...市第五中学校中考提前自主招生数学模拟试卷(6套)附解析
2023年10月28日发(作者：七年级英语教学经验总结(精选5篇))
招商引资项目可行性报告-
重点高中提前招生模拟考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题
1．不等式的解集是（ ）
A． ﹣＜x≤2 B． ﹣3＜x≤2 C． x≥2 D． x＜﹣3
2．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x，掷第二次，将朝上一面的点数记为y，则点（x，y）落在直线y=﹣x+5上的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，在正方形铁皮中，剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少．用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥，若圆的半径为r，扇形的半径为R，那么（ ）
A． R=2r B． R=r C． R=3r D． R=4r
4．如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（ ）
A． （a﹣b）=a﹣2ab+b B． （a+b）=a+2ab+b
222 C． a﹣b=（a+b）（a﹣b） D． a+ab=a（a+b）
5．若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则整数m的值为（ ）
222222 A． ﹣3，﹣2，﹣1，0 B． ﹣2，﹣1，0，1
二、填空题（每小题4分，共24分）
6．定义新运算：a⊕b=
7．|π﹣3.14|+sin30°+3.14﹣8
8．函数y== ．
C． ﹣1，0，1，2 D． 0，1，2，3
，则函数y=3⊕x的图象大致是 ．
的自变量x的取值范围是 ．
9．将边长为a的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为 ．
10．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙0上的两点，若∠CDB=30°，则∠ABC的度数为 ，cos∠ABC= ．
11．已知实数x，y满足x+3x+y﹣3=0，则x+y的最大值为 ．
12．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律．若把第一个数记为a1，第二数记为a2，…，第n个数记为an．计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，由此推算a10﹣a9= ，a2012= ．
三．解答题：（共52分）
13．先化简：÷﹣，然后在0，1，2，3中选一个你2认为合格的a值，代入求值．
1012•桃源县校级自主招生）关于x的一元二次议程x﹣x+p+1=0有两个实数根x1，x2．
（1）求p的取值范围．
2（2）[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，求p的值．
15．某服装厂批发应夏季T恤衫，其单价y（元）与批发数量x（件）（x为正整数）之间的函数关系如图所示，
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）一个批发商一次购进250件T恤衫，所花的钱数是多少元？（其他费用不计）；
（3）若每件T恤衫的成本价是20元，当100＜x≤400件，（x为正整数）时，求服装厂所获利润w （元）与x（件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少？
16．如图，抛物线y=ax+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，A点到原点的距离为2，梯形的高为3，C点到y轴的距离为1，
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为y轴上的任意一点，求点M到A，B两点的距离之和的最小值及此时点M的坐标；
（3）在第（2）的结论下，抛物线上的P的使S△PAD=S△ABM成立，求点P的坐标．
2
1012•桃源县校级自主招生）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=﹣交折线OAB于点E．记△ODE的面积为S．
（1）当点E在线段OA上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；
（2）当点E在线段AB上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；
（3）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．
+b
参考答案与试题解析
一、选择题
1．不等式的解集是（ ）
A． ﹣＜x≤2 B． ﹣3＜x≤2 C． x≥2 D． x＜﹣3
考点： 解一元一次不等式组．
分析： 先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“大小小大中间”来求不等式组的解集．
解答： 解：由①得：x＞﹣3，
由②得：x≤2，
所以不等式组的解集为﹣3＜x≤2．
故选B．
点评： 解不等式组是考查学生的基本计算能力，求不等式组解集的时候，可先分别求出组成不等式组的各个不等式的解集，然后借助数轴或口诀求出所有解集的公共部分．
2．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x，掷第二次，将朝上一面的点数记为y，则点（x，y）落在直线y=﹣x+5上的概率为（ ）
A． B． C． D．
考点： 列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征．
分析： 列举出所有情况，看落在直线y=﹣x+5上的情况占总情况的多少即可．
解答： 解：共有36种情况，落在直线y=﹣x+5上的情况有（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）4种情况，概率是，故选C．
1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
点评： 如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，注意本题是放回实验．
3．如图所示，在正方形铁皮中，剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少．用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥，若圆的半径为r，扇形的半径为R，那么（ ）
A． R=2r B． R=r
考点： 圆锥的计算；弧长的计算．
专题： 压轴题．
分析： 让扇形的弧长等于圆的周长即可．
解答： 解：根据扇形的弧长等于圆的周长，
∴扇形弧长等于小圆的周长，
即：=2πr，
C． R=3r D． R=4r
解得R=4r，故选D．
点评： 考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
4．如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（ ）
A． （a﹣b）=a﹣2ab+b B． （a+b）=a+2ab+b
222 C． a﹣b=（a+b）（a﹣b） D． a+ab=a（a+b）
考点： 平方差公式的几何背景．
专题： 计算题．
分析： 可分别在正方形和梯形中表示出阴影部分的面积，两式联立即可得到关于a、b的恒等式．
解答： 解：正方形中，S阴影=a﹣b；
