑁=（ ）
A．{𝑥∣−3<𝑥≤2}
C．{𝑥∣−2<𝑥≤2}
【答案】C
B．{𝑥∣−3<𝑥<2}
D．{𝑥∣−2<𝑥<2}
【解析】【解答】∵𝑀={𝑥∣𝑦=√2−𝑥}={𝑥|𝑥≤2}，𝑁={𝑥∣−2<𝑥<3}
𝑀∩𝑁={𝑥∣−2<𝑥≤2}
故答案为：C
【分析】化简求出集合M，再利用交集的定义进行运算可得答案.
2．（2分）若复数z满足𝑧=(1−2𝑖)⋅𝑖，则复平面内z对应的点位于（ ）
A．第一象限
【答案】A
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】【解答】由题意𝑧=(1−2𝑖)·𝑖=2+𝑖
，在复平面上对应的点为(2，1)
，在第一象限；
故答案为：A.
【分析】
根据复数代数形式的乘法法则化简复数z，再根据复数与复平面内对应点之间的关系，求得复数对应点的坐标，可得答案.
3．（2分）“𝑚>𝑛>0”是𝑚2>𝑛2的（ ）
A．充分不必要条件
C．必要不充分条件
【答案】A
B．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【解析】【解答】若𝑚>𝑛>0，则𝑚2>𝑛2，反过来，若𝑚2>𝑛2，只能推出|𝑚|>|𝑛|，不一定𝑚>𝑛>0，例如(−2)2>12，此时m＜n，所以“𝑚>𝑛>0”是𝑚2>𝑛2的充分不必要条件.
故答案为：A
【分析】根据等式的性质，结合充分条件、必要条件的定义，可得答案.
1 / 19 4．（2分）函数𝑦=√log2(3𝑥−2)的定义域是（ ）
A．(−∞，2)
3【答案】D
B．(2，+∞)
3C．(2，1]
3D．[1，+∞)
【解析】【解答】由题意log2(3𝑥−2)≥0，3𝑥−2≥1，𝑥≥1．
故答案为：D．
【分析】根据偶次根号下的被开方数大于等于零，对数的真数大于零，列出不等式组，求解可得答案.
5．（2分）函数f（x）＝sinx﹣√3cosx（x∈[﹣π，0]）的单调递增区间是（ ）
A．[﹣π，﹣5𝜋]
6𝜋C．[﹣3，0]
【答案】D
𝜋B．[﹣5𝜋，﹣6]
6𝜋D．[﹣6，0]
𝜋【解析】【解答】由题意得，f（x）＝sinx﹣√3cosx＝2sin(𝑥−3)，
𝜋𝜋𝜋令−2+2𝑘𝜋≤𝑥−3≤2+2𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)
𝜋5𝜋解得−+2𝑘𝜋≤𝑥≤+2𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)
66𝜋所以当k=0时，在𝑥∈[−𝜋，0]上的单调区间为𝑥∈[−6，0]
𝜋∴f（x）单调递增区间是[−6，0]，
故答案为：D.
【分析】利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的增区间，求得函数f（x）单调递增区间.
6．（2分）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来1分析函数的图象的特征，如函数𝑓(𝑥)=𝑥−sin𝑥的图像大致是（ ）
2 2 / 19 A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】【解答】𝑓(−𝑥)=111(−𝑥)−sin(−𝑥)=−𝑥+sin𝑥=−(𝑥−sin𝑥)=−𝑓(𝑥)
222则函数𝑓(𝑥)在𝑅上为奇函数，故排除B、D.
𝜋11𝑓′(𝑥)=2−cos𝑥，当𝑥∈(0，3)时，cos𝑥>2，即𝑓′(𝑥)<0
𝜋所以函数𝑓(𝑥)在区间(0，3)上单调递减，故排除C
故答案为：A
𝜋【分析】由判断函数f (x)的奇偶性以及利用导数得出区间(0，3)的单调性，逐项进行判断，可得答案.
