等差数列、等比数列高考历年真题

等差数列、等比数列高考历年真题

2023年10月31日发(作者：八年级上册数学教学计划)

宫崎骏起风了机尾云-

温馨提示：

高考题库为Word版，请按住Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，点击右上角的关闭按钮可返回目录。

【考点16】等差数列、等比数列

2009年考题

1.（2009安徽高考）已知an为等差数列，a1+a3+a5=105，a2a4a6=99，以Sn表示an的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是（ ）

（A）21 （B）20 （C）19 （D） 18

【解析】选B.由a1+a3+a5=105得3a3105,即a335，由a2a4a6=99得3a499即a433 ，∴d2，ana4(n4)(2)412n，由得n20.

2．（2009安徽高考）已知

为等差数列，，则等于（ ）

A. -1 B. 1 C. 3 D.7

【解析】选B.∵a1a3a5105即3a3105∴a335同理可得a433∴公差da4a32.

∴a20a4(204)d1.

3．（2009福建高考）等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3 =6，a1=4， 则公差d等于（ ）

A．1 B

5 C.- 2 D 3

3【解析】选C.∵且a3a12d a1=4  d=-2.

24．（2009海南宁夏高考）等差数列an的前n项和为Sn，已知am1am1am0，S2m138,

则m（ ）

（A）38 （B）20 （C）10 （D）9

2【解析】选C.因为an是等差数列，所以，am1am12am，由am1am1am0，得：2am－am2＝0，所以，am＝2，又S2m138，即＝38，即（2m－1）×2＝38，解得m＝10.

5.（2009广东高考）已知等比数列{an}满足an0,n1,2,2n，且a5a2n52(n3)，则当n1时，log2a1log2a3log2a2n1（ ）

222A.

n(2n1) B.

(n1) C.

n D.

(n1)

2n22nn【解析】选C.由a5a2n52(n3)得an2，an0，则an2，

log2a1log2a3 log2a2n113(2n1)n2.

a9=2a5，a2=1，则a1= （ ） 6.（2009广东高考）已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·A.

221 B. C.

22282 D.2

2【解析】选B.设公比为q,由已知得a1qa1qq所以qaq142,即q2,因为等比数列{an}的公比为正数，22,故.

7.（2009辽宁高考）设等比数列{

an}的前n 项和为Sn ，若

S6S=3 ，则

9 =（ ）

S3S6（A） 2 （B）

87 （C） （D）3

33【解析】选B.设公比为q ,则＝1＋q3＝3  q3＝2

S91q3q61247 于是.

3S61q1238．（2009辽宁高考）已知an为等差数列，且a7－2a4＝－1,

a3＝0,则公差d＝（ ）

（A）－2 （B）－11 （C） （D）2

221.

2【解析】选B. a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1  d＝－9．（2009湖南高考）设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23，a611，则S7等于（ ）.

A．13 B．35 C．49 D． 63

【解析】选C.S77(a1a7)7(a2a6)7(311)49.故选C.

222a2a1d3a11或由,

a716213.

aa5d11d216 所以S77(a1a7)7(113)49.

2210．（2009四川高考）等差数列｛an｝的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是（ ）

A. 90 B. 100 C. 145 D. 190

【解析】选B.设公差为d，则(1d)1(14d).∵d≠0，解得d＝2，∴S10＝100.

11．（2009辽宁高考）等差数列an的前n项和为Sn，且6S55S35,则a4

1【解析】∵Sn＝na1＋n(n－1)d ∴S5＝5a1＋10d,S3＝3a1＋3d

22 ∴6S5－5S3＝30a1＋60d－(15a1＋15d)＝15a1＋45d＝15(a1＋3d)＝15a4

1答案:3

12．（2009山东高考）在等差数列{an}中,a37,a5a26,则a6____________.

【解析】设等差数列{an}的公差为d,则由已知得解得,所以a6a15d13.

答案:13.

13.（2009海南宁夏高考）等比数列{an}的公比q0, 已知a2=1，an2an16an，则{an}的前4项和S4=

【解析】由an1nn2an16an得：qq6qn1，即q2q60，q0，

解得q＝2，又a152=1，所以，，＝2。

答案:152

14.（2009浙江高考）设等比数列{a}的公比，前n项和为SS4nn，则a .

