2020-2021学年北京市通州区九年级(上)期中数学试卷(附答案详解)
2023年11月1日发(作者：礁石阅读答案)
历年河南高考分数线-
2020-2021学年北京市通州区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）
1.
二次函数𝑦=−2(𝑥−4)2+3图象的顶点坐标是( )
1A.
(−4,3)
B.
(−2,−3)
C.
(4,3)
D.
(2,3)
2.
已知2𝑥=3𝑦(𝑥𝑦≠0)，那么下列比例式中成立的是( )
A.
2=3
𝑥𝑦B.
3=2
𝑥𝑦C.
𝑦=3
𝑥2D.
2=𝑦
𝑥33.
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷𝐸//𝐵𝐶，𝐸𝐹//𝐴𝐵，下列等式成立的是( )
A.
𝐷𝐵=𝐹𝐶
B.
𝐷𝐵=𝐴𝐸
C.
𝐷𝐵=𝐵𝐶
D.
𝐷𝐵=𝐴𝐵
4.
下列结论①两个全等三角形是相似三角形；②所有正方形都相似；③任意两个等腰三角形都相似；④所有菱形都相似；⑤两个等腰直角三角形相似.其中结论正确的有( )
𝐴𝐷𝐸𝐹𝐴𝐷𝐷𝐸𝐴𝐷𝐸𝐶𝐴𝐷𝐵𝐹A.
5个
B.
4个
C.
3个
D.
2个
5.
二次函数𝑦=𝑥2−2𝑥−3的图象如图所示．当𝑦<0时，自变量x的取值范围是( )
A.
−1<𝑥<3
C.
𝑥>3
2B.
𝑥<−1
D.
𝑥<−3或𝑥>3
6.
如图，函数𝑦=−﹙𝑥−1﹚+𝑐的图象与x轴的一个交点坐标为(3,0)，则另一交点的横坐标为( )
A.
−4
B.
−3
第1页，共25页 C.
−2
D.
−1
7.
如图，点A在双曲线𝑦=𝑥上，点B在双曲线𝑦=𝑥上，C、D在x轴上，且𝐴𝐵//𝑥轴，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为( )
13A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
8.
在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中.∠𝐴𝐵𝐶=90°，𝐴𝐵=3，𝐵𝐶=6，点D是AC边上一动点，过点D作𝐷𝐸⊥𝐵𝐶，垂足为𝐸.作𝐷𝐹//𝐶𝐵，交AB于点𝐹.四边形DEBF的面积S与线段DE之间关系的图象大致是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9.
已知反比例函数𝑦=𝑥，其图象所在的每个象限内y随着x的增大而减小，请写出一个符合条件的反比例函数关系式：______．
𝐷𝐸//𝐵𝐶，𝐷𝐵=4，𝐴𝐸=10.
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，如果𝐴𝐷=3，2.那么𝐸𝐶=
______
．
11.
二次函数𝑦=−𝑥2+20𝑥图象的对称轴是______
．
𝑘第2页，共25页 12.
如图，在平行四边形ABCD中，E是边BC上的点，AE交BD于点F，如果𝐵𝐶=3，那么𝐹𝐷=
______
．
13.
如图，小明从路灯下，向前走了5米，发现自己在地面上的影子长DE是2米．如果小明的身高为1.6米，那么路灯高地面的高度AB是______米．
∠𝐴𝐶𝐵=90°，𝐶𝐷⊥𝐴𝐵于D，𝐴𝐷=8，14.
已知：如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐷=2，那么𝐶𝐷=______．
15.
在平面直角坐标系xOy中，一次函数𝑦=𝑥的图象与反比例函数𝑦=𝑥的图象交于A，B两点，如果点A，B的纵坐标是𝑦1，𝑦2，那么𝑦1+𝑦2的值是______
．
16.
△𝐴𝐵𝐶的三边长为√2，√6，2，△𝐴′𝐵′𝐶′的两边长为1，√3，要使△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴′𝐵′𝐶′，那么△𝐴′𝐵′𝐶′的第三条边长是______
．
三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）
17.
在方格纸中，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.请在方格纸中画出两个相似但不全等的格点三角形，再在适当的位置上画上坐标轴，指出这两个相似三角形顶点的坐标．
𝑚𝐵𝐸2𝐵𝐹
第3页，共25页
18.
在平面直角坐标系xOy中，一次函数𝑦=−𝑥+1的图象与反比例函数𝑦=𝑥图象相交于点𝐴(𝑚,2)．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出一次函数和反比例函数的图象．
𝑘
19.