梯形中，S阴影=（2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）；
故所得恒等式为：a﹣b=（a+b）（a﹣b）．
故选：C．
点评： 此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
5．若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则整数m的值为（ ）
2222222222 A． ﹣3，﹣2，﹣1，0 B． ﹣2，﹣1，0，1 C． ﹣1，0，1，2 D． 0，1，2，3
考点： 两条直线相交或平行问题．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 由直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则交点坐标的符号为（+，﹣），解关于x、y的方程组，使x＞0，y＜0，即可求得m的值．
解答： 解：由题意得，
解得，
∵直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，
∴，解得：﹣3，
又∵m的值为整数，∴m=﹣2，﹣1，0，1，
故选B．
点评： 考查了平面直角坐标系中点的符号，是一道一次函数综合性的题目，是中档题．
二、填空题（每小题4分，共24分）
6．定义新运算：a⊕b=，则函数y=3⊕x的图象大致是
．
考点： 一次函数的图象；反比例函数的图象．
专题： 新定义．
分析： 根据题意可得y=3⊕x=数图象所在象限和形状，进而得到答案．
解答： 解：由题意得y=3⊕x=，
，再根据反比例函数的性质可得函当x≥3时，y=2；当x＜3且x≠0时，y=﹣，图象如图：，
故答案为：
点评： 此题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
7．|π﹣3.14|+sin30°+3.14﹣8= π ．
考点： 实数的运算；特殊角的三角函数值．
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．
解答： 解：原式=π﹣3.14++3.14﹣=π，
故答案为：π
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．函数y=的自变量x的取值范围是 x＜﹣1或x≥4 ．
考点： 函数自变量的取值范围．
分析： 根据被开方数为非负数和分母不能为0计算即可．
2解答： 解：由题意得，x﹣3x﹣4≥0，x+1≠0，
解得，x＜﹣1或x≥4，
故答案为：x＜﹣1或x≥4．
点评： 本题考查的是函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
9．将边长为a的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为
a ．
2考点： 正多边形和圆．
分析： 由于正三角形各边三等分，就把整个三角形平均分成9个小正三角形，以这六个分点为顶点构成一个正六边形正好相当于6个小正三角形的面积．
解答： 解：如图所示：
∵新的正六边形有三个顶点在正三角形的三边上，且是三边的等分点，
∴连接正三角形的顶点与它对边的中点，可以看出新的正六边形的面积是六个小正三角形的面积之和，
∵边长为a的正三角形各边三等分，
∴小正三角形的边长为a，
2∴每个小正三角形的面积是×a×22=a×a=a，
∴新的正六边形的面积=故答案为：a．
2a×6=a；
点评： 此题考查了正三角形的性质、正三角形面积的计算方法；熟练掌握正三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
10．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙0上的两点，若∠CDB=30°，则∠ABC的度数为
60° ，cos∠ABC= ．
考点： 圆周角定理；特殊角的三角函数值．
分析： 由于AB是⊙O的直径，由圆周角定理可知∠ACB=90°，则∠A和∠ABC互余，欲求∠ABC需先求出∠A的度数，已知了同弧所对的圆周角∠CDB的度数，则∠A=∠CDB，由此得解．
解答： 解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠A+∠ABC=90°；
又∵∠A=∠CDB=30°， ∴∠ABC=90°﹣∠A=60°，
∴cos∠ABC=故答案为：60°．
．
点评： 此题主要考查了圆周角定理及其推论，半圆（弧）和直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，还考查了三角函数，掌握圆周角定理是解题的关键．
11．已知实数x，y满足x+3x+y﹣3=0，则x+y的最大值为 4 ．
考点： 二次函数的应用．
专题： 压轴题．
分析： 将函数方程x+3x+y﹣3=0代入x+y，把x+y表示成关于x的函数，根据二次函数的性质求得最大值．
2解答： 解：由x+3x+y﹣3=0得
2y=﹣x﹣3x+3，把y代入x+y得：
222x+y=x﹣x﹣3x+3=﹣x﹣2x+3=﹣（x+1）+4≤4，
∴x+y的最大值为4．
故答案为：4．
点评： 本题考查了二次函数的性质及求最大值的方法，即完全平方式法．
12．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律．若把第一个数记为a1，第二数记为a2，…，第n个数记为an．计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，由此推算a10﹣a9= 10 ，a2012= 2025078 ．
考点： 规律型：数字的变化类．
分析： 先计算a2﹣a1=3﹣1=2；a3﹣a2=6﹣3=3；a4﹣a3=10﹣6=4，则a10﹣a9=10，a2=1+2，a3=1+2+3，a4=1+3+4，即第n个三角形数等于1到n的所有整数的和，然后计算n=2012的a的值．
解答： 解：∵a2﹣a1=3﹣1=2；
a3﹣a2=6﹣3=3；
a4﹣a3=10﹣6=4，
∴a10﹣a9=10
∵a2=1+2，
a3=1+2+3，
a4=1+2+3+4，
22…
∴a2012=1+2+3+4+…+2012==2025078．
故答案为：10，2025078．
点评： 本题考查了规律型：数字的变化类，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况是解答此题的关键．
三．解答题：（共52分）
13．先化简：÷﹣，然后在0，1，2，3中选一个你认为合格的a值，代入求值．
考点： 分式的化简求值．
分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可．
解答： 解：原式=•+a
=a+a
=2a．
当a=2时，原式=4a．
点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
1012•桃源县校级自主招生）关于x的一元二次议程x﹣x+p+1=0有两个实数根x1，x2．
（1）求p的取值范围．
（2）[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，求p的值．
考点： 根的判别式；根与系数的关系．
分析： （1）根据题意得出△≥0，求出即可；
2（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=1，x1•x2=p+1，整理后得出（1﹣x1•x2）+（x1+x2）（1﹣x1•x2）+x1•x2=9，代入求出即可．
2解答： 解：（1）△=（﹣1）﹣4（p+1）=﹣3﹣4p，
当﹣3﹣4p≥0，即p≤﹣时，方程有两个实数根，
即p的取值范围是p≤﹣；
