...市第一高级中学2020中考提前自主招生数学模拟试卷附解析
2023年10月28日发(作者：最经典的中秋节祝福语)
我国税收改革经历五个阶段-
中学自主招生数学试卷
一．选择题（每小题3分，满分30分）
1．﹣的倒数是（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
2．计算（﹣）2018×（）2019的结果为（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
3．若一组数据2，4，6，8，x的方差比另一组数据5，7，9，11，13的方差大，则
x 的值可以为（ ）
A．12 B．10 C．2 D．0
4．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝112°，则∠α的大小是（ ）
A．68°
5．将不等式组A．C．B．20° C．28° D．22°
的解集在数轴上表示出来，应是（ ）
B．D．
6．下列解方程去分母正确的是（ ）
A．由B．由C．由D．由，得2x﹣1＝3﹣3x
，得 2x﹣2﹣x＝﹣4
，得 2
y﹣15＝3y
，得 3（
y+1）＝2
y+6
7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE的最小值是（ ） A．4 B．6 C．8 D．10
8．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，已知正方形A、B、C、D的面积分别为12、16、9、12，那么图中正方形E的面积为（ ）
A．144 B．147 C．49 D．148
9．如图，过点A（4，5）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝﹣x+6于B、C两点，若函数y＝（x＞0）的图象△ABC的边有公共点，则k的取值范围是（ ）
A．5≤k≤20 B．8≤k≤20 C．5≤k≤8 D．9≤k≤20
10．抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A（0，2），顶点坐标为C（l，k），抛物线与x轴在（3，0），（4，0）之间（不包含端点）有一个交点，则k的取值范围是（ ）
A． B． C．
二．填空题（满分24分，每小题3分）
11．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如﹣3：则所捂住的多项式是 ．
12．据测算，我国每年因沙漠造成的直接经济损失超过5 400 000万元，这个数用科学记数法表示为 万元．
13．一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率是 ．
14．如图，⊙O的半径为3，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则劣弧AB的长为 ．
﹣2x2﹣2x+1＝﹣x2+5x D． 15．已知x＝y+95，则代数式x2﹣2xy+y2﹣25＝ ．
16．等腰△ABC中，AB＝AC＝8cm，BC＝6cm，则内切圆的半径为 ．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴、y轴交于点A、B．直线CD与y轴交于点C（0，﹣6），与x轴相交于点D，与直线AB相交于点E．若△AOB≌△COD，则点E的坐标为 ．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，tan∠ACB＝2，D在△ABC内部，且AD＝CD，∠ADC＝90°，连接BD，若△BCD的面积为10，则AD的长为 ．
三．解答题
19．计算：|﹣1+|﹣﹣（5﹣π）0+4cos45°．
20．先化简，再求值：（+a﹣2）÷﹣1，其中a＝+1．
21．在国务院办公厅发布《中国足球发展改革总体方案》之后，某校为了调查本校学生对足球知识的了解程度，随机抽取了部分学生进行一次问卷调查，并根据调查结果绘制了如图的统计图，请根据图中所给的信息，解答下列问题：
（1）本次接受问卷调查的学生总人数是 ；
（2）补全折线统计图．
（3）扇形统计图中，“了解”所对应扇形的圆心角的度数为 ，m的值为 ；
（4）若该校共有学生3000名，请根据上述调查结果估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数．
22．（8分）为创建“美丽乡村”，某村计划购买甲、乙两种树苗共400棵，对本村道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．
（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？
（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，则至少应购买甲种树苗多少棵？
23．（8分）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE、AF、EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）若BC＝12，DE＝5，求△AEF的面积．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（其中k＜0，x＜0）的图象经过平行四边形ABOC的顶点A，函数y＝（其中x＞0）的图象经过顶点C，点B在x轴上，若点C的横坐标为1，△AOC的面积为
（1）求k的值；
（2）求直线AB的解析式．
25．（10分）如图△ABC中，BC＝3，以BC为直径的⊙O交AC于点D，若D是AC中点，∠ABC＝120°．
（1）求∠ACB的大小；
（2）求点A到直线BC的距离．
26．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：线与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．
（1）求n的值和抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；
（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．
参考答案
一．选择题
1．解：﹣的倒数是：﹣．
故选：B．
2．解：（﹣）2018×（）2019
＝（﹣）2018×（）2018×
＝．
故选：A．
3．解：5，7，9，11，13，这组数据的平均数为9，方差为S12＝×（42+22+0+22+42）＝8；
数据2，4，6，8，x的方差比这组数据方差大，则有S22＞S12＝8，
当x＝12时，2，4，6，8，12的平均数为6.4，方差为故选：A．
4．解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，
∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α，
∴∠BAB′＝α，∠B′AD′＝∠BAD＝90°，∠AD′C′＝∠ADC＝90°，
∵∠2＝∠1＝112°，
而∠ABC＝∠D′＝90°，