如图，在四边形ABCD中，𝐴𝐷//𝐵𝐶，点E是边DC上一点，连接AE，F为AE上一点.且∠𝐵𝐹𝐸=∠𝐶，𝐹𝐵=𝐷𝐸.求证：△𝐴𝐵𝐹∽△𝐴𝐸𝐷．
第4页，共25页
𝐴𝐹𝐴𝐷
20.
已知一次函数𝑦1=𝑘𝑥+𝑛与二次函数𝑦2=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象都经过(1,−2)，(3,2)两点．
(1)请你求出一次函数、二次函数的表达式．
(2)当x取何值时，𝑦1>𝑦2．
21.
已知二次函数𝑦=𝑥2+𝑎𝑥−2(𝑎≠0)．
(1)它的图象与x轴有交点吗？说明你的理由．
(2)如果二次函数𝑦=𝑥2+𝑎𝑥−2的图象的对称轴为𝑥=2，请你求出它与x轴的交点坐标，并求出两个交点之间的距离．
第5页，共25页
1
22.
如图，人工喷泉有一个竖直的喷水AB，喷水口A距地面2米，喷水水流的轨迹是抛物线，如果要求水流的最高点P到喷水AB所在直线的距离为1米，且水流着地点C距离水底部B的距离为2米，那么水流的最高点距离地面是多少米？
23.
在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵>𝐴𝐶，𝐴𝐷=𝐴𝐸，DE与BC的延长线交于𝑀.求证：BM：𝐶𝑀=𝐵𝐷：CE．
24.
小明在学习完正比例函数𝑦1=𝑥和反比例函数𝑦2=𝑥之后，想自己试着研究函数𝑦=𝑦1+𝑦2的图象和性质，即𝑦=𝑥+𝑥的图象和性质.请你结合学习函数的经验，帮助小明补充完整学习探索过程．
115第6页，共25页 (1)函数𝑦=𝑥+𝑥自变量x的取值范围是______
．
(2)下表是y与x的几组对应值．
x
y
…
−3
−2
…
−10
a
3−1
−2
1−
25−
211
−
44−1717
441
1
25
2
22
5
23
10
3…
…
1其中a的值是______
．
(3)在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点.根据描出的点画出该函数的图象．
(4)结合函数的图象，写出该函数的性质(两条即可)：______
；______
．
25.
如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，点O，E分别是AC，AB的中点，连接𝑂𝐸.在直线AD上是否存在一点F，使得△𝑂𝐶𝐹与△𝐸𝑂𝐴相似，如果存在，请你画出点F，并证明你的结论；如果不存在，请说明理由．
第7页，共25页
26.
等腰△𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐵=𝐴𝐶=8，∠𝐵𝐴𝐶=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．
(1)如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△𝐵𝑃𝐸∽△𝐶𝐹𝑃；
(2)操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．
①探究1：△𝐵𝑃𝐸与△𝐶𝐹𝑃还相似吗？(只需写出结论)
②探究2：连接EF，△𝐵𝑃𝐸与△𝑃𝐹𝐸是否相似？请说明理由；
③设𝐸𝐹=𝑚，△𝐸𝑃𝐹的面积为S，试用m的代数式表示S．
27.
在平面直角坐标系xOy中，抛物线𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过点(2,3)，对称轴为直线𝑥=1．
(1)求抛物线的表达式；
第8页，共25页 (2)如果垂直于y轴的直线l与抛物线交于两点𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，其中𝑥1<0，𝑥2>0，与y轴交于点C，求𝐵𝐶−𝐴𝐶的值；
(3)将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x轴上，原抛物线上一点P平移后对应点为点Q，如果𝑂𝑃=𝑂𝑄，直接写出点Q的坐标．
28.
