...甘肃省张掖市高二第二学期数学期末复习检测试题含解析
2023年8月18日发(作者：华罗庚的故事)
藏污纳垢的读音及解释-
2022届甘肃省张掖市高二第二学期数学期末复习检测试题
、单选题（本题包括 12个小题，每小题 35,共60分•每小题只有一个选项符合题意）
1.函数f（χ）在其定义域内可导，
y
f （χ）的图象如图所示，则导函数
y f '（χ）的图象为（ ）的图象大致为（）
A.
C.
1 2 3 27
3 .已知S
C27
C27
C27
L C27
,则S除以9所得的余数是
A. 2
C. 54.在极坐标系中，与（，）关于极轴对称的点是（
B. 3
D. 7
)
B.(,)
A∙(,)
5.如图，CD
,
BE分别是边长为4的等边
ABC的中线，圆
D.(, )
O是
ABC的内切圆，线段
OB与圆0交
于点F
•在
ABC中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是
A.B.
C.
18
-
6
.函数y ,1 X
54
.X的定义域为（
A
.
{x∣x 0}
B.
{x∣x 1}
C.
{x|x 1}
{0}
D. {x∣0
X 1}
7 •运行如图所示的程序框图，输出的
S值为
3
C. -1
D.-
2
&
设随机变量 服从分布
B n, p
,且
1.2,
D 0.96
,则（）
A0.2
.
B.
n 4,
P 0.3
C.
0.24
D.
n 8,
P 0.15
9.
设i是虚数单位，则2i
3i2 4i3
2020i2019
的值为（
)
A.
1010 1010i
B.
1011 1010i
C. 1011 1012
D.
1011 1010i
10 .《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》
、《孙子算经》是我国古代数学的重要文献
分给甲、乙、丙
3位同学阅读，每人至少 1
本，则甲没分到《周髀算经》的分配方法共有（
A. 18 种 B. 24 种
C. 30 种 D. 36 种
•现拟把这4部著作 11
已知P
.
A.
o
1, 1,2
,
P2
3,1,0、
P 0,1,3B.
45o
,则向量
C. 60
oUUIV UUJV
PP2与P1P3的夹角是（
)
30
D.
o
90
12.
复数1
1
i
( )
A.
1 i
B. 1 i C. 0
、填空题（本题包括 4个小题，每小题 5分，共20分）
13 .已知（aD. 2
1I）的展开式中，χ的系数为-,则常数a的值为
X
2 4
χ9314 .为了了解学校（共三个年级）的数学学习情况，教导处计算高一、高二、高三三个年级的平均成绩分别
为112,115,118
,并进行数据分析，其中三个年级数学平均成绩的标准差为 _______________________________ .
15 .一个总体分为 A, B两层，其个体数之比为 4： 1 ,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10的样
1
本•已知B层中甲、乙都被抽到的概率为 ——，则总体中的个体数为 ______________________ .
28
1 2i
16 •复数Z ------- （i是虚数单位）的虚部是 ______________ .
i
三、解答题（本题包括 6个小题，共70分）
2
17.如图，在四边形ABCD中，AB//CD
,
BCD -,四边形ACFE为矩形，且CF
平面ABCD
,
3
（1） 求证：EF
平面BCF
;
（2） 点M在线段EF上运动，当点
M在什么位置时，平面
MAB与平面FCB所成锐二面角最大，并求 此时二面角的余弦值•
18 •某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在某学院大一年级
100名学生中进行了抽样调查，发现喜
欢甜品的占70%
.这100名学生中南方学生共
80人。南方学生中有
20人不喜欢甜品•
（1）完成下列2 2列联表：
喜欢甜品
不喜欢甜品
合计
南方学生
北方学生
合计
(2) 根据表中数据，问是否有
95%的把握认为"南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差
异”；
(3)
系的学生，其中
已知在被调查的南方学生中有
6名数学系的学生，其中
2名不喜欢甜品；有5名物理1名不喜欢甜品•现从这两个系的学生中， 各随机抽取2人，记抽出的4人中不喜欢甜品的人数为
X
,求X
的分布列和数学期望•
2
附：K2
n ad be
abed a e b d
2
P K
kko
0.15 0.100 0.050 0.025 0.010
o
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
X
19. (6分)已知a R
,函数f x
(1)讨论函数f X的单调性;
2
e
1
x
(2)若 a 1 ,且
FX X 1 mx 1
X
0,2时有极大值点x0 X0 1
,求证:
F Xc
1.