7．（2分）已知
𝑥>0
，
𝑦>0
，
𝑥+2𝑦=1
，则
(𝑥+1)(𝑦+1)
的最小值为（ ）
𝑥𝑦 3 / 19 A．4+4√3
【答案】C
B．12
C．8+4√3
D．16
【解析】【解答】因为
𝑥>0
，
𝑦>0
，
𝑥+2𝑦=1
，
22√22所以
(𝑥+1)(𝑦+1)=(𝑥+𝑥+2𝑦(𝑦+𝑥+2𝑦)=(2𝑥+2𝑦)(𝑥+3𝑦)=2𝑥+6𝑦+8𝑥𝑦≥22𝑥⋅6𝑦+8𝑥𝑦=8+𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦𝑥𝑦4√3
，
当且仅当
2𝑥2=6𝑦2
，即
𝑥=2√3−3，𝑦=2−√3
时，等号成立．
故答案为：C．
【分析】利用已知条件结合均值不等式求最值的方法，进而求出
(𝑥+1)(𝑦+1)
的最小值
。
𝑥𝑦8．（2分）已知m，n表示两条不同直线，
𝛼
表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若
𝑚//𝛼,𝑛//𝛼,
则
𝑚//𝑛
B．若
𝑚⊥𝛼
，
𝑛⊂𝛼
，则
𝑚⊥𝑛
C．若
𝑚⊥𝛼
，
𝑚⊥𝑛
，则
𝑛//𝛼
D．若
𝑚//𝛼
，
𝑚⊥𝑛
，则
𝑛⊥𝛼
【答案】B
【解析】【解答】线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，B符合题意.
故答案为：B。
【分析】利用已知条件结合线线平行的判断方法、线线垂直的判断方法、线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，从而求出说法正确的选项。
阅卷人
二、多选题(共4题；共8分)
得分
5𝜋的值相等的是（ ）
69．（2分）下列选项中，与sin𝜋A．cos(−3)
B．cos18°cos42°−sin18°sin42°
C．2sin15°sin75°
D．tan30°+tan45°
1−tan30°tan45°【答案】A,B,C
4 / 19 51【解析】【解答】因为sin𝜋=，
62𝜋𝜋1cos(−3)=cos3=2，A符合题意，
1cos18°cos42°−sin18°sin42°=cos(18°+42°)=cos60°=2，B符合题意，
12sin15°sin75°=2sin15°cos15°=sin30°=2，C符合题意，
tan30°+tan45°1D，不符合题意.
=tan(30°+45°)=tan75°>21−tan30°tan45°故答案为：ABC.
【分析】
结合诱导公式及和差角，二倍角公式，逐项进行化简判断，可得答案.
10．（2分）有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲
78795491074
乙
9578768677
在这次射击中，下列说法正确的是（ ）
A．甲成绩的极差比乙成绩的极差大
B．甲成绩的众数比乙成绩的众数大
C．甲的成绩没有乙的成绩稳定
D．甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大
【答案】A,C
【解析】【解答】由题意可知，对于A，甲成绩的极差为10−4=6，乙成绩的极差为9−5=4，
所以甲成绩的极差比乙成绩的极差大，A符合题意；
对于B，甲成绩的众数为7，乙成绩的众数为7，所以B不符合题意；
对于C，甲成绩的平均数为7+8+7+9+5+4+9+10+7+4=7，
100+1+0+4+4+9+4+9+0+9方差为=4，
10乙成绩的平均数为9+5+7+8+7+6+8+6+7+7=7，
10方差为4+4+0+1+0+1+1+1+0+0=1.2，
10则甲成绩的方差小于乙成绩的方差，即甲的成绩没有乙的成绩稳定，C符合题意；
对于D，甲成绩的中位数为7，乙成绩的中位数为7，D不符合题意.
故答案为：AC.
