全国大学生数学建模竞赛试题集

更新时间:2023-11-03 03:57:58 人在看 0条评论

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全国大学生数学建模竞赛试题集

2023年11月3日发(作者：可爱点的网名500个)

贵阳必去的五个景点-

2002年A题……车灯线光源的优化设计

安装在汽车头部的车灯的形状为一旋转抛物面，车灯的对称轴水平地指向正前方，其开口半径36毫米，深度21.6毫米。经过车灯的焦点，在与对称轴相垂直的水平方向，对称地放置一定长度的均匀分布的线光源。要求在某一设计规范标准下确定线光源的长度。

该设计规范在简化后可描述如下。在焦点F正前方25米处的A点放置一测试屏，屏与FA垂直，用以测试车灯的反射光。在屏上过A点引出一条与地面相平行的直线，在该直线A点的同侧取B点和C点，使AC=2AB=2.6米。要求C点的光强度不小于某一额定值（可取为1个单位），B点的光强度不小于该额定值的两倍（只须考虑一次反射）。

请解决下列问题：

（1）在满足该设计规范的条件下，计算线光源长度，使线光源的功率最小。

（2）对得到的线光源长度，在有标尺的坐标系中画出测试屏上反射光的亮区。

（3）讨论该设计规范的合理性。

2002年B题……中的数学

近年来“飓风”席卷中华大地，巨额诱惑使越来越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的主要有“传统型”和“乐透型”两种类型。

“传统型”采用“10选6+1”方案：先从6组0~9号球中摇出6个基本号码，每组摇出一个，然后从0~4号球中摇出一个特别号码，构成中奖号码。投注者从0~9十个号码中任选6个基本号码（可重复），从0~4中选一个特别号码，构成一注，根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及顺序确定中奖等级。以中奖号码“abcdef+g”为例说明中奖等级，如表一（X表示未选中的号码）。

表一

中奖 10选6+1（6+1/10）

等级

基本号码………………特别号码说明

一等奖 Abcdef…………………g 选7中（6+1）

二等奖 abcdef 选7中（6）

三等奖 abcdeX……Xbcdef 选7中（5）

四等奖 abcdXX……XbcdeX……XXcdef 选7中（4）

五等奖 abcXXX……XbcdXX……XXcdeX……XXXdef 选7中（3）

abXXXX……XbcXXX……XXcdXX……XXXdeX

六等奖选7中（2）

XXXXef

“乐透型”有多种不同的形式，比如“33选7”的方案：先从01~33个号码球中一个一个地摇出7个基本号，再从剩余的26个号码球中摇出一个特别号码。投注者从01~33个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。又如“36选6+1”的方案，先从01~36个号码球中一个一个地摇出6个基本号，再从剩下的30个号码球中摇出一个特别号码。从01~36个号码中任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。这两种方案的中奖等级如表二。

表二

- 1 - 中奖 33选7（7/33） 36选6+1（6+1/36）

等级

基本号码……特别号码说明基本号码……特别号码说明

一等奖 ●●●●●●● 选7中（7）●●●●●●……★ 选7中（6+1）●●●●●●○……★选7中●●●●●●

二等奖选7中（6）（6+1）

三等奖 ●●●●●●○ 选7中（6）●●●●●○……★ 选7中（5+1）●●●●●○○……★选7中●●●●●○

四等奖选7中（5）（5+1）

五等奖 ●●●●●○○ 选7中（5）●●●●○○……★ 选7中（4+1）●●●●○○○……★选7中●●●●○○

六等奖选7中（4）（4+1）

七等奖 ●●●●○○○ 选7中（4）●●●○○○……★ 选7中（3+1）

注：●为选中的基本号码；★ 为选中的特别号码；○ 为未选中的号码。

以上两种类型的总奖金比例一般为销售总额的50%，投注者单注金额为2元，单注若已得到高级别的奖就不再兼得低级别的奖。现在常见的销售规则及相应的奖金设置方案如表三，其中一、二、三等奖为高项奖，后面的为低项奖。低项奖数额固定，高项奖按比例分配，但一等奖单注保底金额60万元，封顶金额500万元，各高项奖额的计算方法为：