∴∠3＝180°﹣∠2＝68°，
∴∠BAB′＝90°﹣68°＝22°，
即∠α＝22°．
故选：D．
×（4.42+2.42+0.42+1.62+5.62）＝11.84，满足题意，
5．解：不等式组故选：A．
6．解：A、由的解集为：1≤x≤3，
，得2x﹣6＝3﹣3x，此选项错误；
，得 2x﹣4﹣x＝﹣4，此选项错误；
B、由C、由D、由故选：D．
，得 5y﹣15＝3y，此选项错误；
，得 3（
y+1）＝2y+6，此选项正确；
7．解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．
∵OD⊥BC，BC⊥AB，
∴OD∥AB，
又∵OC＝OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD＝AB＝3，
∴DE＝2OD＝6．
故选：B．
8．解：根据勾股定理的几何意义，可知
SE＝SF+SG
＝SA+SB+SC+SD
＝12+16+9+12
＝49，
故选：C．
9．解：∵过点A（4，5）分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝﹣x+6于B、C两点，
∴点B的纵坐标为5，点C的横坐标为4，
将y＝5代入y＝﹣x+6，得x＝1；将x＝4代入y＝﹣x+6得，y＝2，
∴点B的坐标为（1，5），点C的坐标为（4，2），
∵函数y＝（x＞0）的图象与△ABC的边有公共点，点A（4，5），点B（1，5），
∴1×5≤k≤4×5
即5≤k≤20，
故选：A．
10．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交于点A（0，2）
∴c＝2．
又∵顶点坐标为C（1，k）
∴对称轴直线h＝﹣∴b＝﹣2a
＝1 ∴y＝ax2﹣2ax+2．
把C（1，k）代入上式得，k＝2﹣a．
把（3，0）代入上式得，0＝9a﹣6a+2
解得，a＝﹣．
把（4，0）代入上式得，0＝16a﹣8a+2
解得，a＝﹣．
∴﹣＜a＜﹣．
∴+2＜2﹣a＜+2
即＜k＜．
故选：B．
二．填空题
11．解：所捂住的多项式是﹣x2+5x﹣3+2x2+2x﹣1＝x2+7x﹣4，
故答案为：x2+7x﹣4．
12．解：5 400 000＝5.4×106万元．
故答案为5.4×106．
13．解：投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率＝＝．
故答案为．
14．解：如图，连接OA、OB，
∵ABCDEF为正六边形，
∴∠AOB＝360°×＝60°，
的长为故答案为：π
15．解：∵x＝y+95，即x﹣y＝95，
∴原式＝（x﹣y）2﹣25＝9025﹣25＝9000，
故答案为：9000
16．解：如图，设三角形的内切圆为⊙O，切点分别为D、E、F，
＝π． 过AD⊥BC与D，
设OE＝OD＝OF＝rcm，
∵△ABC是等腰三角形，
∴可以确定A、O、D三点在同一直线上，D是BC的中点，
∴BD＝3cm，而AB＝8cm，
∴AD＝＝，
根据切线长定理得AE＝AF，BD＝BE，CD＝CF，
∴AE＝AF＝（AB+AC﹣BC）÷2＝5，
∵AB是内切圆的切线，
∴∠AEO＝90°＝∠ADB，而∠A公共，
∴△ADB∽△AEO，
∴OE：BD＝AE：AD
设OE＝r，
∴r：3＝5：∴r＝，
cm．
cm． 故答案为：
17．解：当x＝0时，y＝﹣x+3＝3，
∴点B的坐标为（0，3），
∴OB＝3．
∵△AOB≌△COD，
∴OD＝OB＝3，
∴点D的坐标为（3，0）．
设直线CD的解析式为y＝kx+b（k≠0），
将（0，﹣6）、（3，0）代入y＝kx+b，
，解得：，
∴直线CD的解析式为y＝2x﹣6．
联立直线AB、CD的解析式成方程组， ，解得：，
∴点E的坐标为（故答案为：（，）．
，）．
18．解：过D作DH⊥BC于H，过A作AM⊥BC于M，过D作DG⊥AM于G，
设CM＝a，
∵AB＝AC，
∴BC＝2CM＝2a，
∵tan∠ACB＝2，
∴＝2，
∴AM＝2a，
由勾股定理得：AC＝a，
S△BDC＝BC•DH＝10，
＝10，
DH＝，
∵∠DHM＝∠HMG＝∠MGD＝90°，
∴四边形DHMG为矩形，
∴∠HDG＝90°＝∠HDC+∠CDG，DG＝HM，DH＝MG，
∵∠ADC＝90°＝∠ADG+∠CDG，
∴∠ADG＝∠CDH，
在△ADG和△CDH中，
∵，
∴△ADG≌△CDH（AAS），
∴DG＝DH＝MG＝∴AM＝AG+MG，
即2a＝a++，
，AG＝CH＝a+，
a2＝20，
在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，
∵AD＝CD， ∴2AD2＝5a2＝100，
∴AD＝5或﹣5（舍），
故答案为：5．．
三．解答题（共8小题，满分60分）
19．解：原式＝20．解：原式＝（﹣1﹣×2+﹣1+4×）÷＝2﹣1
﹣2．
＝＝＝当a＝原式＝﹣，
•﹣1
+1时，
＝．
21．解：（1）总人数＝60÷50%＝120（人）．
（2）不了解的人数＝120﹣60﹣30﹣10＝20（人），
折线图如图所示：
（3）了解的圆心角＝∴m＝25．
故答案为：30，25．
×360°＝30°，基本了解的百分比＝＝25%， （4）3000×＝500（人），
答：估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数为500人．
22．解：（1）设购买甲种树苗x棵，乙种树苗y棵，
，
解得，，
即购买甲种树苗300棵，乙种树苗100棵；
（2）设购买甲种树苗a棵，
200a≥300（400﹣a）
解得，a≥240，
即至少应购买甲种树苗240棵．
23．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，
而F是CB的延长线上的点，
∴∠ABF＝90°，
在△ADE和△ABF中，
∵，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；
（2）∵BC＝12，∴AD＝12，
在Rt△ADE中，DE＝5，AD＝12，
∴AE＝＝13，
∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心
A点，按顺时针方向旋转90°得到，
∴AE＝AF，∠EAF＝90°，
∴△AEF的面积＝AE2＝×169＝84.5．
24．解：（1）设AC与y轴相交于点D．
把x＝1代入，得y＝2，
∴点C的坐标为（1，2），
∵四边形ABOC是平行四边形，
∴AC∥OB，
∴∠CDO＝∠DOB＝90°，
∴OD＝2，DC＝1， ∵△AOC的面积为，
∴AC•OD＝，
∴AC＝，
∴点A的坐标为（∴k＝﹣1；
（2）∵四边形ABOC是平行四边形，
∴，
），
），
∴点B的坐标为（设直线AB的解析式为y＝ax+b
∴解得，
∴直线AB解析式为y＝2x+3．
25．解：（1）连接BD，
∵以BC为直径的⊙O交AC于点D，
∴∠BDC＝90°，
∵D是AC中点，
∴BD是AC的垂直平分线，
∴AB＝BC，
∴∠A＝∠C，
∵∠ABC＝120°，
∴∠A＝∠C＝30°，
即∠ACB＝30°；
（2）过点A作AE⊥BC于点E，
∵BC＝3，∠ACB＝30°，∠BDC＝90°， ∴cos30°＝＝，
