2021年初三数学中考模拟试题(附解析)
2023年10月28日发(作者：那英版春暖花开的歌词)
汶川地震小英雄林浩-
2021年九年级中考模拟考试
数 学 试 题
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A．3
B．﹣2
C．﹣
D．0
2．2021年第一季度全球手机出货量达到3.4亿部，
据统计，将数据3.4亿用科学记数法表示为（ ）A．3.4×108
B．3.4×1010
C．0.34×109
D．34×107
3．下列图形中，不能经过折叠围成正方体的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．a+b＝ab
C．（﹣a3b）2＝a6b2
5．下列说法中，错误的是（ ）
A．明天会下雨是随机事件
B．某发行量较大的中奖概率是，那么购买1001张一定会中奖
B．3a2+2a2＝5a4
D．a2b3c÷（﹣ab2）＝﹣ab
C．要了解某市初中生每天的睡眠时间，应该采用抽样调查的方式进行
D．乘客乘坐飞机前的安检应采取全面调查的方式进行
6．已知y是x的一次函数，下表给出5组自变量x及其对应的函数y的值．
x
y
…
…
﹣2
﹣3
﹣1
﹣1
0
1
1
3
2
6
…
…
其中只有1个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（ ）
A．﹣1
B．1
C．3
D．6
7．如图，点A、C在∠FBD的两条边BF、BD上，BE平分∠FBD，CE平分∠ACD，连接AE，若∠BEC＝35°，则∠FAE的度数为（ ）
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
8．如图，一次函数y＝﹣x+2的图象与坐标轴的交点为A和B，下列说法中正确的是（ ）
A．点（2，﹣1）在直线AB上
C．当x＞0时，y＜2
B．y随x的增大而增大
D．△AOB的面积是2
9．如图，菱形OABC的边OA在x轴上，点B坐标为（9，3），分别以点B、C为圆心，以大于BC的长为半径画弧，两弧交于点D、E，作直线DE，交x轴于点F，则点F的坐标是（ ）
A．（7.5，0）
B．（6.5，0）
C．（7，0）
D．（8，0）
10．如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝4cm，动点E和F同时从点A出发，点E以每秒2cm的速度沿A→D的方向运动，到达点D时停止，点F以每秒4cm的速度沿A→B→C→D的方向运动，到达点D时停止．设点F运动x（秒）时，△AEF的面积为y（cm2），则y关于x的函数的图象大致为（ ）
A．
B． C．
D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．写出一个比﹣3大且比2小的负无理数
．
12．有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花不一样的概率是
．
13．已知关于x的一元二次方程mx2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
．
14．如图，半圆O的直径AB＝4cm，＝，点C是上的一个动点（不与点B，G重合），CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，点E与点F关于点O中心对称，连接DE、DF，则△DEF面积的最大值为
cm2．
15．如图，正方形ABCD的边长为3，点G在边AD上，GD＝1，GH⊥BC于点H，点E是边AB上一动点（不与点A，B重合），EF⊥CD于点F，交GH于点Q，点O、P分别是EH和GQ的中点，连接OP，则线段OP的长度为
．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（1）化简：（a﹣2）2﹣（a+1）（a﹣6）；
（2）计算：2sin45°﹣20210﹣+|﹣1|．
17．为了解某校七年级男生的身高情况，某数学活动小组进行了抽样和分析，过程如下：