已知直线𝑦=√3𝑥+4√3与x轴、y轴分别交于A，B两点，∠𝐴𝐵𝐶=60°，BC与x轴交于点C．
(1)求C点坐标．
(2)若动点P从A点出发，沿AC向点C运动(不与A，C重合)，同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动(不与C，A重合)，动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度.设△𝐴𝑃𝑄的面积为S，P点的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
(3)在(2)的条件下，当△𝐴𝑃𝑄的面积最大时，y轴上有一点M，平面内是否存在一点N，使以A，Q，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
第9页，共25页 答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵𝑦=−2(𝑥−4)2+3，
∴此函数的顶点坐标为(4,3)，
故选：C．
根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
此题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：顶点式𝑦=𝑎(𝑥−ℎ)2+𝑘，顶点坐标是(ℎ,𝑘)，对称轴是𝑥=ℎ．
12.【答案】B
【解析】解：∵2𝑥=3𝑦(𝑦≠0)，
∴3=2或𝑦=2．
故选：B．
由2𝑥=3𝑦(𝑦≠0)，根据比例的性质，即可求得答案．
此题考查了比例的性质．此题比较简单，解题的关键是注意比例变形与比例的性质．
𝑥𝑦𝑥33.【答案】A
【解析】解：A、∵𝐷𝐸//𝐵𝐶，𝐸𝐹//𝐴𝐵，
∴𝐴𝐷：𝐷𝐵=𝐴𝐸：EC，AE：𝐶𝐸=𝐵𝐹：CF，
∴𝐴𝐷𝐷𝐵=𝐵𝐹𝐹𝐶，所以A选项的等式成立；
B、∵𝐸𝐹//𝐴𝐵，
∴𝐷𝐵=𝐸𝐶，所以B选项的等式不成立；
C、∵𝐷𝐸//𝐵𝐶，
∴△𝐴𝐷𝐸∽△𝐴𝐵𝐶，
∴𝐴𝐵=𝐵𝐶，所以C选项的等式不成立；
D、∵𝐷𝐸//𝐵𝐶，
∴𝐵𝐷：𝐴𝐷=𝐶𝐸：AE，
第10页，共25页
𝐴𝐷𝐷𝐸𝐴𝐷𝐴𝐸∵𝐸𝐹//𝐴𝐵，
∴△𝐶𝐸𝐹∽△𝐶𝐴𝐵，
∴𝐴𝐵=𝐴𝐶，
∴𝐵𝐷𝐴𝐷𝐸𝐹𝐶𝐸≠𝐸𝐹𝐴𝐵，所以D选项的等式不成立．
故选：A．
根据平行线分线段长比例定理和相似三角形的判定和性质进行判断即可．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：①两个全等三角形是相似三角形，正确，符合题意；
②所有正方形都相似，正确，符合题意；
③任意两个等腰三角形对应边不一定相等，所以不一定都相似，不正确，不符合题意；
④所有菱形的对应角不一定都相等，所以不一定都相似，不符合题意；
⑤两个等腰直角三角形相似，正确，符合题意，
正确的有3个，
故选：C．
根据相似图形的定义分别判断即可确定正确的选项．
考查了相似图形的定义，解题的关键是熟练掌握相似三角形以及相似多边形的判定．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
先观察图象确定抛物线𝑦=𝑥2−2𝑥−3的图象与x轴的交点，然后根据𝑦<0时，得到所对应的自变量x的取值范围．
本题考查了二次函数的图象．此类题可用数形结合的思想进行解答．
【解答】
解：由图象可以看出：
第11页，共25页 𝑦<0时，自变量x的取值范围是−1<𝑥<3；
故选A．
6.【答案】D
【解析】解：∵𝑦=−﹙𝑥−1﹚+𝑐，
∴抛物线的对称轴是直线𝑥=1，
∵函数的图象与x轴的一个交点坐标为(3,0)，
∴1=𝑥+322，
∴𝑥=−1，
∴另一交点的横坐标为−1．
故选D．
先确定抛物线的对称轴，然后利用抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称求解．
c是常数，𝑎≠0)与本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎,b，x轴的交点坐标，令𝑦=0，即𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
7.【答案】B
【解析】解：过A点作𝐴𝐸⊥𝑦轴，垂足为E，
∵点A在双曲线𝑦=𝑥上，
∴四边形AEOD的面积为1，
∵点B在双曲线𝑦=𝑥上，且𝐴𝐵//𝑥轴，