4a1(1q4)s4【解析】对于s341q41q,a4a1q,aq3(1q)15

4答案:15

15．（2009全国Ⅰ）设等差数列an的前n项和为Sn，若S972,则a2a4a9= 。

【解析】

an是等差数列,由S972,得S99a5,a58

a2a4a9(a2a9)a4(a5a6)a43a524.

答案:24.

16．（2009全国Ⅱ）设等差数列an的前n项和为Sn，若a55aS93则S .

59(a【解析】aS1a9)9n为等差数列，9Sa2a5a9.

55(1a5)532答案:9.

17．（2009陕西高考）设等差数列an的前n项和为sn,若a6s312,则an .

【解析】由a6s312可得an的公差d=2,首项a1=2,故易得an2n.

答案:2n 18.（2009北京高考）若数列{an}满足：a11,an12an(nN)，则a5 ；

前8项的和S8 .（用数字作答）

【解析】a11,a22a12,a32a24,a42a38,a52a416，

易知，∴应填255.

答案:16,255.

19.（2009全国Ⅱ）设等比数列{an}的前n项和为sn。若a11,s64s3，则a4=

【解析】本题考查等比数列的性质与求和运算，由a11,s64s3得q3=3故a4=a1q3=3。

答案:3

20.（2009福建高考）等比数列{an}中，已知a12,a416

（I）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）若a3,a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式与前n项和Sn。

n1n3【解析】（I）设{an}的公比为q,由已知得162q，解得qa1q2

（Ⅱ）由（I）得a38，a532，则b38，b532

设{bn}的公差为d，则有解得

从而bn1612(n1)12n28

n(1612n28)6n222n

221.（2009江苏高考）设an是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足 所以数列{bn}的前n项和Sna22a32a42a52,S77。

（1）求数列an的通项公式与前n项和Sn；

（2）试求所有的正整数m，使得为数列an中的项。

【解析】本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。

（1）设公差为d，则a2以a42222，由性质得3d(a4a3)d(a4a3)，因为d0，所a5a4a3a30，即2a15d0，又由S77得，解得a15，d2,

(2)（方法一）=,设2m3t，则=,

所以t为8的约数 （方法二）因为amam1a(am24)(am22)a8m26为数列an中的项，

m2am2am2故为整数，又由（1）知：am2为奇数，所以am22m31,即m1,2

经检验，符合题意的正整数只有m2。

22．（2009全国Ⅱ）已知等差数列{an}中，a3a716,a4a60,求{an}前n项和sn.

【解析】设an的公差为d，则

a2da22116d16即a1a8da112d16解得

13da15d0a14d因此Sn8nnn1nn9，或Sn8nnn1nn9.

2008年考题

1、( 2008广东高考)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若，S420，则S6( )

(A)16 (B)24 (C)36 (D)48

【解析】选D.S426d20，d3，故S6315d48.

2、(2008广东高考)记等差数列的前n项和为Sn，若S24,S420，则该数列的公差d(

(A)2 (B)3 (C)6 (D)7

【解析】选B.S4S2S24d12d3,选B.

3、(2008海南宁夏高考)设等比数列{an}的公比q2，前n项和为SS4n，则a( )

2A. 2 B. 4 C.

152 D.

172

【解析】选C.。

4、（2008重庆高考）．已知{an}为等差数列，a2a812，则a5等于( )

A．4 B．5 C．6 D．7

)

【解析】选C.由a2a82a512得：a56，故选C。

5、（2008浙江高考）已知{an}是等比数列，a22,a514,则公比q（ ）

A.12 B.2 C.2 D.12

【解析】选D.由a514a2q32q3，解得q12.

6、（2008浙江高考）已知{a1n}是等比数列，a22，a54，则a1a2a2a3anan1=( )

（A）16(14n) （B）16(12n) （C）323(14n) （D）323(12n)

【解析】选C.由a351a2q2q3，解得q142.数列{anan1}仍是等比数列:其首项是

a18[1(11a28,公比为.所以,

aaa4)n]3241a2a2a3nn1(14n)，选C.

