高二数学试题及其答案
2023年8月18日发(作者：端午节简短的祝福语(精选60句))
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高二理科数学
一、选择题
1. 设实数，满足且，设实数，满足，则是的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】试题分析：“若分不必要条件,故选A.
考点：充分必要条件.
2. 抛物线A. 或焦点坐标是（ ）
B. C. 或 D.
且则”是真命题，其逆命题是假命题，故是的充【答案】B
【解析】将抛物线方程化为，也是，故选．
，当时，，焦点为，当时，，焦点为3. 下列命题中，假命题的是（ ）
A.
C.
，， B.
D.
，，
【答案】B
【解析】，将指数判断为错误；，正确，故选．
4. 函数A. B.
有且只有一个零点的充分不必要条件是（ ）
C. D. 或
视为整体，利用指数函数性质判断为正确；，利用正弦函数的有界性，，可知，判断为正确；，方程的解是，判断为【答案】A
【解析】∵当时，是函数的一个零点；要使函数有且只有一个 零点，故当时，恒成立；即恒成立，可得，是函数有且只有一个零点的充分不有且只有一个零点的充分必要条件，所以函数必要条件是5. 已知A.
，故选．
，且 B. C.
，，则，的大小关系是（ ）
D. 不能确定
【答案】A
【解析】∵∴，∴，，，∴，
，故选．
的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的倍，则其6. 已知双曲线渐近线方程为（ ）
A.
【答案】C
【解析】双曲线 B. C. D.
的右焦点到左顶点的距离为 ，焦点到渐近线的距离为，则线方程为，
，即，因此 选.
，, ，渐近【点睛】求双曲线的渐近线方程，就是寻求或，求法与求离心率类似，只需
出一个的等量关系，削去后，求出或，就可以得出渐近线方程，削去
后，就可以求，即可求出离心率.
7. 设，，，是空间不共面的四个点，且满足的形状是（ ）
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形
【答案】C
【解析】，则故选．
，所以是锐角，同理，都是锐角，故
是锐角三角形．
，，，则 8. 已知双曲线以线段，的左焦点为，左、右顶点为、，为双曲线上任意一点，则分别为直径的两个圆的位置关系为（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上情况都有可能
【答案】B
【解析】
如图所示，若在双曲线左支，则即圆心距为半径之和，两圆外切；若在双曲线右支，则切，故选．
9. 如图，，是椭圆限的公共点．若四边形，
，两圆内切，所以两圆相与双曲线的公共焦点，，分别是，在第二、四象为矩形，则的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以由题设，由椭圆定义可得 ，所以双曲线的定义可得10. 已知抛物线，则，所以双曲线的离心率，又因为，应选答案D。
，所以由的焦点为，准线为，是上一点，是直线（ ）
与的一个交点，若A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设到的距离为，则因为以，所以直线的方程为，因为，所以，与抛物线，所以直线的斜率为，，所的方程联立，可得，故选．
【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及直线与抛物线的位置关系，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.
11. 椭圆，那么直线A. B.
的左、右顶点分别为，，点在上且直线的斜率的取值范围是斜率的取值范围是（ ）
C. D.
【答案】B
考点：直线与椭圆的位置关系.
【易错点晴】根据题意求出的坐标，设出点的坐标，代入求斜率，进而求斜率的取斜率求得直值范围．本题考查了圆锥曲线的简单性质应用，本题的难点在于如何利用直线线斜率，两直线斜率乘积是定值是不容易想到，本题属于难题.
视频
12. 设，过定点的动直线的取值范围是（ ）
和过定点的动直线交于点，则 A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：易得AB为直径的圆上，，所以.因为，.选B.
，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同.设，则消去得：，令，所以.所以，所以点P在以，则
法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以法一.
【考点定位】1、直线与圆；2、三角代换.
视频
二、填空题
13. 命题“【答案】，，，使得，使
”的否定形式是__________．
【解析】因为“”的否定是“”，“”的否定是“”，“以命题“，14. 已知【答案】【解析】设直线，，使，
与坐标平面的交点为，∴∴，，，∴直线，与，∴，，则，使得．
，则直线与坐标平面”的否定形式是，”的否定是“，使”，所，故答案为的交点坐标为__________．
，即，
，，
．
是平面的交点坐标为，故答案为上的点，15. 已知、分别是椭圆底角为的左、右焦点，为直线的等腰三角形，则椭圆的离心率为__________．
【答案】
【解析】过点作轴于点，如图所示：
由是底角为的等腰三角形得，，所以，即离心率，所以，故答案为．
，，所以【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出构造，从而求出; ②的齐次式，求出; ③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解; ④根据圆锥曲线建立关于焦半径和焦距的关系．从而出之间的的统一定义求解．本题中，根据关系，求出离心率．
16. 定义：曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线的距离．已知曲线到直线__________．
【答案】
【解析】试题分析：：故曲线到直线：到直线：的距离为，由题意可知，圆心，圆心到直线：的距离为：上任意一点，的距离等于曲线到直线的距离，则实数，而曲线：的距离为，根据二次函数的性质，可知，而当时，，∴．
考点：1．新定义问题；2．函数的最值．
三、解答题 17. 求与椭圆【答案】.