（2）根据根与系数的关系得：x1+x2=1，x1•x2=p+1，
∵[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，
2∴（1﹣x1•x2）+（x1+x2）（1﹣x1•x2）+x1•x2=9，
2∴[1﹣（p+1）]+1×[1﹣（p+1）]+（p+1）=9，
解得：p±2，
∵p≤﹣，
∴p=﹣2．
2点评： 本题考查了根与系数的关系，根的判别式的应用，能正确利用知识点进行计算是解此题的关键，题目比较典型．
15．某服装厂批发应夏季T恤衫，其单价y（元）与批发数量x（件）（x为正整数）之间的函数关系如图所示，
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）一个批发商一次购进250件T恤衫，所花的钱数是多少元？（其他费用不计）；
（3）若每件T恤衫的成本价是20元，当100＜x≤400件，（x为正整数）时，求服装厂所获利润w （元）与x（件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少？
考点： 二次函数的应用．
分析： （1）由题意设出一次函数的解析式，再根据点在直线上待定系数法求出函数解析式；
（2）列出总利润的函数表达式，转化为求函数最值问题，最后求出最大利润；
（3）根据利润=单件利润×批发数量，列出二次函数表达式，再运用二次函数性质解决最值问题．
解答： 解：（1）当0≤x＜100时，y=60；
当x≥100时，设y=kx+b，由图象可以看出过（100，60），（400，40），则
，
，
∴y=（2）∵250＞100，
∴当x=250件时，y=﹣×250+；
=50元，
∴批发商一次购进250件T恤衫，所花的钱数是：50×250=12500元；
（3）W=（﹣x+﹣20）×x=﹣x+2x=﹣（x﹣350）+2， ∴当一次性批发350件时，所获利润最大，最大利润是元．
点评： 本题考查了待定系数法求函数关系式以及运用函数的性质解决问题，根据题意列出函数表达式是解决问题的关键．
16．如图，抛物线y=ax+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，A点到原点的距离为2，梯形的高为3，C点到y轴的距离为1，
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为y轴上的任意一点，求点M到A，B两点的距离之和的最小值及此时点M的坐标；
（3）在第（2）的结论下，抛物线上的P的使S△PAD=S△ABM成立，求点P的坐标．
2
考点： 二次函数综合题．
2分析： （1）易知A（﹣2，0），C（1，﹣3），将A、C两点的坐标代入y=ax+c，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）由于A、D关于抛物线对称轴即y轴对称，那么连接BD，BD与y轴的交点即为所求的M点，可先求出直线BD的解析式，即可得到M点的坐标；
（3）设直线BC与y轴的交点为N，那么S△ABM=S梯形AONB﹣S△BMN﹣S△AOM，由此可求出△ABM和△PAD的面积；在△PAD中，AD的长为定值，可根据其面积求出P点纵坐标的绝对值，然后代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标．
解答： 解：（1）由题意可得：A（﹣2，0），C（1，﹣3），
∵抛物线y=ax+c（a＞0）经过A、C两点，
∴，解得22，
∴抛物线的解析式为：y=x﹣4；
（2）由于A、D关于抛物线的对称轴（即y轴）对称，连接BD，则BD与y轴的交点即为M点；
设直线BD的解析式为：y=kx+b（k≠0），
∵B（﹣1，﹣3），D（2，0），
∴，
解得 ，
∴直线BD的解析式为y=x﹣2，
当x=0时，y=﹣2，
∴点M的坐标是（0，﹣2）；
（3）设BC与y轴的交点为N，则有N（0，﹣3），
∵M（0，﹣2），B（﹣1，﹣3），
∴MN=1，BN=1，ON=3，
∴S△ABM=S梯形AONB﹣S△BMN﹣S△AOM=（1+2）×3﹣×1×1﹣×2×2=2，
∴S△PAD=S△ABM=2．
∵S△PAD=AD•|yP|=2，AD=4，
∴|yP|=1．
2当P点纵坐标为1时，x﹣4=1，解得x=±，
∴P1（，1），P2（﹣，1）；
2当P点纵坐标为﹣1时，x﹣4=﹣1，解得x=±，
∴P3（，﹣1），P4（﹣，﹣1）；
故存在符合条件的P点，且P点坐标为：P1（，1），P2（﹣P4（﹣，﹣1）．
，1），P3（，﹣1），
点评： 此题是二次函数的综合题型，其中涉及到二次函数解析式的确定、函数图象交点及图形面积的求法，轴对称的性质等．当所求图形不规则时，一般要将不规则图形转换为几个规则图形面积的和差来求．
1012•桃源县校级自主招生）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=﹣交折线OAB于点E．记△ODE的面积为S．
+b（1）当点E在线段OA上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；
（2）当点E在线段AB上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；
（3）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．
考点： 一次函数综合题．
专题： 压轴题．
分析： （1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；（2）如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积；
（3）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．
解答： 解：（1）∵四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），
∴B（3，1），
若直线经过点A（3，0）时，则b=
若直线经过点B（3，1）时，则b=
若直线经过点C（0，1）时，则b=1
①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图1，
此时E（2b，0）
∴S=OE•CO=×2b×1=b；
（2）若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2
此时E（3，），D（2b﹣2，1），
∴S=S矩﹣（S△OCD+S△OAE+S△DBE）
=3﹣[（2b﹣2）×1+×（5﹣2b）•（﹣b）+×3（b﹣）]
=b﹣b，
2∴S=；
（3）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．
由题意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四边形DNEM为平行四边形
根据轴对称知，∠MED=∠NED，
又∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四边形DNEM为菱形．
过点D作DH⊥OA，垂足为H，
由题易知，D（2b﹣2，1），
对于y=﹣+b，令y=0，得x=2b，则E（2b，0），
∴DH=1，HE=2b﹣（2b﹣2）=2，
设菱形DNEM的边长为a，
则在Rt△DHN中，由勾股定理知：a=（2﹣a）+1，
∴a=，
∴S四边形DNEM=NE•DH=．
∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．
222
点评： 本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖，是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．
