2009年安徽省高考数学试卷(理科)及答案
2023年10月31日发(作者：催人奋进的诗句大全)
诺奖获得者-
2009年安徽省高考数学试卷（理科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）i是虚数单位，若A．﹣15 B．﹣3 C．3
=a+bi（a，b∈R），则乘积ab的值是（ ）
D．15
＜0}，则A∩B是（ ）
2．（5分）若集合A={x||2x﹣1|＜3}，B={x|A．{x|﹣1＜x＜﹣或2＜x＜3} B．{x|2＜x＜3}
C．{x|﹣＜x＜2} D．{x|﹣1＜x＜﹣}
3．（5分）下列曲线中离心率为A． B．的是（ ）
C． D．
4．（5分）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（ ）
A．p：a+c＞b+d，q：a＞b且c＞d
B．p：a＞1，b＞1，q：f（x）=ax﹣b（a＞0，且a≠1）的图象不过第二象限
C．p：x=1，q：x=x2
D．p：a＞1，q：f（x）=logax（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上为增函数
5．（5分）已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（ ）
A．21 B．20 C．19 D．18
6．（5分）设a＜b，函数y=（a﹣x）（x﹣b）2的图象可能是（ ）
A． B． C． D． 7．（5分）若不等式组所表示的平面区域被直线y=kx+分为面积相等的两部分，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）已知函数f（x）=sinwx+coswx（w＞0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f（x）的单调递增区间是（ ）
A．[kπ﹣C．[kπ﹣，kπ+，kπ+]，k∈Z B．[kπ+]，k∈Z D．[kπ+，kπ+，kπ+]，k∈Z
]，k∈Z
9．（5分）已知函数f（x）在R上满足f（1+x）=2f（1﹣x）﹣x2+3x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（ ）
A．x﹣y﹣2=0 B．x﹣y=0 C．3x+y﹣2=0 D．3x﹣y﹣2=0
10．（5分）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）
A．
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）若随机变量X～N（μ，σ2），则P（X≤μ）= ．
12．以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为（ρ∈R），它与曲线 B． C． D．
（α为参数）相交于两点A和B，则|AB|= ．
13．（5分）程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是 ．
14．（5分）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．如图所=x+y，其中x，示，点C在以O为圆心，以1半径的圆弧AB上变动．若y∈R，则x+y的最大值是 ．
15．（5分）对于四面体ABCD，下列命题正确的序号是 ．
①相对棱AB与CD所在的直线异面；
②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD的三条高线的交点；
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；
④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；
⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（12分）在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）设AC=，求△ABC的面积．
17．（12分）某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区．B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是．同样也假定D受A、B和C感染 的概率都是．在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数x就是一个随机变量．写出x的分布列（不要求写出计算过程），并求x的均值（即数学期望）．
18．（13分）如图所示，四棱锥F﹣ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=．AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2．
（1）求二面角B﹣AF﹣D的大小；
（2）求四棱锥E﹣ABCD与四棱锥F﹣ABCD公共部分的体积．