∴CD＝，
∵AD＝CD，
∴AC＝3，
∵在Rt△AEC中，∠ACE＝30°，
∴AE＝×3＝．
26．解：（1）∵直线l：y＝x+m经过点B（0，﹣1），∴m＝﹣1，
∴直线l的解析式为y＝x﹣1，
∵直线l：y＝x﹣1经过点C（4，n），
∴n＝×4﹣1＝2，
∵抛物线y＝x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣1；
（2）令y＝0，则x﹣1＝0，
解得x＝，
∴点A的坐标为（，0），
∴OA＝，
在Rt△OAB中，OB＝1，
1），
∴AB＝∵DE∥y轴，
＝＝，
∴∠ABO＝∠DEF，
在矩形DFEG中，EF＝DE•cos∠DEF＝DE•＝DE，
DF＝DE•sin∠DEF＝DE•＝DE，
∴p＝2（DF+EF）＝2（+）DE＝∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），
DE，
∴D（t， t2﹣t﹣1），E（t， t﹣1），
∴DE＝（t﹣1）﹣（t2﹣t﹣1）＝﹣t2+2t，
∴p＝×（﹣t2+2t）＝﹣t2+t，
∵p＝﹣（t﹣2）2+，且﹣＜0，
； ∴当t＝2时，p有最大值
（3）∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°，
∴A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，设点A1的横坐标为x，
①如图1，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1，
∴x2﹣x﹣1＝（x+1）2﹣（x+1）﹣1，
解得x＝，
②如图2，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x+1，点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大，
∴x2﹣x﹣1＝（x+1）2﹣（x+1）﹣1+，
解得x＝﹣， 综上所述，点A1的横坐标为或﹣
．
中学自主招生数学试卷
一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母用2B铅笔涂在对应的答题卡上
1．（3分）
的相反数是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3分）电影《流浪地球》中有一个名词“洛希极限”，它是指两大星体之间可以保持平稳运行的最小距离，其中地球与木星之间的洛希极限约为10.9万公里，数据“10.9万”用科学记数法表示正确的是（ ）
A．10.9×10
4B．1.09×10
4C．10.9×10
5D．1.09×10
53．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，点F在BC的延长线上，若∠ACF＝140°，∠ADE＝105°，则∠A的大小为（ ）
A．30° B．35° C．50° D．75°
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（xy）＝xy
C．3x•5x＝15x
23533B．x÷x＝x
D．5xy+2xy＝10xy
232349555．（3分）2019年1月3日上午10时26分，嫦娥四号探测器成功着陆在月球背面，开启了月球探测的新篇章，中国人迈开了走向星辰大海的第一步．如图是某正方体的展开图，在原正方体上“星”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．走 B．向 C．大 D．海
6．（3分）在一次数学竞赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，则这组数据的众数、中位数、方差分别是（ ）
A．5、3、4.6
7．（3分）方程A．2
B．5、5、5.6
C．5、3、5.6 D．5、5、6.6
的解为（ ）
C．4 D．无解
B．2或4
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使CE
CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB＝12，则BF的长为（ ） A．7 B．8 C．10 D．16
9．（3分）在平面直角坐标系中，若直线y＝x+n与直线y＝mx+6（m、n为常数，m＜0）相交于点P（3，5），则关于x的不等式x+n+1＜mx+7的解集是（ ）
A．x＜3 B．x＜4 C．x＞4 D．x＞6
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）比较大小：
3．（填“＞”或“＜”号）
12．（3分）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则|a+b|+|b|＝ ．
13．（3分）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成
化为代数式，再化简为 ．
以BC的长为半径作弧．则图中阴影部分的面积是 ．
，定义
ad﹣bc，请你将
14．（3分）如图，长方形纸片ABCD的长AB＝3，宽BC＝2，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧；以点C为圆心， 15．（3分）在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝120°，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B’始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为 ．
三、解答题（本大题8个小题，共75分）
216．（8分）先化简，再求值：（1
）
，其中x满足x﹣2x﹣5＝0．
17．（9分）某校为了解学生对排球、羽毛球、足球、篮球（以下分别用A、B、C、D表示）这四种球类运动的喜好情况．对全体学生进行了抽样调查（每位学生只能选一项最喜欢的运动），并将调查情况绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据以上信息回答下面问题：
（1）本次参加抽样调查的学生有 人．
（2）补全两幅统计图．
（3）若从本次参加抽样调查的学生中任取1人，则此人喜欢哪类球的概率最大？求其概率．
18．（9分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB是⊙C的切线，切点为点D，直线AC交⊙C于点E、F，且CF
AC
（1）求证：△ABF是直角三角形．
（2）若AC＝6，则直接回答BF的长是多少．
19．（9分）如图，一架无人机在距离地面高度为13.3米的点A处，测得地面点M的俯角为53°，这架无人机沿仰角为35°的方向飞行了55米到达点B，恰好在地面点N的正上方，M、N在同一水平线上求出M、N两点之间的距离．（结果精确到1米）
（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．）