重点高中提前招生模拟考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
一、选择题
1．不等式的解集是（ ）
A． ﹣＜x≤2 B． ﹣3＜x≤2 C． x≥2 D． x＜﹣3
2．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x，掷第二次，将朝上一面的点数记为y，则点（x，y）落在直线y=﹣x+5上的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，在正方形铁皮中，剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少．用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥，若圆的半径为r，扇形的半径为R，那么（ ）
A． R=2r B． R=r C． R=3r D． R=4r
4．如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（ ）
A． （a﹣b）=a﹣2ab+b B． （a+b）=a+2ab+b
222 C． a﹣b=（a+b）（a﹣b） D． a+ab=a（a+b）
5．若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则整数m的值为（ ）
A． ﹣3，﹣2，﹣1，0 B． ﹣2，﹣1，0，1 C． ﹣1，0，1，2 D． 0，1，2，3
二、填空题（每小题4分，共24分）
6．定义新运算：a⊕b=
7．|π﹣3.14|+sin30°+3.14﹣8
8．函数y=的自变量x的取值范围是 ．
= ．
，则函数y=3⊕x的图象大致是 ．
222222
9．将边长为a的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为 ．
10．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙0上的两点，若∠CDB=30°，则∠ABC的度数为 ，cos∠ABC= ．
11．已知实数x，y满足x+3x+y﹣3=0，则x+y的最大值为 ．
2
12．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律．若把第一个数记为a1，第二数记为a2，…，第n个数记为an．计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，由此推算a10﹣a9= ，a2012= ．
三．解答题：（共52分）
13．先化简：÷﹣，然后在0，1，2，3中选一个你认为合格的a值，代入求值．
1012•桃源县校级自主招生）关于x的一元二次议程x﹣x+p+1=0有两个实数根x1，x2．
（1）求p的取值范围．
（2）[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，求p的值．
15．某服装厂批发应夏季T恤衫，其单价y（元）与批发数量x（件）（x为正整数）之间的函数关系如图所示，
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）一个批发商一次购进250件T恤衫，所花的钱数是多少元？（其他费用不计）；
（3）若每件T恤衫的成本价是20元，当100＜x≤400件，（x为正整数）时，求服装厂所获利润w （元）与x（件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少？
2
16．如图，抛物线y=ax+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，A点到原点的距离为2，梯形的高为3，C点到y轴的距离为1，
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为y轴上的任意一点，求点M到A，B两点的距离之和的最小值及此时点M的坐标；
（3）在第（2）的结论下，抛物线上的P的使S△PAD=S△ABM成立，求点P的坐标．
2
1012•桃源县校级自主招生）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=﹣+b交折线OAB于点E．记△ODE的面积为S．
（1）当点E在线段OA上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；
（2）当点E在线段AB上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；
（3）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．不等式的解集是（ ）
A． ﹣＜x≤2 B． ﹣3＜x≤2 C． x≥2 D． x＜﹣3
考点： 解一元一次不等式组．
分析： 先解不等式组中的每一个不等式的解集，再利用求不等式组解集的口诀“大小小大中间”来求不等式组的解集．
解答： 解：由①得：x＞﹣3，
由②得：x≤2，
所以不等式组的解集为﹣3＜x≤2．
故选B．
点评： 解不等式组是考查学生的基本计算能力，求不等式组解集的时候，可先分别求出组成不等式组的各个不等式的解集，然后借助数轴或口诀求出所有解集的公共部分．
2．一个质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，将骰子抛掷两次，掷第一次，将朝上一面的点数记为x，掷第二次，将朝上一面的点数记为y，则点（x，y）落在直线y=﹣x+5上的概率为（ ）
A． B． C． D．
考点： 列表法与树状图法；一次函数图象上点的坐标特征．
分析： 列举出所有情况，看落在直线y=﹣x+5上的情况占总情况的多少即可．
解答： 解：共有36种情况，落在直线y=﹣x+5上的情况有（1，4）（2，3）（3，2）（4，1）4种情况，概率是，故选C．
1 2 3 4 5 6
1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）
2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）
3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6）
4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）
5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）
6 （6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）
点评： 如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，注意本题是放回实验．
3．如图所示，在正方形铁皮中，剪下一个圆和一个扇形，使余料尽量少．用圆做圆锥的底面，用扇形做圆锥的侧面，正好围成一个圆锥，若圆的半径为r，扇形的半径为R，那么（ ）
A． R=2r B． R=r
考点： 圆锥的计算；弧长的计算．
专题： 压轴题．
分析： 让扇形的弧长等于圆的周长即可．
解答： 解：根据扇形的弧长等于圆的周长，
∴扇形弧长等于小圆的周长，
即：=2πr，
C． R=3r D． R=4r
解得R=4r，故选D．
点评： 考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．
4．如图所示，在边长为a的正方形中，剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），将余下部分拼成一个梯形，根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于a、b的恒等式为（ ）