5 / 19
【分析】根据题意由极值差、众数以及中位数的公式，代入数值计算出结果，由此对选项逐一判断即可得出答案。
11．（2分）已知四边形ABCD为正方形，GD∈平面ABCD，四边形DGEA与四边形DGFC也都为正方形，连接EF，FB，BE，H为BF的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．DE∈BF
C．EC∈平面DBF
【答案】A,B,C
【解析】【解答】由题意得，所得几何体可以补形成一个正方体，如图所示．
𝜋B．EF与CH所成角为3
𝜋D．BF与平面ACFE所成角为4
以D为坐标原点，DA，DC，DG所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
设AD＝DC＝DG＝2，
则D(0，0，0)，C(0，2，0)，E(2，0，2)，F(0，2，2)，B(2，2，0)，H(1，2，1)．
对A，𝐷𝐸=(2，0，2)，𝐵𝐹=(−2，0，2)，所以𝐷𝐸⋅𝐵𝐹=(2，0，2)⋅(−2，0，2)=−4+0+4=0，
则𝐷𝐸⊥𝐵𝐹⇒𝐷𝐸⊥𝐵𝐹，正确；
→→𝜋对B，𝐸𝐹=(−2，2，0)，𝐶𝐻=(1，0，1)，设𝐶𝐻，𝐸𝐹所成角为𝜃，𝜃∈(0，2]，
→→→→→→𝐸𝐹⋅𝐶𝐻1𝜋所以cos𝜃=|cos<𝐸𝐹，𝐶𝐻>|=|→→|=2⇒𝜃=3，正确；
|𝐸𝐹||𝐶𝐻|→→→→对C，𝐸𝐶=(−2，2，−2)，𝐷𝐵=(2，2，0)，𝐷𝐹=(0，2，2)，
→→→ 6 / 19 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
=2𝑥+2𝑦=0⃗
⋅𝐷𝐵𝑛→设𝑛=(𝑥，𝑦，𝑧)是平面DBF的一个法向量，所以{，
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⋅𝐷𝐹=2𝑦+2𝑧=0𝑛→→令x=1，则𝑛=(1，−1，1)，所以𝐸𝐶=−2𝑛⇒𝐸𝐶//𝑛，则EC∈平面DBF，正确；
→→→对D，由题意，EA∈平面ABCD，则EA∈DB，易得：DB∈AC，EA与AC交于A，
则DB∈平面ACFE，则𝐷𝐵=(2，2，0)是平面ACFE的一个法向量，
𝜋设BF与平面ACFE所成的角为𝛼，𝛼∈[0，2]，
1𝜋所以sin𝛼=|cos<𝐷𝐵，𝐵𝐹>|=|→→|=2⇒𝛼=6，错误.
|𝐷𝐵||𝐵𝐹|→→→𝐷𝐵⋅𝐵𝐹→→故答案为：ABC.
【分析】由题意得，所得几何体可以补形成一个正方体，以D为坐标原点，DA，DC，DG所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，通过空间向量的运算，逐项进行判断，可得答案.
12．（2分）在某社区举办的“环保我参与”有奖问答比赛活动中，甲、乙、丙3个家庭同时回答一道有关环保知识的问题，已知甲家庭回答对这道题的概率是3，甲、丙2个家庭都回答错的概率是1，412乙、丙2个家庭都回答对的概率是1，若各家庭回答是否正确互不影响，则下列说法正确的是4（ ）
A．乙家庭回答对这道题的概率为3
8B．丙家庭回答对这道题的概率为7
8C．有0个家庭回答对的概率为5
96D．有1个家庭回答对的概率为7
12【答案】A,C
【解析】【解答】记“甲家庭回答对这道题”的事件为𝐴，“乙家庭回答对这道题”的事件为𝐵，
“丙家庭回答对这道题”的事件为𝐶，则𝑃(𝐴)=3
41̅)⋅𝑃(𝐶̅)=1𝑃(𝐴[1−𝑃(𝐴)][1−𝑃(𝐶)]=12
，即{12
且有{11𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝐶)=4𝑃(𝐵)⋅𝑃(𝐶)=432解得𝑃(𝐵)=，𝑃(𝐶)=
；
83所以A符合题意，B不正确.
7 / 19 有0个家庭回答对的概率为：
̅̅̅̅̅̅)=𝑃(𝐴̅)⋅𝑃(𝐵̅)=1×5×1=5
；
̅)⋅𝑃(𝐶𝑃0=𝑃(𝐴𝐵𝐶48396所以C符合题意.
