广州市2022-2022年高二下学期期中考试数学(理)试卷
2023年8月18日发(作者：关于教师节的简短祝福语)
繁星1～161的短诗-
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高二下学期期中数学测试
一、选择题(5分/题，共60分）
1. 如果某地的财政收入与支出满足线性回归方程（单位：亿元），其中，如果今年该地区财政收入10亿元，则年支出预计不会超过（ ）
A. 10.5亿 B. 10亿 C. 9.5亿 D. 9亿
【答案】A
【解析】分析：已知线性回归方程为y=bx+a+e，将b=0.8、a=2代入可将其化为y=0.8x+2+e；
将x=10代入上步得到的方程中，结合e的取值范围即可得到y的取值范围，进而确定y的最大值
详解：因为线性回归方程为y=bx+a+e，b=0.8，a=2，
所以y=0.8x+2+e.
当x=10时，y=0.8x+2+e=10+e.
因为|e|≤0.5，
所以-0.5≤e≤0.5，
于是有9.5≤y≤10.5，
从而可得今年支出预计不超出10.5亿元.
故选A.
点晴：本题是一道关于线性回归方程的题目，解题的关键是理清变量之间的数量关系；
2. 随机变量A. B.
【答案】D
【解析】试题分析：，，故选D.
考点：正态分布.
3. 如图，用4种不同的颜对图中4个区域涂，要求每个区域涂一种颜，相邻的区域不能涂相同的颜，则不同的涂方法有（ ）种．
，，，若 C.
，则 D.
等于 （ ） 精品 Word 可修改 欢迎下载
A. 24 B. 48 C. 64 D. 256
【答案】B
【解析】分析：本题是一个分布计数问题，一个个按照顺序去考虑涂。
详解：由题意知本题是一个分步计数问题,第一步:涂区域1,有4种方法;第二步:涂区域2 ,有3种方法;第三步:涂区域3，分两类:第一类, 与1同,则区域4涂有2种方法;第二类,区域3与1不同,则区域3有2种，区域四有一种.所以,不同的涂种数有48种.故选B .
点晴：遇到这类的题目，需要严格审题，按照题目的需求来进行即可。
4. 设(x2＋1)(2x2－x＋1)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a11(x＋1)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为( )
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】分析：本题由于求的是展开式右边a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)＋…＋a11(x＋1)中a0＋211a1＋a2＋…＋a11的和，所以可以利用赋值的办法令x+1=1，由此将x=0代入展开式即可求出结果为1．
详解：令x+1=1,所以x=0,
将x=0代入(x2＋1)(2x2－x＋1)9= a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a11(x＋1)11得
[02+1](0+1)9= a0＋a1＋a2＋…＋a11;∴a0＋a1＋a2＋…＋a11=1.
所以选C
点晴：本题主要考察二项式定理及其应用，属于基础题，一般求有关系数和的问题，常常采用赋值法来解决问题
5. 甲、乙两类水果的质量（单位： ）分别服从正态分布密度曲线如图所示，则下列说法错误的是（ ）
，其正态分布的 精品 Word 可修改 欢迎下载
A. 甲类水果的平均质量
B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数【答案】D
【解析】由图象可知，甲类水果的平均质量μ1=0.4kg，乙类水果的平均质量μ2=0.8kg，故A，B，C，正确；乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2=，故D 不正确．故选：D．
6. 现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，每天最多进行一门考试，且不能连续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数是( )
A. 12 B. 16 C. 8 D. 6
【答案】A
【解析】分析：若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法．若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，根据分步计数原理分别求出安排方案种数，相加即得所求．
详解：若第一门安排在开头或结尾，则第二门有3种安排方法，这时，共有×3=6种方法。
若第一门安排在中间的3天中，则第二门有2种安排方法，这时，共有3×2=6种方法。
综上可得，所有的不同的考试安排方案种数有6+6=12种，
故选A.
点晴：注意区分分类相加和分步相乘的区分。
7. 有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法数为( )
A. 56 B. 78 C. 72 D. 63
【答案】B
【解析】分析：由题意，需要分类，快车A停在第1道上和快车A不停在第1道上，根据分类计数原理可得．
详解：若快车A停在第1道上,其它4列任意停,故有 =24种，
若快车A不停在第1道上,则快车A有3种停法,货车B也有3种停法,其它3列任意停,故有3×3×=54种，
根据分类计数原理，共有24+54=78种， 精品 Word 可修改 欢迎下载
故选：B
点晴：注意特殊问题优先考虑，遇到较复杂情况，可把情况特殊化，即分类解决
8. 现有一组试验数据如下表：
t
U
则能够最好地体现这组数据关系的函数模型是 ( )
A. B. C. D. u=2t-2
1.99
1.5
3.0
4.04
4.0
7.5
5.1
12
6.12
18.01
【答案】C
【解析】
故选C
9. 在区间（0,1]上任取两个数a、b，则函数f(x)＝x2＋ax＋b2无零点的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：在区间[0，1]上任取两个数a，b，函数f（x）=x2+ax+b2无零点⇔x2+ax+b2=0无实数根，a，b∈[0，1]⇔△=a-4b＜0，a，b∈[0，1]．画出可行域，利用几何概率的计算公式即可得出．
详解：在区间[0,1]上任取两个数a，b，函数f(x)= x2+ax+b2无零点⇔ x2+ax+b2=0无实数根，22
a，b∈[0,1]⇔△=a2−4b2<0，a，b∈[0,1].