19．（12分）已知函数f（x）=x﹣+a（2﹣lnx），（a＞0），讨论f（x）的单调性．
20．（13分）点P（x0，y0）在椭圆（a＞b＞0）上，x0=acosβ，y0=bsinβ，0＜．直线l2与直线l1：垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为γ
（Ⅰ）证明：点P是椭圆与直线l1的唯一交点；
（Ⅱ）证明：tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．
21．（13分）首项为正数的数列{an}满足an+1=（an2+3），n∈N+．
（1）证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数；
（2）若对一切n∈N+都有an+1＞an，求a1的取值范围．
2009年安徽省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1．（5分）（2009•安徽）i是虚数单位，若值是（ ）
A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．15
，再依据两个复数相等的充=a+bi（a，b∈R），则乘积ab的【分析】先根据两个复数相除的除法法则化简
要条件求出a和b的值，即得乘积ab的值．
【解答】解：∵===﹣1+3i
=a+bi，∴a=﹣1，b=3，∴ab=﹣1×3=﹣3．
故选B．
2．（5分）（2009•安徽）若集合A={x||2x﹣1|＜3}，B={x|是（ ）
A．{x|﹣1＜x＜﹣或2＜x＜3} B．{x|2＜x＜3}
C．{x|﹣＜x＜2} D．{x|﹣1＜x＜﹣}
【分析】集合A中的绝对值不等式可利用讨论2x﹣1的正负得到一个不等式组，求出不等式组的解集即可得到集合A；集合B中的其他不等式可转化为2x+1与x﹣3同号即同时为正或同时为负得到两个不等式组，分别求出解集即可得到集合B，求出两集合的交集即可．
【解答】解：∵|2x﹣1|＜3，
∴﹣3＜2x﹣1＜3，即∴﹣1＜x＜2，
又∵＜0，
，
＜0}，则A∩B ∴（2x+1）（x﹣3）＞0，即∴x＞3或x＜﹣，
∴A∩B={x|﹣1＜x＜﹣}．
故选D
或，
3．（5分）（2009•安徽）下列曲线中离心率为A． B． C．的是（ ）
D．
【分析】通过验证法可得双曲线的方程为【解答】解：选项A中a=选项B中a=2，c=选项C中a=2，c=选项D中a=2，c=故选B
，则e=，则e=则e=，b=2，c=符合题意
不符合题意
，不符合题意
=时，，e=排除．
．
4．（5分）（2009•安徽）下列选项中，p是q的必要不充分条件的是（ ）
A．p：a+c＞b+d，q：a＞b且c＞d
B．p：a＞1，b＞1，q：f（x）=ax﹣b（a＞0，且a≠1）的图象不过第二象限
C．p：x=1，q：x=x2
D．p：a＞1，q：f（x）=logax（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上为增函数
【分析】由题意根据必要条件、充分条件和充要条件的定义对ABCD四个选项进行一一判断，从而求解．
【解答】解：A、∵q：a＞b且c＞d，∴a+c＞b+d，∴q⇒p，但p推不出q，p是q的必要不充分条件，故A正确；
B、∵p：a＞1，b＞1，∴f（x）=ax﹣b（a＞0，且a≠1）的图象不过第二象限， 但若b=1，a＞1时f（x）的图象也不过第二象限，q推不出p，∴p是q的充分不必要条件，故B错误；
C、∵x=1，∴x=x2，但当x=0时，x=x2，也成立，q推不出p，∴p是q的充分不必要条件，故C错误；
D、∵a＞1，∴f（x）=logax（a＞0，且a≠1）在（0，+∞）上为增函数，p是q的充要条件，故D错误；
故选A．
5．（5分）（2009•安徽）已知{an}为等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（ ）
A．21 B．20 C．19 D．18
【分析】写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．
【解答】解：设{an}的公差为d，由题意得
a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105，即a1+2d=35，①
a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99，即a1+3d=33，②
由①②联立得a1=39，d=﹣2，
∴Sn=39n+×（﹣2）=﹣n2+40n=﹣（n﹣20）2+400，
故当n=20时，Sn达到最大值400．
故选：B．
6．（5分）（2009•安徽）设a＜b，函数y=（a﹣x）（x﹣b）2的图象可能是（ ）
A． B． C． D． 【分析】根据所给函数式的特点，知函数值的符号取决于x的值与a的值的大小关系，当x≥a时，y≤0，当x≤a时，y≥0，据此即可解决问题．
【解答】解：∵y=（a﹣x）（x﹣b）2
∴当x≥a时，y≤0，
故可排除A、D；
又当x≤a时，y≥0，
