...市葛洲坝中学2020中考提前自主招生数学模拟试卷附解析

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2023年10月28日发(作者：雷锋的故事100字作文(精选23篇))

捐书总结250字-

重点高中提前招生模拟考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上

一.选择题（本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是正确的,请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑.）

．．．．．．．．．．．．．．1.16的平方根是（ ）

A.4 B.－4 C.±4 D.±8

2.下列运算正确的是（ ）

A．(x3)4x7 B．(x)2x3x5 C．(x)4xx3 D.

xx2x3

3.下列美丽的图案,既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4.如图,桌面上有一个一次性纸杯,它的俯视图应是（ ）

A B C D

5.某学习小组为了解本城市500万成年人中大约有多少人吸烟,随机调查了50个成年人,结果其中有10个成年人吸烟.对于这个数据收集与处理的问题,下列说法正确的是（ ）

A.该调查的方式是普查 B.本地区只有40个成年人不吸烟

C.样本容量是50 D.本城市一定有100万人吸烟

6 杭州银泰百货对上周女装的销售情况进行了统计，如下表所示：

颜 黄 绿 白 紫 红 数量（件）

100 180 220 80 550

经理决定本周进女装时多进一些红的，可用来解释这一现象的统计知识是（ ）

A．平均数 B． 众数 C．中位数 D．方差

7.两圆的半径分别为3和7,圆心距为7,则两圆的位置关系是（ ）

A. 内切 B.相交 C.外切 D.外离

8.在△ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点,若BC＝5,则DE的长是（ ）

A.2.5 B.5 C.10 D.15

y＝kx＋b

9.如右图,一次函数y＝kx＋b的图象经过A、B两点,

则不等式kx＋b < 0的解集是（ ）

A.x

＜0 B. 0＜

x

＜１

C.x＜１ D.

x

＞１

y

A

2

O

B

1

x

10.某剧场为希望工程义演的文艺表演有60元和100元两种票价,某团体需购买140张,其中票价为100元的票数不少于票价为60元的票数的两倍,则购买这两种票最少共需要（ ）

A.12120元 B.12140元 C.12160元 D.12200元

11.若ab2，且a≥2b，则（ ）

b1b有最小值 B.有最大值1

a2aaa8C.有最大值2 D.有最小值

bb9A.12.在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE（点E，F分别在线段AB，CD上），记它们的面积分别为SABCD和SBFDE，现给出下列命题：

①若SABCD233，则tanEDF；

3SBFDE2 ②若DE2BDEF,则DF=2AD.则（ ）

A. ①是真命题，②是真命题 B. ①是真命题，②是假命题

C. ①是假命题，②是真命题 D. ①是假命题，②是假命题

二.填空题（本大题共6小题,每小题4分,共计24分.请把答案直接填写在答题．．卡相应位置上.）

．．．．．13.函数yx2中,自变量x的取值范围是 .

14.农科院对甲、乙两种甜玉米各10块试验田进行试验后,得到甲、乙两个品种每公顷的平均产量相同,而甲、乙两个品种产量的方差分别为S甲0.01,2S乙0.002则产量较为稳定的品种是_____________（填“甲”或“乙”）.

,215.如图,早上10点小东测得某树的影长为2m,到了下午5时又测得该树的影长为8m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度约为_________m.

下午5时

早上10时

第15题

第17题

16.已知圆锥的底面半径为1cm,母线长为1cm,则它的侧面积是 cm2.

17.如图,在平面直角坐标系中,⊙A与y轴相切于原点O,平行于x轴的直线交2),⊙A于M、N两点,若点M的坐标是(4，则弦MN的长为 .

18.如图,已知△OP1A1△、A1P2A2、△A2P3A3……均为等腰直角三角形,直角顶点P1、P2

、P3……在函4数y（x＞0）图象上,点A1、A2、A3……在xxO

y

P1

P2

A1

5P3

A3

x

10A2

轴的正半轴上,则点P2011的横坐标为 .

（第18题）

三.解答题（本大题共10小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19.(本题满分16分) 1 （1）计算:12|1|()34cos30

2

x1x1 （2）化简

2xx1(x1)

20.(本小题满分12分）

有A、B两个黑布袋,A布袋中有两个完全相同的小球,分别标有数字1和2;B布袋中有三个完全相同的小球,分别标有数字2,3和－4.小明从A布袋中随机取出一个小球,记录其标有的数字为x,再从B布袋中随机取出一个小球,记录其标有的数字为y,这样就确定点Q的一个坐标为(x,y).

（1）用列表或画树状图的方法写出点Q的所有可能坐标;

（2）求点Q落在直线y=x2上的概率.

21.(本题满分12分）如图,一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下,汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA＝30°和∠DCB＝60°,如果斑马线的宽度是AB＝3米,驾驶员与车头的距离是0.8米,这时汽车车头与斑马线的距离x是多少?

22.(本题满分12分）已知:如图,AB是⊙O的直径,C、D为⊙O上两点,CF⊥AB于点F,CE⊥AD的延长线于点E,且 CE＝CF.

（1）求证:CE是⊙O的切线;

（2）若AD＝CD＝6,求四边形ABCD的面积.

23.(本题满分12分）已知在图1、2、3中AC均平分∠MAN.

A

B

O F

A

B

O F

E

D C

E

D C M

D

A

B

C

M

C

N

D

A

B

N

D

A

M

C

B

第23题图3

N

第23题图1 第23题图2

⑴ 在图1中,若∠MAN=120°,∠ABC=∠ADC=90°,我们可得结论:AB+AD=AC;

在图2中,若∠MAN=120°,∠ABC+∠ADC=180°,则上面的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;

（2）在图3中:（只要填空,不需要证明）.

①若∠MAN=60°,∠ABC+∠ADC=180°,则AB+AD=

AC;

②若∠MAN=α（0°＜α＜180°）,∠ABC+∠ADC=180°,则AB+AD=

AC（用含α的三角函数表示）.

24.(本题满分12分）有六个学生分成甲、乙两组（每组三个人）,分乘两辆出租车同时从学校出发去距学校60km的博物馆参观,10分钟后到达距离学校12km处有一辆汽车出现故障,接着正常行驶的一辆车先把第一批学生送到博物馆再回头接第二批学生,同时第二批学生步行12km后停下休息10分钟恰好与回头接他们的小汽车相遇,当第二批学生到达博物馆时,恰好已到原计划时间.设汽车载人和空载时的速度分别保持不变,学生步行速度不变,汽车离开学校的路程s（千米）与汽车行驶时间t（分钟）之间的函数关系如图,假设学生上下车时间忽略不计.