由约束条件，画出可行域：
∴函数f(x)= x2+ax+b2无零点的概率P=故选D. 精品 Word 可修改 欢迎下载
点晴：本题是几个概型的问题，中间有运用到线性规划画出可行域的问题。
10. (1－)6(1＋)4的展开式中x的系数是( )
A. －4 B. －3 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】因为(1-0)(1+6)的展开式通项公式为24展开式中常数项1为C6，含x的项的系数为C6，含(1+的项的系数为-C6，
的项的系数为C41，故展开式中x)4的展开式中的x的系数为C42，常数项为C40，含022011的系数为C6C4+ C6C4- C6C4=-3，选B
11. 237除以17，所得余数是（ ）
A. －1 B. －2 C. 15 D. 16
【答案】C
【解析】分析：将详解：在上述展开式中故选:C
点晴：将所给已知数往17进行靠拢，然后利用二项式定理进行展开是解决本题的关键
12. 不透明的袋子内装有相同的五个小球，分别标有1-5五个编号，现有放回的随机摸取三次，则摸出的三个小球的编号乘积能被10整除的概率为（ ）
A. B. C. D.
不能被17整除，即余数为15，
,然后利用二项式定理展开即可
【答案】A 精品 Word 可修改 欢迎下载
【解析】试题分析：因为有放回的随机摸取三次共有的共有种，三次都没有四号球和二号球的共有种情况，其中三次都没有五号球种，三次既没有五号球又没有四整除的共有整除的概率是，故选号球和二号球的共有种，所以摸出的三个小球的编号乘积能被种情况，因此摸出的三个小球的编号乘积能被A......................
考点：1、分步相乘计数原理的应用；2、古典概型概率公式.
二、填空题（5分/题，共20分）
13. 已知某单位有100名职工，现要从中抽取5名职工，将全体职工随机按1~100编号,并按编号顺序平均分成5组，按系统抽样方法在各组内抽取一个号码，若第1组抽出的号码8号，则第3组被抽出职工的号码为_____;
【答案】48
【解析】分析：系统抽样的特点为等距离。
详解：依题意，每组人数若第1组抽出的号码8号，
则第2组抽出的号码：8+20×1=28号
则第3组抽出的号码：8+20×2=48号
点晴：注意系统抽样的特点为等距离，分层抽样的特点为按比例的特征。
14. 从装有除颜外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X，已知E(X)＝3，则D(X)等于________．
【答案】
【解析】分析：由题意知，X～B（5，出D（X）．
详解：由题意知，X～B（5，∴EX=5×=3，解得m=2，
），
），由EX=5×=3，知X～B（5，），由此能求
∴X～B（5，），
∴D（X）=5××（1-）=．
点晴：二项分布X～B（n，p） 精品 Word 可修改 欢迎下载
则EX=np。DX=np(1-p)
15. 设由1、2组成的三位数组中，若用A表示“第二位数字为1的事件”，用B表示“第一位数字为1的事件”，则P(A|B)＝______.
【答案】
【解析】分析：直接利用条件概率公式即可
详解：∵P(B)=)=∴ =
，
，
点晴：本题考查条件概率，这类型的题目大家需要分清在谁的条件下，另外注意公式的运用：
16. 某局安排3名副局长带5名职工，分成3组出去考察，每组至少1名副局长和1名职工，则不同的分组方法总数为___（只填数字）
【答案】150
【解析】分析：将5名职工分成三组，这三组每组配个副局长即可。
详解：分俩步:第一步,将5名职工分成3组,每组至少1人,则有 种不同的分组方法；第二步,将这3组职工分到3名副局长有 种不同的方法；.根据分步乘法计数原理,则不同的安排方案共有 (种).
点晴：①注意均匀分堆的问题要除以堆内部的顺序；
②本题还需要注意是分成三组的方法数，注意审题，如果是分成三组去三个地方答案又会有变动。
三、解答题（共70分）
17. 为了增强消防安全意识，某中学做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取了50人，从女生中随机抽取了70人参加消防知识测试，统计数据得到如下的列联表：
男生
优秀
15
非优秀
35
总计
50 精品 Word 可修改 欢迎下载
女生
总计
30
45
40
75
70
120
(1)试判断能否有90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关；
(2)为了宣传消防安全知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随机选出6名组成宣传小组．现从这6人中随机抽取2名到校外宣传，求到校外宣传的同学中至少有1名是男生的概率。
附：
0.25
1.323
0.15
2.072
0.10
2.706
0.05
3.841
0.025
5.024
0.010
6.635
P(K2≥k0)
k0
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】分析：（1）根据公式计算K，对照数表即可得出概率结论；
（2）用分层抽样法求出抽取的男、女生数，利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值．
详解：(1)因为K2＝≈2.057，且2.057<2.706，
2所以没有90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关．
(2)用分层抽样的方法抽取时，抽取比例是＝，则抽取女生30×＝4(人)，抽取男生15×＝2(人)，记“到校外宣传的同学中至少有1名是男生”为事件M，则P(M)＝＝.