̅+𝐴̅𝐵𝐶̅+𝐴̅𝐵̅𝐶̅𝐶)
有1个家庭回答对的概率为：𝑃1=𝑃(𝐴𝐵3511311527=4×8×3+4×8×3+4×8×3=24
，所以D不正确.
故答案为：AC.
32【分析】设事件，列出方程组，解出𝑃(𝐵)=，𝑃(𝐶)=，计算有0个家庭回答对的概率和有1个83家庭回答对的概率，逐项进行判断，可得答案.
阅卷人
三、填空题(共4题；共4分)
得分
𝑥，13．（1分）函数𝑓(𝑥)={𝑒𝑥−1，【答案】𝑒2−2
𝑥<0，则𝑓(2)+𝑓(−1)=
．
𝑥≥0，【解析】【解答】∵2>0，∴𝑓(2)=𝑒2−1，
由∵−1<0，𝑓(−1)=−1，
∴𝑓(2)+𝑓(−1)=𝑒2−2.
故答案为：𝑒2−2.
【分析】
结合分段函数的解析式，分别求出f(2)与f(-1)即可求出答案.
⃗
=(1，0)，则向量𝑎⃗
满足𝑎⃗
上的投影向量14．⃗
，𝑏⃗
在𝑏（1分）已知向量𝑎⃗
=(−1，√3)，𝑏为
．
【答案】（-1，0）
⃗⃗
⋅𝑏⃗
⟩=𝑎⃗
=(1，0)
，
⃗
上的投影为|𝑎
在𝑏【解析】𝑎【解答】由题知，⃗ |cos⟨𝑎 ，𝑏，又𝑎⃗
=(−1，√3)
，𝑏⃗⃗
|𝑏|⃗⃗
⃗
=−1×1+√3×0=−1
，|𝑏⃗
|=√12+02=1
；
所以𝑎⃗
⋅𝑏⃗
⟩=−1
，即𝑎⃗
上的投影为−1
；
⃗
在𝑏所以|𝑎 |cos⟨𝑎 ，𝑏⃗
的单位向量为𝑏⃗
上的投影向量为（-1，0）
⃗
在𝑏=(1，0)
，所以𝑎又𝑏⃗⃗
|𝑏|⃗⃗
故答案为：（-1，0） .
8 / 19
⃗
上
在𝑏𝑎【分析】
求出各自的模长以及对应的夹角，再代入投影向量得计算公式求解，即可求出向量⃗的投影向量 .
𝜋15．（1分）已知函数𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜑)（𝜔>0，|𝜙|<）部分图像如图所示，𝜔=
．
2
3【答案】
24【解析】【解答】由图可知，3𝑇=7𝜋−(−5𝜋)=𝜋，即𝑇=𝜋，
4121232𝜋3所以𝜔==2.
𝑇故答案为：3
2
【分析】
由图象可求得函数的最小正周期，从而可求得𝜔.
16．（1分）函数𝑓(𝑥)=2𝑥+3𝑥−4的零点所在的区间是(𝑎，𝑎+1)则整数𝑎=
．
【答案】0
【解析】【解答】解：由题得𝑓′(𝑥)=2𝑥ln2+3>0，所以函数𝑓(𝑥)在𝑅上单调递增.
又𝑓(0)=−3<0，𝑓(1)=1>0，𝑓(0)𝑓(1)<0，
所以函数的零点在区间(0，1)内.
所以𝑎=0.
故答案为：0
【分析】求导可得函数𝑓(𝑥)在𝑅上单调性，
确定f(0)<0，f(1)>0，根据零点存在定理，可求出a的值.
阅卷人
四、解答题(共6题；共60分)
得分
17．（10分）4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读 9 / 19 的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图.
（1）（5分）求频率分布直方图中a的值，并估计1000名学生每日的平均阅读时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值）；
（2）（5分）若采用分层抽样的方法，从样本在［60，80）［80，100]内的学生中共抽取5人来进一步了解阅读情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求抽取的这2名学生来自不同组的概率.