20．（9分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y
x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y
的图象经过点M，N．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．
21．（10分）某小区2号楼对外销售，已知2号楼某单元共33层，一楼为商铺，只租不售，二楼以上价格如下：第16层售价为6000元/米，从第16层起每上升一层，每平方米的售价提高30元，反之每下降一层，每平方米的售价降低10元，已知该单元每套的面积均为100米
（1）请在下表中，补充完整售价y（元/米）与楼层x（x取正整数）之间的函数关系式．
楼层x（层）
售价y（元/米）
22221楼
不售
2≤x≤15
16楼
6000
17≤x≤33
（2）某客户想购买该单元第26层的一套楼房，若他一次性付清购房款，可以参加如图优惠活动．请你帮助他分析哪种优惠方案更合算．
22．（10分）已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β，
（1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，则α＝ °；β＝ °．
（2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？说明理由．
（3）是否存在不同于（2）中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可），说明理由；若不存在，请说明理由． 23．（11分）在平面直角坐标系中，抛物线y
bx+c，经过点A（1，3）、B（0，1），过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点C
（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）如图1，点G是BC上方抛物线上的一个动点，分别过点G作GH⊥BC于点H、作GE⊥x轴于点E，交BC于点F，在点G运动的过程中，△GFH的周长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，过A点的直线垂直x轴于点M，点N为直线AM上任意一点，当△BCN为直角三角形时，请直接写出点N的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母用2B铅笔涂在对应的答题卡上
1．【解答】解： 的相反数是．
故选：B．
2．【解答】解：将10.9万用科学记数法表示为：1.09×10．
故选：D．
3．【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠DEC＝∠ACF＝140°，
∴∠AED＝180°﹣140°＝40°，
∵∠ADE＝105°，
∴∠A＝180°﹣105°﹣40°＝35°，
故选：B．
4．【解答】解：A、原式＝xy，错误；
335B、原式＝1，错误；
C、原式＝15x，正确；
D、原式＝7xy，错误，
故选：C．
5．【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“星”与面“海”相对，
故选：D．
6．【解答】解：数据中5出现2次，次数最多，所以众数为5；
数据按从小到大的顺序排列为3、5、5、7、10，则中位数为5；
∵平均数为（7+5+3+5+10）÷5＝6，
∴方差为 [（7﹣6）+（5﹣6）×2+（3﹣6）+（10﹣6）]＝5.6；
2222235故选：B．
7．【解答】解：去分母得：2x＝（x﹣2）+4，
分解因式得：（x﹣2）[2﹣（x﹣2）]＝0，
解得：x＝2或x＝4，
经检验x＝2是增根，分式方程的解为x＝4，
故选：C．
8．【解答】解：如图，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，AB＝6，
∴CD
AB＝6．
又CE
CD，
∴CE＝2，
∴ED＝CE+CD＝8．
2又∵BF∥DE，点D是AB的中点，
∴ED是△AFB的中位线，
∴BF＝2ED＝16．
故选：D．
9．【解答】解：∵直线y＝x+n从左向右逐渐上升，直线y＝mx+6（m、n为常数，m＜0）从左向右逐渐下降，且两直线相交于点P（3，5）
∴当x＜3时，x+n＜mx+6，
∴x+n+1＜mx+7．
故选：A．
10．【解答】解：当F在PD上运动时，△AEF的面积为y
AE•AD＝2x（0≤x≤2），
当F在AD上运动时，△AEF的面积为y
AE•AF
x（6﹣x）
x+3x（2＜x≤4），
图象为：
2
故选：A．
二、填空题（本大题5个小题，每小题3分，共15分）
11．【解答】解：∵3＞
＞2，
∴2＞
1＞1，
∴
1＜3．
故答案为：＜．
12．【解答】解：∵a＜0＜b，a+b＜0，
∴|a+b|+|b|＝﹣（a+b）+b＝﹣a﹣b+b＝﹣a．
故答案为：﹣a．
13．【解答】解：∵
∴
22
ad﹣bc，
＝（x+3）（x+3）﹣（x﹣1）（x+1）
＝x+6x+9﹣x+1
＝6x+10，
故答案为：6x+10． 14．【解答】解：由图可得，
图中阴影部分的面积是：故答案为：
6，
6．
15．【解答】解：如图，作AH⊥CD于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴AB∥CD，
∴∠D+∠BAD＝180°，
∴∠D＝60°，
∵AD＝AB＝2，
∴AH＝AD•sin60°
，
∵B，B′关于EF对称，
∴BE＝EB′，
当BE的值最小时，AE的值最大，
根据垂线段最短可知，当EB′
时，BE的值最小，
∴AE的最大值＝2
，
故答案为2
．
三、解答题（本大题8个小题，共75分）
216．【解答】解：原式 •
•
x（x﹣2）＝x﹣2x，
由x﹣2x﹣5＝0，得到x﹣2x＝5，
则原式＝5．
17．【解答】解（1）总人数＝60÷10%＝600（人）
故答案为600．
（2）如下图：
22 （3）240÷600＝0.4
此人喜欢蓝球的概率最大，其概率是0.4．
18．【解答】（1）证明：如图，连接CD，
则CF＝CD，
∵AB是⊙C的切线．∴CD⊥AB，∠ADC＝∠BDC＝90°，
在Rt△ACD中，
∵CF
，
∴CD＝CF
，
∴∠A＝30°
∵AC＝BC∴∠ABC＝∠A＝30°，
∴∠ACB＝120°，
∠BCD＝∠BCF＝60°，
又∵BC＝BC，
∴△BCD≌△BCF（SAS），
∴∠BFC＝∠BDC＝90°，
∴△ABF是直角三角形．
（2）解：∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴AD＝BD＝BF，
在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，AC＝6，
∴CD
AC＝3，
∴AD
CD＝3
．
∴BF＝3
．
19．【解答】解：过点A作AC⊥BN于C．过点M作MD⊥AC于D，如图所示．
在Rt△AMD中，DM＝13.3，∠DAM＝53°，
∴AD
10；
在Rt△ABC中，AB＝55，∠BAC＝35°，
∴AC＝AB•cos53°＝55×0.82＝45.1．
∵AC⊥BN，MD⊥AC，MN⊥BN，