(1)汽车载人时的速度为_______km/min;第一批学生到达博物馆用了_____分钟;原计划从学校出发到达博物馆的时间是______分钟;

(2)求汽车在回头接第二批学生途中（即空载时）的速度；

(3)假设学生在步行途中不休息且步行速度每分钟减小0.04km,汽车载人时和空载时速度不变,问能否经过合理的安排,使得学生从学校出发全部到达目的地的时间比原计划时间早10分钟？如果能,请简要说出方案,并通过计算说明;如果不能,简要说明理由.

25.(本题满分14分）如图,Rt△AOB中,∠A＝90°,以O为坐标原点建立直角坐标系,使点A在x轴正半轴上,OA＝2,AB＝8,点C为AB边的中点,抛物线的顶点是原点O,且经过C点.

（1）填空:直线OC的解析式为 _______ ;

抛物线的解析式为 _______ ;

（2）现将该抛物线沿着线段OC移动,使其顶点M始终在线段OC上（包括端点O、C）,抛物线与y轴的交点为D,与AB边的交点为E;

①是否存在这样的点D,使四边形BDOC为平行四边形？如存在,求出此时抛物线的解析式;如不存在,说明理由;

②设△BOE的面积为S,求S的取值范围.

数学参考答案及评分意见

y

B

y

B

C

C

x

O

A

x

O

A 一．选择题：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C B C B C B B A D C

二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共计24分.）

13.x≥-2 14.甲

15.4 16.π 17.3 18.2三.解答题:

19.(本题满分16分)

（1）11

C

12

A

201022011

112|1|()34cos30

23－1＋8－23………………………………6分 ＝2=7……………………………………………………8分

（2）x1x1

21x1)xx(×(x1)………………………………5分

x21x2＝x(x1) ＝1x………………………………8分

x

20.(本小题满分12分）

（1）

………………………………6分

或

2

（2）落有:(1,-3);(2,-4)

∴P=

(2,-2) (2,-3) (2,-4)

B

A

1

-2 -3 -4

(1,-2) (1,-3) (1,-4)

…………………………6分

在直线y=x2上的点Q21= ………………………………12分

6321.解：如图,∵CD∥AB,∴∠CAB=30°,∠CBF=60°; ……………………2分

∴∠BCA=60-30=30°,即∠BAC=∠BCA; ………………………………4分

∴BC=AB=3米; ………………………………6分

Rt△BCF中,∠CBF=3米,∠CBF=60°; ………………………………8分

∴BF= BC=1.5米; ………………………………10分

故x=BF-EF=0.7米. ………………………………12分

22.（1）连结OC.

∵CF⊥AB ,CE⊥AD,且CE=CF

∴∠CAE=∠CAB

∵

OC=OA

∴ ∠CAB＝∠OCA

∴∠CAE＝∠OCA

∴∠OCA＋∠ECA＝∠CAE＋∠ECA＝90°……………………4分

又∵OC是⊙O的半径

∴CE是⊙O的切线………………………………6分

（2）∵AD=CD

∴∠DAC=∠DCA=∠CAB

∴DC//AB

∵∠CAE＝∠OCA

∴OC//AD

∴四边形AOCD是平行四边形

∴OC=AD=6，AB＝12 中学自主招生数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

2．（3分）初步核算并经国家统计局核定，2017年广东全省实现地区生产总值约90000亿元，比上年增长7.5%．将90000亿元用科学记数法表示应为（ ）元．

A．9×10

11B．9×10

4C．9×10

12D．9×10

103．（3分）下列说法正确的是（ ）

A．2的相反数是2

C．2的倒数是2

4．（3分）下列运算正确的是（ ）

A．a+a＝a

C．a÷a＝a

32235B．2的绝对值是2

D．2的平方根是2

B．（a）＝a

D．（a﹣b）＝a﹣b

2222355．（3分）下列不等式组的解集中，能用如图所示的数轴表示的是（ ）

A． B． C． D．

6．（3分）如图，已知矩形纸片的一条边经过一个含30°角的直角三角尺的直角顶点，若矩形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，∠2＝115°，则∠1的度数是（ ）

A．75° B．85° C．60° D．65°

7．（3分）如图，在⊙O中，OC∥AB，∠A＝20°，则∠1等于（ ） A．40° B．45° C．50° D．60°

8．（3分）有三张正面分别写有数字﹣1，﹣2，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为（ ）

A． B． C． D．

9．（3分）点A（t，2）在第二象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值为（ ）

A．﹣ B．﹣2 C．2 D．3

10．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E在AD上，且AE＝1，点P是线段AB上一动点，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN，过点P作PQ⊥AB，交MN所在的直线于点Q．设x＝AP，y＝PQ，则y关于x的函数图象大致为（ ）

A． B．

C． D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．（4分）方程x＝x的解是 ．

12．（4分）因式分解：3x+6x+3＝ ．

13．（4分）把抛物线y＝2x﹣1向上平移一个单位长度后，所得的函数解析式为 ．

14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝14cm，BD＝8cm，AD＝6cm，则△OBC的周长是 ．

222

15．（4分）在△ABC中BC＝2，AB＝2，AC＝b，且关于x的方程x﹣4x+b＝0有两个2相等的实数根，则AC边上的中线长为 ．

16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1＝∠A2OC2＝∠A3OC3＝∠A4OC4＝…＝30°．若点A1的坐标为（3，0），OA1＝OC2，OA2＝OC3，OA3＝OC4，…则依此规律，的值为 ．

三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）

17．（6分）计算：﹣|﹣3|+﹣4cos30°

18．（6分）先化简，后求值：（x﹣）÷，其中x＝2．

19．（6分）已知等腰△ABC的顶角∠A＝36°（如图）．

（1）请用尺规作图法作底角∠ABC的平分线BD，交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）证明：△ABC∽△BDC． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）

20．（7分）在国务院办公厅发布《中国足球发展改革总体方案》之后，某校为了调查本校学生对足球知识的了解程度，随机抽取了部分学生进行一次问卷调查，并根据调查结果绘制了如图的统计图，请根据图中所给的信息，解答下列问题：

（1）本次接受问卷调查的学生总人数是 ；

（2）补全折线统计图．

（3）扇形统计图中，“了解”所对应扇形的圆心角的度数为 ，m的值为 ；

（4）若该校共有学生3000名，请根据上述调查结果估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数．