故可排除C；
故选B．
7．（5分）（2009•安徽）若不等式组为面积相等的两部分，则k的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先根据约束条件：再利用几何意义求面积即可．
【解答】解：满足约束条件：由图可知，直线，平面区域如图示：
再经过BC的中点D，画出可行域，求出可行域顶点的坐标，所表示的平面区域被直线y=kx+分恒经过点A（0，），当直线（，）时，平面区域被直线当x=，y=时，代入直线k=，
故选A．
分为面积相等的两部分，
的方程得：
8．（5分）（2009•安徽）已知函数f（x）=sinwx+coswx（w＞0），y=f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则（fx）的单调递增区间是（ ）
A．[kπ﹣C．[kπ﹣，kπ+，kπ+]，k∈Z B．[kπ+]，k∈Z D．[kπ+，kπ+，kπ+]，k∈Z
]，k∈Z
【分析】先把函数化成y=Asin（ωx+φ）的形式，再根据三角函数单调区间的求法可得答案．
【解答】解：f（x）=sinwx+coswx=2sin（wx+），（w＞0）．
∵f（x）的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f（x）的一个周期，
∴=π，w=2．f（x）=2sin（2x+）．
≤2kπ+，k∈Z．kπ﹣≤x≤kπ+，
故其单调增区间应满足2kπ﹣故选C．
≤2x+9．（5分）（2009•安徽）已知函数f（x）在R上满足f（1+x）=2f（1﹣x）﹣x2+3x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是（ ）
A．x﹣y﹣2=0 B．x﹣y=0 C．3x+y﹣2=0 D．3x﹣y﹣2=0
【分析】对等式两边进行求导数，通过赋值求切线斜率；对等式赋值求切点坐标； 据点斜式写出直线方程．
【解答】解：∵f（1+x）=2f（1﹣x）﹣x2+3x+1
∴f′（1+x）=﹣2f′（1﹣x）﹣2x+3
∴f′（1）=﹣2f′（1）+3
∴f′（1）=1
f（1+x）=2f（1﹣x）﹣x2+3x+1
∴f（1）=2f（1）+1
∴f（1）=﹣1
∴切线方程为：y+1=x﹣1即x﹣y﹣2=0
故选A
10．（5分）（2009•安徽）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点种任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【分析】先用组合数公式求出甲乙从这6个点中任意选两个点连成直线的条数共有C62，再用分步计数原理求出甲乙从中任选一条共有225种，利用正八面体出相互平行但不重合共有共12对，代入古典概型的概率公式求解．
【解答】解：甲从这6个点中任意选两个点连成直线，共有C62=15条，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，
共有C62=15条，甲乙从中任选一条共有15×15=225种不同取法，
因正方体6个面的中心构成一个正八面体，有六对相互平行但不重合的直线，则甲乙两人所得直线相互平行但不重合共有12对，
这是一个古典概型，所以所求概率为故选D．
二、填空题（共5小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）（2009•安徽）若随机变量X～N（μ，σ2），则P（X≤μ）= ．
=， 【分析】由正态分布的图象规律知，其在x=μ左侧一半的概率为，故得P（ζ≤μ）的值．
【解答】解：∵ζ服从正态分布N（μ，σ2），
根据正态密度曲线的对称性可得
∴曲线关于x=μ对称，P（X≤μ）=
选填：．
12．（2009•安徽）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为线（α为参数）相交于两点A和B，则|AB|=
（ρ∈R），它与曲 ．
【分析】把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，求出弦心距，再利用弦长公式求得弦长|AB|的值．
【解答】解：直线的极坐标方程为曲线（ρ∈R），化为直角坐标方程为x﹣y=0．
（α为参数）的普通方程为 （x﹣1）2+（y﹣2）2=4，表示以（1，2）为圆心，半径等于2的圆．
求得弦心距d=故答案为
13．（5分）（2009•安徽）程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是
127 ．
．
=，故弦长为 2=2=，
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算a值，并输出满足条件a＞100的第一个a值，模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中变量a的值的变化情况进行分析，不难给出答案．
【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：