[收集数据]随机抽取了七年级若干名男生，测得他们的身高（单位：cm），记录如下：
152 153 154 155 155 155 156 156 157 157 158 160 160 160
161 161 162 162 162 163 163 163 163 164 164 164 165 165
165 166 167 168 169 169 170 170 172 172 175 175 [整理数据]整理以上数据，得到如下尚不完整的频数分布表和直方图：
调查结果频数分布表
组别
A
B
C
D
E
身高（单位：cm）
150≤x＜155
155≤x＜160
160≤x＜165
165≤x＜170
170≤x＜175
频数
a
8
15
6
频率
0.075
0.2
0.375
0.2
0.15
[分析数据]根据以上频数分布表和直方图，即可对数据进行针对性的分析．
根据以上信息解答下列问题：
（1）此次抽样调查的样本容量是
，统计表中a＝
．
（2）所抽取的样本中，男生身高的中位数所在的组别是
．
（3）请把频数分布直方图补充完整．
（4）若该校七年级有男生400人，根据调查数据估计身高不低于165cm的大约有多少人？
18．某数学兴趣小组进行了一次有趣的数学探究：如图①所示，在钝角∠AOB的边OB上任取一点C，过点C作CE∥OA，以点C为圆心，CO的长为半径画弧，交射线CE于点D，在一点P，作射线OP，交射线CE于点F，当点P在个时刻，∠AOF恰好等于∠AOB呢？
上任取上移动时，点F也随之移动，是否存在某
经过试验、猜想、推理验证，他们发现：当PF与OC满足某种数量关系时，∠AOF＝∠AOB．请你根据以上信息，把如下不完整的“图②”和“已知”补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图②，点C在钝角∠AOB的边OB上，CE∥OA，以点C为圆心、CO的长为半径画弧，交射线CE于点D，点P在求证：∠AOF＝∠AOB．
19．钓鱼岛是我国固有领土，2021年4月26日，自然资源部在其上公布《钓鱼岛及其附属岛屿地形地貌调查报告》，报告公布了钓鱼岛及其附属岛屿的高分辨率海岛地形数据．如图所示，点A是岛上最西端“西钓角”，点B是岛上最东端“东钓角”，AB长约3641米，点D是岛上的小黄鱼岛，且A、B、D三点共线．某日中国海监一艘执法船巡航到点C处时，恰好看到正北方的小黄鱼岛D，并测得∠ACD＝70°，∠BCD＝45°．根据以上数据，请求出此时执法船距离小黄鱼岛D的距离CD的值．（参考数据：tan70°≈2.75，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，结果精确到1米．）
上，射线OP交CE于点F，
（填PF与OC的数量关系）．
20．如图，已知二次函数y＝x2﹣2mx﹣2+m2的顶点为P，矩形OABC的边OA落在x轴上，点B的坐标是（6，2）．
（1）求点P的坐标，并说明随着m值的变化，点P的运动轨迹是什么？
（2）若该二次函数的图象与矩形OABC的边恰好有2个交点，请直接写出此时m的取值范围． 21．某水果批发店销售粑粑柑和苹果，均按整箱出售，粑粑柑比苹果每箱贵30元．某天粑粑柑销售额为1800元，苹果销售额为3600元，该日苹果销售量恰好是粑粑柑销售量的3倍．
（1）求粑粑柑、苹果每箱各是多少元？
（2）某单位决定去该水果批发店购买粑粑柑、苹果共30箱，恰逢批发店对售价进行调整，苹果单价提高了5%，粑粑柑按九折销售，本次购买预算总费用不超过2100元，那么可最多购买多少箱粑粑柑？
22．研究函数y＝+3的图象和性质，可以通过列表、描点、连线画出函数图象，然后结合函数图象进行分析．探究过程如下：
（1）函数y＝+3的自变量x的取值范围是
．
（2）y与x的几组对应值如表：
x
y
…
…
﹣3
﹣2
﹣1
2.8
2.75
m
0
2.5
1
2
1.5
1
2.5
5
3
4
4
3.5
5
n
6
7 …
…
3.25
3.2
根据表格中的数据，在同一平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线进行连线，画出图象的另外一支，并写出m+n﹣2＝