【答案】（1）由
(0.025+00100+𝑎+0.0150+0.0100)×20=1
可得
𝑎=0.0125
；
这1000名学生每日的平均阅读时间，
10×0.05+30×0.2+50×0.25+70×0.3+90×0.2=58
分钟；
（2）由于
0.3=3
，因此，［60，80）抽取了3人a，b，c，
[80，100]
抽取了2人d，e，
0.22则再从中抽取2人共有
{𝑎𝑏，𝑎𝑐，𝑎𝑑，𝑎𝑒，𝑏𝑐，𝑏𝑑，𝑏𝑒，𝑐𝑑，𝑐𝑒，𝑑𝑒} 10种不同的抽取方法，
3抽取的2人来自不同组共有6种可能，因此抽取的2人来自不同组的概率为
.
5【解析】【分析】（1）利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再利用频率之和等于1，从而求出a的值，再利用频率分布直方图求平均数的方法，从而估计出1000名学生每日的平均阅读时间。
（2）利用已知条件结合分层抽样的方法，从而得出［60，80）抽取了3人，
[80，100]
抽取了2人，再利用古典概型求概率公式，从而求出抽取的这2名学生来自不同组的概率。
18．（10分）已知函数𝑓(𝑥)=√3sin2𝑥−2cos2𝑥+𝑚+1(𝑥∈𝑅)的最小值为-2.
（1）（5分）求实数𝑚的值；
1（2）（5分）在𝛥𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分别为𝑎，𝑏，𝑐，若𝑓(𝐴)=2，𝑐=5，cos𝐵=，7求𝐴𝐶的长.
【答案】（1）解：𝑓(𝑥)=√3sin2𝑥−2cos2𝑥+𝑚+1=−cos2𝑥+√3sin2𝑥+𝑚
𝜋=2sin(2𝑥−)+𝑚.
6∵𝑓(𝑥)的最小值为-2，∴−2+𝑚=−2，解得𝑚=0.
10 / 19 𝜋𝜋𝜋11𝜋（2）解：由𝑓(𝐴)=2得sin(2𝐴−6)=1，∵0<𝐴<𝜋，∴−<2𝐴−<，
666𝜋𝜋𝜋∴2𝐴−6=2，解得𝐴=3，
1√∵cos𝐵=，0<𝐵<𝜋，∴sin𝐵=43.
77√∴sin𝐶=sin(𝐴+𝐵)=sin𝐴cos𝐵+cos𝐴sin𝐵=53.
14𝑏5𝑏𝑐=由正弦定理，得4√35√3，得𝑏=8，即𝐴𝐶=8
sin𝐵=sin𝐶714【解析】【分析】(1)先结合二倍角及辅助角公式先对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质可求出实数𝑚的值；
(2)结合已知可求A，结合和差角求出sinC，再由正弦定理可求出b，即可得
𝐴𝐶的长.
⃗
=(cos𝑥，−sin𝑥)，函数𝑓(𝑥)=𝑎⃗
−√3 19．（10分）已知向量𝑎⃗
=(sin𝑥，√3sin(𝜋+𝑥))，𝑏 ⋅𝑏2（1）（5分）求𝑓(𝑥)的最小正周期及𝑓(𝑥)图像的对称轴方程；
𝜋（2）（5分）先将𝑓(𝑥)的图像上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移3个单𝜋5𝜋位长度得到函数𝑔(𝑥)的图像，若函数𝑦=𝑔(𝑥)−𝑚在区间[，]内有两个零点，求m的取值范66围．
⃗
−√3
，所以𝑓(𝑥)=(sin𝑥，√3sin(𝜋+𝑥))⋅(cos𝑥，−sin𝑥)−【答案】（1）解：因为𝑓(𝑥)=𝑎 ⋅𝑏2√32𝜋√√，所以𝑓(𝑥)=sin𝑥cos𝑥+√3sin2𝑥−3=1sin2𝑥−3cos2𝑥=sin(2𝑥−𝜋)， 𝑇=|𝜔|=𝜋
，由22223𝜋𝜋2𝑥−3=𝑘𝜋+2 (𝑘∈𝑍)
得𝑥=𝑘𝜋+5𝜋 (𝑘∈𝑍)
所以𝑓(𝑥)的最小正周期为𝜋，对称轴方程为𝑥=212𝑘𝜋5𝜋+12 (𝑘∈𝑍)
2𝜋𝜋5𝜋（2）解：由（1）知𝑓(𝑥)=sin(2𝑥−3)，由题知𝑔(𝑥)=sin𝑥
，函数𝑦=𝑔(𝑥)−𝑚在区间[，]
66𝜋5𝜋内有两个零点，转化为𝑦=sin𝑥 𝑥∈[，]
与𝑦=𝑚有两个交点66
11 / 19 11所以𝑚∈[，1)
，即𝑚的取值范围为[，1).