21．（7分）某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．

（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？

（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）

22．（7分）如图，在正方形ABCD中，边长AB＝3，点E（与B，C不重合）是BC边上任意一点，把EA绕点E顺时针方向旋转90°到EF，连接CF． （1）求证：CF是正方形ABCD的外角平分线；

（2）当∠BAE＝30°时，求CF的长．

五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）

23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b（b为常数）与反比例函数y＝（x＞0）交于点B，与x轴交于点A，与y轴交于点C，且OB＝AB．

（1）如图①，若点A的坐标为（6，0）时，求点B的坐标及直线AB的解析式；

（2）如图①，若∠OBA＝90°，求点A的坐标；

（3）在（2）的条件下中，如图②，△PA1A是等腰直角三角形，点P在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，斜边A1A都在x轴上，求点A1的坐标．

24．（9分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．

（1）求证：BC是⊙D的切线；

（2）设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，若AB＝2阴影部分的面积；

（3）假设圆的半径为r，⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动，且∠FDM＜90°，连接DM，MF，当S四边形DFHM：S四边形ABCD＝3：4时，求动点M经过的弧长．

，求图中 25．（9分）如图①，已知抛物线y＝ax+2x+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在），点D点B的左侧），与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．

（1）求a，c的值；

（2）求线段DE的长度；

（3）如图②，试在线段AE上一点F，在线段DE上一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1．（3分）下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据中心对称图形的定义和各图特点即可解答．

【解答】解：只有选项C连接相应各点后是正三角形，绕中心旋转180度后所得的图形与原图形不会重合．

故选：C．

【点评】本题考查中心对称图形的定义：绕对称中心旋转180度后所得的图形与原图形完全重合，和正奇边形有关的一定不是中心对称图形．

2．（3分）初步核算并经国家统计局核定，2017年广东全省实现地区生产总值约90000亿元，比上年增长7.5%．将90000亿元用科学记数法表示应为（ ）元．

A．9×10

11B．9×10

n4C．9×10

12D．9×10

10【分析】科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：90000亿＝9×10，

故选：C．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．（3分）下列说法正确的是（ ）

A．2的相反数是2

C．2的倒数是2

B．2的绝对值是2

D．2的平方根是2

n12【分析】根据有理数的绝对值、平方根、倒数和相反数解答即可．

【解答】解：A、2的相反数是﹣2，错误；

B、2的绝对值是2，正确； C、2的倒数是，错误；

D、2的平方根是±故选：B．

【点评】此题考查了实数的性质，关键是根据有理数的绝对值、平方根、倒数和相反数解答．

4．（3分）下列运算正确的是（ ）

A．a+a＝a

C．a÷a＝a

32235，错误；

B．（a）＝a

D．（a﹣b）＝a﹣b

222235【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．

【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；

B、原式＝a，不符合题意；

C、原式＝a，符合题意；

D、原式＝a﹣2ab+b，不符合题意，

故选：C．

【点评】此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．

5．（3分）下列不等式组的解集中，能用如图所示的数轴表示的是（ ）

A． B． C． D．

226【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，再根据数轴判断即可．

【解答】解：由数轴可得：﹣2＜x≤1，

故选：D．

【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．

6．（3分）如图，已知矩形纸片的一条边经过一个含30°角的直角三角尺的直角顶点，若矩形纸片的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，∠2＝115°，则∠1的度数是（ ） A．75° B．85° C．60° D．65°

【分析】先根据平行线的性质，得出∠3的度数，再根据三角形外角性质进行计算即可．

【解答】解：如图所示，∵DE∥BC，

∴∠2＝∠3＝115°，

又∵∠3是△ABC的外角，

∴∠1＝∠3﹣∠A＝115°﹣30°＝85°，

故选：B．

【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．

7．（3分）如图，在⊙O中，OC∥AB，∠A＝20°，则∠1等于（ ）

A．40° B．45° C．50° D．60°

【分析】利用平行线的性质即可求得∠C的度数，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半求得∠O的度数，再利用三角形的外角的性质即可求解．

【解答】解：∵OC∥AB，

∴∠C＝∠A＝20°，

又∵∠O＝2∠A＝40°，

∴∠1＝∠O+∠C＝20°+40°＝60°．

故选：D．

【点评】本题考查了圆周角定理与平行线的性质定理，正确利用圆周角定理求得∠O的度数是关键．

8．（3分）有三张正面分别写有数字﹣1，﹣2，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后再从剩余的两张卡片随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第二象限的概率为（ ）

A． B． C． D．

【分析】画树状图得出所有等可能结果，再从中到符合条件的结果数，继而利用概率公式可得答案．

【解答】解：画树状图如下：

由树状图知，共有6种等可能结果，其中点（a，b）在第二象限的有2种结果，

所以点（a，b）在第二象限的概率为＝，

故选：B．

【点评】本题主要考查列表法与树状图法，列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．

9．（3分）点A（t，2）在第二象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα＝，则t的值为（ ）

A．﹣ B．﹣2 C．2 D．3

＝，构建方程即可解决问题． 【分析】如图，作AE⊥x轴于E．根据tan∠AOE＝【解答】解：如图，作AE⊥x轴于E．

由题意：tan∠AOE＝∵A（t，2），

∴AE＝2，OE＝﹣t，

∴＝，

＝，

∴t＝﹣，

故选：A．

【点评】本题考查解直角三角形的应用，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

10．（3分）如图，矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E在AD上，且AE＝1，点P是线段AB上一动点，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕MN，过点P作PQ⊥AB，交MN所在的直线于点Q．设x＝AP，y＝PQ，则y关于x的函数图象大致为（ ）