11347、（2008北京高考）已知等差数列{an}中，a26，a515，若bna2n，则数列bn的前5项和等于（A．30 B．45 C．90 D．186

【解析】选C.由所以bna2n6n且b16,db6∴S55610690.

8、（2008福建高考）设{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列前8项的和为（ ）

A．128 B．80 C．64 D．56

【解析】选C.因为{a2a7n}是等差数列，∴S8a283213864.

9、(2008年海南宁夏高考)已知{an}为等差数列，a3 + a8 = 22，a6 = 7，则a5 = ____________

【解析】由于an为等差数列，故a3a8a5a6∴a5a3a8a622715

答案: 15

10、（2008四川高考）设数列{an}中，a12,an1ann1，则通项an ___________。

【解析】∵a12,an1ann1 ∴anan1(n1)1，an1an2(n2)1，

an2an3(n3)1，，a3a221，a2a111，a1211

将以上各式相加得：an[(n1)(n2)(n3)21]n1

(n1)[(n1)1]2n1(n1)n2n1n(n1)21 故应填n(n1)21；

答案:n(n1)21；

11、(2008海南宁夏高考)已知数列{an}是一个等差数列，且a21，a55。

(1)求{an}的通项an；

） (2)求{an}前n项和Sn的最大值。

【解析】(Ⅰ)设an的公差为d，由已知条件，，

解出a13，d2．

所以ana1(n1)d2n5．

(Ⅱ)Snna1n(n1)dn24n4(n2)2．所以n2时，Sn取到最大值4．

212、(2008山东高考)将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：

a1

a2

a3

a4

a5 a6

a7 a8 a9

a10

……

记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1. Sn为数列｛bn｝的前n项和，且满足=1(n≥2).

(Ⅰ)证明数列｛1｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式；

Sn(Ⅱ)上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当时，求上表中第k(k≥3)行所有项和的和.

【解析】(Ⅰ)由已知，2bn1,又　Snb1b2bnSnSn2bn,

（2SnSn1）所以　　1,

(SnSn1)SnS2n即（2SnSn1）1111,所以　,又S1b1a11.Sn1SnSnSn1211所以数列是首项为1，公差为的等差数列.

2Sn11n12由上可知　＝1＋（n1）,即　　Sn.

Sn22n1所以当n2时，bnSnSn1因此

(Ⅱ)设上表中从第三行起，每行的公比都为q,且q＞0. 因为1212222，n1nn(n1).

121378,

2所以表中第1行至第12行共含有数列｛an｝的前78项，故 a81在表中第13行第三列，

因此a81=

又 所以 q=2.

记表中第k(k≥3)行所有项的和为S，

bk(1qk)2(12k)2kk(2则S(121))(k≥3).

