...高二下学期期中联考数学(理)试题(word版 含答案)

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2023年8月18日发(作者：关于网购英语作文六篇)

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2020—2021学年度下学期期中联考

高二数学（文科）试卷

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分，考试时间120分钟。请在答题卡上作答。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．已知复数zi1，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）

i2A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．用反证法证明“至少存在一个实数x，使log3x0成立”时，假设正确的是（ ）

A．至少存在两个实数x，使log3x0成立 B．至多存在一个实数x，使log3x0成立

C．任意实数x，log3x0恒成立 D．不存在实数x，使log3x0成立

3．设fx存在导函数，且满足lim的斜率为（ ）

A．1 B．2 C．1 D．2

4．记函数fx的导函数为f'x，且满足fx2xf'33lnx，则f3（ ）

A．1 B．1 C．3 D．3

3335．C3C4C5333C10C11（ ）

445x0f12xf12，则曲线yfx在点1,f1处的切线xA．C12 B．C12 C．C11 D．C11

26．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z132i，则z1z2（ ）

A．210 B．52 C．313 D．102

7．33sinx9x2dx（ ）

99 C．9 D．16

22A．9 B． 13xax2b2x无极值点的概率为（ ）

31132A. B. C. D.

42438.在区间0,1上任取两个实数a，b，则函数fx9．已知f'x是定义域为,的奇函数fx的导函数，当0x时，都有fxcosxf'x2221的解集为（ ）

sinx0，f2，则不等式fxsinx4A．,, B．,00,

244244C．,0, D．,0,

24444210．将三角形数列an中的各项排列如下所示：

1，

31123a22，a32，a42，

33312345a53，a63，a73，a83，a93，

333331234567a104，a114，a124，a134，a144，a154，a164，

3333333a1…

以此类推，则数列an的第2021项为（ ）

548584 B． C． D．

464645453333111．已知函数fxx2ex，其中e为自然对数的底数，e2.7182818……，则fx的零点个eA．数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

12．在边长为2的等边三角形ABC中，点D（与A，B不重合）在边AB上，DEAC于点E，将ADE沿DE折起，连接AB，AC，得到四棱锥ABCED，则四棱锥ABCED的体积的最大值为（ ）

A．2222323 B． C． D．

3939第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上．）

13．若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积S1rabc，根据2类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，则此四面体的体积V___________．

14．某学校有东、南、西、北四个校门．受新冠肺炎疫情的影响，学校对进入四个校门做出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园．现有3名教师和4名学生要进入校园（不分先后顺序），请问进入校园的方式共有_________种．（用数字作答）

15．已知函数fxx1lnx，gxax1，aR．当直线ygx与曲线yfx相切时，切点的坐标为_________.

16．若对任意x0，恒有ae1≥ex_________.

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分10分）

求由曲线yaxe11lnx（e为自然对数的底数），则实数a的最小值为x2x，直线yx3及y轴所围成的平面图形的面积．

18．（本小题满分12分）

某班级周三的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语，共6节课．

（Ⅰ）如果数学与体育不能相邻，则不同的排法有多少种？

（Ⅱ）原定的6节课已排好，学校临时通知要增加生物、化学、地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，则有多少种不同的排法？

19．（本小题满分12分）

已知a0，b0，求证：20．（本小题满分12分）

已知函数fx2xlnx，gxab2ab.