∴四边形MDCN是矩形，
∴MN＝DC＝AC﹣AD≈35．
答：MN两点的距离约是35米．
20．【解答】解：（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，
∴OA＝BC＝2，
将y＝2代入y
x+3得：x＝2，
∴M（2，2），
将x＝4代入y
x+3得：y＝1，
∴N（4，1），
把M的坐标代入y 得：k＝4，
∴反比例函数的解析式是y ；
（2）由题意可得：
S四边形BMON＝S矩形OABC﹣S△AOM﹣S△CON
＝4×2
2×2 4×1
＝4；
∵△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，
∴OP×AM＝4，
∵AM＝2，
∴OP＝4，
∴点P的坐标是（0，4）或（0，﹣4）．
21．【解答】解：（1）由题意可得，
当2≤x≤15时，y＝6000﹣（16﹣x）×10＝10x+5840，
当17≤x≤33时，y＝6000+（x﹣16）×30＝30x+5520，
故答案为：10x+5840，30x+5520；
（2）第26层每平方米的价格为：30×26+5520＝6300元，
方案一应付款：W1＝100×6300×（1﹣5%）﹣m＝598500﹣m，
方案二应付款：W2＝100×6300×（1﹣7%）＝585900，
当W1＞W2时，598500﹣m＞585900，得m＜12600， 当W1＝W2时，598500﹣m＝585900，得m＝12600，
当W1＜W2时，598500﹣m＞585900，得m＞12600，
所以当m＜12600时，方案二合算；
当
m＝12600时，二个方案相同；
当m＞12600时，方案一合算．
22．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD＝AE，∠ADE＝70°，
∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝40°，
∴α＝∠BAD＝60°﹣40°＝20°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝60°+20°＝80°，
∴β＝∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝10°，
故答案为：20，10；
（2）设∠ABC＝x，∠AED＝y，
∴∠ACB＝x，∠AED＝y，
在△DEC中，y＝β+x，
在△ABD中，α+x＝y+β＝β+x+β，
∴α＝2β；
（3）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，
如图1
设∠ABC＝x，∠ADE＝y，
∴∠ACB＝x，∠ACE＝y，
在△ABD中，x+α＝β﹣y，
在△DEC中，x+y+β＝180°，
∴α＝2β﹣180°，
②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，
如图2，同①的方法可得α＝180°﹣2β．
23．【解答】解：（1）∵抛物线y
bx+c，经过点A（1，3）、B（0，1），
解得：
，c＝1 ∴
∴抛物线的表达式为：
∵
，
∴顶点坐标为：
，
；
（2）∵A（1，3），∴把y＝3代入
，可得x1＝1，x，2＝4
∴C（4，3）
由B（0，1）、C（4，3）
得直线BC的表达式为
，BC
延长CA与y轴交于点I，则I（0，3）
∵点G是BC上方抛物线上的一个动点，分别过点G作GH⊥BC于点H、作GE⊥x轴于点E，交BC于点F，
∴△BCI∽△FGH
∴∠BCI＝∠FGH
∵tan∠BCI
，
∴tan∠FGH
设
，
，则
，
∴GF
∴当x＝2时，GF最长，此时△GFH周长最大．
∴GF＝2
∵
∴
∴GH
△GFH的周长为：GF+FH+GH＝2
2；
（3）如图2，由题意，设N（1，n）
∵B（0，1）、C（4，3）
∴BN＝1+（n﹣1）＝n﹣2n+2，
2222
CN＝3+（n﹣3）＝n﹣6n+18，
BC＝4+2＝20
当∠BNC＝90°时，BN+CN＝BC，即（n﹣2n+2）+（n﹣6n+18）＝20
得n1＝0，n2＝4；
当∠CBN＝90°时，BN+BC＝CN，即（n﹣2n+2）+20＝n﹣6n+18
22222222222222222得n3＝﹣1
当∠BCN＝90°时，BC+CN＝BN，即20+n﹣6n+18＝n﹣2n+2
得n4＝9
综上所述：N点的坐标为：（1，0）或（1，4）或（1，﹣1）或（
22222中学自主招生数学试卷
一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母用2B铅笔涂在对应的答题卡上
1．（3分） 的相反数是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3分）电影《流浪地球》中有一个名词“洛希极限”，它是指两大星体之间可以保持平稳运行的最小距离，其中地球与木星之间的洛希极限约为10.9万公里，数据“10.9万”用科学记数法表示正确的是（ ）
A．10.9×10
4B．1.09×10
4C．10.9×10
5D．1.09×10
53．（3分）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，点F在BC的延长线上，若∠ACF＝140°，∠ADE＝105°，则∠A的大小为（ ）
A．30° B．35° C．50° D．75°
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（xy）＝xy
C．3x•5x＝15x
23533B．x÷x＝x
D．5xy+2xy＝10xy
232349555．（3分）2019年1月3日上午10时26分，嫦娥四号探测器成功着陆在月球背面，开启了月球探测的新篇章，中国人迈开了走向星辰大海的第一步．如图是某正方体的展开图，在原正方体上“星”字所在面相对的面上的汉字是（ ）
A．走 B．向 C．大 D．海
6．（3分）在一次数学竞赛中，五位同学答对题目的个数分别为7，5，3，5，10，则这组数据的众数、中位数、方差分别是（ ）
A．5、3、4.6
7．（3分）方程A．2
B．5、5、5.6
C．5、3、5.6 D．5、5、6.6
的解为（ ）
C．4 D．无解
B．2或4
8．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使CE
CD，过点B作BF∥DE，与AE的延长线交于点F．若AB＝12，则BF的长为（ ） A．7 B．8 C．10 D．16
9．（3分）在平面直角坐标系中，若直线y＝x+n与直线y＝mx+6（m、n为常数，m＜0）相交于点P（3，5），则关于x的不等式x+n+1＜mx+7的解集是（ ）
A．x＜3 B．x＜4 C．x＞4 D．x＞6
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点P、Q分别是CD、AD的中点，动点E从点A向点B运动，到点B时停止运动；同时，动点F从点P出发，沿P→D→Q运动，点E、F的运动速度相同．设点E的运动路程为x，△AEF的面积为y，能大致刻画y与x的函数关系的图象是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题5个小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）比较大小：