A． B．

C． D．

【分析】过点E作EF⊥QP，垂足为F，连接EQ．由翻折的性质可知QE＝QP，从而可表示出QF、EF、EQ的长度，然后在△EFQ中利用勾股定理可得到函数的关系式．

【解答】解：如图所示，过点E作EF⊥QP，垂足为F，连接EQ． 由翻折的性质可知：EQ＝QP＝y．

∵∠EAP＝∠APF＝∠PFE＝90°，

∴四边形EAPF是矩形．

∴EF＝AP＝x，PF＝EA＝1．

∴QF＝QP﹣PF＝y﹣1．

在Rt△EFQ中，由勾股定理可知：EQ＝QF+EF，即y＝（y﹣1）+x．

整理得：y＝故选：D．

【点评】本题主要考查的是翻折的性质、矩形的性质和判定、勾股定理的应用，表示出QF、EF、EQ的长度，在△EFQ中利用勾股定理列出函数关系式是解题的关键．

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

11．（4分）方程x＝x的解是 x1＝0，x2＝1 ．

【分析】将方程化为一般形式，提取公因式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．

【解答】解：x＝x，

移项得：x﹣x＝0，

分解因式得：x（x﹣1）＝0，

可得x＝0或x﹣1＝0，

解得：x1＝0，x2＝1．

故答案为：x1＝0，x2＝1

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．

12．（4分）因式分解：3x+6x+3＝ 3（x+1） ．

22222222222． 【分析】原式提取3，再利用完全平方公式分解即可．

【解答】解：原式＝3（x+2x+1）＝3（x+1），

故答案为：3（x+1）

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

13．（4分）把抛物线y＝2x﹣1向上平移一个单位长度后，所得的函数解析式为 y＝2x ．

【分析】直接运用平移规律“左加右减，上加下减”，在原式上加1即可得新函数解析式y＝2x．

【解答】解：∵抛物线y＝2x﹣1向上平移一个单位长度，

∴新抛物线为y＝2x．

故答案为y＝2x．

【点评】此题比较容易，主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．

14．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝14cm，BD＝8cm，AD＝6cm，则△OBC的周长是 17cm ．

222222222

【分析】根据平行四边形的对边相等以及对角线互相平分进而求出即可．

【解答】解：∵在平行四边形ABCD中，AC＝14cm，BD＝8cm，AD＝6cm，

∴CO＝AC＝7cm，BO＝BD＝4cm，BC＝AD＝6cm，

∴△OBC的周长＝BC+BO+CO＝6+7+4＝17（cm）．

故答案为：17cm．

【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练根据平行四边形的性质得出BO，BC，CO的长是解题关键．

15．（4分）在△ABC中BC＝2，AB＝2，AC＝b，且关于x的方程x﹣4x+b＝0有两个2相等的实数根，则AC边上的中线长为 2 ．

【分析】由根的判别式求出AC＝b＝4，由勾股定理的逆定理证出△ABC是直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结论．

【解答】解：∵关于x的方程x﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，

2∴△＝16﹣4b＝0，

∴AC＝b＝4，

∵BC＝2，AB＝2∴BC+AB＝AC，

∴△ABC是直角三角形，AC是斜边，

∴AC边上的中线长＝AC＝2；

故答案为：2．

【点评】本题考查了根的判别式，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质；证明△ABC是直角三角形是解决问题的关键．

16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1＝∠A2OC2＝∠A3OC3＝∠A4OC4＝…＝30°．若点A1的坐标为（3，0），OA1＝OC2，OA2＝OC3，OA3＝OC4，…则依此规律，的值为 ．

222，

【分析】根据含30度的直角三角形三边的关系得OA2＝＝＝＝3×；OA3＝3＝＝3×（）；OA4＝）20152＝2017＝3×（），…，于是可得到OA2016＝3×（，化简即可．

，OA2018＝3×（），代入【解答】解：∵∠A2OC2＝30°，OA1＝OC2＝3， ∴OA2＝＝＝＝3×；

OA3＝＝＝3×（）；

2OA4＝…，

＝＝3×（），

3∴OA2016＝3×（）2015，OA2018＝3×（）2017，

∴＝＝（）＝．

2故答案为．

【点评】本题考查了规律型，点的坐标，坐标与图形性质，通过从一些特殊的点的坐标发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．也考查了含30度的直角三角形三边的关系及三角函数．

三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）

17．（6分）计算：﹣|﹣3|+﹣4cos30°

【分析】直接利用负指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案．

【解答】解：原式＝4＝4﹣3+2018﹣2

﹣3+2018﹣4× ＝2015+2．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

18．（6分）先化简，后求值：（x﹣）÷，其中x＝2．

【分析】先计算括号内减法、同时将除法转化为乘法，再约分即可化简，最后代入求值即可．

【解答】解：原式＝×

＝×

＝，

时，

．

当x＝2+原式＝＝＝【点评】本题主要考查分式的化简求值能力，熟练掌握分式的混合运算顺序是解题的关键．

19．（6分）已知等腰△ABC的顶角∠A＝36°（如图）．

（1）请用尺规作图法作底角∠ABC的平分线BD，交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）证明：△ABC∽△BDC．

【分析】（1）利用角平分线的作法作出线段BD即可；

（2）先根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C＝72°，再由角平分线的性质得出∠ABD的度数，故可得出∠A＝∠CBD＝36°，∠C＝∠C，据此可得出结论．

【解答】解：（1）如图，线段BD为所求出；

（2）∵∠A＝36°，AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣36°）＝72°．

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠DBC＝72°÷2＝36°．

∵∠A＝∠CBD＝36°，∠C＝∠C，

∴△ABD∽△BDC．

【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．

四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）

20．（7分）在国务院办公厅发布《中国足球发展改革总体方案》之后，某校为了调查本校学生对足球知识的了解程度，随机抽取了部分学生进行一次问卷调查，并根据调查结果绘制了如图的统计图，请根据图中所给的信息，解答下列问题：

（1）本次接受问卷调查的学生总人数是 120人 ；

（2）补全折线统计图．

（3）扇形统计图中，“了解”所对应扇形的圆心角的度数为 30° ，m的值为 25 ；

（4）若该校共有学生3000名，请根据上述调查结果估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数．

【分析】（1）根据了解很少的人数以及百分比，求出总人数即可．

（2）求出不了解的人数，画出折线图即可．

（3）根据圆心角＝360°×百分比计算即可．

（4）利用样本估计总体的思想解决问题即可．

【解答】解：（1）总人数＝60÷50%＝120（人）．

（2）不了解的人数＝120﹣60﹣30﹣10＝20（人），

折线图如图所示：

（3）了解的圆心角＝∴m＝25．

故答案为：30，25．

（4）3000×＝500（人），

×360°＝30°，基本了解的百分比＝＝25%，

答：估算该校学生对足球的了解程度为“不了解”的人数为500人．

【点评】本题考查折线统计图，样本估计总体，扇形统计图等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

21．（7分）某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍．

（1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需几个月？

（2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元．在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数）