a 是否继续循环
循环前 1/
第一圈 3 是
第二圈 7 是
第三圈 15 是
第四圈 31 是
第五圈 63 是
第六圈 127 否
故最后输出的a值为：127
故答案为：127
14．（5分）（2009•安徽）给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为=x+y，120°．如图所示，点C在以O为圆心，以1半径的圆弧AB上变动．若其中x，y∈R，则x+y的最大值是 2 ．
【分析】根据题意，建立坐标系，设出A，B点的坐标，并设∠AOC=α，则向量，且的最值．
【解答】解：建立如图所示的坐标系，
则A（1，0），B（cos120°，sin120°），
即B（﹣，设∠AOC=α，则∵=x+y）．
=（cosα，sinα）．
y）
=x+y，由向量相等，得x，y的值，从而求得x+y=（x，0）+（﹣，=（cosα，sinα）；
则，
解得，
∴x+y=sinα+cosα=2sin（α+30°）．
∵0°≤α≤120°．∴30°≤α+30°≤150°．
∴x+y有最大值2，当α=60°时取最大值2．答案：2
15．（5分）（2009•安徽）对于四面体ABCD，下列命题正确的序号是 ①④⑤ ．
①相对棱AB与CD所在的直线异面； ②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD的三条高线的交点；
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；
④分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；
⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．
【分析】①根据三棱锥的结构特征判断．②根据对棱不一定相互垂直判断．③可由正四面体时来判断．④由棱中点两两连接构成平行四边形判断．⑤根据两边之和大于第三边判断．
【解答】解：①根据三棱锥的结构特征知正确．
②因为只有对棱相互垂直才行，所以不一定，不正确．
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，若是正四面体时，则两直线相交，不正确．
④因为相对棱中点两两连接构成平行四边形，而对棱的中点的连接正是平行四边形的对角线，所以三条线段相交于一点，故正确．
⑤设图中CD是最长边．
BC+BD＞CD，AC+AD＞CD
若AC+BC≤CD 且AD+BD≤CD
则AC+AD+BC+BD≤CD+CD，矛盾
则命题成立．
故答案为：①④⑤
三、解答题（共6小题，满分75分）
16．（12分）（2009•安徽）在△ABC中，sin（C﹣A）=1，sinB=．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）设AC=，求△ABC的面积． 【分析】（I）利用sin（C﹣A）=1，求出A，C关系，通过三角形内角和结合sinB=，求出sinA的值；
（II）通过正弦定理，利用（I）及AC=的面积．
【解答】解：（Ⅰ）因为sin（C﹣A）=1，所以∴∴∴又sinA＞0，∴
，求出BC，求出sinC，然后求△ABC，且C+A=π﹣B，
，
，
，
（Ⅱ）如图，由正弦定理得∴，
又sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=∴
17．（12分）（2009•安徽）某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区．B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是．同样也假定D受A、B和C感染的概率都是．在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数x就是一个随机变量．写出x的分布列（不要求写出计算过程），并求x的均值（即数学期望）．
【分析】由题意知X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出 x的分布列和x的均值．
【解答】解：由题意知X的可能取值为1，2，3，
随机变量X的分布列是
X
P
1
2
3
X的均值为EX=1×+2×+3×=
．
18．（13分）（2009•安徽）如图所示，四棱锥F﹣ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线AC=2，BD=．AE、CF都与平面ABCD垂直，AE=1，CF=2．
（1）求二面角B﹣AF﹣D的大小；
（2）求四棱锥E﹣ABCD与四棱锥F﹣ABCD公共部分的体积．
【分析】（1）连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OG⊥AF，G为垂足，连接BG、DG，根据定义可知∠BGD为二面角B﹣AF﹣D的平面角，在三角形BGD中求出此角即可；