点晴：概率统计是高考必考题之一，也是必拿分数的题目，大家需要区分二项分布，超几何分布等的区别，注意几何概型，古典概型概率求法。
18. 一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取m个作为样本，．．称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为本的重量频率分布直方图（如图）.
，，，，由此得到样精品 Word 可修改 欢迎下载
（1）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的中位数与平均值（精确到0.01）；
（2）从盒子装的大量小球中，随机抽取3个小球，其中重量在分布列和数学期望。
【答案】（1）中位数24.38；平均数24.6；（2）见解析
【解析】分析：（1）根据频率和为1，求解得a=0.03；由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20，根据平均数值公式求解即可．
（2）ξ～B（3，0.2），根据二项分布求解概率列出分布列，求解数学期望及方差即可．
详解：（1）中位数24.38；平均数24.6
（2）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在则.的可能取值为、、、，
内的概率为，
内的小球个数为，求的，，
，的分布列为：
.
.（或者）
点晴：概率统计是高考必考题之一，也是必拿分数的题目，大家需要区分二项分布，超几何精品 Word 可修改 欢迎下载
分布等的区别。
19. 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费。超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)。有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次)。设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为车时间都不会超过四小时。
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率。
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列及数学期望E(ξ).
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）由题意可得，甲、乙使用时间情况，
甲
（0，2
（2，3
（3，4
；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为；两人租乙
所以车费相同，即使用时间一样，分成三个互斥事件，有时（0，2，（2，3，（3，4
根据互斥事件的和事件和相互独立事件同时发的概率公式可得。（2）由题意可得可能取得值为0，2，4，6，8，其中0元包含（0,0），2元包含（0,2），（2,0），4元包含(0,4),(4,0),(2,2),6元包含(4,2),(2,4), 8元包含(4,4), 根据互斥事件的和事件和相互独立事件同时发的概率公式分别计算可得。
试题解析：（1）由题意得，甲，乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，．
记甲、乙两人所付得租车费用相同为事件，则所以，甲、乙两人所付得租车费用相同的概率为．
（2）设甲、乙两个所付的费用之和为，可能取得值为0，2，4，6，8
，，，，
，
． 精品 Word 可修改 欢迎下载
分布列
20. 为了调查观众对电视剧《风筝》的喜爱程度，某电视台举办了一次现场调查活动.在参加此活动的甲、乙两地大量观众中，各随机抽取了8名观众对该电视剧评分做调查（满分100分），被抽取的观众的评分结果如图所示.
（1）从甲地抽取的8名观众和乙地抽取的8名观众中分别各选取一人，在已知两人中至少一人评分不低于90分的条件下，求乙地被选取的观众评分低于90分的概率。
（2）从甲地抽取出来的8名观众中选取1人，从乙地抽取出来的8名观众中选取2人去参加代表大会，记选取的3人中评分不低于90分的人数为，求的分布列与期望。
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】分析：（1）由茎叶图先算出抽取的2人中至少有1人不低于90分的概率，在甲地抽取的不低于90分，在乙地抽取的低于90分的概率，根据公式得出答案；
（2）显得出的可能取值，然后算出相应的概率，列出表格算出期望
详解：（1）设事件A：抽取的2人中至少有1人不低于90分；事件B：在甲地抽取的不低于90分，在乙地抽取的低于90分。P（A）=（2）
概率X
P
E（X）=
0
1
2
3
P（B）= P（B︱A）= 精品 Word 可修改 欢迎下载
点晴：（1）条件概率，理解条件概率的公式：方法。
；（2）熟悉超几何分布概率计算21. 在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．
(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？
(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？
（参考数据：若，则）
【答案】（1）10000；（2）80
【解析】分析： （1）设出参赛人数的分数，根据分数符合正态分布，根据成绩在90分以上（含90分）的学生有13名，列出大于90分的学生的概率，成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的0.0013，列出比例式，得到参赛的总人数．
（2）设受奖的学生的分数线为x0．由P（X≥x0）= =0.0228<0.5，可得x0>60．进一步得；；知P（120-x0 详解：设学生的得分情况为随机变量X，X～N(60,100)． 则μ＝60，σ＝10. (1)P(30＜X≤90)＝P(60－3×10＜X≤60＋3×10)＝0.997 4. ∴P(X＞90)＝ [1－P(30＜X≤90)]＝0.001 3 ∴学生总数为：＝10 000(人)． (2)成绩排在前228名的学生数占总数的0.022 8.设分数线为x. 则P(X≥x0)＝0.022 8. ∴P(120－x0＜x＜x0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4. 又知P(60－2×10＜x＜60＋2×10)＝0.954 4. ∴x0＝60＋2×10＝80(分)． 点晴：正态分布问题，注意三个关键点： （1）对称轴 ；②标准差 ；③分布区间。利用对称性求制定区间范围内的概率值。 党支部鉴定意见四季度-