≥aab112ab3x5，其中e是自然对数的底数．

exe（Ⅰ）求函数fx在区间e,4上的最小值；

（Ⅱ）求证：对任意m，n0,，都有fm≥gn成立． 21．（本小题满分12分）

已知数列an的前n项和Sn，满足Sn（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；

（Ⅱ）试猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明．

22．（本小题满分12分）

已知函数fxeaxax（aR且a0）．

（Ⅰ）求函数fx的单调区间；

（Ⅱ）当an11，且an0．

22an1aa≤2时，求证：对任意x1,，fx≥x21恒成立．

222020—2021学年度下学期期中联孝

高二数学（文科）参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

题号

答案

1

C

2

D

3

A

4

A

5

B

6

D

7

B

8

B

9

D

10

C

11

C

12

B

1．C ∵zi11i2i13i13i，∴复数z在复平面内对应点的坐标为i22i2i55513,，位于第三象限．故选C．

552．D 根据反证法的原理，“至少存在一个实数x”的反面是“不存在实数x”，

故假设“不存在实数x，使log3x0成立”．故选D．

3．A 由题意得，曲线fx在点1,f1处的切线的斜率为

f'1limx0f12xf11f12xf1lim1，故选A．

2x2x0x5，∴f'32f'31，解得f'31．故选A．

x3333C10C11C44C4C5334C10C11C5C354．A 由题意得，f'x2f'3mm1m13335．B ∵CnCnCn1，∴C3C4C5 334C10C11C6C3633433434C10C11C10C10C11C11C11C12．故选B．

6．D 由题意得，z232i，

2∴z1z232i32i512i32i214i，

2∴z12z27．B

2214102．故选D．

233sinx9x2dxsinxdx?33229x2?dx，

∴ysinx是奇函数，且在区间2,2关于原点对称，∴333sinxdx0，

19229x?dx对应的区域是一个半径为3的半圆，面积为，

332239∴sinx9x2dx．故选B．

328．B 由题意得，f'xx22axb2无零点，∴a2b20，∵0≤a≤1，0≤b≤1，∴ba．在区间0,1上任取两个实数a，b所对应的点a,b构成的区域为正方形ODBC，则函数fx无极值点构成的区域为BCO，如图，则所求概率P1．故选B．

2

9．D

fx是奇函数，∴fxsinx是偶函数．设hxfxsinx，

∴当0x2时，h'xfxcosxf'xsinx0，∴hx在区间0,上是增函数，∴hx在2区间,0是减函数，

2∵h1hfsin1．当时，不等式等价于fxsinx1，x0fx44442sinx2时，不等式fx当0x1等价于fxsinx1，

sinx∴原不等式的解集为,0,．故选D．

442 10．C 由题意得，前k行项的个数为k2，当k44时，k21936；当k45时，k22025，∴a2021是第45行第85个数，a202185，故选C．453

11．C由题意得，f'xx1ex，∴当x1时，f'x0，当x1时，f'x0，

∴fx在,1上单调递减，在1,上单调递增，

∴fxminf1e1510．∵f330，∴存在唯一x13,1．使得fx10，即eee1fx在,1上存在唯一零点x1．∵f20，∴存在唯一x21,2，使得fx20，即fxe在1,上存在唯一零点x2．综上，fx有且只有两个零点．故选C．

12．B 设AEx，则AD2x，DE3x底面，∴ADE的的面积SADE11332ADAEsin2xxx23222，BCED面积S3232322x3x.

422由题意得，当四棱锥ABCED的体积最大时，平面ADE底面BCED，可得AE底面BCED，此时四棱锥ABCED的体积

113233VSAE3xx2xx，其中0x2，

3326则V'3666xxx，令，则为唯一的极值点，

V'03233226时，Vmax故选B．

93也是最大值点，∴当x二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上．）

13．1RS1S2S3S4

3设四面体的内切球的球心为О，则球心О到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以О为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，则