．
（3）观察图象可知，函数图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的对称中心的坐标是
，它的对称轴的解析式是
．
（4）当x满足
时，y随x的增大而减小．
（5）结合函数图象填空：当关于x的方程k的取值范围是
；关于x的方程+3＝k（x﹣2）+3有两个不相等的实数根时，实数+3＝k（x﹣2）+3无实数根时，实数k的取值范围是
．
23．已知点M是矩形ABCD的边AB上一个动点，过点M作MG⊥CD于点G，交对角线AC于点E，连接BE，过点E作EF⊥BE，交射线DC于点F．
（1）如图1，若AB＝AD，则FG与DG的数量关系是
；
（2）如图2．若AB＝4，AD＝3，
①当点M在边AB上移动时，FG与DG的数量关系是否保持不变？若不变，请仅就图2求出它们之间的数量关系；若变化，请说明理由．
②当时，请直接写出AM的最大值和最小值．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。
1．下列各数中，最小的数是（ ）
A．3
B．﹣2
C．﹣
D．0
【分析】根据实数的大小关系、算术平方根是解决本题的关键．
解：根据实数的大小关系，得﹣2＜∴在﹣2、故选：B．
2．2021年第一季度全球手机出货量达到3.4亿部，
据统计，将数据3.4亿用科学记数法表示为（ ）A．3.4×108
B．3.4×1010
C．0.34×109
D．34×107
＜0＜3．
、0、3中最小的数为﹣2．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数，当原数绝对值＜1时，n是负整数．
解：3.4亿＝340000000＝3.4×108．
故选：A．
3．下列图形中，不能经过折叠围成正方体的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．
解：A，B，C都可以围成正方体，D选项折叠后上面两个面重合，无法围成正方体，
故选：D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．a+b＝ab
C．（﹣a3b）2＝a6b2
B．3a2+2a2＝5a4
D．a2b3c÷（﹣ab2）＝﹣ab
【分析】根据合并同类项的运算法则进行计算判断A和B，根据积的乘方与幂的乘方运算法则进行计算判断C，根据单项式除以单项式的运算法则进行计算判断D． 解：A、a与b不是同类项，不能合并计算，故此选项不符合题意；
B、3a2+2a2＝5a2，故此选项不符合题意；
C、（﹣a3b）2＝a6b2，故此选项符合题意；
D、a2b3c÷（﹣ab2）＝﹣abc，故此选项不符合题意；
故选：C．
5．下列说法中，错误的是（ ）
A．明天会下雨是随机事件
B．某发行量较大的中奖概率是，那么购买1001张一定会中奖
C．要了解某市初中生每天的睡眠时间，应该采用抽样调查的方式进行
D．乘客乘坐飞机前的安检应采取全面调查的方式进行
【分析】根据随机事件、概率的定义进行判断即可．
解：A、明天会下雨是随机事件，正确，不符合题意；
B、某发行量较大的中奖概率是意；
C、要了解某市初中生每天的睡眠时间，应该采用抽样调查的方式进行，正确，不符合题意；
D、乘客乘坐飞机前的安检应采取全面调查的方式进行，正确，不符合题意；
故选：B．
6．已知y是x的一次函数，下表给出5组自变量x及其对应的函数y的值．
x
y
…
…
﹣2
﹣3
﹣1
﹣1
0
1
1
3
2
6
…
…
，那么购买1001张不一定会中奖，错误，符合题其中只有1个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（ ）
A．﹣1
B．1
C．3
D．6
【分析】根据点的坐标，利用待定系数法可求出一次函数解析式，分别代入x＝1，x＝2及x＝3求出与之对应的y值，再对照表格中的y值即可得出结论．
解：将（﹣1，﹣1），（0，1）代入y＝kx+b，得：解得：，
，
∴一次函数的解析式为y＝2x+1．
当x＝1时，y＝2×1+1＝3； 当x＝2时，y＝2×2+1＝5，5≠6；