22𝜋【解析】【分析】 (1)利用诱导公式和辅助角公式可得 𝑓(𝑥)=sin(2𝑥−3)
，根据正弦函数的周期性和对称性可求出
𝑓(𝑥)的最小正周期及𝑓(𝑥)图像的对称轴方程；
(2)根据函数图象变换可得
𝑔(𝑥)=sin𝑥，将
𝑦=𝑔(𝑥)−𝑚的零点转化为y=g(x)与y=m的交点问题，利用三角函数性质可求解出 m的取值范围．
20．（10分）如图，在正四棱柱𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴1𝐵1𝐶1𝐷1中，已知𝐴𝐵=𝐴𝐷=2，𝐴𝐴1=5，E，F分别为𝐷𝐷1，𝐵𝐵1上的点，且𝐷𝐸=𝐵1𝐹=1．
（1）（5分）求证：𝐵𝐸⊥平面ACF：
（2）（5分）求点B到平面ACF的距离．
【答案】（1）证明：以𝐷为坐标原点，𝐷𝐴为𝑥轴，𝐷𝐶为𝑦轴，𝐷𝐷1为𝑧轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则𝐴(2，0，0)，𝐵(2，2，0)，𝐶(0，2，0)，𝐸(0，0，1)，𝐹(2，2，4)，
⃗
=(−2，2，0)，⃗⃗⃗⃗⃗
设面𝐴𝐶𝐹的一个法向量为𝑛⃗
=(𝑥，𝑦，𝑧)，⃗⃗⃗⃗𝐴𝐶𝐴𝐹=(0，2，4)，
⃗
=0−2𝑥+2𝑦=0⃗
⋅⃗⃗⃗⃗𝐴𝐶可得{𝑛，即{，不妨令𝑧=1则𝑛⃗
=(−2，−2，1)=⃗⃗⃗⃗⃗
𝐵𝐸，
2𝑦+4𝑧=0⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⋅𝐴𝐹=0𝑛 12 / 19 ∴𝐵𝐸⊥平面𝐴𝐶𝐹
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
=(0，2，0)，则点𝐵到平面𝐴𝐶𝐹的距离为|𝐴𝐵⋅𝑛|=4
（2）解：⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗
|3|𝑛【解析】【分析】（1）
以𝐷为坐标原点，𝐷𝐴为𝑥轴，𝐷𝐶为𝑦轴，𝐷𝐷1为𝑧轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求出BE的方向向量以及平面ACF的法向量，求出两向量数量积为0，即可证得
𝐵𝐸⊥平面ACF
；
(2)可利用空间中点到平面距离公式进行求解，可求出点B到平面ACF的距离．
121．（10分）已知函数𝑓(𝑥)=()𝑥，函数𝑔(𝑥)=log2𝑥.
2（1）（5分）若𝑔(𝑚𝑥2+2𝑥+𝑚)的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）（5分）当𝑥∈[−1，1]时，函数𝑦=[𝑓(𝑥)]2−2𝑎𝑓(𝑥)+3的最小值为1，求实数a的值.