A． （a﹣b）=a﹣2ab+b B． （a+b）=a+2ab+b
222 C． a﹣b=（a+b）（a﹣b） D． a+ab=a（a+b）
考点： 平方差公式的几何背景．
专题： 计算题．
分析： 可分别在正方形和梯形中表示出阴影部分的面积，两式联立即可得到关于a、b的恒等式．
解答： 解：正方形中，S阴影=a﹣b；
梯形中，S阴影=（2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b）；
故所得恒等式为：a﹣b=（a+b）（a﹣b）．
故选：C．
点评： 此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
5．若直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则整数m的值为（ ）
2222222222 A． ﹣3，﹣2，﹣1，0 B． ﹣2，﹣1，0，1 C． ﹣1，0，1，2 D． 0，1，2，3
考点： 两条直线相交或平行问题．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 由直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，则交点坐标的符号为（+，﹣），解关于x、y的方程组，使x＞0，y＜0，即可求得m的值．
解答： 解：由题意得，
解得，
∵直线x+2y=2m与直线2x+y=2m+3（m为常数）的交点在第四象限，
∴，解得：﹣3，
又∵m的值为整数，∴m=﹣2，﹣1，0，1，
故选B．
点评： 考查了平面直角坐标系中点的符号，是一道一次函数综合性的题目，是中档题．
二、填空题（每小题4分，共24分）
6．定义新运算：a⊕b=，则函数y=3⊕x的图象大致是
．
考点： 一次函数的图象；反比例函数的图象．
专题： 新定义．
分析： 根据题意可得y=3⊕x=数图象所在象限和形状，进而得到答案．
解答： 解：由题意得y=3⊕x=，
，再根据反比例函数的性质可得函当x≥3时，y=2；当x＜3且x≠0时，y=﹣，图象如图：，
故答案为：
点评： 此题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．
7．|π﹣3.14|+sin30°+3.14﹣8= π ．
考点： 实数的运算；特殊角的三角函数值．
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用特殊角的三角函数值计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．
解答： 解：原式=π﹣3.14++3.14﹣=π，
故答案为：π
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．函数y=的自变量x的取值范围是 x＜﹣1或x≥4 ．
考点： 函数自变量的取值范围．
分析： 根据被开方数为非负数和分母不能为0计算即可．
2解答： 解：由题意得，x﹣3x﹣4≥0，x+1≠0，
解得，x＜﹣1或x≥4，
故答案为：x＜﹣1或x≥4．
点评： 本题考查的是函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
9．将边长为a的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为
a ．
2考点： 正多边形和圆．
分析： 由于正三角形各边三等分，就把整个三角形平均分成9个小正三角形，以这六个分点为顶点构成一个正六边形正好相当于6个小正三角形的面积．
解答： 解：如图所示：
∵新的正六边形有三个顶点在正三角形的三边上，且是三边的等分点，
∴连接正三角形的顶点与它对边的中点，可以看出新的正六边形的面积是六个小正三角形的面积之和，
∵边长为a的正三角形各边三等分，
∴小正三角形的边长为a，
2∴每个小正三角形的面积是×a×22=a×a=a，
∴新的正六边形的面积=故答案为：a．
2a×6=a；
点评： 此题考查了正三角形的性质、正三角形面积的计算方法；熟练掌握正三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
10．如图，AB是⊙O的直径，C，D为⊙0上的两点，若∠CDB=30°，则∠ABC的度数为
60° ，cos∠ABC= ．
考点： 圆周角定理；特殊角的三角函数值．
分析： 由于AB是⊙O的直径，由圆周角定理可知∠ACB=90°，则∠A和∠ABC互余，欲求∠ABC需先求出∠A的度数，已知了同弧所对的圆周角∠CDB的度数，则∠A=∠CDB，由此得解．
解答： 解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，即∠A+∠ABC=90°；
又∵∠A=∠CDB=30°， ∴∠ABC=90°﹣∠A=60°，
∴cos∠ABC=故答案为：60°．
．
点评： 此题主要考查了圆周角定理及其推论，半圆（弧）和直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，还考查了三角函数，掌握圆周角定理是解题的关键．
11．已知实数x，y满足x+3x+y﹣3=0，则x+y的最大值为 4 ．
考点： 二次函数的应用．
专题： 压轴题．
分析： 将函数方程x+3x+y﹣3=0代入x+y，把x+y表示成关于x的函数，根据二次函数的性质求得最大值．
2解答： 解：由x+3x+y﹣3=0得
2y=﹣x﹣3x+3，把y代入x+y得：
222x+y=x﹣x﹣3x+3=﹣x﹣2x+3=﹣（x+1）+4≤4，
∴x+y的最大值为4．
故答案为：4．
点评： 本题考查了二次函数的性质及求最大值的方法，即完全平方式法．
12．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律．若把第一个数记为a1，第二数记为a2，…，第n个数记为an．计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，由此推算a10﹣a9= 10 ，a2012= 2025078 ．
考点： 规律型：数字的变化类．
分析： 先计算a2﹣a1=3﹣1=2；a3﹣a2=6﹣3=3；a4﹣a3=10﹣6=4，则a10﹣a9=10，a2=1+2，a3=1+2+3，a4=1+3+4，即第n个三角形数等于1到n的所有整数的和，然后计算n=2012的a的值．
解答： 解：∵a2﹣a1=3﹣1=2；
a3﹣a2=6﹣3=3；
a4﹣a3=10﹣6=4，
∴a10﹣a9=10
∵a2=1+2，
a3=1+2+3，
a4=1+2+3+4，
22…
∴a2012=1+2+3+4+…+2012==2025078．
故答案为：10，2025078．
点评： 本题考查了规律型：数字的变化类，通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况是解答此题的关键．
三．解答题：（共52分）
13．先化简：÷﹣，然后在0，1，2，3中选一个你认为合格的a值，代入求值．
考点： 分式的化简求值．
分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可．
解答： 解：原式=•+a
=a+a
=2a．
当a=2时，原式=4a．
点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
1012•桃源县校级自主招生）关于x的一元二次议程x﹣x+p+1=0有两个实数根x1，x2．
（1）求p的取值范围．
（2）[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，求p的值．
考点： 根的判别式；根与系数的关系．
分析： （1）根据题意得出△≥0，求出即可；