1qk(k1)12k(k1)13、 (2008天津高考)已知数列an中，a11，a22，且an1(1q)anqan1(n≥2，q0)．

*（Ⅰ）设bnan1an(nN)，证明bn是等比数列；

（Ⅱ）求数列an的通项公式；

（Ⅲ）若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的nN，an是an3与an6的等差中项．

【解析】（Ⅰ）由题设an1(1q)anqan1(n≥2)，得an1anq(anan1)，即bnqbn1，n≥2．

又b1a2a11，q0，所以bn是首项为1，公比为q的等比数列．

（Ⅱ）由（Ⅰ），

*a2a11，

a3a2q，

……

anan1qn2(n≥2)．

n2将以上各式相加，得ana11q…q(n≥2)．所以当n≥2时，

1qn1，q1，1an

1qn， q1.上式对n1显然成立．

（Ⅲ）由（Ⅱ），当q1时，显然a3不是a6与a9的等差中项，故q1．

由a3a6a9a3可得qqqq，由q0得

5228q311q6， ①

32333整理得(q)q20，解得q2或q1（舍去）．于是q2．

3qn2qn1qn13另一方面，anan3(q1)，

1q1qqn1qn5qn1an6an(1q6)．

1q1q*由①可得anan3an6an，nN．

所以对任意的nN，an是an3与an6的等差中项．

n14、（2008四川高考）设数列an的前n项和为Sn2an2，

*（Ⅰ）求a1,a4

（Ⅱ）证明：

an12an是等比数列；

（Ⅲ）求an的通项公式

n【解析】（Ⅰ）因为a1S1,2a1S12，所以a12,S12 由2anSn2知

2an1Sn12n1

an1Sn2n1 得an1Sn2n1 ①

22334所以a2S12226,S28

a3S228216,S224

a4S3240

（Ⅱ）由题设和①式知

an12anSn2n1Sn2n2n12n2n

所以an12an是首项为2，公比为2的等比数列。

（Ⅲ）anan2an12an12an22n2a22a12n1a1n12n1.

n*15、（2008全国Ⅱ）设数列an的前n项和为Sn．已知a1a，an1Sn3，nN．

n（Ⅰ）设bnSn3，求数列bn的通项公式；

（Ⅱ）若an1≥an，nN，求a的取值范围．

*nnn1n【解析】（Ⅰ）依题意，Sn1Snan1Sn3，即Sn12Sn3，由此得Sn132(Sn3)．

nn1*因此，所求通项公式为bnSn3(a3)2，nN．① ······························· 6分

nn1*（Ⅱ）由①知Sn3(a3)2，nN，

于是，当n≥2时，anSnSn13(a3)2nn13n1(a3)2n223n1(a3)2n2，

an1an43n1(a3)2n22n23n212a3，

23当n≥2时，an1≥an122n2a3≥0a≥9． 又a2a13a1．综上，所求的a的取值范围是9，······························ 12分

． ·16、（2008四川高考） 设数列an的前n项和为Sn，已知ban2b1Sn

n（Ⅰ）证明：当b2时，ann2n1是等比数列；

（Ⅱ）求an的通项公式

【解析】由题意知a12，且ban2b1Sn

ban12nnn1b1Sn1

n两式相减得ban1an2b1an1 即an1ban2 ①

n（Ⅰ）当b2时，由①知an12an2

于是an1n122an2n122ann2n1

nnn又a112n110，所以ann2n1是首项为1，公比为2的等比数列。

n1n1n1（Ⅱ）当b2时，由（Ⅰ）知ann22，即ann12

当b2时，由①得an1因此an1112n1ban2n2n1

2b2b112n1ban2n

2b2bn12得an1.

nn1222bbn22b

2007年考题

1.（2007海南宁夏高考）已知an是等差数列，a1010，其前10项和S1070，

则其公差d（ ）

112 Ｃ． Ｄ．

333(aa10)10【解析】选D.S1015(a110)70a14.

2Ａ．2

3Ｂ．

2.（2007海南宁夏高考）已知x0，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，

则的最小值是（ ）

Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．4 【解析】选D

(ab)2(xy)2(2xy)2abxy,cdxy,4.

cdxyxy23.（2007海南宁夏高考）已知a，b，c，d成等比数列，且曲线yx2x3的顶点是(b，c)，则ad等于（ ）

Ａ．3 Ｂ．2

2Ｃ．1 Ｄ．2

【解析】选B.曲线yx2x3的顶点是(1，2)，则：b1,c2.由a，b，c，d

成等比数列知，adbc122.

3S3成等差数列，2S2，4.（2007全国Ⅰ）等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，则{an}的公比为______。

3S3成等差数列，ana1qn1，【解析】等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，又4S2S13S3，2即4(a1a1q)a13(a1a1qa1q)，解得{an}的公比.

答案

5.（2007广东高考）已知数列｛an｝的前n项和Snn29n，第k项满足５＜ak＜８，则k=（ ）

（A）9 （B）8 （C）7 （D）6

【解析】选B. 此数列为等差数列，anSnSn12n10，由5<2k-10<8得到k=8。

6.（2007天津高考）设等差数列an的公差d不为0,a19d.若ak是a1与a2k的等比中项，

则k

A.2

( )

B.4 C.6 D.8

【解析】选B. 由等差数列an且a19d，得aka1(k1)d(k8)d

.a2ka1(2k1)d(2k8)d，又∵ak是a1与a2k的等比中项，则有ak2a1a2k

2即：[(k8)d]9d[(2k8)d]得k2k80，解之得k14,k22（舍去）．

27.（2007安徽高考）等差数列ax的前n项和为Sx若a21,a33,则S4＝（ ）

（A）12 （B）10 （C）8 （D）6

【解析】选C.等差数列ax的前n项和为Sx，若a21,a33,则d=2，a11，∴

S48.