∴四边形BEOC的面积为3，
∴四边形ABCD为矩形，则它的面积为3−1=2．
故选：B．
根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S的关系𝑆=|𝑘|即可判断．
本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|𝑘|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
第12页，共25页
318.【答案】B
【解析】解：在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，𝑡𝑎𝑛𝐶=𝐶𝐵=2，
设𝐷𝐸=𝑥，在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐸中，𝐶𝐸=𝑡𝑎𝑛𝐶=则𝐵𝐸=𝐵𝐶−𝐶𝐸=6−2𝑥，
则𝑆=𝐷𝐸⋅𝐵𝐸=𝑥(6−2𝑥)=−2𝑥2+6𝑥(0≤𝑥≤3)，
该函数为开口向下的抛物线的一部分，且抛物线和x轴的交点坐标为(0,0)和(3,0)，
故选：B．
在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，𝑡𝑎𝑛𝐶=𝐶𝐵𝐴𝐵𝐸𝐷𝑥12𝐴𝐵1=2𝑥，
=，设𝐷𝐸=𝑥，在𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐸中，𝐶𝐸=𝑡𝑎𝑛𝐶=21𝐸𝐷𝑥12=2𝑥，则𝐵𝐸=𝐵𝐶−𝐶𝐸=6−2𝑥，即可求解．
本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、解直角三角形等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．
9.【答案】𝑦=𝑥(答案不唯一，𝑘>0即可)
【解析】解：∵在每个象限内y随着x的增大而减小，
∴𝑘>0．
例如：𝑦=𝑥(答案不唯一，只要𝑘>0即可)．
先根据反比例函数图象的性质确定k的正负情况，然后写出即可．
本题是开放性题目，主要考查反比例函数图象的性质，答案只要符合要求即可．
1110.【答案】3
【解析】解：∵𝐷𝐸//𝐵𝐶，
∴𝐶𝐸：𝐴𝐸=𝐵𝐷：AD，
∵𝐴𝐷=3，𝐷𝐵=4，𝐴𝐸=2，
∴𝐸𝐶=3，
故答案为：3．
根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解，即可得到EC的长．
888第13页，共25页 考查了平行线分线段成比例定理，注意线段之间的对应关系．
11.【答案】直线𝑥=10
【解析】解：∵𝑦=−𝑥2+20𝑥=−(𝑥−10)2+100，
∴二次函数图象的对称轴是直线𝑥=10．
故答案为直线𝑥=10．
把二次函数化成顶点式，然后解题即可．
本题考查了二次函数的对称轴，把二次函数写成顶点式是解题的关键．
12.【答案】3
【解析】解：ABCD是平行四边形，
∴𝐵𝐶//𝐴𝐷，𝐵𝐶=𝐴𝐷
∴△𝐵𝐸𝐹∽△𝐷𝐴𝐹
∴𝐵𝐸：𝐷𝐴=𝐵𝐹：DF
∵𝐵𝐶=𝐴𝐷
∴𝐵𝐹：𝐷𝐹=𝐵𝐸：𝐵𝐶=2：3．
由平行四边形的性质可证△𝐵𝐸𝐹∽△𝐷𝐴𝐹，再根据相似三角形的性质得BE：𝐷𝐴=𝐵𝐹：DF即可解．
本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理和性质．
213.【答案】5.6
【解析】解：∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，
∴△𝐸𝐶𝐷∽△𝐸𝐵𝐴，
∴𝐴𝐵=𝐴𝐸，
而𝐶𝐷=1.6，𝐴𝐷=5，𝐷𝐸=2，
∴𝐴𝐸=7，
∴𝐴𝐵=7，
∴𝐴𝐵=5.6米．
第14页，共25页
1.62𝐶𝐷𝐷𝐸故答案为5.6．
要求出AB的高，可利用相似三角形的性质，对应边成比例就可以求出．
本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质对应边成比例解题．
14.【答案】4
【解析】解：由射影定理得，𝐶𝐷2=𝐴𝐷⋅𝐷𝐵，
则𝐶𝐷=√8×2=4，
故答案为：4．
根据射影定理列式计算即可．
本题考查的是射影定理，掌握直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项是解题的关键．
15.【答案】0