[(当期销售总额×总奖金比例)-低项奖总额]×单项奖比例

（1）根据这些方案的具体情况，综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性。

（2）设计一种“更好”的方案及相应的算法，并据此给管理部门提出建议。

（3）给报纸写一篇短文，供彩民参考。

表三

奖项一等二等三等四等奖奖奖奖

方案比例比例比例金额

6+1/10 50% 20% 30% 50

6+1/10 60% 20% 20% 300

6+1/10 65% 15% 20% 300

6+1/10 70% 15% 15% 300

7/29 60% 20% 20% 300

6+1/29 60% 25% 15% 200

7/30 65% 15% 20% 500

7/30 70% 10% 20% 200

7/30 75% 10% 15% 200

7/31 60% 15% 25% 500

7/31 75% 10% 15% 320

7/32 65% 15% 20% 500

7/32 70% 10% 20% 500

- 2 -

序号

五等奖

金额

六等奖

金额

七等奖

金额

备注

按序

7/32

7/33

7/34

7/35

75%

70%

75%

65%

68%

70%

75%

80%

100%

75%

80%

70%

82%

60%

10%

15%

12%

15%

10%

2000

10%

15%

10%

20%

15%

20%

15%

20%

15%

20%

15%

10%

15%

10%

20%

15%

20%

500

600

500

300

500

1000

200

500

1500

200

300

100

24 6+1/36

25 6+1/36

26 7/36

27 7/37

28 6/40

29 5/60

无特别号

- 3 -

2003年A题……SARS的传播

SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：

（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。

（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。

（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。

（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。

附件1：

SARS疫情分析及对北京疫情走势的预测2003年5月8日在病例数比较多的地区，用数理模型作分析有一定意义。前几天，XXX老师用解析公式分析了北京SARS疫情前期的走势。在此基础上，我们加入了每个病人可以传染他人的期限（由于被严格隔离、治愈、死亡等），并考虑在不同阶段社会条件下传染概率的变化，然后先分析香港和广东的情况以获得比较合理的参数，最后初步预测北京的疫情走势。希望这种分析能对认识疫情，安排后续的工作生活有帮助。

1、模型与参数

平均每病人每天可传染K个人（K一般为小数），假定初始时刻的病例数为N0，平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天。则在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位天)的关系是：

N（t）=N0(1+K)t

如果不考虑对传染期的限制，则病例数将按照指数规律增长。考虑传染期限L的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢。我们采用半模拟循环计算的办法，把到达L天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉。

参数K和L具有比较明显的实际意义。L可理解为平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限，在此期限后他失去传染作用，可能的原因是被严格隔离、病愈不再传染或死去等等。从原理上讲，这个参数主要与医疗机构隔离病人的时机和隔离的严格程度有关，只有医疗机构能有效缩短这个参数。但我们分析广东、香港、北京现有的数据后发现，不论对于疫情的爆发阶段，还是疫情的控- 4 - 制阶段，这个参数都不能用得太小，否则无法描写好各阶段的数据。该参数放在15-25之间比较好，为了简单我们把它固定在20（天）上这个值有一定统计上的意义，至于有没有医学上的解释，需要其他专家分析。

参数K显然代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关。在疾病初发期，社会来不及防备，此时K值比较大。为了简单起见，我们从开始至到高峰期间均采用同样的K值（从拟合这一阶段的数据定出），即假定这阶段社会的防范程度都比较低，感染率比较高。到达高峰期后，我们在10天的范围内逐步调整K值到比较小，然后保持不变，拟合其后在控制阶段的全部数据，即认为社会在经过短期的剧烈调整之后，进入一个对疫情控制较好的常态。显然，如果疫情出现失控或反复的状态，则K值需要做更多的调整。

2、计算结果

2.1、对香港疫情的计算和分析。香港的数据相对比较完整准确。但在初期，由于诊断标准等不确切，在3月17日之前，没有到严格公布的数据。我们以报道的2月15日作为发现第一例病人的起点，2月27日从报道推断为7例。3月17日后则都是正式公布的数据。累积病例数在图1中用三角形表示。我们然后用上述方法计算。4月1日前后（从起点起45天左右）是疫情高峰时期，在此之前我们取K=0.16204。此后的10天，根据数据的变化将K逐步调到0.0273，然后保持0.0273算出后面控制期的结果。短期内K调整的幅度很大，反映社会的变化比较大。图中实心方黑点是计算的累积病例数。从计算累积病例数，很容易算出每天新增病例数（当然只反映走向，实际状况有很大涨落）。可以看出，香港疫情从起始到高峰大约45天，从高峰回落到1/10以下（每天几个病例）大约40天（5月上中旬），到基本没有病例还要再经过近一个月（到6月上中旬）。

2.2、对广东疫情的计算和分析。广东的起点是02年11月16日，到今年2月下旬达到高峰，经过了约100天。在今年2月10日以前的数据查不到，分析比较困难。总体上看，广东持续的时间比香港长得多，但累积的总病例数却少一些，这反映出广东的爆发和高峰都不强烈。但广东的回落也比较慢。从2月下旬高峰期到现在经过了约70天，还维持着每天10来个新增病例，而同样过程香港只用了约40天。这种缓慢上升和下降的过程也反映到K值上。比较好的拟合结果是，在高峰期之前（t < 101天），K=0.0892；在随后的10天逐步调整到0.031。用这组参数算出的后期日增病例数比实际公布的偏小，说明实际上降低得更慢。这种情况与疫情的社会控制状况有没有什么关系，需要更仔细的分析。