【答案】（1）解：𝑔(𝑚𝑥2+2𝑥+𝑚)=log2(𝑚𝑥2+2𝑥+𝑚)，
∵𝑔(𝑚𝑥2+2𝑥+𝑚)的定义域为𝑅，
∴𝑚𝑥2+2𝑥+𝑚>0恒成立，
当𝑚=0时，不符合，
𝑚>0当𝑚≠0时，满足{，解得𝑚>1，
𝛥=4−4𝑚2<0∴实数m的取值范围为(1，+∞)
11（2）解：令𝑡=()𝑥，当𝑥∈[−1，1]时，𝑡∈[，2]，
221则函数𝑦=[𝑓(𝑥)]2−2𝑎𝑓(𝑥)+3化为𝑦=𝑡2−2𝑎𝑡+3=(𝑡−𝑎)2+3−𝑎2，𝑡∈[，2].
2①当𝑎>2时，
3可得当𝑡=2时y取最小值，且𝑦min=7−4𝑎=1，解得𝑎=（舍去）；
2②当1≤𝑎≤2时，
2可得当𝑡=𝑎时y取最小值，且𝑦min=3−𝑎2=1，解得𝑎=−√2（舍）或𝑎=√2；
1③𝑎<时，
219可得当𝑡=时y取最小值，且𝑦min=13−𝑎=1，解得𝑎=（舍去），
424综上，𝑎=√2.
【解析】【分析】(1)由
𝑚𝑥2+2𝑥+𝑚>0恒成立，
得关于m的不等式组，求解可得实数m的取值范围；
13 / 19 (2)
令𝑡=(1)𝑥，𝑡∈[1，2]，
可得
𝑦=𝑡2−2𝑎𝑡+3=(𝑡−𝑎)2+3−𝑎2，𝑡∈[1，2]
，根据二次222函数的定义域和对称轴的关系分类讨论求最小值，进一步求得实数a的值.
22．（10分）党的十九大报告明确指出要坚决打赢脱贫攻坚战，让贫困人口和贫困地区同全国一道进入全面小康社会，要动员全党全国全社会力量，坚持精准扶贫、精准脱贫，确保到2020年我国现行标准下农村贫困人口实现脱贫.现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作.经摸底排查，该村现有贫困农户100户，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其户数必须小于种植的户数.从2018年初开始，若该村抽出4𝑥户（𝑥∈𝑍，1≤𝑥≤12）从事水𝑥果包装、销售.经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高20，而从事包装销1售农户的年纯收入每户平均为(3−𝑥)万元.（参考数据：1.123=1.404，1.153=1.520，1.183=51.643，1.23=1.728）.
（1）（5分）至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.32万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由；
（2）（5分）至2020年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫（即每户（水果种植农户）年均纯收入不低于1.6万元），至少要抽出多少户从事包装、销售工作？
【答案】（1）解：假设至2018年底每户年均纯收入能达到1.32万元，由已知可得：
每户的平均收入为：𝑓(𝑥)=4𝑥(3−5𝑥)+(100−4𝑥)(1+20)，
1001𝑥4𝑥(3−𝑥)+(100−4𝑥)(1+)20≥1.32，
5令𝑓(𝑥)=100√√化简，得𝑥2−13𝑥+32≤0，解得：13−41≤𝑥≤13+41，
221𝑥因为𝑥∈𝑍，1≤𝑥≤12，
且6<√41<7，可得：𝑥∈{4，5，6，7，8，9}，
所以，当从事包装、销售的户数为16，20，24，28，32，36户时能达到每户平均纯收入1.32万元.
𝑥（2）解：由已知可得：至2020年底，种植户每户平均收入为1×(1+20)3，
3令(1+𝑥)≥1.6，得：𝑥≥20(3√1.6−1)，
203由题所给数据，知：1.15<3√1.6<1.18，所以，3<20(√1.6−1)<3.6，
所以，𝑥的最小值为4，4𝑥≥16，
即至少抽出16户从事包装、销售工作.