【解析】解：∵一次函数𝑦=𝑥的图象与反比例函数𝑦=𝑥的图象交于A，B两点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴点A，B的纵坐标是互为相反数，
∴𝑦1+𝑦2=0，
故答案为0．
利用正比例函数和反比例函数的性质即可判定点A与点B关于原点对称，从而得出𝑦1+𝑦2=0．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：交点关于原点对称是解题的关键，
𝑚16.【答案】√2
【解析】解：∵△𝐴𝐵𝐶的三边长分别为：√2，√6，2，
∴△𝐴𝐵𝐶的三边长之比为，1：√3：√2，比例系数是√2，
∵△𝐴′𝐵′𝐶′的两边长分别为1和√3，△𝐴𝐵𝐶∽△𝐴′𝐵′𝐶′，
∴△𝐴′𝐵′𝐶′的第三边的长应等于√2．
故答案为：√2．
先求出△𝐴𝐵𝐶三边之比，再根据相似三角形对应边成比例解答即可．
第15页，共25页 本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，求出△𝐴𝐵𝐶的三边之比是解题的关键．
17.【答案】解：以边为主要条件，利用三边成比例来画．
注意要有一个钝角而且要在格点上，所以这个钝角必须是135度，就先画一个135度的角，然后在格点上的边长的相似比相等的相似三角形，
𝐴(0,−3)，𝐵(6,−3)，𝐶(9,0)，𝐴′(0,0)，𝐵′(4,0)，𝐶′(6,2)．
【解析】利用相似三角形的性质，对应边的相似比相等，对应角相等画两个相似三角形，注意要有一个钝角．要有一个钝角而且要在格点上，所以这个钝角必须是135度，就先画一个135度的角，然后在格点上的边长的相似比相等的相似三角形．
本题考查了相似变换作图的知识，注意图形的相似变换不改变图形中每一个角的大小；图形中的每条线段都扩大(或缩小)相同的倍数．
18.【答案】解：(1)∵一次函数𝑦=−𝑥+1的图象经过点𝐴(𝑚,2)．
∴2=−𝑚+1，
∴𝑚=−1，
∴𝐴(−1,2)，
∵𝐴(−1,2)在反比例丽数𝑦=𝑥图象上，
∴𝑘=−1×2=−2，
∴反比例函数的解析式为𝑦=−𝑥；
(2)画出两函数图象，如图所示：
2𝑘第16页，共25页 ．
【解析】(1)把点A的纵坐标代入一次函数解析式，得出A点的坐标，进而得出反比例函数的解析式；
(2)利用描点法在坐标系内画出两函数的图象．
此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
19.【答案】证明：∵𝐴𝐷//𝐵𝐶，
∴∠𝐷+∠𝐶=180°，
∵∠𝐵𝐹𝐸+∠𝐴𝐹𝐵=180°，∠𝐵𝐹𝐸=∠𝐶，
∴∠𝐷=∠𝐴𝐹𝐵，
又∵𝐹𝐵=𝐷𝐸，
∴△𝐴𝐵𝐹∽△𝐴𝐸𝐷．
【解析】由平行线的性质得出∠𝐷+∠𝐶=180°，证得∠𝐷=∠𝐴𝐹𝐵，根据相似三角形的判定定理可得出结论．
本题考查了相似三角形的判定，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
𝐴𝐹𝐴𝐷20.【答案】解：(1)∵一次函数𝑦1=𝑘𝑥+𝑛与二次函数𝑦2=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象都经过(1,−2)，(3,2)两点．
∴{𝑘+𝑛=−21+𝑏+𝑐=−2，{，
3𝑘+𝑛=29+3𝑏+𝑐=2第17页，共25页 𝑘=2𝑏=−2解得{，{
𝑛=−4𝑐=−1∴一次函数的解析式为𝑦1=2𝑥−4，二次函数的表达式为𝑦2=𝑥2−2𝑥−1．
(2)观察图象可知，当1<𝑥<3，𝑦1>𝑦2
【解析】(1)利用待定系数法即可解决问题；
(2)写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可．
本题考查待定系数法求函数的解析式，二次函数与不等式的关系，学会利用数形结合的思想解决问题．
21.【答案】解：(1)∵△=𝑎2−4×1×(−2)=𝑎2+8>0，
故抛物线与x轴有两个交点；
(2)函数的对称轴𝑥=−2=2，解得𝑎=−1，
则抛物线的表达式为𝑦=𝑥2−𝑥−2，
令𝑥2−𝑥−2=0，解得𝑥=2或−1，
∴抛物线与x轴的交点坐标为(2,0)、(−1,0)，
故两个交点之间的距离为2−(−1)=3．
【解析】(1)根据△=𝑎2−4×1×(−2)=𝑎2+8>0，即可求解；
(2)函数的对称轴𝑥=−2=2，解得𝑎=−1，则抛物线的表达式为𝑦=𝑥2−𝑥−2，令𝑥2−𝑥−2=0，解得𝑥=2或−1，即可求解．