当x＝﹣2时，y＝﹣2×2+1＝﹣3．
故选：D．
7．如图，点A、C在∠FBD的两条边BF、BD上，BE平分∠FBD，CE平分∠ACD，连接AE，若∠BEC＝35°，则∠FAE的度数为（ ）
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
【分析】由三角形的角平分线可得AE平分∠FAC，结合三角形外角的性质可求得∠BAC＝2∠BEC＝70°，由补角的定义可求解∠FAC的度数，再利用角平分线的定义可求解．
解：∵BE平分∠FBD，CE平分∠ACD，
∴∠ABC＝2∠EBD，∠ACD＝2∠ECD，AE平分∠FAC，
∵∠ACD＝∠ABC+∠BAC，∠ECD＝∠EBC+∠BEC，
∴2∠ECD＝2∠EBD+∠BAC，2∠ECD＝2∠EBD+2∠BEC，
∴∠BAC＝2∠BEC，
∵∠BEC＝35°，
∴∠BAC＝2×35°＝70°，
∵∠BAC+∠FAC＝180°，
∴∠FAC＝180°﹣70°＝110°，
∵AE平分∠FAC，
∴∠FAE＝∠FAC＝55°．
故选：C．
8．如图，一次函数y＝﹣x+2的图象与坐标轴的交点为A和B，下列说法中正确的是（ ）
A．点（2，﹣1）在直线AB上
B．y随x的增大而增大 C．当x＞0时，y＜2
D．△AOB的面积是2
【分析】依据一次函数的解析式，即可得到函数图象与坐标轴的交点坐标，函数的增减性以及图象与坐标轴围成的三角形的面积．
解：在y＝﹣x+2中，令x＝2，则y＝1，
∴点（2，﹣1）不在直线AB上，故A选项错误，不符合题意；
如图所示：y随x的增大而减小，故B选项错误，不符合题意；
∵在y＝﹣x+2中，令x＝0，则y＝2；令y＝0，则x＝4，
∴函数图象与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，2），
如图所示：当x＞0时，y＜2，故C选项正确，符合题意；
图象与坐标轴围成的三角形的面积是×2×4＝4，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
9．如图，菱形OABC的边OA在x轴上，点B坐标为（9，3），分别以点B、C为圆心，以大于BC的长为半径画弧，两弧交于点D、E，作直线DE，交x轴于点F，则点F的坐标是（ ）
A．（7.5，0）
B．（6.5，0）
C．（7，0）
D．（8，0）
【分析】如图，过点B作BH⊥x轴于点H，设OA＝AB＝x．利用勾股定理求出x，可得结论．
解：如图，过点点B作BH⊥x轴于点H，设OA＝AB＝x．
∵B（9，3），
∴BH＝3，OH＝9，AH＝9﹣x，
在Rt△ABH中，则有x2＝32+（9﹣x）2，
∴x＝5， ∴OA＝AB＝BC＝5，
∴A（5，0），
∴DE垂直平分线段BC，
∴FH＝BC＝2.5，
∴OF＝6.5，
∴F（6.5，0），
故选：B．
10．如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝4cm，动点E和F同时从点A出发，点E以每秒2cm的速度沿A→D的方向运动，到达点D时停止，点F以每秒4cm的速度沿A→B→C→D的方向运动，到达点D时停止．设点F运动x（秒）时，△AEF的面积为y（cm2），则y关于x的函数的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由点的运动，可知点E从点A运动到点D，用时2s，点F从点A到点B，用时2s，从点B运动到点C，用时1s，从点C运动到点D，用时2s，y与x的函数图象分三段：①当0≤x≤2时，②当2＜x≤3时，③当3＜x≤5时，根据每种情况求出△AEF的面积．
解：点E从点A运动到点D，用时2s，点F从点A到点B，用时2s，从点B运动到点C，用时1s，从点C运动到点D，用时2s，
∴y与x的函数图象分三段：
①当0≤x≤2时，
AE＝2x，AF＝4x，
∴y＝•2x•4x＝4x2，
这一段函数图象为抛物线，且开口向上，由此可排除选项A和选项D； ②当2＜x≤3时，点F在线段BC上，
AE＝4，
此时y＝×4×8＝16，
③当3＜x≤5时，