2（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=1，x1•x2=p+1，整理后得出（1﹣x1•x2）+（x1+x2）（1﹣x1•x2）+x1•x2=9，代入求出即可．
2解答： 解：（1）△=（﹣1）﹣4（p+1）=﹣3﹣4p，
当﹣3﹣4p≥0，即p≤﹣时，方程有两个实数根，
即p的取值范围是p≤﹣；
（2）根据根与系数的关系得：x1+x2=1，x1•x2=p+1，
∵[1+x1（1﹣x2）][1+x2（1﹣x1）]=9，
2∴（1﹣x1•x2）+（x1+x2）（1﹣x1•x2）+x1•x2=9，
2∴[1﹣（p+1）]+1×[1﹣（p+1）]+（p+1）=9，
解得：p±2，
∵p≤﹣，
∴p=﹣2．
2点评： 本题考查了根与系数的关系，根的判别式的应用，能正确利用知识点进行计算是解此题的关键，题目比较典型．
15．某服装厂批发应夏季T恤衫，其单价y（元）与批发数量x（件）（x为正整数）之间的函数关系如图所示，
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）一个批发商一次购进250件T恤衫，所花的钱数是多少元？（其他费用不计）；
（3）若每件T恤衫的成本价是20元，当100＜x≤400件，（x为正整数）时，求服装厂所获利润w （元）与x（件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少？
考点： 二次函数的应用．
分析： （1）由题意设出一次函数的解析式，再根据点在直线上待定系数法求出函数解析式；
（2）列出总利润的函数表达式，转化为求函数最值问题，最后求出最大利润；
（3）根据利润=单件利润×批发数量，列出二次函数表达式，再运用二次函数性质解决最值问题．
解答： 解：（1）当0≤x＜100时，y=60；
当x≥100时，设y=kx+b，由图象可以看出过（100，60），（400，40），则
，
，
∴y=（2）∵250＞100，
∴当x=250件时，y=﹣×250+；
=50元，
∴批发商一次购进250件T恤衫，所花的钱数是：50×250=12500元；
（3）W=（﹣x+﹣20）×x=﹣x+2x=﹣（x﹣350）+2， ∴当一次性批发350件时，所获利润最大，最大利润是元．
点评： 本题考查了待定系数法求函数关系式以及运用函数的性质解决问题，根据题意列出函数表达式是解决问题的关键．
16．如图，抛物线y=ax+c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，A点到原点的距离为2，梯形的高为3，C点到y轴的距离为1，
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M为y轴上的任意一点，求点M到A，B两点的距离之和的最小值及此时点M的坐标；
（3）在第（2）的结论下，抛物线上的P的使S△PAD=S△ABM成立，求点P的坐标．
2
考点： 二次函数综合题．
2分析： （1）易知A（﹣2，0），C（1，﹣3），将A、C两点的坐标代入y=ax+c，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）由于A、D关于抛物线对称轴即y轴对称，那么连接BD，BD与y轴的交点即为所求的M点，可先求出直线BD的解析式，即可得到M点的坐标；
（3）设直线BC与y轴的交点为N，那么S△ABM=S梯形AONB﹣S△BMN﹣S△AOM，由此可求出△ABM和△PAD的面积；在△PAD中，AD的长为定值，可根据其面积求出P点纵坐标的绝对值，然后代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标．
解答： 解：（1）由题意可得：A（﹣2，0），C（1，﹣3），
∵抛物线y=ax+c（a＞0）经过A、C两点，
∴，解得22，
∴抛物线的解析式为：y=x﹣4；
（2）由于A、D关于抛物线的对称轴（即y轴）对称，连接BD，则BD与y轴的交点即为M点；
设直线BD的解析式为：y=kx+b（k≠0），
∵B（﹣1，﹣3），D（2，0），
∴，
解得 ，
∴直线BD的解析式为y=x﹣2，
当x=0时，y=﹣2，
∴点M的坐标是（0，﹣2）；
（3）设BC与y轴的交点为N，则有N（0，﹣3），
∵M（0，﹣2），B（﹣1，﹣3），
∴MN=1，BN=1，ON=3，
∴S△ABM=S梯形AONB﹣S△BMN﹣S△AOM=（1+2）×3﹣×1×1﹣×2×2=2，
∴S△PAD=S△ABM=2．
∵S△PAD=AD•|yP|=2，AD=4，
∴|yP|=1．
2当P点纵坐标为1时，x﹣4=1，解得x=±，
∴P1（，1），P2（﹣，1）；
2当P点纵坐标为﹣1时，x﹣4=﹣1，解得x=±，
∴P3（，﹣1），P4（﹣，﹣1）；
故存在符合条件的P点，且P点坐标为：P1（，1），P2（﹣P4（﹣，﹣1）．
，1），P3（，﹣1），
点评： 此题是二次函数的综合题型，其中涉及到二次函数解析式的确定、函数图象交点及图形面积的求法，轴对称的性质等．当所求图形不规则时，一般要将不规则图形转换为几个规则图形面积的和差来求．
1012•桃源县校级自主招生）如图所示，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线y=﹣交折线OAB于点E．记△ODE的面积为S．
+b（1）当点E在线段OA上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；
（2）当点E在线段AB上时，求S与b的函数关系式；并求出b的范围；
（3）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形OA1B1C1，试探究OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由．
考点： 一次函数综合题．
专题： 压轴题．
分析： （1）要表示出△ODE的面积，要分两种情况讨论，①如果点E在OA边上，只需求出这个三角形的底边OE长（E点横坐标）和高（D点纵坐标），代入三角形面积公式即可；（2）如果点E在AB边上，这时△ODE的面积可用长方形OABC的面积减去△OCD、△OAE、△BDE的面积；
（3）重叠部分是一个平行四边形，由于这个平行四边形上下边上的高不变，因此决定重叠部分面积是否变化的因素就是看这个平行四边形落在OA边上的线段长度是否变化．
解答： 解：（1）∵四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为（3，0），（0，1），
∴B（3，1），
若直线经过点A（3，0）时，则b=
若直线经过点B（3，1）时，则b=
若直线经过点C（0，1）时，则b=1
①若直线与折线OAB的交点在OA上时，即1＜b≤，如图1，
此时E（2b，0）
∴S=OE•CO=×2b×1=b；
（2）若直线与折线OAB的交点在BA上时，即＜b＜，如图2
此时E（3，），D（2b﹣2，1），
∴S=S矩﹣（S△OCD+S△OAE+S△DBE）
=3﹣[（2b﹣2）×1+×（5﹣2b）•（﹣b）+×3（b﹣）]
=b﹣b，
2∴S=；
（3）如图3，设O1A1与CB相交于点M，OA与C1B1相交于点N，则矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积即为四边形DNEM的面积．
由题意知，DM∥NE，DN∥ME，
∴四边形DNEM为平行四边形
根据轴对称知，∠MED=∠NED，
又∠MDE=∠NED，
∴∠MED=∠MDE，
∴MD=ME，
∴平行四边形DNEM为菱形．
过点D作DH⊥OA，垂足为H，
由题易知，D（2b﹣2，1），
对于y=﹣+b，令y=0，得x=2b，则E（2b，0），
∴DH=1，HE=2b﹣（2b﹣2）=2，
设菱形DNEM的边长为a，
则在Rt△DHN中，由勾股定理知：a=（2﹣a）+1，
∴a=，