8.( 2007福建高考)等比数列{an}中，a4=4,则a2·a6等于（ ）

A.4 B.8 C.16 D.32

【解析】选C.a2·a6= a42=16.

9.（2007湖南高考）在等比数列annN中，若，则该数列的前10项和为（ ）

A． B. C. D. 11()1011221. 【解析】选B. 由a4a1q3q3q，所以S10182291210.（2007湖北高考）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，

且，则使得an 为整数的正整数n的个数是（ ）

bn B．3 C．4 D．5 A．2

【解析】选D.

11aa2n1a1a2n1

12n1由等差数列的前n项和与等差中项，可得an2211bnb1b2n12n1b1b2n122

A2n172n14514n387n19712B2n12n132n2n1nN，

n1故n1,2,3,5,11时，an为整数。故选D.

bn11.（2007重庆高考）若等差数列{an}的前三项和S39且a11，则a2等于（ ）

A．3 B.4 C. 5 D. 6

【解析】选A.由S33a13d33d9可得d2.a2a1d3.

12.（2007重庆高考）在等比数列{an}中，a1＝8，a4＝64，，则公比q为（ ）

（A）2 （B）3 （C）4 （D）8

【解析】选A. 由可得q2.

13.（2007重庆高考）设3b是1a和1a的等比中项，则a+3b的最大值为（ ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

2222【解析】选B.3b是1a和1a的等比中项，则3b1aa3b1.

令acos,3bsin,(0,2).则：a3bcos3sin2sin(6)2.

14.（2007辽宁高考）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S39，S636，则a7a8a9（ ）

A．63 B．45 C．36 D．27

【解析】选B. 由等差数列性质知S3、S6-S3、S9-S6成等差数列，即9，27，S成等差数列，所以S=45.

15.（2007四川高考）等差数列{an}中，a11，a3a514，其前n项和Sn100，则n（ ）

（A）9 （B）10 （C）11 （D）12 【解析】选Ｂ．

16.（2007陕西高考）各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn=2,S3n=14,则S40等于（ ）

（A）80 （B）30 (C)26 (D)16ZX

【解析】选B.

17.（2007陕西高考）等差数列{an}的前n项和为Sn，若S22,S410,则S6等于（ ）

（A）12 （B）18 （C）24 （D）42

【解析】选C. S2，S4-S2，S6-S4成等差数列，即2，8，S6-10成等差数列，S6=24.

18.（2007广东高考）已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，则其通项an= ；若它的第k项

满足5

【解析】{an}等差,易得an2n10,解不等式52k108,可得k8.

19.（2007海、宁高考）已知an是等差数列，a4a66，其前5项和S510，则其公差d ．

【解析】a4a66a53,S5答案:1

2a1a5a351510a11.

22

22，3，)，则此数列的通项公式 20.（2007北京高考）若数列an的前n项和Snn10n(n1，为 ；数列nan中数值最小的项是第 项．

22，3，)，数列为等差数列，数列的通项公式为【解析】数列an的前n项和Snn10n(n1，anSnSn1=2n11，数列nan的通项公式为nan2n211n，其中数值最小的项应是最靠近对称轴的项，即n=3，第3项是数列nan中数值最小的项。

答案:an=2n11

3

21.（2007全国Ⅱ）已知数列的通项an5n2，则其前n项和Sn ．

【解析】已知数列的通项an5n2，a13，则其前n项和Sn=．

答案:

22.（2007江苏高考）已知

{an}是等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，a1b1,a2b2a1，记Sn为数列{bn}的前n项和，