【解析】【分析】(1)假设至2018年底每户年均纯收入能达到1.32万元，由已知可得每户的平均收入 14 / 19 为：
𝑓(𝑥)=4𝑥(3−5𝑥)+(100−4𝑥)(1+20)，
令𝑓(𝑥)=4𝑥(3−5𝑥)+(100−4𝑥)(1+20)≥1.32
，求解可100100得从事包装、销售的户数；
𝑥(2)
由已知可得：至2020年底，种植户每户平均收入为1×(1+20)3，
由题意得
𝑥≥20(3√1.6−1𝑥1𝑥1)，
由此求出至少抽出16户从事包装、销售工作.
15 / 19 试题分析部分
1、试卷总体分布分析
总分：88分
客观题（占比）
25.0(28.4%)
分值分布
主观题（占比）
63.0(71.6%)
客观题（占比）
13(59.1%)
题量分布
主观题（占比）
9(40.9%)
2、试卷题量分布分析
大题题型
题目量（占比）
分值（占比）
填空题
4(18.2%)
4.0(4.5%)
解答题
6(27.3%)
60.0(68.2%)
多选题
4(18.2%)
8.0(9.1%)
单选题
8(36.4%)
16.0(18.2%)
3、试卷难度结构分析
序号
难易度
占比
1
普通
(81.8%)
2
容易
(18.2%)
4、试卷知识点分析
序号
知识点（认知水平）
分值（占比）
对应题号
1
频率分布直方图
10.0(11.4%)
17
/ 19 162
复数代数形式的混合运算
2.0(2.3%)
2
3
用空间向量求直线间的夹角、距离
2.0(2.3%)
11
4
古典概型及其概率计算公式
10.0(11.4%)
17
5
向量语言表述线面的垂直、平行关系
12.0(13.6%)
11,20
6
函数奇偶性的判断
2.0(2.3%)
6
7
相互独立事件的概率乘法公式
2.0(2.3%)
12
8
互斥事件的概率加法公式
2.0(2.3%)
12
9
诱导公式
2.0(2.3%)
9
10
正弦定理
10.0(11.4%)
18
11
两角和与差的余弦公式
2.0(2.3%)
9
12
用空间向量求直线与平面的夹角
2.0(2.3%)
11
13
点、线、面间的距离计算
10.0(11.4%)
20
14
向量的投影
1.0(1.1%)
14
15
正弦函数的单调性
2.0(2.3%)
5
16
正弦函数的奇偶性与对称性
10.0(11.4%)
19
17
三角函数中的恒等变换应用
22.0(25.0%)
5,18,19
18
正弦函数的定义域和值域
10.0(11.4%)
18
19
不等式的基本性质
2.0(2.3%)
3
/ 19 1720
函数的值
1.0(1.1%)
13
21
空间中直线与直线之间的位置关系
2.0(2.3%)
8
22
直线与平面平行的判定
2.0(2.3%)
8
23
众数、中位数、平均数
12.0(13.6%)
10,17
24
复数的代数表示法及其几何意义
2.0(2.3%)
2
25
二倍角的正弦公式
2.0(2.3%)
9
26
正弦函数的周期性
10.0(11.4%)
19
27
函数恒成立问题
10.0(11.4%)
21
28
二次函数在闭区间上的最值
10.0(11.4%)
21
29
必要条件、充分条件与充要条件的判断
2.0(2.3%)
3
30
函数零点的判定定理
1.0(1.1%)
16
31
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
10.0(11.4%)
19
32
直线与平面垂直的判定
2.0(2.3%)
8
33
基本不等式在最值问题中的应用
2.0(2.3%)
7
34
二次函数的性质
10.0(11.4%)
21
35
利用导数研究函数的单调性
3.0(3.4%)
6,16
36
向量语言表述线线的垂直、平行关系
2.0(2.3%)
11
/ 19 1837
根据实际问题选择函数类型
10.0(11.4%)
22
38
交集及其运算
2.0(2.3%)
1
39
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
1.0(1.1%)
15
40
分层抽样方法
10.0(11.4%)
17
41
两角和与差的正切公式
2.0(2.3%)
9
42
函数的定义域及其求法
2.0(2.3%)
4
/ 19 19