（2）连接EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，则四棱锥E﹣ABCD与四棱锥F﹣ABCD的公共部分为四棱锥H﹣ABCD，过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足，然后求出HP，利用体积公式V=S菱形ABCD•HP求解即可．
【解答】解：（1）解：连接AC、BD交于菱形的中心O，过O作OG⊥AF，G为垂足，连接BG、DG．
由BD⊥AC，BD⊥CF得BD⊥平面ACF，故BD⊥AF．
于是AF⊥平面BGD，所以BG⊥AF，DG⊥AF，∠BGD为二面角B﹣AF﹣D的平面角．
由FC⊥AC，FC=AC=2，得∠FAC=由OB⊥OG，OB=OD=，OG=．
．
，得∠BGD=2∠BGO= （2）解：连接EB、EC、ED，设直线AF与直线CE相交于点H，
则四棱锥E﹣ABCD与四棱锥F﹣ABCD的公共部分为四棱锥H﹣ABCD．
过H作HP⊥平面ABCD，P为垂足．
因为EA⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，
所以平面ACEF⊥平面ABCD，从而P∈AC，HP⊥AC．
由+=+=1，得HP=．
，
．
又因为S菱形ABCD=AC•BD=故四棱锥H﹣ABCD的体积V=S菱形ABCD•HP=
19．（12分）（2009•安徽）已知函数f（x）=x﹣+a（2﹣lnx），（a＞0），讨论f（x）的单调性．
【分析】先求出函数的定义域，然后求出导函数，设g（x）=x2﹣ax+2，二次方程g（x）=0的判别式△=a2﹣8，然后讨论△的正负，再进一步考虑导函数的符号，从而求出函数的单调区间．
【解答】解：f（x）的定义域是（0，+∞），设g（x）=x2﹣ax+2，二次方程g（x）=0的判别式△=a2﹣8．
①当△=a2﹣8＜0，即在（0，+∞）上是增函数．
②当△=a2﹣8=0，即时，仅对有f′（x）=0，对其余的x＞0都有f′（x）时，对一切x＞0都有f′（x）＞0，此时f（x）．
＞0，此时f（x）在（0，+∞）上也是增函数．
③当△=a2﹣8＞0，即时，
，x2
（x2，+∞）
，0＜x1＜x2．
方程g（x）=0有两个不同的实根x
（0，x1）
x1
（x1，x2） f'（x）
+
0
极大
_
单调递减↘
0
极小
+
单调递增
f（x）
单调递增↗
此时f（x）在上单调递增，在是上单调递减，在
上单调递增．
20．（13分）（2009•安徽）点P（x0，y0）在椭圆（a＞b＞0）上，x0=acosβ，y0=bsinβ，0＜．直线l2与直线l1：垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为α，直线l2的倾斜角为γ
（Ⅰ）证明：点P是椭圆与直线l1的唯一交点；
（Ⅱ）证明：tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．
【分析】（Ⅰ）由，得y=，从而x=acosβ，由此能证明直线l1与椭圆有唯一交点P．
（Ⅱ）tanα==tanβ，由此得tanαtanγ=tan2β≠0，从而能证明tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．
【解答】解：（Ⅰ）由，得y=，
代入椭圆，得，
将，代入上式，得x2﹣2acosβx+a2cos2β=0，
从而x=acosβ， ∴有唯一解，
即直线l1与椭圆有唯一交点P．
（Ⅱ）tanα==tanβ，
l1的斜率为tan=，
由此得tanαtanγ=tan2β≠0，
∴tanα，tanβ，tanγ构成等比数列．
21．（13分）（2009•安徽）首项为正数的数列{an}满足an+1=（an2+3），n∈N+．
（1）证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数；
（2）若对一切n∈N+都有an+1＞an，求a1的取值范围．
【分析】（1）首先在n=1时，知a1为奇数，再利用归纳法证明对一切n≥2，an都是奇数；
（2）先求出an+1﹣an的表达式，利用函数思想求解不等式an+1﹣an＞0，求出an取值范围，利用归纳法求出a1的取值范围．
【解答】（1）证明：已知a1是奇数，假设ak=2m﹣1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得ak+1==m（m﹣1）+1是奇数．
根据数学归纳法，对任何n≥2，an都是奇数．
（2）法一：由an+1﹣an=（an﹣1）（an﹣3）知，an+1＞an当且仅当an＜1或an＞3．
另一方面，若0＜ak＜1，则0＜ak+1＜若ak＞3，则ak+1＞=3．
=1；
根据数学归纳法得，0＜a1＜1⇔0＜an＜1，∀n∈N+；
a1＞3⇔an＞3，∀n∈N+． 综上所述，对一切n∈N+都有an+1＞an的充要条件是0＜a1＜1或a1＞3．
法二：由a2=＞a1，得a12﹣4a1+3＞0，于是0＜a1＜1或a1＞3．
an+1﹣an=﹣=，
因为a1＞0，an+1=，所以所有的an均大于0，
因此an+1﹣an与an﹣an﹣1同号．
根据数学归纳法，∀n∈N+，an+1﹣an与a2﹣a1同号．
因此，对一切n∈N+都有an+1＞an的充要条件是0＜a1＜1或a1＞3．