（1）若bkam(m,k是大于2的正整数)，求证：Sk1(m1)a1；

（2）若b3ai(i是某一正整数)，求证：q是整数，且数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项； （3）是否存在这样的正数q，使等比数列{bn}中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并加以说明；若不存在，请说明理由；

【解析】设{an}的公差为d，由a1b1,a2b2a1，知d0,q1，da1q1（a10）

（1）因为bkam，所以a1qk1a1m1a1q1，

qk11m1q12mm1q，

所以Sk1a11qk11q2a1m1m1q1qm1a1

（2）b3a1q,aia1i1a1q1，由b3ai，

所以q1i1q1,qi1qi20,解得，但q1，所以qi2，q1或qi2，22因为i是正整数，所以i2是整数，即q是整数，设数列{bn}中任意一项为

bna1qn1nN，设数列{an}中的某一项ammN=a1m1a1q1

现在只要证明存在正整数m，使得bnam，即在方程a1q可，qn1n1a1m1a1q1中m有正整数解即qn2，

qn111m1q1,m11qq2q12所以m2qqqn2，若i1，则q1，那么b2n1b1a1,b2nb2a2，

当i3时，因为a1b1,a2b2，只要考虑n3的情况，因为b3ai，所以i3，

因此q是正整数，所以m是正整数，因此数列{bn}中任意一项为

bna1qn1nN与数列{an}的第2qq2qn2项相等，从而结论成立。

（3）设数列{bn}中有三项bm,bn,bpmnp,m,n,pN成等差数列，则有

2a1qn1a1qm1a1qp1,设nmx,pny,x,yN，所以2，

32令x1,y2，则q2q10,q1qq10，因为q1，所以qq10，

2所以，即存在使得{bn}中有三项bm,bm1,bm3mN成等差数列。

23.（2007山东高考） 设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S37，且a13，3a2，a34构成等差数列．

（1）求数列{an}的等差数列． ，2，，（2）令bnlna3n1，n1求数列{bn}的前n项和Tn．

a1a2a37，【解析】（1）由已知得:(a3)(a4)

133a2.2设数列{an}的公比为q，由a22，可得．

又S37，可知，即2q5q20，解得．

2解得a22．

由题意得q1，q2．a11．故数列{an}的通项为an2n1．

3n3n，2，，（2）由于bnlna3n1，n1 由（1）得a3n12

bnln23nln2

又bn1bn3ln2

{bn}是等差数列．

Tnb1b2

bn

故．

24.（2007北京高考）数列an中，a12，an1ancn（c是常数，n1，且a1，a2，a3成，2，3，）公比不为1的等比数列．

（I）求c的值；

（II）求an的通项公式．

【解析】（I）a12，a22c，a323c，

因为a1，a2，a3成等比数列，所以(2c)2(23c)，解得c0或c2．

当c0时，a1a2a3，不符合题意舍去，故c2．

（II）当n≥2时，由于

2a2a1c，

a3a22c，

anan1(n1)c，

所以ana1[12(n1)]cn(n1)c．

223，)． 又a12，c2，故an2n(n1)nn2(n2，当n1时，上式也成立， 22，)． 所以annn2(n1，22225.（2007湖南高考）设Sn是数列{an}（nN*）的前n项和，a1a，且Sn3nanSn1，an0，n2，3，4，．

（I）证明：数列{an2an}（n≥2）是常数数列；

（II）试出一个奇数a，使以18为首项，7为公比的等比数列{bn}（nN*）中的所有项都是数列{an}中的项，并指出bn是数列{an}中的第几项．

222【解析】（I）当n≥2时，由已知得SnSn13nan．

2因为anSnSn10，所以SnSn13n． …………………………①

2于是Sn1Sn3(n1)． …………………………………………………②

由②－①得：an1an6n3．……………………………………………③

于是an2an16n9．……………………………………………………④

由④－③得：an2an6．…………………………………………………⑤

即数列{an2an}（n≥2）是常数数列．

（II）由①有S2S112，所以a2122a．

由③有a3a215，所以a332a，

而⑤表明：数列{a2k}和{a2k1}分别是以a2，a3为首项，6为公差的等差数列．

所以a2ka2(k1)66k2a6，a2k1a3(k1)66k2a3，kN*．

n1由题设知，bn187．当a为奇数时，a2k1为奇数，而bn为偶数，所以bn不是数列{a2k1}中的项，bn只可能是数列{a2k}中的项．

若b118是数列{a2k}中的第kn项，由186k2a6得a3k06，取k03，得a3，此时a2k6k，由bna2k，得187n16k，k37n1N*，从而bn是数列{an}中的第67n1项．