有公共焦点，且离心率的双曲线的方程．
【解析】试题分析：（1）设双曲线方程，由椭圆的焦点坐标为和，得，由，求得，进而求出的数值，即可求出双曲线方程.
的焦点坐标为和， 试题解析：椭圆设双曲线方程，
则∴，，．
，
．
在上为减函数；命题不等式的∴所求双曲线方程为18. 已知解集为，若【答案】且，命题指数函数为假命题，.
为真命题，求的取值范围．
【解析】试题分析：当为真命题时，函数真命题时，不等式可得的解集为，推导出在上为减函数，推导出，由为真命题，，当为为假命题，一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.．
试题解析：当为真命题时，函数所以，所以；
的解集为，
恒成立．
，
，所以．
在上为减函数，
当为真命题时，不等式所以当所以所以时，由题设，若和有且只有一个为真命题，则 ①当真，假时，，所以；
②当假，真时，，综上所述，的取值范围是．
19. 如图，．
，原点是的中点，点的坐标为，点在平面上，且，
（）求向量（）求与的坐标；
的夹角的余弦值．
；（2）. 【答案】(1)
试题解析：（）过作于，则，
，
∴的坐标为又∵，∴，
．
，
，则中，，，.
，在底面的射（）依题设有点坐标为∴，20. 如图，在三棱柱 影为的中点，是的中点．
（）证明：（）求二面角平面；
的平面角的余弦值．
.
的中点，连接平面，依题意有；（2）以，，故【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）设为平面为.根据分析有，故的中点为原点，分别以射线. 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求得余弦值为试题解析：
（1）设为因为由从而又因为分别为且平面的中点，连接，所以，的中点，得，所以，所以，且，得，得，因此，.
与全等.
为二面角，得，的平面角.
，
且.由题意得：，故平面平面，
，
，所以.
.
为平行四边形，故平面.
，连结.
，
（2）方法一：作由由由由，，得，，由余弦定理得
方法二：
以的中点为原点，分别以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
由题意知各点坐标如下：
，因此设平面由由于是，的法向量为，即，即.
，，平面
，
的法向量为.
，
，
，可取，可取由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角考点：空间向量与立体几何.
21. 已知中心在原点的双曲线的右焦点为（）求双曲线的方程；
，右顶点为的平面角的余弦值为.
． （）若直线过点与双曲线交于不同的两点，，且线段的垂直平分线，求实数的取值范围．
；（2）.
，右顶点为求出和,进而根据【答案】（1）【解析】试题分析：（1）由双曲线的右焦点为求得,则双曲线方程可得；（2）把直线方程与双曲线方程联立，消去，利用判别式大于求得和的不等式关系，设和，根据，可知的中点为，根据韦达定理表示出的斜率为，进而求得和的关系，最后综合可求得的范围.
试题解析：（）设双曲线方程为由已知得∴．
．
，，，
．
故双曲线的方程为（）联立整理得，
．
∵直线与双曲线有两个不同的交点，
∴可得设则、，．（）
，的中点为，．
．
，
由题意，，∴．
整理得．（）
， 将（）代入（），得∴或． 又∴的取值范围是，即．
．
【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系，属于难题. 用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或
；③关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.
22. 如图，已知椭圆为直线为坐标原点．
，过点，离心率为，左、右焦点分别为、．点和与椭圆的交点分别为、和、，上且不在轴上的任意一点，直线
（）求椭圆的标准方程；
（）设直线①证明：、；
、、、的斜率、、、满足斜率分别为、．
②问直线上是否存在一点，使直线？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）【解析】
，列出关于 、 、的方程组，；（2）①证明见解析，②.
试题分析：（1）利用椭圆过已知点和离心率结合性质求得和，则椭圆的方程可得；（2）①把直线的方程联立求得交点的坐标的表达式，代 入直线上，整理求得和，原式得证；②设出,进而可求得直线或，
、的坐标,联立直线斜率的和与、和椭圆斜率的的方程根据韦达定理表示出和,由试题解析：（）因为椭圆过点所以又，，所以．
，．
，，推断出，分别讨论可求得点的坐标.
，
故椭圆方程为（）①设，则，．
，
因为点不在轴上，所以又所以②设联立直线，，，
．
，，
，
与椭圆方程得化简得，
因此由于所以、，，斜率存在，
，因此，，
，
因此类似可以得到
，，，，，
．
故． 若当，必须有时，结合①的结论，可得．
或或，
．
所以解得点坐标为当此时直线时，结合①的结论，可得的方程为．
（舍去），
得，． ，联立方程因此点坐标为【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法求椭圆标准方程、圆锥曲线的存在性问题，属于难题. 探索圆锥曲线的存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法很难时，采取另外的途径.