20. ( 6分)甲、乙去某公司应聘面试 .该公司的面试方案为：应聘者从6道备选题中一次性随机抽取 3道 题，按照答对题目的个数为标准进行筛选 •已知6道备选题中应聘者甲有 4道题能正确完成，2道题不能 完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是 一，且每题正确完成与否互不影响 •
(1) 分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列，并计算其数学期望
(2) 请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大 ？
；
21 . ( 6分)在上海高考改革方案中，要求每位考生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理六门学 科中选择三门参加等级考试，受各因素影响，小李同学决定选择物理，并在生物和地理中至少选择一门
(1) 小李同学共有多少种不同的选科方案？
(2) 若小吴同学已确定选择生物和地理，求小吴同学与小李同学选科方案相同的概率
2
22. (8 分)已知函数
f(x) 2x kx 8.
(1)若函数g(x) f (X) 2x是偶函数，求k的值；
(2)若函数y f (x)在［1,2］上，f (x) 2恒成立，求k的取值范围
参考答案
一、单选题（本题包括 12个小题，每小题 35,共60分•每小题只有一个选项符合题意）
1. D
【解析】
分析：根据函数单调性、极值与导数的关系即可得到结论
详解：观察函数
y f X图象，从左到右单调性先单调递增，然后单调递减，最后单调递增
•对应的导数
符号为正，负，正•,选项D的图象正确.
故选D.
点睛：本题主要考查函数图象的识别和判断，函数单调性与导数符号的对应关系是解题关键
2. D
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性和特殊值，借助排除法即可得出结果
【详解】
Qy 2x 2
X是奇函数，y x2是偶函数,
2x 2
X
-是奇函数
,图象关于原点对称 ,排除A选项;
1 3
Q f(i)
2 = ,排除B,C选项;
2 2
故选:D.
【点睛】
本题考查已知函数解析式判断函数图象 ,考查函数性质，借助特殊值代入的排除法是解答本题的关键
较易•
3. D
【解析】
根据组合数的性质，将
S c： c27
c27
7
L
c27化简为9 19
1
,再展开即可得出结果
【详解】
,难度
S C；7
C27
C；7
L
C27 2 1 8 1
的余数为1 •选D.
【点睛】
本题考查组合数的性质，考查二项式定理的应用，属于基础题
4. B
【解析】
【分析】
直接根据极轴对称性质得到答案 •
2799 1 1 9 C9
9C9 L 9C9
2
,所以除以 9
998【详解】 在极坐标系中，与（，）关于极轴对称的点是（，）• 故选：B
•
【点睛】
本题考查了极轴的对称问题，属于简单题
5. A
【解析】
【分析】
利用等边三角形中心的性质，
概率•
【详解】
求得内切圆的半径和阴影部分面积， 再根据几何概型计算公式计算出所求的
•
在BoD中,
ODB 90
,
OBD 30
,因为
BD
-AB 2
,所以
OD 2tan30
2
丄
2,3
3
即圆
O的半径为
厶3
,由此可得图中阴影部分的面积等于
2、3
3
ABC的面积为4 3
,故
3
所求概率P
6
2
r
9 4、3
J3
54
、
.故选A.
【点睛】
本题考查几何概型问题，考查数据处理能力和应用意识
【解析】
【分析】 分析每个根号下的范围，取交集后得到定义域•属于中档题• 6. D
【详解】
1 X 0
因为x 0
，所以故选：D.