（注：考生取满足a3kn6，knN*的任一奇数，说明bn是数列{an}中的第项即可）

26.（2007湖北高考）已知数列{an}和{bn}满足：a11，a22，an0，bnanan1（nN*），且{bn}是以q为公比的等比数列． 2（I）证明：an2anq；

（II）若cna2n12a2n，证明数列{cn}是等比数列；

（III）求和：1111a1a2a3a41a2n11．

a2n2【解析】方法1：（I）由，有，∴

an2anq(nN*)．

（II）anan2q2，a2n1a2n3q2a1q2n2，a2na2n2q2a2q2n2，

cna2n12a2na1q2n22a2q2n2(a12a2)q2n25q2n2．

cn是首项为5，以q2为公比的等比数列．

（III）由（II）得，，于是

11a1a2

111a2na1a3111a2n1a2a41

a2n

1111a1q2q411111q2n2a2q2q41

2n2q

3111242qq1．

2n2q1．

q2n21

2n2q当q1时，11a1a211a1a2

1311124a2n2qq1311124a2n2qq ．

当q1时，

故11a1a232n， q1，1

2nq1a2n，q1.2n22q(q1)方法2：（I）同方法1（I）．

cn1a2n12a2n2q2a2n12q2a2n（II）q2(nN*)，又c1a12a25，

cna2n12a2na2n12a2ncn是首项为5，以q2为公比的等比数列．

2n23q2n2， （III）由（II）的类似方法得a2n1a2n(a1a2)q11a1a2aaaa11234a2na1a2a3a4a2n1a2n，

a2n1a2na2k1a2k3q2k232k2，k1，2，，n．

4k4qa2k1a2k2q211a1a213(1q2a2k2q2n2)．

下同方法1．

27.（2007上海高考）若有穷数列an（n是正整数），满足a1an,a2an1....ana1即aiani1（i是正整数，且1in），就称该数列为“对称数列”。

（1）已知数列bn是项数为7的对称数列，且b1,b2,b3,b4成等差数列，b12,b411，试写出bn的每一项

（2）已知cn是项数为2k1k1的对称数列，且ck,ck1...c2k1构成首项为50，公差为4的等差数列，数列cn的前2k1项和为S2k1，则当k为何值时，S2k1取到最大值？最大值为多少？

（3）对于给定的正整数m1，试写出所有项数不超过2m的对称数列，使得1,2连续项；当m1500时，试求其中一个数列的前2008项和S2008

【解析】（1）设bn的公差为d，则b4b13d23d11，解得

d3，

2，5，8，11，8，5，2．

2m1成为数列中的数列bn为 （2）S2k1c1c2ck1ckck1c2k12(ckck1c2k1)ck，

22

S2k14(k13)41350，

当k13时，S2k1取得最大值．

S2k1的最大值为626．

（3）所有可能的“对称数列”是：

222，，2m2，2m1，2m2，，22，，21； ①

1，，222，，2m2，2m1，2m1，2m2，，22，，21； ②

1，，2m2，，22，，21，，222，，2m2，2m1； ③

2m1，2m2，，22，，21，1，，222，，2m2，2m1． ④

2m1，22007220081． 对于①，当m≥2008时，S20081222m22m12m222m2009 当1500m≤2007时，S2008122

2m12m122m20092m2m122m20091．

对于②，当m≥2008时，S2008220081．

当1500m≤2007时，S20082m122m20081．

mm2008 对于③，当m≥2008时，S200822．

当1500m≤2007时，S200822m2009m3．

mm2008 对于④，当m≥2008时，S200822．

当1500m≤2007时，S20082m22008m2．

朋友圈干净短句晚安-