1RS1S2S3S4．

314．128 ∵学生只能从东门或西门进入校园，∴4名学生进入校园的方式共2+=16种．

∵教师只可以从南门或北门进入校园，∴3名教师进入校园的方式共有238种．

∴3名教师和4名学生要进入校园的方式共有168128种情况．

15．1,0

11x1lnx0a设切点坐标为x0,y0，f'x1lnx，由题意得，0，

xx1lnxax1000∴2lnx0x0110．令hx2lnxx，则

x0x2x1x2x1h'x≤0，∴hx在0,上单调递减，∴hx0最多有一个实数根．又x2x22∵h10，∴x01，∴y00，∴切点坐标为1,0．

16．1

∵ae1≥exaxe11lnx等价于axeax1≥exe1lnx，

x即eax1lneax≥xe1lnxe．令fxx1lnx，则f'xx1lnx，

xf''xx1，易得函数f'x在0,1上单调递减，在1,上单调递增，

x2∴f'x≥f'120，∴函数f'x在0,上单调递增．

∵eax1lneax≥xe1lnxe等价于feax≥fxe，∴eax≥xe，则

ax≥elnx，即a≥e1lnxelnxelnx．令gx，则g'x，易得函数

2xxx．∴a≥1，

gx在0,e上单调递增，在e,上单调递减，∴gx≤ge1，∴实数a的最小值为1．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17．（本小题满分10分）

由y2x，yx3得交点坐标为9,6， ∴所求面积为9043x24522xx3dxx3x.

2302918．（本小题满分12分）

（Ⅰ）如果数学与体育不能相邻，

42则不同的排法有A4A5432154480（种）．

（Ⅱ）若将这了节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，

A9987504（种）. 则不同的排法有96 A619．（本小题满分12分）

要证aab12ab1ab2ab≤，即证，

≥abaab112ab2ab11≤，即证ab≥2ab.

ab2ab即证∵a0，b0，∴ab≥2ab恒成立，则原不等式成立．

20．（本小题满分12分）

（Ⅰ）由题意得，函数fx的定义域为0,，f'x2lnx1．

令f'x0，解得0x11；令f'x0，解得x，

ee1e∴函数fx在0,上单调递减，在,上单调递增，

∴函数fx在e,4上单调递增，又fe2e，

∴函数fx在区间e,4上的最小值为2e．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数fx在x即fxminf∵gx1e1处取得最小值，

e1e22，∴fm≥．

ee3x533x，则．

g'xexeex易得函数gx在0,1上单调递增，在1,上单调递减， ∴函数gx在x1处取得最大值，即gxmaxg(1)∴对任意m，n0,，都有fm≥gn成立．

21．（本小题满分12分）

（Ⅰ）对任意的nN*，Sn22，∴gn≤，

eean11，且an0．

22an当n1时，a1S1a111，整理得a122a110，且an0，

22a1∴a121；

当n2时，S2a1a2a2121，整理得a222a210，且an0，

22a2∴a232；

当n3时，S3a1a2a3a3121，整理得a323a310，且an0，

22a3∴a323.

（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想ann1n，nN*，

下面用数学归纳法加以证明：

①当n1时，由（Ⅰ）知a121成立；

②假设当nkkN*时，akk1k成立．

当nk1时，

ak1akak1111ak1Sk1Sk11k1，

22a22a22ak1kk12a0， ∴ak12k1ak110，且k1∴ak1k2k1，即当nk1时猜想也成立．

综上所述，猜想对一切nN都成立

22．（本小题满分12分）

（Ⅰ）f'xaeaxaaeax1．

* 若a0，令f'x0，则eax10，∴ax0，解得x0，

令f'x0，解得x0；

若a0，令f'x0，则eax10，∴ax0，解得x0，

令f'x0，解得x0．

综上所述，函数fx的单调递增区间为0,，单调递减区间为,0．

a2a2a2axax，∴，∴（*）

x1eax≥x1e≥x1．222a当x1,时，不等式（*）两边取对数，则ax≥ln2lnx1．

2（Ⅱ）∵fx≥记函数Fxln2ax12aa.

2lnx1ax，则F'xx1x12221，令F'x0，解得x1，

aa令F'x0，解得1x则Fx在1,221上单调递增，在1,上单调递减，

aa∴Fx≤Fa2a21ln2ln2aaln2．

2a2aa1112a≤2，则g'a1a≤2，

2a22令函数gaaln令g'a0，解得1a≤2，令g'a0，解得则ga在1a1，

21,1上单调递减，在1,2上单调递增，

2又g31ln40，g20，

221,2时，ga≤0恒成立，∴Fx≤0恒成立，

2∴当a∴当1aa≤2时，对任意x1,，fx≥x21恒成立．

22

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