本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
𝑎1𝑎122.【答案】解：由题目中所给的三点确定出的抛物线方程为：
𝑦=−5𝑥2+8165𝑥+2，
求其最高点p，由题目可知最高点p的x的值为1，
代入原函数求解得：𝑦=3.6米，
第18页，共25页 答：水流的最高点距离地面是3.6米．
【解析】要想求出水流最高点距地面高度，可以先以B为原点地面为x轴建立直角坐标系，由题目可知水流抛物线，过点(0,2)、(2,0)、(−2,0)，根据这三个点求出抛物线方程，求得最高点．
本题主要考查了抛物线的求解，以及解决抛物线最值的问题．
5123.【答案】证明：过点C作𝐶𝐹//𝐴𝐵交DM于点F，
∴∠𝐸𝐹𝐶=∠𝐴𝐷𝐸，
∵𝐴𝐷=𝐴𝐸，
∴∠𝐴𝐸𝐷=∠𝐴𝐷𝐸，
∵∠𝐶𝐸𝐹=∠𝐴𝐸𝐷，
∴∠𝐸𝐹𝐶=∠𝐶𝐸𝐹，
𝐶𝐸=𝐶𝐹，
由𝐶𝐹//𝐴𝐵可得△𝐵𝑀𝐷∽△𝐶𝑀𝐹，
∴𝐶𝑀=∴𝐵𝑀𝐶𝑀𝐵𝑀𝐵𝐷𝐶𝐹𝐵𝐷𝐶𝐸，
，
=即BM：𝐶𝑀=𝐵𝐷：CE．
CE，𝐶𝑀=𝐵𝐷：【解析】要想证明BM：就得证所在的三角形相似，显然△𝐵𝑀𝐷与△𝐶𝑀𝐸𝐶𝑀=𝐵𝐷：𝐶𝐹.再不相似，不妨我们作如图𝐶𝐹//𝐶𝐹，得到△𝐵𝑀𝐷∽△𝐶𝑀𝐹，即得到BM：由已知𝐴𝐷=𝐴𝐸和𝐶𝐹//𝐴𝐵得：𝐶𝐸=𝐶𝐹，等量代换得BM：𝐶𝑀=𝐵𝐷：CE．
此题考查的知识点是相似三角形的判定和性质，证明此题的关键是作辅助线得三角形相似，通过等量代换得出答案．
24.【答案】𝑥≠0
−2
该函数没有最小值没有最大值
该函数图象关于原点对称
【解析】解：(1)自变量x的取值范围：𝑥≠0，
故答案为𝑥≠0；
(2)把𝑥=−2代入𝑦=𝑥+𝑥得，𝑦=−2−2=−2，
第19页，共25页
1155∴𝑎=−，
2故答案为−2；
(3)描点、连线画出函数图象如图所示：
55
(4)观察所画出的函数图象，有如下性质：①该函数没有最小值没有最大值；②该函数图象关于原点对称．
故答案为：该函数没有最小值没有最大值；该函数图象关于原点对称(答案不唯一)．
(1)分式的分母不等于零；
(2)把𝑥=−2代入𝑦=𝑥+𝑥即可求解；
(3)根据题意描点、连线即可；再观察图象即可得出该函数的其他性质．
本题综合考查了函数的图象和性质，根据图表画出函数的图象是解题的关键．
125.【答案】解：存在，如图，点F即为所求．
理由：∵𝑂𝐴=𝑂𝐶，𝑂𝐹⊥𝐴𝐶，
∴𝐹𝐴=𝐹𝐶，
∴∠𝐴𝐹𝑂=∠𝐶𝐹𝑂，
∵∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐴𝑂𝐹=90°，
第20页，共25页 ∴∠𝐸𝐴𝑂+∠𝐹𝐴𝑂=90°，∠𝐹𝐴𝑂+∠𝐴𝐹𝑂=90°，
∴∠𝐸𝐴𝑂=∠𝐴𝐹𝑂=∠𝐶𝐹𝑂，
∵𝐴𝐸=𝐸𝐵，𝐴𝑂=𝑂𝐶，
∴𝑂𝐸//𝐵𝐶，
∴∠𝐴𝐸𝑂=∠𝐵=90°，
∴∠𝐴𝐸𝑂=∠𝐹𝑂𝐶=90°，
∴△𝐶𝐹𝑂∽△𝐶𝐴𝐸．
【解析】过点O作𝑂𝐹⊥𝐴𝐶交AD于点F，连接CF，△𝑂𝐶𝐹即为所求．
本题考查相似三角形的判定，矩形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
26.【答案】(1)证明：∵在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶=120°，𝐴𝐵=𝐴𝐶，
∴∠𝐵=∠𝐶=30°．
∵∠𝐵+∠𝐵𝑃𝐸+∠𝐵𝐸𝑃=180°，
∴∠𝐵𝑃𝐸+∠𝐵𝐸𝑃=150°，
又∠𝐸𝑃𝐹=30°，且∠𝐵𝑃𝐸+∠𝐸𝑃𝐹+∠𝐶𝑃𝐹=180°，
∴∠𝐵𝑃𝐸+∠𝐶𝑃𝐹=150°，
∴∠𝐵𝐸𝑃=∠𝐶𝑃𝐹，
∴△𝐵𝑃𝐸∽△𝐶𝐹𝑃(两角对应相等的两个三角形相似)．
(2)解：①△𝐵𝑃𝐸∽△𝐶𝐹𝑃；
②△𝐵𝑃𝐸与△𝑃𝐹𝐸相似．
下面证明结论：
同(1)，可证△𝐵𝑃𝐸∽△𝐶𝐹𝑃，得𝐵𝐸=𝑃𝐸，而𝐶𝑃=𝐵𝑃，因此𝑃𝐹=𝑃𝐸．
又因为∠𝐸𝐵𝑃=∠𝐸𝑃𝐹，所以△𝐵𝑃𝐸∽△𝑃𝐹𝐸(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似)．
③由②得△𝐵𝑃𝐸∽△𝑃𝐹𝐸，所以∠𝐵𝐸𝑃=∠𝑃𝐸𝐹．
分别过点P作𝑃𝑀⊥𝐵𝐸，𝑃𝑁⊥𝐸𝐹，垂足分别为M、N，则𝑃𝑀=𝑃𝑁．
连AP，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝑃中，由∠𝐵=30°，𝐴𝐵=8，可得𝐴𝑃=4．
𝐵𝑃𝐵𝐸𝐶𝑃𝑃𝐹第21页，共25页 所以𝑃𝑀=2√3，所以𝑃𝑁=2√3，
所以𝑠=2𝑃𝑁×𝐸𝐹=√3𝑚.