y＝×4×（4+8+4﹣4x）＝32﹣8x，由此可排除选项C．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．写出一个比﹣3大且比2小的负无理数
．
【分析】根据实数的大小关系、无理数的定义解决此题．
解：根据实数的大小关系以及无理数的定义，得﹣3＜故答案为：．
＜2．
12．有4张全新的扑克牌，其中黑桃、红桃各2张，它们的背面都一样，将它们洗匀后，背面朝上放到桌面上，从中任意摸出2张牌，摸出的花不一样的概率是 ．
【分析】利用列举法即可列举出所有各种灯可能的情况，然后利用概率公式即可求解．
解：根据题意画图如下：
共有12中情况，从4张牌中任意摸出2张牌花不一样的有8种可能，所以摸出花不一样的概率是＝；
故答案为：．
13．已知关于x的一元二次方程mx2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
m＞﹣且m≠0 ．
【分析】由二次项系数非零结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
解：∵关于x的一元二次方程mx2+x﹣3＝0有两个不相等的实数根，
∴， 解得：m＞﹣且m≠0．
且m≠0．
＝，点C是上的一个动点（不与点B，G重合），CD故答案是：m＞﹣14．如图，半圆O的直径AB＝4cm，⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，点E与点F关于点O中心对称，连接DE、DF，则△DEF面积的最大值为
2
cm2．
【分析】连接OC，设OD＝x，OE＝OF＝y．因为S△DEF＝•EF•OD＝×2y×x＝xy，所以xy的值最大时，△DEF的面积最大，求出xy的最大值，可得结论．
解：连接OC，设OD＝x，OE＝OF＝y．
∵＝，
∴OG⊥AB，
∵S△DEF＝•EF•OD＝×2y×x＝xy，
∴xy的值最大时，△DEF的面积最大，
∵CD⊥OG于点D，CE⊥OB于点E，
∴∠CEO＝∠CDO＝∠DOE＝90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∴DE＝OC＝2cm，
∴x2+y2＝22，
∴x2+y2＝4，
∵（x﹣y）2≥0，
∴x2+y2≥2xy，
∴2xy≤4，
∴xy≤2， ∴xy的最大值为2，
∴△DEF的面积的最大值为2cm2．
15．如图，正方形ABCD的边长为3，点G在边AD上，GD＝1，GH⊥BC于点H，点E是边AB上一动点（不与点A，B重合），EF⊥CD于点F，交GH于点Q，点O、P分别是EH和GQ的中点，连接OP，则线段OP的长度为
．
GH＝CD＝3，【分析】取QH的中点M，连接OM，由正方形及矩形的性质得出AG＝EQ，∠EQH＝90°，求出QE＝2，由三角形中位线定理得出OM＝QE＝1，OM∥EQ，求出PM的长，根据勾股定理可得出答案．
解：取QH的中点M，连接OM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∵EF⊥CD，GH⊥BC，
∴四边形AEQG，四边形GHCD为矩形，
∴AG＝EQ，GH＝CD＝3，∠EQH＝90°，
∵DG＝1，
∴AG＝EQ＝2，
∵O，M分别为EH，QH的中点，
∴OM＝QE＝1，OM∥EQ，
∴∠OMP＝90°，
∵P为GQ的中点，M为QH的中点， ∴PQ＝GQ，QM＝QH，
∴PM＝PQ+QM＝∴OP＝故答案为．
＝＝，
．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（1）化简：（a﹣2）2﹣（a+1）（a﹣6）；
（2）计算：2sin45°﹣20210﹣+|﹣1|．
【分析】（1）根据完全平方公式、多项式乘多项式、整式的混合运算法则解决此题．
（2）根据零指数幂、二次根式的化简、绝对值、特殊角的正弦值解决此题．
解：（1）（a﹣2）2﹣（a+1）（a﹣6）
＝a2+4﹣4a﹣（a2﹣6a+a﹣6）
＝a2+4﹣4a﹣a2+6a﹣a+6
＝a+10．
（2）2sin45°﹣20210﹣＝＝＝．
+|﹣1|
17．为了解某校七年级男生的身高情况，某数学活动小组进行了抽样和分析，过程如下：