【分析】（1）设甲队单独完成需要x个月，则乙队单独完成需要x﹣5个月，根据题意列出关系式，求出x的值即可；

（2）设甲队施工y个月，则乙队施工y个月，根据工程款不超过1500万元，列出一元一次不等式，解不等式求最大值即可．

【解答】解：（1）设甲队单独完成需要x个月，则乙队单独完成需要（x﹣5）个月，

由题意得，x（x﹣5）＝6（x+x﹣5），

解得x1＝15，x2＝2（不合题意，舍去），

则x﹣5＝10．

答：甲队单独完成这项工程需要15个月，则乙队单独完成这项工程需要10个月；

（2）设甲队施工y个月，则乙队施工y个月，

由题意得，100y+（100+50）≤1500，

解不等式得y≤8.57，

∵施工时间按月取整数，

∴y≤8，

答：完成这项工程，甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，难度一般，解本题的关键是根据题意设出未知数列出方程及不等式求解．

22．（7分）如图，在正方形ABCD中，边长AB＝3，点E（与B，C不重合）是BC边上任意一点，把EA绕点E顺时针方向旋转90°到EF，连接CF．

（1）求证：CF是正方形ABCD的外角平分线；

（2）当∠BAE＝30°时，求CF的长．

【分析】（1）过点F作FG⊥BC于点G，易证△ABE≌△EGF，所以可得到AB＝EG，BE＝FG，由此可得到∠FCG＝∠45°，即CF平分∠DCG，所以CF是正方形ABCD外角的平分线；

（2）首先可求出BE的长，即FG的长，再在Rt△CFG中，利用cos45°即可求出CF的长．

【解答】（1）证明：过点F作FG⊥BC于点G．

∵∠AEF＝∠B＝∠90°，

∴∠1＝∠2．

在△ABE和△EGF中，

∴△ABE≌△EGF（AAS）．

∴AB＝EG，BE＝FG．

又∵AB＝BC，

∴BE＝CG，

∴FG＝CG，

∴∠FCG＝∠45°，

即CF平分∠DCG，

∴CF是正方形ABCD外角的平分线．

（2）∵AB＝3，∠BAE＝30°，tan30°＝BE＝AB•tan30°＝3×，即CG＝，

．

，

在Rt△CFG中，cos45°＝∴CF＝．

【点评】主要考查了正方形的性质，以及全等三角形的判定和性质、特殊角的三角函数值的运用，题目的综合性较强，难度中等．

五、解答题（三）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）

23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b（b为常数）与反比例函数y＝（x＞0）交于点B，与x轴交于点A，与y轴交于点C，且OB＝AB．

（1）如图①，若点A的坐标为（6，0）时，求点B的坐标及直线AB的解析式；

（2）如图①，若∠OBA＝90°，求点A的坐标；

（3）在（2）的条件下中，如图②，△PA1A是等腰直角三角形，点P在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，斜边A1A都在x轴上，求点A1的坐标．

【分析】（1）如图①，作辅助线，根据等腰三角形三线合一得：OC＝AC＝OA，所以OC＝AC＝3，根据点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，代入解析式可得B的坐标，再利用待定系数法可得直线AB的解析式；

（2）如图①，根据△AOB是等腰直角三角形，得BC＝OC＝OA，设点B（a，a）（a＞0），列方程可得a的值，从而得A的坐标；

（3）如图②，作辅助线，根据△PA1A是等腰直角三角形，得PD＝AD，设AD＝m（m＞0），则点P的坐标为（4+m，m），列方程可得结论．

【解答】解：（1）如图①，过B作BC⊥x轴于C，

∵OB＝AB，BC⊥x轴， ∴OC＝AC＝OA，

∵点A的坐标为（6，0），

∴OA＝6，

∴OC＝AC＝3，

∵点B在反比例函数y＝∴y＝＝4，

（x＞0）的图象上，

∴B（3，4），

∵点A（6，0），点B（3，4）在y＝kx+b的图象上，

∴，解得：，

∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+8；

（2）如图①，∵∠OBA＝90°，OB＝AB，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴BC＝OC＝OA，

设点B（a，a）（a＞0），

∵顶点B在反比例函数y＝∴a＝∴OC＝2，解得：a＝，

，

（x＞0）的图象上，

（负值舍），

∴OA＝2OC＝4∴A（4，0）；

（3）如图②，过P作PD⊥x轴于点D，

∵△PA1A是等腰直角三角形， ∴PD＝AD，

设AD＝m（m＞0），则点P的坐标为（4∴m（4+m）＝12，

﹣2﹣4，m2＝﹣2，

，

，0）．

﹣2（负值舍去），

+m，m），

解得：x1＝2∴A1A＝2m＝4∴OA1＝OA+AA1＝4∴点A1的坐标是（4【点评】此题是反比例函数与一次函数的综合题，难度适中，解题的关键是：（1）求出点B的坐标；（2）根据点B在反比例函数图象上列方程；（3）设AD＝m，表示P的坐标并列方程．解决该题型题目时，出点的坐标，再利用反比例函数解析式列方程是关键．

24．（9分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．

（1）求证：BC是⊙D的切线；

（2）设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，若AB＝2阴影部分的面积；

（3）假设圆的半径为r，⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动，且∠FDM＜90°，连接DM，MF，当S四边形DFHM：S四边形ABCD＝3：4时，求动点M经过的弧长．

，求图中

【分析】（1）过D作DQ⊥BC于Q'，连接DE．证明DE＝DQ，即BC是⊙D的切线；

（2）过F作FN⊥DH于N．先证明△ABD为等边三角形，所以∠DAB＝60°，AD＝BD＝AB，再证明△DHF为等边三角形，在Rt△DFN中，FN⊥DH，∠BDC＝60°，sin∠BDC＝sin60°＝，FN＝，S阴影＝S扇形FDH﹣S△FDH；

（3）假设点M运动到某个位置时，符合题意，连接DM、DF，过M作NZ⊥DF于Z，当M运动到离弧最近时，DE＝DH＝DF＝DM＝r，证明∠MDC＝60°，此时，动点M经过的弧长为πr．