3．（填“＞”或“＜”号）
12．（3分）实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，则|a+b|+|b|＝ ．
13．（3分）将4个数a，b，c，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成
化为代数式，再化简为 ．
以BC的长为半径作弧．则图中阴影部分的面积是 ．
，定义
ad﹣bc，请你将
14．（3分）如图，长方形纸片ABCD的长AB＝3，宽BC＝2，以点A为圆心，以AB的长为半径作弧；以点C为圆心， 15．（3分）在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝120°，点E，F分别是边AB，BC边上的动点，沿EF折叠△BEF，使点B的对应点B’始终落在边CD上，则A、E两点之间的最大距离为 ．
三、解答题（本大题8个小题，共75分）
216．（8分）先化简，再求值：（1
）
，其中x满足x﹣2x﹣5＝0．
17．（9分）某校为了解学生对排球、羽毛球、足球、篮球（以下分别用A、B、C、D表示）这四种球类运动的喜好情况．对全体学生进行了抽样调查（每位学生只能选一项最喜欢的运动），并将调查情况绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据以上信息回答下面问题：
（1）本次参加抽样调查的学生有 人．
（2）补全两幅统计图．
（3）若从本次参加抽样调查的学生中任取1人，则此人喜欢哪类球的概率最大？求其概率．
18．（9分）如图，在△ABC中，AC＝BC，AB是⊙C的切线，切点为点D，直线AC交⊙C于点E、F，且CF
AC
（1）求证：△ABF是直角三角形．
（2）若AC＝6，则直接回答BF的长是多少．
19．（9分）如图，一架无人机在距离地面高度为13.3米的点A处，测得地面点M的俯角为53°，这架无人机沿仰角为35°的方向飞行了55米到达点B，恰好在地面点N的正上方，M、N在同一水平线上求出M、N两点之间的距离．（结果精确到1米）
（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．）
20．（9分）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线y
x+3交AB，BC分别于点M，N，反比例函数y
的图象经过点M，N．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标．
21．（10分）某小区2号楼对外销售，已知2号楼某单元共33层，一楼为商铺，只租不售，二楼以上价格如下：第16层售价为6000元/米，从第16层起每上升一层，每平方米的售价提高30元，反之每下降一层，每平方米的售价降低10元，已知该单元每套的面积均为100米
（1）请在下表中，补充完整售价y（元/米）与楼层x（x取正整数）之间的函数关系式．
楼层x（层）
售价y（元/米）
22221楼
不售
2≤x≤15
16楼
6000
17≤x≤33
（2）某客户想购买该单元第26层的一套楼房，若他一次性付清购房款，可以参加如图优惠活动．请你帮助他分析哪种优惠方案更合算．
22．（10分）已知△ABC，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β，
（1）如图1，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，则α＝ °；β＝ °．
（2）如图2，若点D在线段BC上，点E在线段AC上，则α，β之间有什么关系式？说明理由．
（3）是否存在不同于（2）中的α，β之间的关系式？若存在，请写出这个关系式（写出一种即可），说明理由；若不存在，请说明理由． 23．（11分）在平面直角坐标系中，抛物线y
bx+c，经过点A（1，3）、B（0，1），过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点C
（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标；
（2）如图1，点G是BC上方抛物线上的一个动点，分别过点G作GH⊥BC于点H、作GE⊥x轴于点E，交BC于点F，在点G运动的过程中，△GFH的周长是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，过A点的直线垂直x轴于点M，点N为直线AM上任意一点，当△BCN为直角三角形时，请直接写出点N的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10个小题，每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母用2B铅笔涂在对应的答题卡上
1．【解答】解： 的相反数是．
故选：B．
2．【解答】解：将10.9万用科学记数法表示为：1.09×10．
故选：D．
3．【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠DEC＝∠ACF＝140°，
∴∠AED＝180°﹣140°＝40°，
∵∠ADE＝105°，
∴∠A＝180°﹣105°﹣40°＝35°，
故选：B．
4．【解答】解：A、原式＝xy，错误；
335B、原式＝1，错误；
C、原式＝15x，正确；
D、原式＝7xy，错误，
故选：C．
5．【解答】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“星”与面“海”相对，
故选：D．
6．【解答】解：数据中5出现2次，次数最多，所以众数为5；
数据按从小到大的顺序排列为3、5、5、7、10，则中位数为5；
∵平均数为（7+5+3+5+10）÷5＝6，
∴方差为 [（7﹣6）+（5﹣6）×2+（3﹣6）+（10﹣6）]＝5.6；
2222235故选：B．
7．【解答】解：去分母得：2x＝（x﹣2）+4，
分解因式得：（x﹣2）[2﹣（x﹣2）]＝0，
解得：x＝2或x＝4，
经检验x＝2是增根，分式方程的解为x＝4，
故选：C．
8．【解答】解：如图，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，AB＝6，
∴CD
AB＝6．
又CE
CD，
∴CE＝2，
∴ED＝CE+CD＝8．
2又∵BF∥DE，点D是AB的中点，
∴ED是△AFB的中位线，
∴BF＝2ED＝16．
故选：D．
9．【解答】解：∵直线y＝x+n从左向右逐渐上升，直线y＝mx+6（m、n为常数，m＜0）从左向右逐渐下降，且两直线相交于点P（3，5）
∴当x＜3时，x+n＜mx+6，
∴x+n+1＜mx+7．
故选：A．
10．【解答】解：当F在PD上运动时，△AEF的面积为y
AE•AD＝2x（0≤x≤2），
当F在AD上运动时，△AEF的面积为y
AE•AF
x（6﹣x）
x+3x（2＜x≤4），
图象为：
2
故选：A．
二、填空题（本大题5个小题，每小题3分，共15分）