[收集数据]随机抽取了七年级若干名男生，测得他们的身高（单位：cm），记录如下：
152 153 154 155 155 155 156 156 157 157 158 160 160 160
161 161 162 162 162 163 163 163 163 164 164 164 165 165
165 166 167 168 169 169 170 170 172 172 175 175
[整理数据]整理以上数据，得到如下尚不完整的频数分布表和直方图：
调查结果频数分布表
组别
A
B
身高（单位：cm）
150≤x＜155
155≤x＜160
频数
a
8
频率
0.075
0.2 C
D
E
160≤x＜165
165≤x＜170
170≤x＜175
15
6
0.375
0.2
0.15
[分析数据]根据以上频数分布表和直方图，即可对数据进行针对性的分析．
根据以上信息解答下列问题：
（1）此次抽样调查的样本容量是
40 ，统计表中a＝
3 ．
（2）所抽取的样本中，男生身高的中位数所在的组别是
C ．
（3）请把频数分布直方图补充完整．
（4）若该校七年级有男生400人，根据调查数据估计身高不低于165cm的大约有多少人？
【分析】（1）根据频率＝即可求出样本容量，进而求出a的值；
（2）根据中位数的定义，得出处在中间位置的一个数或两个数的平均数即可；
（3）根据各组的频数补全频数分布直方图即可；
（4）求出样本中身高不低于165cm的人数所占的百分比，即可估计总体中身高不低于165cm所占的百分比，进而求出相应人数．
解：（1）8÷0.2＝40（人），a＝40×0.075＝3（人），
故答案为：40，3；
（2）将这40名学生的身高从小到大排列，处在中间位置的两个数都落在C组，因此中位数在C组，
故答案为：C；
（3）补全频数分布直方图如下： （4）400×＝140（人），
答：该校七年级400名男生中身高不低于165cm的大约有140人．
18．某数学兴趣小组进行了一次有趣的数学探究：如图①所示，在钝角∠AOB的边OB上任取一点C，过点C作CE∥OA，以点C为圆心，CO的长为半径画弧，交射线CE于点D，在一点P，作射线OP，交射线CE于点F，当点P在个时刻，∠AOF恰好等于∠AOB呢？
上任取上移动时，点F也随之移动，是否存在某
经过试验、猜想、推理验证，他们发现：当PF与OC满足某种数量关系时，∠AOF＝∠AOB．请你根据以上信息，把如下不完整的“图②”和“已知”补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图②，点C在钝角∠AOB的边OB上，CE∥OA，以点C为圆心、CO的长为半径画弧，交射线CE于点D，点P在系）．
求证：∠AOF＝∠AOB．
【分析】根据题意把图②补充完整，已知答案为PF＝OC，连接CP，根据平行线的性质得到∠AOF＝∠PFC，根据等腰三角形的性质得到∠PFC＝∠PCF，∠CPO＝∠COP，根据三角形外角性质得出∠COP＝2∠AOF，结合∠AOF+∠COP＝∠AOB即可得解．
解：PF＝OC，
上，射线OP交CE于点F，
PF＝OC （填PF与OC的数量关如图②，
证明：连接PC，
∵CE∥OA，
∴∠AOF＝∠PFC，
∵CP＝OC，PF＝OC，
∴CP＝PF，
∴∠PFC＝∠PCF，
∵∠CPO是△FPC的外角，
∴∠CPO＝∠PFC+∠PCF＝2∠AOF，
∵CP＝OC，
∴∠CPO＝∠COP，
∴∠COP＝2∠AOF，
∵∠AOF+∠COP＝∠AOB，
∴∠AOF＝∠AOB．
故答案为：PF＝OC．
19．钓鱼岛是我国固有领土，2021年4月26日，自然资源部在其上公布《钓鱼岛及其附属岛屿地形地貌调查报告》，报告公布了钓鱼岛及其附属岛屿的高分辨率海岛地形数据．如图所示，点A是岛上最西端“西钓角”，点B是岛上最东端“东钓角”，AB长约3641米，点D是岛上的小黄鱼岛，且A、B、D三点共线．某日中国海监一艘执法船巡航到点C处时，恰好看到正北方的小黄鱼岛D，并测得∠ACD＝70°，∠BCD＝45°．根据以上数据，请求出此时执法船距离小黄鱼岛D的距离CD的值．（参考数据：tan70°≈2.75，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，结果精确到1米．）