【点睛】
本题考查函数含根号的函数定义问题，难度较易
7. B
【解析】
由题设中提供的算法流程图可知
0 X 1，则定义域为{X|0 X 1}.
•注意根号下大于等于零即可
S cos cos
3 3
CoS
—
cos江，由于f (X) cos—X的周期是
3
2017
cos— 3
1
cos2
6
,而
2017 6 336 1
,所以
S cos-
3
3y 2，应选答案
B.
【解析】
分析：根据随机变量符合二项分布， 根据二项分布的期望和方差公式得到关于
n, P的方程组，注意两个方
程之间的关系，把一个代入另一个，以整体思想来解决，求出
详解:
P的值，再求出n的值，得到结果•
Q随机变量 服从分布B n, p
,且E
1,
D
0.96,
np
1.2①
np 1
P 0.96
②
即可求得n 6,
P 0.2.
故选：A
点睛：本题考查离散型随机变量的期望和方差，考查二项分布的期望和方差公式，考查方差思想，是一个 比较好的题目，技巧性比较强 .
9. B
【解析】
【分析】
利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案
【详解】
解：设S
可得：
iS
2i
护
4i3
0 2i2
护
4i4
2020i2019,
2019i2019
2020i2020
,
i2019则(1
2
.3
i4 i)S 2i
・i
i
2020严, (1 i)S i i
・2 ・3 ・4 ・2019
2019、
i i i
i(1 i)
i
2020i
i(1 i)2
2
2020i
i(I i )
1 i
2020i
,
2020可得：（1 i）S
i
1 i
2020 i 2020
2021 i
，
可得：S
2021 i （ 2021 i）（1 i）
1011 1010i
,
1 i 2
故选：B.
【点睛】
本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题
10 . B
【解析】
2 3
分析：先不考虑限制条件，则共有
C4A3种方法，若甲分到《周髀算经》，有两种情况：甲分到一本（只有
《周髀算经》），甲分到2本（包括《周髀算经》），减去即可
2 3
详解：先不考虑限制条件，则共有
C4A3
36种方法，若甲分到《周髀算经》
,有两种情况：甲分到一本
（只有《周髀算经》），此时共有C；A； 6种方法;
3
甲分到2本（包括《周髀算经》）,此时共有A2
6种方法,
则分配方法共有36 6 6 24种.
点睛：本题考查了分组分配的问题，关键在于除去不符合条件的情况，属于基础题 11 . D
【解析】
【分析】
UUU UUU
UUJn UJIlI
设向量P1P2与RP3的夹角为
UJUJ UJiU
,计算出向量RP2与RP3的坐标，然后由PPCi
2 i3
计算出PPCOS
oS
UUJl~UOT
PPPi2
的值，可得出 的值.
【详解】
IP3
J UJUa
设向量P1P2与PP3的夹角为
UUu
Q RP2
3,1,0
1, 1,2
2,2,
U U U
2
,
PP3
0,1,3 1, 1,2 1,2,1
,
贝y
cos
U U U U
PP2
P1P3
U U U U
-0
PP PP3
r
所以，
90o
,故选D.
V 2
【点睛】
本题考查空间向量的坐标运算，考查利用向量的坐标计算向量的夹角，考查计算能力，属于中等题 12 . A
【解
析】
【分
利用复数的除法法则求解即可析】
【详解】
"幵
1 i
由题，1 —
1 N 1 i,
i i
故选:A
【点睛】
本题考查复数的除法运算，属于基础题•
二、填空题(本题包括 4个小题，每小题 5分，共20分)
1
13.
4
【解析】
1
3r
9
C(a)( 1)x
3r
99rr2
,所以由
9 3得8
,从而
r
2
8 9 8 8
9 1
C9(a) ( 1) a
4 4
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)
求展开式中的特定项•可依据条件写出第r 1项，再由特定项的特点求出
r值即可.