【解答】解：（1）证明：过D作DQ⊥BC于Q'，连接DE． ∵⊙D且AB于E，

∴DE⊥AB，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BD平分∠ABC，

∴DE＝DQ，

∴BC是⊙D的切线；

（2）过F作FN⊥DH于N．

∵四边形ABCD是菱形，AB＝2∴AD＝AB＝2，DC∥AB，

，

∵在Rt△ADE中，DE⊥AB，∠A＝60°，

∴sinA＝sin60°＝∴DE＝3，DH＝DF＝DE＝3

∵AD＝AB＝2，∠A＝60°，

，

∴△ABD为等边三角形，

∴∠DAB＝60°，AD＝BD＝AB，

∵DC∥AB，

∴∠BDC＝∠DBA＝60°，

∵DH＝DF＝3，

∴△DHF为等边三角形，

在Rt△DFN中，FN⊥DH，∠BDC＝60°，

∴sin∠BDC＝sin60°＝∴FN＝，

，

∴S阴影＝S扇形FDH﹣S△FDH＝＝；

（3）假设点M运动到某个位置时，符合题意，连接DM、DF，过M作NZ⊥DF于Z， 当M运动到离弧最近时，

DE＝DH＝DF＝DM＝r，

由（2）在Rt△DFN中，sin∠BDC＝sin60°＝∴FN＝S△HDF＝在Rt△ADE中，

sinA＝sin60°＝∴AD＝AB＝AD＝r，

r，

＝，

，

，

＝，

，

∴S菱形ABCD＝AB•DE＝∵当S四边形DFHM：S四边形ABCD＝3：4，

∴S四边形DFHM＝，

＝DF•MZ＝rMZ， ∴S△DFM＝S四边形DFHM﹣S△HDF＝∴MZ＝，

在Rt△DMF中，MF⊥CD，

sin∠MDC＝＝，

∴∠MDC＝60°，

此时，动点M经过的弧长为πr． 【点评】本题考查了圆综合知识，熟练掌握圆的相关知识与菱形的性质以及特殊三角函数值是解题的关键．

25．（9分）如图①，已知抛物线y＝ax+2x+c（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在），点D点B的左侧），与y轴交于点C，点A坐标为（﹣1，0），点C坐标为（0，是点C关于抛物线对称轴的对称点，连接CD，过点D作DH⊥x轴于点H，过点A作AE⊥AC交DH的延长线于点E．

（1）求a，c的值；

（2）求线段DE的长度；

（3）如图②，试在线段AE上一点F，在线段DE上一点P，且点M为直线PF上方抛物线上的一点，求当△CPF的周长最小时，△MPF面积的最大值是多少？

【分析】（1）：（1）将A（﹣1，0），C（0，求出a、c的值；

（2）由（1）得抛物线解析式：y＝轴的对称点，C（0，是 ＝即＝），所以D（2，，解得：EH＝2 ），DH＝，点D是点C关于抛物线对称，再证明△ACO∽△EAH，于；

），）代入抛物线y＝ax+2x+c（a≠0），，则DE＝2（3）点C关于DE的对称点N（4， ），点C关于AE的对称点G（﹣2，﹣连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长＝CF+PF+CP＝GF+PF+PN最小，根据S△MFP＝＝，m＝ 时，△MPF面积有最大值．

）代入抛物线y＝ax+2【解答】解：（1）将A（﹣1，0），C（0，x+c（a≠0），

，

∴a＝﹣，c＝

）

（2）由（1）得抛物线解析式：y＝∵点D是点C关于抛物线对称轴的对称点，C（0，∴D（2，∴DH＝ ），

，

x+2令y＝0，即﹣x+＝0，

得x1＝﹣1，x2＝3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

∵AE⊥AC，EH⊥AH，

∴△ACO∽△EAH，

∴＝即＝，

，

解得：EH＝2则DE＝2；

（3）点C关于DE的对称点N（4， ），点C关于AE的对称点G（﹣2，﹣ ），

连接GN，交AE于点F，交DE于点P，即G、F、P、N四点共线时，△CPF周长＝CF+PF+CP＝GF+PF+PN最小，

∴直线GN的解析式：y＝由（2）得E（2，﹣x﹣，

），A（﹣1，0）， ∴直线AE的解析式：y＝﹣x﹣，

联立

解得

∴F （0，﹣∵DH⊥x轴，

），

∴将x＝2代入直线AE的解析式：y＝﹣∴P（2，∴F （0，﹣）

）与P（2，x﹣，

）的水平距离为2

过点M作y轴的平行线交FH于点Q，

设点M（m，﹣m+2m+），则Q（m，m﹣m+

2 ）（m+＜m＜）﹣（m﹣）；

）， ∴S△MFP＝S△MQF+S△MQP＝MQ×2＝MQ＝（﹣S△MFP＝∵对称轴为：直线m＝，

∵开口向下，＜m，

..

＝∴m＝ 时，△MPF面积有最大值为【点评】本题考查了二次函数，熟练运用相似三角形的性质与二次函数图象的性质是解题的关键．

中学自主招生数学试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.每小题只有一个选项是符合题意的）

1．9的平方根为（ ）

A．3 B．-3 C．±3

D．±3 2．如图的几何体，它的俯视图是（ ）

A． B． C． D．

3．下列运算正确的是（ ）

A．（-3mn）2=-6m2n2

C．（xy）2÷（-xy）=-xy

B．4x4+2x4+x4=6x4

D．（a-b）（-a-b）=a2-b2

4．如图，AE∥CD，△ABC为等边三角形，若∠CBD=15°，则∠EAC的度数是（ ）

A．60° B．45° C．55° D．75°

5．已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点A（a-2，b）和点B（a，b+4），则k的值为（ ）

1A．2

1B．-2

C．2 D．-2

6．如图，△ABC中，∠A=25°，∠B=65°，CD为∠ACB的平分线，CE⊥AB于点E，则∠ECD的度数是（ ）

A．25° B．20° C．30° D．15°

17．直线l1：y=-2x+1与直线l2关于点（1，0）成中心对称，下列说法正确的是（ ）

A．将l1向下平移2个单位得到l2

B．将l1向右平移2个单位得到l2 C．将l1向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到l2

D．将l1向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到l2

18．如图，BD为菱形ABCD的一条对角线，E、F在BD上，且四边形ACEF为矩形，若EF=2AEBD，则AD 的值为（ ）

10A．5

2B．5

1C．2

2D．2

9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接OC、BD，若∠AOC=110°，则∠BCD的度数是（ ）

A．35° B．46° C．55° D．70°

10．关于x的二次函数y=mx2+（m-4）x+2（m＜0），下列说法：①二次函数的图象开口向1下；②二次函数与x轴有两个交点；③当x＜-3，y随x的增大而增大；④二次函数图象顶点的纵坐标大于等于6，其中正确的论述是（ ）

A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④

二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）

x44x11．不等式2的最小整数解为

12．如图，在正五边形ABCDE中，连接AC、AD，则∠CAD的度数是 度

n13．若直线y=-x+m与双曲线y=x（x＞0）交于A（2，a），B（4，b）两点，则mn的值为 .