11．【解答】解：∵3＞
＞2，
∴2＞
1＞1，
∴
1＜3．
故答案为：＜．
12．【解答】解：∵a＜0＜b，a+b＜0，
∴|a+b|+|b|＝﹣（a+b）+b＝﹣a﹣b+b＝﹣a．
故答案为：﹣a．
13．【解答】解：∵
∴
22
ad﹣bc，
＝（x+3）（x+3）﹣（x﹣1）（x+1）
＝x+6x+9﹣x+1
＝6x+10，
故答案为：6x+10． 14．【解答】解：由图可得，
图中阴影部分的面积是：故答案为：
6，
6．
15．【解答】解：如图，作AH⊥CD于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，
∴AB∥CD，
∴∠D+∠BAD＝180°，
∴∠D＝60°，
∵AD＝AB＝2，
∴AH＝AD•sin60°
，
∵B，B′关于EF对称，
∴BE＝EB′，
当BE的值最小时，AE的值最大，
根据垂线段最短可知，当EB′
时，BE的值最小，
∴AE的最大值＝2
，
故答案为2
．
三、解答题（本大题8个小题，共75分）
216．【解答】解：原式 •
•
x（x﹣2）＝x﹣2x，
由x﹣2x﹣5＝0，得到x﹣2x＝5，
则原式＝5．
17．【解答】解（1）总人数＝60÷10%＝600（人）
故答案为600．
（2）如下图：
22 （3）240÷600＝0.4
此人喜欢蓝球的概率最大，其概率是0.4．
18．【解答】（1）证明：如图，连接CD，
则CF＝CD，
∵AB是⊙C的切线．∴CD⊥AB，∠ADC＝∠BDC＝90°，
在Rt△ACD中，
∵CF
，
∴CD＝CF
，
∴∠A＝30°
∵AC＝BC∴∠ABC＝∠A＝30°，
∴∠ACB＝120°，
∠BCD＝∠BCF＝60°，
又∵BC＝BC，
∴△BCD≌△BCF（SAS），
∴∠BFC＝∠BDC＝90°，
∴△ABF是直角三角形．
（2）解：∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴AD＝BD＝BF，
在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，AC＝6，
∴CD
AC＝3，
∴AD
CD＝3
．
∴BF＝3
．
19．【解答】解：过点A作AC⊥BN于C．过点M作MD⊥AC于D，如图所示．
在Rt△AMD中，DM＝13.3，∠DAM＝53°，
∴AD
10；
在Rt△ABC中，AB＝55，∠BAC＝35°，
∴AC＝AB•cos53°＝55×0.82＝45.1．
∵AC⊥BN，MD⊥AC，MN⊥BN，
∴四边形MDCN是矩形，
∴MN＝DC＝AC﹣AD≈35．
答：MN两点的距离约是35米．
20．【解答】解：（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形，
∴OA＝BC＝2，
将y＝2代入y
x+3得：x＝2，
∴M（2，2），
将x＝4代入y
x+3得：y＝1，
∴N（4，1），
把M的坐标代入y 得：k＝4，
∴反比例函数的解析式是y ；
（2）由题意可得：
S四边形BMON＝S矩形OABC﹣S△AOM﹣S△CON
＝4×2
2×2 4×1
＝4；
∵△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，
∴OP×AM＝4，
∵AM＝2，
∴OP＝4，
∴点P的坐标是（0，4）或（0，﹣4）．
21．【解答】解：（1）由题意可得，
当2≤x≤15时，y＝6000﹣（16﹣x）×10＝10x+5840，
当17≤x≤33时，y＝6000+（x﹣16）×30＝30x+5520，
故答案为：10x+5840，30x+5520；
（2）第26层每平方米的价格为：30×26+5520＝6300元，
方案一应付款：W1＝100×6300×（1﹣5%）﹣m＝598500﹣m，
方案二应付款：W2＝100×6300×（1﹣7%）＝585900，
当W1＞W2时，598500﹣m＞585900，得m＜12600， 当W1＝W2时，598500﹣m＝585900，得m＝12600，
当W1＜W2时，598500﹣m＞585900，得m＞12600，
所以当m＜12600时，方案二合算；
当
m＝12600时，二个方案相同；
当m＞12600时，方案一合算．
22．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝60°，
∵AD＝AE，∠ADE＝70°，
∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝40°，
∴α＝∠BAD＝60°﹣40°＝20°，
∴∠ADC＝∠BAD+∠ABD＝60°+20°＝80°，
∴β＝∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝10°，
故答案为：20，10；
（2）设∠ABC＝x，∠AED＝y，
∴∠ACB＝x，∠AED＝y，
在△DEC中，y＝β+x，
在△ABD中，α+x＝y+β＝β+x+β，
∴α＝2β；
（3）①当点E在CA的延长线上，点D在线段BC上，
如图1
设∠ABC＝x，∠ADE＝y，
∴∠ACB＝x，∠ACE＝y，
在△ABD中，x+α＝β﹣y，
在△DEC中，x+y+β＝180°，
∴α＝2β﹣180°，
②当点E在CA的延长线上，点D在CB的延长线上，
如图2，同①的方法可得α＝180°﹣2β．
23．【解答】解：（1）∵抛物线y
bx+c，经过点A（1，3）、B（0，1），
解得：
，c＝1 ∴
∴抛物线的表达式为：
∵
，
∴顶点坐标为：
，
；
（2）∵A（1，3），∴把y＝3代入
，可得x1＝1，x，2＝4
∴C（4，3）
由B（0，1）、C（4，3）
得直线BC的表达式为
，BC
延长CA与y轴交于点I，则I（0，3）
∵点G是BC上方抛物线上的一个动点，分别过点G作GH⊥BC于点H、作GE⊥x轴于点E，交BC于点F，
∴△BCI∽△FGH
∴∠BCI＝∠FGH
∵tan∠BCI
，
∴tan∠FGH
设
，
，则
，
∴GF
∴当x＝2时，GF最长，此时△GFH周长最大．
∴GF＝2
∵
∴
∴GH
△GFH的周长为：GF+FH+GH＝2
2；
（3）如图2，由题意，设N（1，n）
∵B（0，1）、C（4，3）
∴BN＝1+（n﹣1）＝n﹣2n+2，
2222
CN＝3+（n﹣3）＝n﹣6n+18，
BC＝4+2＝20
当∠BNC＝90°时，BN+CN＝BC，即（n﹣2n+2）+（n﹣6n+18）＝20
得n1＝0，n2＝4；
当∠CBN＝90°时，BN+BC＝CN，即（n﹣2n+2）+20＝n﹣6n+18
22222222222222222得n3＝﹣1
当∠BCN＝90°时，BC+CN＝BN，即20+n﹣6n+18＝n﹣2n+2
得n4＝9
综上所述：N点的坐标为：（1，0）或（1，4）或（1，﹣1）或（
22222中学自主招生数学试卷
一．选择题（共 10 小题）
1．在数轴上，与原点的距离是 2 个单位长度的点所表示的数是（
）
D．
）
A．2 B．﹣2 C．±2
2．据统计，我市常住人口为 268.93 万人，用科学记数法表示 268.93 万人为（
A．268.93×104
人
C．2.6893×106
人
3．下列运算正确的是（
B．2.6893×107
人
D．0.26893×107