(2) 已知展开式的某项，求特定项的系数 .可由某项得出参数项，再由通项写出第
r 1项,
值，最后求出其参数.
14
. ,6
【解析】
【分析】
根据方差公式计算方差，然后再得标准差.
【详解】
三个数的平均值为 115,方差为
S2
1[(112 115)2
(115 115)2
(118 115)2] 6,
3
•
••标准差为S 6
.
故答案为：
6
.
本题考查标准差，注意到方差是标准差的平方，因此可先计算方差【点睛】
•方差公式为：数据
由特定项得出r
X1,X2丄,Xn的方 2
1
—X)
2 — 2
差为
S [(x1 x) (x22
n
(Xn
X) ]
15 ∙ 40
【解析】
设B层中的个体数为n
,则-8
8
n 8
,则总体中的个体数为
8 5 40.
16 ∙ -1
【解析】
【分析】
由题意，根据复数的运算，化简得
i
,即可得到复数Z的虚部.
【详解】
由题意，复数
1 2i (1 2i)(
2 i
,所以复数Z的虚部为
1∙
i ( i)
【点睛】
本题主要考查了复数的四则运算及复数的分类, 其中解答中熟记复数的四则运算, 正确化简、运算复数,
再利用复数的概念求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
三、解答题（本题包括 6个小题，共70 分） 17∙ （ 1）见解析；（2）二7
7
【解析】
【分析】
【详解】
试题分析：（I
）在梯形ABCD中，设AD CD BC 1,题意求得AB
2,再由余弦定理求得
AB2
满足AB2 AC2 BC2,得则BC AC.再由CF
平面ABCD得AC
步得到AC丄平面BCF
;
CF
,由线面垂直的判定可•进
（ ∏ ）分别以直线CAlCBlCF为:X轴，y轴轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设AD CD CF 1
,令FM
0 3得到CA
B,M的坐标，求出平面MAB的一法向量•由
题意可得平面的FCD
—个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当
0时，有最小值为
-7 ,此
7
时点M与点F重合•
试题解析：（I）证明：在梯形
ABCD中，∙∙∙
AB//CD
,设AD CD BC 1
,
2
又∙∙∙
BCD ,,∙∙. AB 2,∙∙∙
AC2 AB2 BC2 2AB BC cos60 3
AB2 AC2 BC2.则
BC AC.
3,
∙∙∙ CF
平面
ABCD,
AC
平面
ABCD
,
.∙∙ AC CF
,而
CF I BC C
,二
AC
平面
BCF
.
τ
EF // AC
, -
EF
平面
BCF
.
(∏)解：分别以直线
CA) CB)CF
为
X
轴，y
轴,
Z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设
AD CD BC CD 1
,令
FM O .3，
则
C 0,0,0 ,A 3,0,0 ,B 0,1,0 ,M ,0,1
UUy- UUUy
∙∙∙ AB ,3,1,0 ,BM , 1,1
设y X, y, Z为平面MAB的一个法向量，
V ULUr -
03x y 0由
nAUV
得
'
,取X 1
,则
nr 1,&3
n BM 0
X y z 0
∙∙∙ r¾ 1,0,0是平面FCB的一个法向量，
∙VV In
CoSn,m
-VrVfVV1
2
J1 3
0时,
√3
1
一:
~j -------
2=
1
厂爲
4
7••• 0
cos有最小值为—
,
7
•点M与点F重合时，平面
MAB与平面FCB所成二面角最大，此时二面角的余弦值为
18. (1)列联表见解析
(2)有95%的把认为"南方学生和北方学生在选甜品的饮食习惯方面有差异”
(3)分布列见解析；E X
16
15
【解析】
分析：(1)根据数据填写表格，(2)根据卡方公式得
K
,再与参考数据比较得可靠率，
取法，再利用组合数求对应概率，最后根据数学期望公式求期望
2(3)先列随机变 量可能详解：(1)
喜欢甜品 不喜欢甜品 合计
南方学生
60 20 80
北方学生 10 10 20
合计