14．如图，等腰直角△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，E、F为边AC、BC上的两个动点，且CF=AE，连接BE、AF，则BE+AF的最小值为

三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出过程）

1272tan602 15．计算：3x132x2 16．解方程：2x17．如图，已知四边形ABCD中，AD＜BC，AD∥BC，∠B为直角，将这个四边形折叠使得点A与点C重合，请用尺规作图法出折痕所在的直线．（保留作图痕迹，不写作法）

18．如图，AB∥CD，且AB=CD，连接BC，在线段BC上取点E、F，使得CE=BF，连接AE、DF．求证：AE∥DF．

19．我校“点爱”社团倡导全校学生参加“关注特殊儿童”自愿捐款活动，并对此次活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）．已知A、B两组捐款人数的比为1：5．请结合以上信息解答下列问题． 组别

A

B

C

D

E

捐款额x/元

1≤x＜10

10≤x＜20

20≤x＜30

30≤x＜40

x≥40

人数

100

（1）a= ，本次抽样调查样本的容量是 ；

（2）补全“捐款人数分组统计图1”；

（3）若记A组捐款的平均数为5元，B组捐款的平均数为15元，C组捐款的平均数为25元，D组捐款的平均数为35元，E组捐款的平均数为50元，全校共有2000名学生参加此次活动，请你估计此次活动可以筹得善款的金额大约为多少元．

20．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，A在B的正东方向2千米处．有一艘小船在观测点A北偏西60°的方向上航行，一段时间后，到达点C处，此时，从观测点B测得小船在北偏西15°方向上．求点C与点B之间的距离．（结果保留根号）

21．为了美化环境，建设最美西安，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场调查，甲种花卉的种植费用为y（元）与种植面积x（m2）之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为100元/m2．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m2，若甲种花卉的种植面积不少于200m2，且不超过乙种花卉种植面积的2倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植费用最少？最少费用为多少元？ 22．甲、乙、丙、丁4人聚会，吗，每人带了一件礼物，4件礼物从外盒包装看完全相同，将4件礼物放在一起．

（1）甲从中随机抽取一件，则甲抽到不是自己带来的礼物的概率是 ；

（2）甲先从中随机抽取一件，不放回，乙再从中随机抽取一件，求甲、乙2人抽到的都不是自己带来的礼物的概率．

23．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，点O为AB上一点，且3AO=AB，以OA为半径作半圆O，交AC于点D，AB于点E，DE与OC相交于F．

（1）求证：CB与⊙O相切；

（2）若AB=6，求DF的长度．

24．已知抛物线L：y=ax2+bx+3与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D．

（1）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；

（2）若将抛物线L沿y轴平移后得到抛物线L′，抛物线L′经过点E（4，1），与y轴的交点为C′，顶点为D′，在抛物线L′上是否存在点M，使得△MCC′的面积是△MDD′面积的2倍？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

25．发现问题：如图1，直线a∥b，点B、C在直线b上，点D为AC的中点，过点D的直线与a，b分别相交于M、N两点，与BA的延长线交于点P，若△ABC的面积为1，则四边形AMNB的面积为 ；

1探究问题：如图2，Rt△ABC中，∠DAC=3∠BAC，DA=2，求△ABC面积的最小值；

拓展应用：如图3，矩形花园ABCD的长AD为400米，宽CD为300米，供水点E在小路AC上，且AE=2CE，现想沿BC上一点M和CD上一点N修一条小路MN，使得MN经过E，并在四边形AMCN围城的区域内种植花卉，剩余区域铺设草坪根据项目的要求种植花卉的区域要尽量小．请根据相关数据求出四边形AMCN面积的最小值，及面积取最小时点M、N的位置．（小路的宽忽略不计）

参考答案与试题解析

1. 【分析】根据平方根的定义求解即可，注意一个正数的平方根有两个．

【解答】解：9的平方根有：±9=±3．

故选：C．

【点评】此题考查了平方根的知识，属于基础题，解答本题关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数．

2. 【分析】到从几何体的上面看所得到的图形即可．

【解答】解：这个几何体的俯视图为

故选：A．

【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．

3. 【分析】根据积的乘方、合并同类项、整式的乘法、除法，即可解答．

【解答】解：A、（-3mn）2=9m2n2，故错误；

B、4x4+2x4+x4=7x4，故错误；

C、正确；

D、（a-b）（-a-b）=-（a2-b2）=b2-a2，故错误；

故选：C．

【点评】本题考查了积的乘方、合并同类项、整式的乘法、除法，解决本题的关键是熟记相关法则．

4. 【分析】如图，延长AC交BD于H．求出∠CHB即可解决问题．

【解答】解：如图，延长AC交BD于H．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，

∵∠ACB=∠CBD+∠CHB，∠CBD=15°，

∴∠CHB=45°，

∵AE∥BD，

∴∠EAC=∠CHB=45°，

故选：B．

【点评】本题考查平行线的性质，等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

bb4ya，5. 【分析】由正比例函数y=kx可得k=x，将点A与B代入可得a2求出b=2a-4，再将A点代入即可求解．

y【解答】解：由正比例函数y=kx可得k=x，

∵图象经过点A（a-2，b）和点B（a，b+4），

bb4a， ∴a2∴b=2a-4，

∴A（a-2，2a-4），

将点A代入y=kx可得2a-4=k（a-2），

∴k=2，

故选：C．

【点评】本题考查正比例函数的性质；能够根据已知点建立方程求出b=2a-4是解题的关键．

6. 【分析】根据∠ECD=∠DCB-∠ECB，求出∠DCB，∠ECB即可．

【解答】解：∵∠ACB=180°-∠A-∠B=90°，

又∵CD平分∠ACB，

1∴∠DCB=2×90°=45°，

∵CE⊥AB，

∴∠CEB=90°，

∴∠ECB=90°-65°=25°，

∴∠ECD=45°-25°=20°．

故选：B．

【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

17. 【分析】设直线l2的点（x，y），则（2-x，-y）在直线l1：y=-2x+1上，代入可得直线l2解析式，根据直线l1与直线l2的解析式即可判断． 1【解答】解：设直线l2的点（x，y），则（2-x，-y）在直线l1：y=-2x+1上，