(1)出△𝐵𝑃𝐸与△𝐶𝐹𝑃的对应角，∠𝐵𝑃𝐸+∠𝐶𝑃𝐹=【解析】其中∠𝐵𝑃𝐸+∠𝐵𝐸𝑃=150°，150°，得出∠𝐵𝐸𝑃=∠𝐶𝑃𝐹，从而解决问题；
(2)①小题同前可证，②小题可通过对应边成比例证明，③小题先求出△𝐵𝑃𝐸中BE上的高，再求出△𝑃𝐸𝐹中EF上的高，得出关系式．
这是一道操作探究题，它改变了多年来扬州市最后一道压轴题以二次函数为主线的呈现方式．它以每位学生都有的30°三角板在图形上的运动为背景，既考查了学生图形旋转变换的思想，静中思动，动中求静的思维方法，又考查了学生动手实践、自主探究的能力．
问题的设置以问题串的形式呈现，层层推进，第1问入手容易，第2问深入困难，有一定的区分度，使不同层次的学生有不同的收获．
同时通过本题的解答，一使同学们领悟到学习数学的方法，二是提醒教师学生在平时的教学中要注意变式练习．
本题的第1问不难，用两角相等即可证得相似，第2问中的①由第1问类比即得，②要用到①中对应边成比例代换后方可证得，③一般学生都能想到作高，却想不到求这条高要用到角平分线、解直角三角形等知识．实际上三角板运动到特殊位置还有一些结论，感兴趣的学生不妨继续研究．
127.【答案】解：(1)∵抛物线𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过点(2,3)，对称轴为直线𝑥=1，
−4+2𝑏+𝑐=3∴{𝑏，
=12𝑏=2解得{，
𝑐=3∴抛物线的表达式为𝑦=−𝑥2+2𝑥+3；
(2)如图，设直线l与对称轴交于点M，则𝐵𝑀=𝐴𝑀．
∴𝐵𝐶−𝐴𝐶=𝐵𝑀+𝑀𝐶−𝐴𝐶=𝐴𝑀+𝑀𝐶−𝐴𝐶=2𝑀𝐶=2；
(3)∵𝑦=−𝑥2+2𝑥+3=−(𝑥−1)2+4，
第22页，共25页 ∴顶点为(1,4)，
∵将抛物线向上或向下平移，使新抛物线的顶点落在x轴上，
∴新抛物线的顶点为(1,0)，
∴将原抛物线向下平移4个单位即可．
设点P的坐标为(𝑥,𝑦)，则𝑦=−𝑥2+2𝑥+3，点Q的坐标为(𝑥,𝑦−4)，则𝑦>𝑦−4．
∵𝑂𝑃=𝑂𝑄，
∴𝑥2+𝑦2=𝑥2+(𝑦−4)2，
∴𝑦2=(𝑦−4)2，
∵𝑦>𝑦−4，
∴𝑦=−(𝑦−4)，
∴𝑦=2，
∴𝑦−4=−2，
当𝑦=2时，−𝑥2+2𝑥+3=2，
解得𝑥=1±√2，
∴点Q的坐标为(1+√2,−2)或(1−√2,−2)．
【解析】(1)将点(2,3)代入𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，可得−4+2𝑏+𝑐=3，根据对称轴为直线𝑥=1，得出2=1，把两个方程联立得到二元一次方程组，求解得出抛物线的表达式；
(2)设直线l与对称轴交于点M，根据抛物线的对称性得出𝐵𝑀=𝐴𝑀.那么𝐵𝐶−𝐴𝐶=𝐵𝑀+𝑀𝐶−𝐴𝐶=𝐴𝑀+𝑀𝐶−𝐴𝐶=2𝑀𝐶=2；
(3)先利用配方法求出原抛物线的顶点为(1,4)，根据上下平移横坐标不变，纵坐标相加减得出新抛物线的顶点为(1,0).再设点P的坐标为(𝑥,𝑦)，则𝑦=−𝑥2+2𝑥+3，点Q的坐标为(𝑥,𝑦−4)，根据𝑂𝑃=𝑂𝑄列出方程进而求解即可．
本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的性质，二次函数图象与几何变换，函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式等知识，正确求出抛物线的解析式是解题的关键．