∴S四边形DNEM=NE•DH=．
∴矩形OA1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积不发生变化，面积始终为．
222
点评： 本题是一个动态图形中的面积是否变化的问题，看一个图形的面积是否变化，关键是看决定这个面积的几个量是否变化，本题题型新颖，是个不可多得的好题，有利于培养学生的思维能力，但难度较大，具有明显的区分度．
中学自主招生数学试卷
一、选择题（每小题3分，计30分）
1．若a是绝对值最小的有理数，b是最大的负整数，c是倒数等于它本身的自然数，则代数式a﹣b+c的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如图是一个全封闭的物体，则它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
3．若点A（1，a）和点B（4，b）在直线y＝﹣x+m上，则a与b的大小关系是（ ）
A．a＞b
C．a＝b
B．a＜b
D．与m的值有关
4．一副三角板如图摆放，边DE∥AB，则∠1＝（ ）
A．135° B．120° C．115° D．105°
5．不等式9﹣3x＜x﹣3的解集在数轴上表示正确的是（ ） A．B．C．
D．
，则S△ABC等于（ ） 6．如图，在△ABC中，BC＝4，BC边上的中线AD＝2，AB+AC＝3+
A． B． C． D．
7．一次函数图象经过A（1，1），B（﹣1，m）两点，且与直线y＝2x﹣3无交点，则下列与点B（﹣1，m）关于y轴对称的点是（ ）
A．（﹣1，3） B．（﹣1，﹣3） C．（1，3） D．（1，﹣3）
8．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（ ）
A．5 B． C． D．
9．已知：⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC，E是AB的中点，连OE，OE＝，BC＝8，则⊙O的半径为（ ）
A．3 B． C． D．5 10．二次函数y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）的图象与y轴交于点A，且过点B（3，6）若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C，那么tan∠CBA的值是（ ）
A．
二、填空题（每小题3分，计12分）
11．因式分解：x2﹣y2﹣2x+2y＝ ．
12．如图，△ABC中，AB＝BD，点D，E分别是AC，BD上的点，且∠ABD＝∠DCE，若∠BEC＝105°，则∠A的度数是 ．
B． C．2 D．
13．如图，点B是双曲线y＝（k≠0）上的一点，点A在x轴上，且AB＝2，OB⊥AB，若∠BAO＝60°，则k＝ ．
14．如图，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，AE⊥BC于点E，若AE＝17，BC＝8，CD＝6，则四边形ABCD的面积为 ．
三、解答题
15．（5分）计算；﹣tan30°+（π﹣1）0+ 16．（5分）解方程： +﹣＝1．
17．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD．在BC上求作一点P使△ABP≌△ADP．（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
18．（5分）如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为点M，N，求证：DP＝MN．
19．（7分）为了解某中学去年中招体育考试中女生“一分钟跳绳”项目的成绩情况，从中抽取部分女生的成绩，绘制出如图所示的频数分布直方图（从左到右依次为第一到第六小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，请根据下列统计图中提供的信息解决下列问题：
（1）本次抽取的女生总人数为 ，第六小组人数占总人数的百分比为 ，请补全频数分布直方图；
（2）题中样本数据的中位数落在第 组内； （3）若“一分钟跳绳”不低于130次的成绩为优秀，这个学校九年级共有女生560人，请估计该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩的优秀人数．
20．（7分）如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向从D后退4米到G处，测得自己的影长GH＝5，如果小亮的身高为1.7m，求路灯杆AB的高度．
21．（7分）一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地，两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的对应关系如图所示：
（1）甲乙两地的距离是 千米；
（2）两车行驶多长时间相距300千米？
（3）求出两车相遇后y与x之间的函数关系式．
22．（7分）有2部不同的电影A、B，甲、乙、丙3人分别从中任意选择1部观看．
（1）求甲选择A部电影的概率；
（2）求甲、乙、丙3人选择同1部电影的概率（请用画树状图的方法给出分析过程，并求出结果）．
23．（8分）如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E．
（1）求证：∠DAC＝∠DCE；
（2）若AB＝2，sin∠D＝，求AE的长． 24．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）已知点P（m，n）在抛物线上，当﹣2≤m＜3时，直接写n的取值范围；
（3）抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D与点C关于点M对称，试问在该抛物线上是否存在点P，使△ABP与△ABD全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）问题提出；
（1）如图1，矩形ABCD，AB＝4，BC＝8，点E为CD的中点，点P为BC上的动点，CP＝
时，△APE的周长最小．
（2）如图2，矩形ABCD，AB＝4，BC＝8，点E为CD的中点，点P、点Q为BC上的动点，且PQ＝2，当四边形APQE的周长最小时，请确定点P的位置（即BP的长）
问题解决；
（3）如图3，某公园计划在一片足够大的等边三角形水域内部（不包括边界）点P处修一个凉亭，设计要求PA长为100米，同时点M，N分别是水域AB，AC边上的动点，连接P、M、N的水上浮桥周长最小时，四边形AMPN的面积最大，请你帮忙算算此时四边形AMPN面积的最大值是多少？
参考答案
一、选择题
1．解：根据题意得：a＝0，b＝﹣1，c＝1，
则a﹣b+c＝0﹣（﹣1）+1＝2，
故选：C．
2．解：从上面观察可得到：故选：D．
3．解：因为k＝﹣1＜0，
所以在函数y＝﹣x+m中，y随x的增大而减小．
∵1＜4，
∴a＞b．
故选：A．
4．解：∵DE∥AB，
∴∠D+∠DAB＝180°，
又∵∠D＝45°，∠BAC＝30°，
∴∠1＝180°﹣∠D﹣∠BAC＝105°，
故选：D．
5．解：移项，得：﹣3x﹣x＜﹣3﹣9，
合并同类项，得：﹣4x＜﹣12，
系数化为1，得：x＞3，
将不等式的解集表示如下：
故选：B．
6．解：∵BC＝4，AD＝2，
∴BD＝CD＝2，
∴AD＝BD，AD＝CD，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，
∴∠BAD+∠CAD＝180°÷2＝90°，
． 即△ABC是直角三角形，
设AB＝x，则AC＝3+﹣x，根据勾股定理得
x2+（3+﹣x）2＝42，
，
，AC＝＝或3，
．
解得x＝3或∴AB＝3或∴S△ABC＝×3×故选：D．