(2)由题意,
70 30 100
2
2 100 60 10 20 10
4.762 3.841,
70 30 80 20
K2
有95%的把握认为"南方学生和北方学生在选甜品的饮食习惯方面有差异”
(3)
X的所有可能取值为 0，1，2，3,
25，
2 1 112
PXOC4
C4
C4C2C4
CfC
12
25'
则X的分布列为
X
0 1 2 3
6 12
25
12 38
0
6 16
19
75
2
25
P
所以X的数学期望E X
25
点睛：求解离散型随机变量的数学期取值，以及取每个值所表示的意义；
25 75 75 15
望的一般步骤为: 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式
互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等
时的概率；
(常见的有古典概型公式、几何概型公式、
)，求出随机变量取每个值
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的
概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值
19 . ( 1)见解析；(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)对f X求导，分a 1,
1 a e,
a e,
a e进行讨论，可得函数
f X的单调性;
(2)将 a 1 代入
FX
,对
FX
求导，可得
F(X)2(x 1) mlnx,再对
F (x)
导，可得函数F(X)有唯一极大值点X1,Xo
XI
,且
2(2(x 1) mlnx
求
F (X0) 2(X0
1)
mln x0
0 m
2
XO
(O
In X0
I)X0 7
.
2
I)可得F(XO)
1
X
2x0
2×0
Inx。
2斗(2 -
In X
,对其求导后可得
In X0),设
h(x)
2
X
In
x x。
F(X0) 1.
【详解】
解：(1)Q f (X)
a
X
Xe X (a
2
X
Xxe) a(x 1) e(1 x) (X
2
X
xx1)(a e)
2
，
X
x又Q X> 0
,
调递减；
e 1,
a 1时，a e 0
,所以可解得：函数f(x)在(0,1)单调递增，在(1,)单
经计算可得，1 a e时，函数f (X)在(0,ln a)单调递减，(In a,1)单调递增，(1,)单调递减；
a e时，函数f(x)在(0,1)单调递减，(1,ln a)单调递增，(In a,)单调递减；
a e时，函数f(x)在(0,)单调递减.
综上：a 1时，函数f (x)在(0,1)单调递增，(1,)单调递减；
1 a e时，函数f (X)在(0,∣n a)单调递减，(In a,1)单调递增，(1,)单调递减；
a e时，函数f(x)在(0,)单调递减；
a e时，函数f(x)在(0,1)单调递减，(1,ln a)单调递增，(In a,)单调递减.
1
22(2)若 a 1 ,则
F(X) (X 1) mx(1 f (x) -__ ) (X 1) mx(1 In x)，
X
X
F (x) 2(x 1) mIn X，
设
H(X) 2(x 1) mInx,(x 0),则
H(X) 2
，
mX
当X (0, )时，H(X) 0 H (X)单调递减，即F(X)单调递减，
m2
当X (m,)时，H(X) 0 H(X)单调递增，即F(X)单调递增•2
m
2,
ZZ
0
又因为
0 —
1,由
F (1) 0
可知：F (―) 0，
2 2
_2 _2
mm2
而
F(e
m) 2(e
m1) mlne^
2 e
0
,且
e
me 1，0 2m
xι
(em,),使得
F (Xi)
2
0
,且
X (O,Xι)时，F(X) O,F(x)单调递增,
X (Xι,1)时，F(X) 0, F(X)单调递减，X (1,
所以函数F (X))时，F(X) O,F(X)单调递增,
有唯一极大值点Xi, XO Xi
,
且
F (XO)
2(XO
1)
mIn x0
0
m
2(XO
I)(O In XO
2
m χ° -
1).