1∴-y=-2（2-x）+1，

1∴直线l2的解析式为：y=-2（x-2）+1，

∴将l1向右平移2个单位得到l2，

故选：B．

【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，求得直线l2的解析式是解题的关键．

8. 【分析】由菱形的性质可知对角线垂直且互相平分，由矩形的性质可知对角线又互相平111分且相等，再加上EF=2BD，可以得到OA=OC=OE=OF=2OB=4BD，设OA=x，用勾股定理可以表示出AE、AD，进而求出他们的比值，再做出选择．

【解答】解：连接AC交BD于点O，

∵菱形ABCD，

11∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，OA=OC=2AC，OB=OD=2BD，

∵AFCE是矩形，

∴AC=EF=2OF=2OE，

1又∵EF=2BD，

∴OA=OF，OB=2OA，

设OA=x，则OE=x，OB=2x，

在Rt△AOE和Rt△AOB中，

AEOA2OF22x；ABOA2OB25xAE2x10AD5，

5x故选：A．

【点评】考查菱形的性质、矩形的性质、直角三角形的勾股定理等知识，合理的转化以及设参数是解决问题常用方法．

9. 【分析】连接BC，根据圆周角定理求得∠ABC的度数，然后根据直角三角形的锐角互余即可求解．

【解答】解：连接BC， ∵∠AOC=110°，

1∴∠ABC=2∠AOC═55°，

∵CD⊥AB，

∴∠BEC=90°，

∴∠BCD=90°-55°=35°，

故选：A．

【点评】本题考查了垂径定理以及圆周角定理，根据圆周角定理把求∠ABD的问题转化成求等腰三角形的底角的问题．

10. 【分析】①由m＜0即可判断出①；②令y=mx2+（m-4）x+2=0，求出根的判别式△＞0，判断②；③求出抛物线的对称轴，即可判断③；④根据顶点坐标式求出抛物线的顶点，然后根据顶点纵坐标判断④．

【解答】解：①∵m＜0，∴二次函数的图象开口向下，故①正确，

②令y=mx2+（m-4）x+2=0，求△=（m-8）2-48，

∵m＜0，

∴△=（m-8）2-48＞0，

∴二次函数与x轴有两个交点，故②正确，

x③抛物线开口向下，对称轴m42m，

m4112m02m36m∵，

m412m3， ∴x＜所以当m42m时，y随x的增大而增大，故③错误，

④y=mx2+（m-4）x+2，

42m(m4)2(m4)26…04m4m∵，

42m(m4)2…64m∴，

∴二次函数图象顶点的纵坐标大于等于6，故④正确， 正确的结论有①②④，

故选：C．

【点评】本题主要考查二次函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握抛物线的图象以及二次函数的性质，此题难度一般．

11. 【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中出适合条件的最小整数解即可．

x44x【解答】解：2，

x-4＞8-2x，

3x＞12

x＞4，

x44x故不等式2的最小整数解为5．

故答案为：5．

【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．

12. 【分析】根据正五边形的性质和内角和为540°，得到△ABC≌△AED，AC=AD，AB=BC=AE=ED，先求出∠BAC和∠DAE的度数，再求∠CAD就很容易了．

【解答】解：根据正五边形的性质，△ABC≌△AED，

1∴∠CAB=∠DAE=2（180°-108°）=36°，

∴∠CAD=108°-36°-36°=36°．

【点评】本题考查了正五边形的性质：各边相等，各角相等，内角和为540°．

13【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征得出2m4mn①2n②4，解方程组即可求得m、n的值，从而求得mn的值．

n①2n②4，

2m4m【解答】解：由题意得n①-②得，4=2，解得n=8，

把n=8代入①求得m=6，

∴mn=48，

故答案为48．

【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，根据题意得到关于m、n的方程组是解题的关键．

14.【分析】如图，作点C关于直线B的对称点D，连接AD，BD，延长DA到H，使得AH=AD，连接EH，BH，DE．想办法证明AF=DE=EH，BE+AF的最小值转化为EH+EB的最小值．

【解答】解：如图，作点C关于直线B的对称点D，连接AD，BD，延长DA到H，使得AH=AD，连接EH，BH，DE．

∵CA=CB，∠C=90°，

∴∠CAB=∠CBA=45°，

∵C，D关于AB对称，

∴DA=DB，∠DAB=∠CAB=45°，∠ABD=∠ABC=45°，

∴∠CAD=∠CBD=∠ADC=∠C=90°，

∴四边形ACBD是矩形，

∵CA=CB，

∴四边形ACBD是正方形，

∵CF=AE，CA=DA，∠C=∠EAD=90°，

∴△ACF≌△DAE（SAS），

∴AF=DE，

∴AF+BE=ED+EB，

∵CA垂直平分线段DH，

∴ED=EH，

∴AF+BE=EB+EH，

∵EB+EH≥BH，

22(22)(42)210， ∴AF+BE的最小值为线段BH的长，BH=∴AF+BE的最小值为210，

故答案为210．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

15. 【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．

【解答】解：原式=33-（2-3）+8

=33-2+3+8

=43+6． 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

16. 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

【解答】解：去分母得：1-x-2x+4=3，

2解得：x=3，

2经检验x=3是分式方程的解．

【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

17. 【分析】由折叠可得，折痕所在直线垂直平分对称点的连线AC，故作线段AC的垂直平分线EF，则EF即为所求．

【解答】解：如图所示，连接AC，作线段AC的垂直平分线EF，则EF即为所求．

【点评】本题主要考查了利用轴对称变换作图，利用轴对称的性质是解决问题的关键．

18. 【分析】根据平行线的性质可得∠C=∠B，再根据等式的性质可得CF=BE，然后利用SAS判定△AEB≌△DFC，根据全等三角形对应边相等可得∠AEB=∠DFC即可解决问题．

【解答】证明：∵AB∥CD，

∴∠C=∠B，

∵CE=BF，

∴CE+EF=FB+EF，

即CF=BE，

在△AEB和△DFC中

AB＝CDB＝CEB＝CF，

∴△AEB≌△DFC（SAS），

∴∠AEB=∠DFC，

∴AE∥DF．

【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

19. 【分析】（1）由B组人数为100且A、B两组捐款人数的比为1：5可得a的值，用A、B组人数和除以其所占百分比可得总人数；

（2）先求出C组人数，继而可补全图形；

（3）先求出抽查的500名学生的平均捐款数，再乘以总人数可得．

从军行其一到其六-