【分析】设CD＝x米，根据正切的定义分别求出AD、BD，再根据AB的长列出方程，解方程可得答案．
解：设CD＝x米，
Rt△ACD中，tan∠ACD＝∴AD＝2.75x米，
Rt△BCD中，∠BCD＝45°，
∴BD＝CD＝x米，
∴2.75x+x＝3641，
解得x≈971，
答：执法船距离小黄鱼岛D的距离CD约为971米．
20．如图，已知二次函数y＝x2﹣2mx﹣2+m2的顶点为P，矩形OABC的边OA落在x轴上，点B的坐标是（6，2）．
（1）求点P的坐标，并说明随着m值的变化，点P的运动轨迹是什么？
（2）若该二次函数的图象与矩形OABC的边恰好有2个交点，请直接写出此时m的取值范围．
，
【分析】（1）将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）根据抛物线顶点坐标可得抛物线平移规律，通过数形结合方法求解．
解：（1）∵y＝x2﹣2mx﹣2+m2＝（x﹣m）2﹣2，
∴点P坐标为（m，﹣2），点P的运动轨迹为直线y＝﹣2．
（2）∵点B坐标为（6，2），
∴点A坐标为（6，0），点C坐标为（0，2），
随着m增大，抛物线自左向右移动，
如图，当抛物线经过点C时，将（0，2）代入y＝x2﹣2mx﹣2+m2可得2＝﹣2+m2，
解得m＝2（舍）或m＝﹣2，
m增大，图象右移过程中，当抛物线经过原点时，0＝﹣2+m2，
解得m＝﹣（舍）或m＝，
∴﹣2＜m＜符合题意． 当抛物线经过A（6，0）时，0＝36﹣12m﹣2+m2，
解得m＝6+（舍）或m＝6﹣，
当抛物线经过B（6，2）时，2＝36﹣12m﹣2+m2，
解得m＝4（舍）或m＝8，
∴6﹣＜m＜8符合题意．
或6﹣＜m＜8．
综上所述，﹣2＜m＜21．某水果批发店销售粑粑柑和苹果，均按整箱出售，粑粑柑比苹果每箱贵30元．某天粑粑柑销售额为1800元，苹果销售额为3600元，该日苹果销售量恰好是粑粑柑销售量的3倍．
（1）求粑粑柑、苹果每箱各是多少元？
（2）某单位决定去该水果批发店购买粑粑柑、苹果共30箱，恰逢批发店对售价进行调整，苹果单价提高了5%，粑粑柑按九折销售，本次购买预算总费用不超过2100元，那么可最多购买多少箱粑粑柑？
【分析】（1）设苹果每箱x元，则粑粑柑每箱（x+30）元，利用数量＝总价÷单价，结合该日苹果销售量恰好是粑粑柑销售量的3倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出每箱苹果的价格，再将其代入（x+30）中可求出每箱粑粑柑的价格；
（2）设可以购买m箱粑粑柑，则购买（30﹣m）箱苹果，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过2100元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出最多可购买11箱粑粑柑．
解：（1）设苹果每箱x元，则粑粑柑每箱（x+30）元，
依题意得：解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
∴x+30＝60+30＝90．
答：苹果每箱60元，粑粑柑每箱90元．
（2）设可以购买m箱粑粑柑，则购买（30﹣m）箱苹果，
依题意得：90×0.9m+60×（1+5%）（30﹣m）≤2100，
解得：m≤11，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为11．
答：最多可购买11箱粑粑柑．
22．研究函数y＝+3的图象和性质，可以通过列表、描点、连线画出函数图象，然后结合函数＝3×，
图象进行分析．探究过程如下：
（1）函数y＝+3的自变量x的取值范围是
x≠2 ．
（2）y与x的几组对应值如表：
x
y
…
…
﹣3
﹣2
﹣1
2.8
2.75
m
0
2.5
1
2
1.5
1
2.5
5
3
4
4
3.5
5
n
6
7 …
…
3.25
3.2