𝑏28.【答案】解：(1)对于𝑦=√3𝑥+4√3，令𝑦=√3𝑥+4√3=0，
解得𝑥=−4，令𝑥=0，则𝑦=4√3，
故点A、B的坐标分别为(−4,0)、(0,4√3)，
则tan∠𝐵𝐴𝑂=4√34=√3，故∠𝐵𝐴𝑂=60°，
第23页，共25页 ∴∠𝐴𝐵𝑂=30°，则𝐴𝐵=2𝐴𝑂=8，
∵∠𝐴𝐵𝐶=60°，故△𝐴𝐵𝐶为边长为8的等边三角形，
则𝐴𝐶=8，故点𝐶(4,0)；
(2)①当点Q在BC上运动时，t秒时，𝐴𝑃=𝑡，𝐶𝑄=2𝑡，
过点Q作𝑄𝐻⊥𝑥轴于点H，则𝑄𝐻=𝑄𝐶⋅sin∠𝐴𝐶𝐵=2𝑡⋅𝑠𝑖𝑛60°=√3𝑡，
则𝑆=𝐴𝑃⋅𝑄𝐻=⋅𝑡⋅√3𝑡=√𝑡2，
222当𝑡=4时，函数取得最大值为8√3，
√②当点Q在AB上运动时，t秒时，𝐴𝑃=𝑡，点Q的纵坐标(16−2𝑡)⋅，
23113同理可得：𝑆=⋅𝑡⋅(16−2𝑡)⋅√=−√𝑡2+4√3𝑡，
222该抛物线为开口向下的抛物线，当𝑡>4时，S随x的增大而减小，
故点Q在点B时，△𝐴𝑃𝑄的面积最大，
当𝑡=4时，函数取得最大值为8√3．
即𝑆=√32𝑡(0≤𝑡≤4){2√3−𝑡2+4√3𝑡(42133；
<𝑡≤8)
(3)存在，理由：
由(2)知，点Q在点B时，△𝐴𝑃𝑄的面积最大，此时𝑡=4，点𝑄(0,4√3)，
而点𝐴(−4,0)，设点M、N的坐标分别为(0,𝑚)、(𝑎,𝑏)，
由点A、Q的坐标得，𝐴𝑄=8，则𝐴𝑄2=64，
①当AQ是边时，点A向右平移4个单位向上平移4√3个单位得到点Q，
同样点𝑀(𝑁)向右平移4个单位向上平移4√3个单位得到𝑁(𝑀)，且𝐴𝑄=𝐴𝑀(𝐴𝑄=𝐴𝑁)，
0±4=𝑎则{𝑚±4√3=𝑏，
64=𝑚2+16或64=(𝑎+4)2+𝑏2𝑚=4√3𝑚=−4√3𝑚=8+4√3𝑚=4√3−8(舍去)或{𝑎=4解得{𝑎=4或{𝑎=−4或{𝑎=−4，
𝑏=0𝑏=8𝑏=−8𝑏=8√3故点N的坐标为(4,0)或(−4,−8)或(−4,8)；
②当AQ是对角线时，
则MN的中点即为AQ的中点，且𝐴𝑀=𝐴𝑄，
第24页，共25页 2(0−4)=2(𝑎+0)故1(0+4√3)=1(𝑏+𝑚)，
2
2{(−4)2+𝑚2=(𝑎+4)2+𝑏2
𝑚=3解得𝑎=−4，
8√3{𝑏=3故点N的坐标为(−4,8√334√311)，
8√3).
3综上，点N的坐标为(4,0)或(−4,−8)或(−4,8)或(−4,
(1)对于𝑦=√3𝑥+4√3，令𝑦=√3𝑥+4√3=0，解得𝑥=−4，【解析】令𝑥=0，则𝑦=4√3，则tan∠𝐵𝐴𝑂=4√34=√3，故∠𝐵𝐴𝑂=60°，则𝐴𝐵=2𝐴𝑂=8，而∠𝐴𝐵𝐶=60°，故△𝐴𝐵𝐶为边长为8的等边三角形，即可求解；
(2)点Q在BC上运动时，则𝑆=𝐴𝑃⋅𝑄𝐻=⋅𝑡⋅√3𝑡=√𝑡2，当点Q在AB上运动时，222同理可得：𝑆=⋅𝑡⋅(16−2𝑡)⋅√=−√𝑡2+4√3𝑡，即可求解；
222133113(3)分AQ是边、AQ是对角线利用菱形的性质即可求解．
本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、菱形的性质、图形的平移、解直角三角形等，其中(3)，要注意分类求解，避免遗漏．
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