7．解：∵一次函数图象与直线y＝2x﹣3无交点，
∴设一次函数的解析式为y＝2x+b，
把A（1，1）代入得1＝2+b，
∴b＝﹣1，
∴一次函数的解析式为y＝2x﹣1，
把B（﹣1，m）代入得m＝﹣3，
∴B（﹣1，﹣3），
∴点B（﹣1，m）关于y轴对称的点是（1，﹣3），
故选：D．
8．解：∵AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10（勾股定理）；
∴AO＝AC＝5，
∵EO⊥AC，
∴∠AOE＝∠ADC＝90°，
又∵∠EAO＝∠CAD，
∴△AEO∽△ACD，
∴即，
，
；
，
解得，AE＝∴DE＝8﹣故选：C． 9．解：如图，作直径AD，连接BD；
∵AB＝AC，
∴＝，
∴AD⊥BC，BE＝CE＝4；
∵OE⊥AB，
∴AE＝BE，而OA＝OB，
∴OE为△ABD的中位线，
∴BD＝2OE＝5；
由勾股定理得：
DF2＝BD2﹣BF2＝52﹣42，
∴DF＝3；
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，由射影定理得：
BD2＝DF•AD，而BD＝5，DE＝3，
∴AD＝，
． ⊙O半径＝故选：C．
10．解：∵y＝ax2﹣4ax+2，
∴对称轴为直线x＝﹣＝2，A（0，2），
∵点B（3，6）关于二次函数对称轴的对称点为点C，
∴C（1，6），
∴BC∥x轴，
∴∠ADB＝90°， ∴tan∠CBA＝故选：B．
＝＝，
二、填空题
11．解：x2﹣y2﹣2x+2y＝（x2﹣y2）﹣（2x﹣2y）＝（x+y）（x﹣y）﹣2（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y﹣2）．
故答案为：（x﹣y）（x+y﹣2）．
12．解：∵BA＝BD，
∴∠A＝∠BDA，设∠A＝∠BDA＝x，∠ABD＝∠ECD＝y，
则有解得x＝85°，
故答案为85°．
13．解：∵AB＝2，0A⊥OB，∠ABO＝60°，
∴OA＝AB÷cos60°＝4，
作AD⊥OB于点D，
，
∴AD＝AB×sin60°＝，
BD＝AB×cos60°＝1，
∴OD＝OA﹣BD＝3，
∴点B的坐标为（3，）， ∵B是双曲线y＝上一点，
∴k＝xy＝3故答案为：3．
．
14．解：如图，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于F，连接AC，
则∠ADF+∠ADC＝180°，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADF，
∵在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AF＝AE＝17，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝×8×17+×6×17＝119
故答案为：119
三、解答题
15．解：原式＝＝．
﹣+1+﹣1
16．解：方程两边同乘（x+2）（x﹣2）得
x﹣2+4x﹣2（x+2）＝x2﹣4，
整理，得x2﹣3x+2＝0，
解这个方程得x1＝1，x2＝2，
经检验，x2＝2是增根，舍去，
所以，原方程的根是x＝1．
17．解：如图所示，点P即为所求． 18．证明：如图，连结PB．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°．
∵在△CBP和△CDP中，
，
∴△CBP≌△CDP（SAS）．
∴DP＝BP．
∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠MBN＝90°
∴四边形BNPM是矩形．
∴BP＝MN．
∴DP＝MN．
19．解：（1）本次抽取的女生总人数是：10÷20%＝50（人），
第四小组的人数为：50﹣4﹣10﹣16﹣6﹣4＝10（人），
第六小组人数占总人数的百分比是：补全图形如下：
×100%＝8%． 故答案是：50人、8%；
（2）因为总人数为50，
所以中位数是第25、26个数据的平均数，
而第25、26个数据都落在第三组，
所以中位数落在第三组，
故答案为：三；
（3）随机抽取的样本中，不低于130次的有20人，
则总体560人中优秀的有560×＝224（人），
答：估计该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩的优秀人数为224人．
20．解：∵CD⊥BF，AB⊥BF，
∴CD∥AB，
∴△CDF∽△ABF，
∴＝，
＝，
＝，
， 同理可得∴∴＝解得BD＝6，
∴＝，
解得AB＝5.1． 答：路灯杆AB高5.1m．
21．解：（1）由图象得：甲乙两地相距600千米；
故答案为：600；
（2）由题意得：慢车总用时10小时，
∴慢车速度为（千米/小时）；
设快车速度为x千米/小时，
由图象得：60×4+4x＝600，
解得：x＝90，
∴快车速度为90千米/小时；
设出发x小时后，两车相距300千米．
①当两车没有相遇时，
由题意得：60x+90x＝600﹣300，解得：x＝2；
②当两车相遇后，
由题意得：60x+90x＝600+300，解得：x＝6；
即两车2或6小时时，两车相距300千米；
（3）由图象得：时间为（小时），60×400（千米），
小时时快车已到达甲地，此时慢车走了400千米，
∴两车相遇后y与x的函数关系式为y＝．
22．解：（1）甲选择A部电影的概率＝；
（2）画树状图为：
共有8种等可能的结果数，其中甲、乙、丙3人选择同1部电影的结果数为2， 所以甲、乙、丙3人选择同1部电影的概率＝＝．
23．解：（1）∵AD是圆O的切线，
∴∠DAB＝90°．
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵∠DAC+∠CAB＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠DAC＝∠B．
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠OCB．
又∵∠DCE＝∠OCB．
∴∠DAC＝∠DCE．
（2）∵AB＝2，
∴AO＝1．
∵sin∠D＝，
∴OD＝3，DC＝2．
在Rt△DAO中，由勾股定理得AD＝∵∠DAC＝∠DCE，∠D＝∠D，
∴△DEC∽△DCA．
∴，即．
．
．
＝2．
解得：DE＝∴AE＝AD﹣DE＝24．解：（1）将点C坐标代入函数表达式得：y＝x2+bx﹣3，
将点A的坐标代入上式并解得：b＝﹣2，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）令y＝x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3或﹣1，即点B（3，0），
函数的对称轴为x＝1，
m＝﹣2时，n＝4+4﹣3＝5，
m＜3，函数的最小值为顶点纵坐标的值：﹣4， 故﹣4≤n≤5；
（3）点D与点C（0，﹣3）关于点M对称，则点D（2，3），
在x轴上方的P不存在，点P只可能在x轴的下方，
如下图当点P在对称轴右侧时，点P为点D关于x轴的对称点，此时△ABP与△ABD全等，
即点P（2，﹣3）；
同理点C（P′）也满足△ABP′与△ABD全等，
即点P′（0，﹣3）；
故点P的坐标为（0，﹣3）或（2，﹣3）．
25．解：（1）：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°＝∠ABC，AB＝CD＝4，BC＝AD＝8，
∵E为CD中点，
∴DE＝CE＝2，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝即△APE的边AE的长一定，
要△APE的周长最小，只要AP+PE最小即可，
延长AB到M，使BM＝AB＝4，则A和M关于BC对称，
＝＝2，
连接EM交BC于P，此时AP+EP的值最小，