根据表格中的数据，在同一平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线进行连线，画出图象的另外一支，并写出m+n﹣2＝
4 ．
（3）观察图象可知，函数图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的对称中心的坐标是
（2，3） ，它的对称轴的解析式是
y＝x+1 ．
（4）当x满足
x＞2或x＜2 时，y随x的增大而减小． （5）结合函数图象填空：当关于x的方程k的取值范围是
k＞0 ；关于x的方程是
k≤0 ．
+3＝k（x﹣2）+3有两个不相等的实数根时，实数+3＝k（x﹣2）+3无实数根时，实数k的取值范围
【分析】（1）根据分母不能为0，即可得到答案；
（2）先利用代入求值的方法求出m，n的值，再计算m+n﹣2即可，补全图像；
（3）观察图象，即可求得；
（4）根据图象即可求得；
（5）要注意分类讨论：当k＝0时，当k＜0时，当k＞0时．
解：（1）∵x﹣2≠0，
∴x≠2，
∴自变量x的取值范围是x≠2．
故答案为：x≠2．
（2）当x＝﹣1时，y＝当x＝5时，y＝∴m＝，n＝∴m+n﹣2＝+故答案为：4；
（3）观察图象可知，函数图象既是中心对称图形，又是轴对称图形，它的对称中心的坐标是（2，3），它的对称轴的解析式是y＝x+1，
故答案为：（2，3），y＝x+1；
（4）当x＞2或x＜2时，y随x的增大而减小；
，
﹣2＝4，
+3＝+3＝+3＝+3＝，
， 故答案为：x＞2或x＜2．
（5）令y＝k（x﹣2）+3，
由图象可知：当k＝0时，直线y＝k（x﹣2）+3与y＝＝k（x﹣2）+3无实数根，
当k＜0时，直线y＝k（x﹣2）+3经过点（2，3），
若x＞2，其图象在直线x＝2的右侧和直线y＝3的下方，而y＝侧和直线y＝3的上方，没有交点，
若x＜2，其图象在直线x＝2的左侧和直线y＝3的上方，而yy＝侧和直线y＝3的下方，也没有交点，
∴当k＜0时，于x的方程+3＝k（x﹣2）+3无实数根；
+3的图象总有两个交点，
+3的图象在直线x＝2的左+3的图象在直线x＝2的右+3没有交点，即关于x的方程+3当k＞0时，直线y＝k（x﹣2）+3经过点（2，3），其图象与y＝即关于x的方程+3＝k（x﹣2）+3有两个不相等的实数根；
故答案为：k＞0；k≥0．
23．已知点M是矩形ABCD的边AB上一个动点，过点M作MG⊥CD于点G，交对角线AC于点E，连接BE，过点E作EF⊥BE，交射线DC于点F．
（1）如图1，若AB＝AD，则FG与DG的数量关系是
FG＝DG ；
（2）如图2．若AB＝4，AD＝3，
①当点M在边AB上移动时，FG与DG的数量关系是否保持不变？若不变，请仅就图2求出它们之间的数量关系；若变化，请说明理由．
②当时，请直接写出AM的最大值和最小值． 【分析】（1）结论：FG＝DG．证明DG＝AM，AM＝EM，EM＝GF，可得结论．
（2）①不成立，FG＝结论．
②利用①中结论，构建不等式，可得结论．
解：（1）结论：FG＝DG．
理由：如图1中，
DG．如图2中，设DG＝x，GF＝y，利用相似三角形的性质求解可得
∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠DAC＝∠BAC＝45°，
∵MG⊥CD，
∴∠D＝∠DAM＝∠DGM＝90°，
∴四边形ADGM是矩形，
∴AD＝MG＝AB，DG＝AM，∠AME＝90°，
∴AM＝EM，
∴BM＝GE，
∵∠EMB＝∠EGF＝∠BEF＝90°，
∴∠BEM+∠FEG＝90°，∠FEG+∠EFG＝90°，
∴∠BEM＝∠EFG，
∴△BEM≌△EFG（AAS）， ∴FG＝EM，
∴DG＝GF．
（2）①不成立，FG＝DG．
理由：如图2中，设DG＝x，GF＝y，
∵四边形ADGM是矩形，
∴AM＝DG＝x，AD＝GM＝3，
∵EM∥BC，
∴∴＝，
＝，
∴EM＝x，
∵∠EFG＝∠BEM，∠EGF＝∠EMB＝90°，
∴△EGF∽△BME，
∴＝，
∴＝，
∴y＝∴GF＝
x，
DG．
②∵CF＝CG﹣GF＝4﹣x﹣由题意，≤4﹣x≤1，
x＝4﹣x， 解得，∴≤x≤，
，
，最小值为．
≤AM≤∴AM的最大值为