人
）
C．
2 3 2 3
D．4+
2
＝2
2
A．
2
3
5
B．
4 3 3 4
4．下列 4 个图形中：①圆；②正五边形；③正三角形；④菱形、从中任意取两个图形，都是中心对称图形的概率
为（
A．
）
B． C．
3
）
4
5．已知直线 y1=2x+1，y2=－
2x+1，则下列说法正确的是（
A．两直线互相平行
C．两直线关于 x 轴对称
D．
1
3
B．两直线互相垂直
D．两直线关于 y 轴对称
6．小明骑自行车到学校上学，若每小时骑 15 千米，可早到 10 分钟，若每小时骑 13 千米，则迟到 5 分钟，设他家到学校的路程为 x 千米，下列方程正确的是（
A．C．）
B．
D．）
C．﹣2m＞﹣2n D．3m＜4n
7．若 m＞n，则下列各式中一定成立的是（
A．m﹣2＞n﹣3 B．m﹣5＜n﹣5
8．如图，在正方形 ABCD 纸片中，EF 是 BC 的垂直平分线，按以下四种方法折叠纸片，图中不能折出 30°角的是（ ）
A． B． C． D．
9．直角三角形的三边为 x，x﹣y，x+y 且 x、y 都为正整数，则三角形其中一边长可能为（ ）
A．31 B．41 C．51 D．61 10．如图，△ABC 中，点 D 为边 BC 的点，点 E、F 分别是边 AB、AC 上两点，且 EF∥BC，若 AE：EB＝m，BD：
DC＝n，则（
）
．若 Am＞1，n＞1，则 2S△AEF＞S△ABD
C．若 m＜1，n＜1，则 2S△AEF＜S△ABD
二．填空题（共 5 小题）
11．分解因式：4x2﹣4＝ ．
B．若 m＞1，n＜1，则 2S△AEF＜S△ABD
D．若 m＜1，n＞1，则 2S△AEF＜S△ABD
12．已知圆弧的长为 10πcm，弧的半径为 20cm，则圆弧的度数为 ．
． 13．如图，将一张含有 30°角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠2＝44°，则∠1 的大小为
15．已知实数 m，n 满足 m²-6m=n+3，且满足不等式
m 2 (7 m) 0，则 n 的取值范围
。
16．在矩形 ABCD 中，∠ABC 的平分线交 AD 于点 E，∠BED 的平分线交 DC 于点 F，若 AB＝
12，点 F 恰为 DC 的三等分点，则 BC＝ （结果保留根号） 三．解答题（共 8 小题）
17．为了解学生身高，某校随机抽取了 25 位同学的身高，按照身高分为：A，B，C，D，E 五个小组，并绘制了如下的统计图，其中每组数据均包含最小值，不包含最大值．
请结合统计图，解决下列问题：
（1）这组数据的中位数落在 组；
（2）根据各小组的组中值，估计该校同学的平均身高；
（3）小明认为在题（2）的计算中，将 D，E 两组的组中值分别用 1.70m 和 1.90m 进行替换，并不影响计算结果．他的想法正确吗？清说明理由．
18．如图，在▱ ABCD 中，E 是 DC 上一点，连接 AE．F 为 AE 上一点，且∠BFE＝∠
C
（1）求证：△ABF∽△EAD．
（2）已知 AF=2，FE=3，AB=4，求 DE 的长。
19．阅读理解：
给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的 2 倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形．如图，矩形 A1B1C1D1
是矩形 ABCD 的“加倍”矩形．请你解决下列问题：
（1）边长为 a 的正方形存在“加倍”正方形吗？如果存在，求出“加倍”正方形的边长；如果不存在，说明理由．
（2）当矩形的长和宽分别为 m，n 时，它是否存在“加倍”矩形？请作出判断，说明理由．
20．如图，在平面直角坐标系中，直线 y＝．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将直线 x 向上平移后与反比例函数图象在第一象限内交于点 B，与 y 轴交于点 C，且△ABO 的面积为
x 与反比例函数 y＝（x＞0）在第一象限内的图象相交于点 A（m，1）
，求直线 BC 的解析式．
21．如图，在 Rt△AOB 中，∠AOB＝90°，OA＝3．，OB＝4，线段 OA’绕点 O 顺时针旋转ɑ角（0≤ɑ≤180°），
OA’交边 AB 于点 F。
（1）当旋转ɑ角度后，A’点恰好落在 AB 上，记为 C 点，求 CB 的长度；
（2）当 OA’绕点 O 旋转与 AB 平行时，记为 OG，连接 CG，交 OB 于 E，分别求出 OE 长度和∠COB 的正弦值；
（3）在旋转过程中，请直接写出
A' F
的最大值．
FO
22．已知二次函数 y＝（x－a－2）（x+a）+3．
（1）求该二次函数的图象的对称轴．
（2）对于该二次函数图象上的两点 P（x1，y1）、Q（x2，y2）．
①当 x≥m 时，y 随 x 的增大而增大，写出一个符合条件的 m 值；
②当 m≤x2≤m+2，当 x1≤﹣1 时，均有 y1≥y2，求 m 的取值范围；
（3）当二次函数过（0，3）点时，且与直线 y=kx+2 交于 A、B 两点，其中有一交点的横坐标 x0 满足 1＜x0＜3，的取值范围．
求 k
23．如图 1，在矩形 ABCD 中，点 E 以 lcm/s 的速度从点 A 向点 D 运动，运动时间为 t（s），连结 BE，过点 E 作 EF⊥BE，交 CD 于 F，以 EF 为直径作⊙O．
（1）求证：∠1＝∠2；
（2）如图 2，连结 BF，交⊙O 于点 G，并连结 EG．已知 AB＝4，AD＝6．
①用含 t 的代数式表示 DF 的长
②连结 DG，若△EGD 是以 EG 为腰的等腰三角形，求 t 的值；
（3）连结 OC，当 tan∠BFC＝3 时，恰有 OC∥EG，请直接写出 tan∠ABE 的值．
参考答案与试题解析
一．选择题（共 10 小题）
1．C．2．C．3．D．4．B．5．D．6．A．7．A．8．B．9．C．10．D． 二．填空题（共 5 小题）
11． 4（x+1）（x－1） ．12． 90° ．13． 14° ．14． ＜ ．16．－12≤n＜4．16． 4+8
三．解答题（共 8 小题）
17．解：（1）从直方图可得出这组数据的中位数位于 D 组；故答案为：D；
（2）（1.45×2+1.55×3+1.65×7+1.75×9+1.85×4）÷25＝1.69（米）；
答：该校同学的平均身高为 1.69 米；
（3）不正确，理由：组中值是这一小组的最小值和最大值的平均数， 如果将 D，E 两组的组中值分别用 1.70m 和 1.90m 进行替换，
平均数就会增加了，
故不正确．
18．（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，
∴∠D+∠C＝180°．
∵∠AFE+∠BFE＝180°且∠BFE＝∠C．
∴∠D＝∠AFB．
∵AB∥CD，
∴∠BAE＝∠AED，
∴△ABF∽△EAD．
（2）
19．解：（1）不存在．
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为 2 时，则面积比必定是 4，所以不存在．
（相同解答均可给分，如：满足周长是 2 倍时，则面积就成了 4 倍，所以不存在）（4 分）
8+
．
或
（2）存在．（5 分）
设“加倍”矩形的长和宽分别为 x，y．