八2
F(XO) (XO
1) mxo
(1 In XO) (XO 1)
2(XO
1)XO
ZYI
0 (1 In
In XO
/ 2
1
XO
2XO
2XO
2In
所以
F(XO) 1
XO2
2X°
2X°
-XO (2 — In
XO),
In X0
设
h(x)
2
In X0 X0
0
,
2
— In X
X
(
0 X1),则
h
2 1 2
X
(X) — —
——
XXX
h(x)在(0,1)单调递增，
F(XO) 1 0
【点睛】
h(x) h(1) 0，
h(Xo) 0
,又因为
In XO 0，
F(XO) 1.
本题主要考查导数、函数的单调性等知识，考查方程与函数、分类与整合的数学思想，考查学生的推理论
证能力与运算求解能力.
20. (1)甲、乙的分布列见解析；甲的数学期望
【解析】
【分析】
(1)设出甲、乙正确完成面试题的数量分别为
2、乙的数学期望 2; (2)甲通过面试的概率较大.
分别写出分布列,
再求期望值均为:;
(2)由于均值相等，可通过比较各自的方差
【详解】
(1)设H为甲正确完成面试题的数量，’.，为乙正确完成面试题的数量,
依题意可得:烬y；逐弩
PCr = = I
••• X的分布列为: X 1 2 3
P
1
5
3
5
1
5
K=IXl+ 2X∣+3X≡ = 2
FCrE=ςf6)°0* =⅛ P(r=i)= qg)β) = ∣=≡
P芦=2) =(3窈(匸吾 W 呻
5 Y β)Θ" = ⅛
••• Y的分布列为:
Y 0 1 2 3
,1saP
1
27
^ = OX⅛+lX∣÷2χi + 3χi=2
2
9
4
9
S
27
(2)
M =
2IF = 5τp(l-p) = 3 K≡X⅛ = ~,
S ⅞ 3
•「：二，
•••甲发挥的稳定性更强，则甲通过面试的概率较大•
【点睛】
本题考查超几何分布和二项分布的应用、期望和方差的计算，考查数据处理能力，求解时注意概率计算的
准确性•
1
21 • ( 1)小李同学共有 7种不同的选科方案(2)
【解析】
【分析】 (1)运用排除法求解；
(2)列出两位同学相同的选科方案，求比值可求解28
【详解】
解：(1)在化学、生物、政治、历史、地理任意选两门的方法数为
Cl 10,
在化学、政治、历史任意选两门的方法数为
Cs 3，
2 2
Cl
Cs
7，
因此，小李同学共有 7种不同的选科方案；
(2)小吴同学有4种不同的选科方案，
小吴同学与小李同学两人选科的方案共有
4 7 28种，
其中两人选科相同的方案只有 1种，
1
因此，小吴同学与小李同学选科方案相同的概率为 —.
28
【点睛】
本题考查有条件的组合问题，属于基础题 .
22. (1)
k 2； (2)
8,4、3
【解析】
【分析】
(1)利用偶函数的定义判断得解； (2)对X分三种情况讨论，分离参数求最值即得实数
【详解】
2 2
(1)由题得
g X 2x kx 8 2x 2x (2 k)x 8,
由于函数g(x)是偶函数，所以
g X 2x2
(2 k)x 8 g(x) 2x2
k的取值范围
(2 k)x 所以k=2.
2
(2)由题得f X 2x kx 6
当x=0时，不等式显然成立.
0在
1,2上恒成立,
当1 X 0,所以k 2x
-在
1,2上恒成立，
X
因为函数y 2x
在1 X 0上是减函数，所以
k 2 6
68.
X
当0 X 2时，所以k 2x
-在
1,2上恒成立，
—
因为函数y 2x
一在0 X . 3X
所以k 2；3 A3，
综合得实数k的取值范围为
【点睛】
X
上是减函数，在.3 X 2上是增函数,
8,4. 3
本题主要考查函数的奇偶性的判断， 考查函数的单调性的判断和应用， 握水平和分析推理能力 .
意在考查学生对这些知识的理解掌