2.3、对北京疫情的分析与预测。北京的病例起点定在3月1日，经过大约59天在4月29日左右达到高峰。我们通过拟合起点和4月20日以后的数据定出高峰期以前的K=0.13913。这个值比香港的0.16204来得低，说明北京初期的爆发程度不如香港，但遗憾的是上升时间持续了近60天，而香港是45天，这就造成了累积病例数大大超过香港。从图2中还看出4月20日以前公布的数据大大低于计算值。而我们从对香港、广东情况的计算中，知道疫情前期我们的计算还是比较可行的。从而可以大致判断出北京前期实际的病例数。图中的公布数据截止到5月7日（从起点起67天），其后的计算采用的是香港情况下获得的参数。按这种估算，北京最终累积病例数将达到3100多。- 5 -

图1、对香港疫情的拟合

图2对北京疫情的分析图3是计算的日增病例数。后期下降得较快的实心方黑点是采用香港参数获得的。这就是说，如果北京的疫情控制与香港相当或更好的话，就可以在高峰期后的40天（从起点起100天）左右，即6月上中旬下降到日增几例。然后再经过约一个月，即7月上中旬达到日增0病例。但如果北京的新病例下降速度与广东类似的话，则要再多花至少一个月，才能达到上述的效果，且累积总病例数会到3800左右。至于什么原因造成香港下降速度快而广东下降速度慢，需要有关方面作具体分析。- 6 -

图3、北京日增病例走势分析

3、结论

每个病人可以造成直接感染他人的期限平均在20天左右，这个值在不同地区和不同疫情阶段似乎变化不大。病人的平均每天感染率与社会状况有关，在疫情爆发期较大，在疫情控制期要小很多。香港的初期爆发情况比广东和北京都剧烈，但控制效果明显比较好。北京后期如果控制在香港后期的感染率水平上，则有望在6月上中旬下降到日增几例。然后再经过约一个月，即7月上中旬达到日增0病例。而累积总病例数将达到3100多。但如果北京的新病例下降速度与广东类似的话，则要再多花至少一个月，才能达到上述的效果，且累积总病例数会到3800左右。

附件2：北京市疫情的数据

(据：网络)

日期

4月20日

4月21日

4月22日

4月23日

4月24日

4月25日

已确诊病例累计现有疑似病例339

482

588

693

774

877

402

610

666

782

863

954

死亡累计18

治愈出院累计

- 7 - 4月26日

4月27日

4月28日

4月29日

4月30日

5月01日

5月02日

5月03日

5月04日

5月05日

5月06日

5月07日

5月08日

5月09日

5月10日

5月11日

5月12日

5月13日

5月14日

5月15日

5月16日

5月17日

5月18日

5月19日

5月20日

5月21日

5月22日

5月23日

5月24日

5月25日

5月26日

5月27日

988

1114

1199

1347

1440

1553

1636

1741

1803

1897

1960

2049

2136

2177

2227

2265

2304

2347

2370

2388

2405

2420

2434

2437

2444

2456

2465

2490

2499

2504

2512

1093

1255

1275

1358

1408

1415

1468

1493

1537

1510

1523

1514

1486

1425

1397

1411

1378

1338

1308

1317

1265

1250

1249

1225

1221

1205

1179

1134

1105

1069

1005

- 8 -

276

100

109

115

118

121

134

141

152

168

175

186

208

244

252

257

273

307

332

349

395

447

528

582

667

704

747

828 5月28日

5月29日

5月30日

5月31日

6月01日

6月02日

6月03日

6月04日

6月05日

6月06日

6月07日

6月08日

6月09日

6月10日

6月11日

6月12日

6月13日

6月14日

6月15日

6月16日

6月17日

6月18日

6月19日

6月20日

6月21日

6月22日

6月23日

2514

2517

2520

2521

2522

2523

2522

2523

2522

2521

941

803

760

747

739

734

724

718

716

713

668

550

451

351

257

155

884766

928

1006

1087

1124

1157

1189

1263

1321

1403

1446

1543

1653

1747

1821

1876

1944

1994

2015

2053

2120

2154

2171

2189

2231

2257

2277

- 9 -

附件3：北京市接待海外旅游人数（单位：万人）

1月…2月…3月…4月…5月……6月…7月…8月……9月…10月…年

11月…12月

1997 9.4…11.3…16.8…19.8…20.3…18.8…20.9…24.9…24.7…24.3… 19.4…18.6

1998 9.6…11.7…15.8…19.9…19.5…17.8…17.8…23.3…21.4…24.5… 20.1…15.9

1999 10.1…12.9…17.7…21.0…21.0…20.4…21.9…25.8…29.3…29.8… 23.6…16.5

2000 11.4…26.0…19.6…25.9…27.6…24.3…23.0…27.8…27.3…28.5… 32.8…18.5

2001 11.5…26.4…20.4…26.1…28.9…28.0…25.2…30.8…28.7…28.1… 22.2…20.7

2002 13.7…29.7…23.1…28.9…29.0…27.4…26.0…32.2…31.4…32.6… 29.2…22.9

2003 15.4…17.1…23.5…11.6…1.78…2.61… 8.8…16.2

- 10 -

2003年B题……露天矿生产的车辆安排

钢铁工业是国家工业的基础之一，铁矿是钢铁工业的主要原料基地。许多现代化铁矿是露天开采的，它的生产主要是由电动铲车（以下简称电铲）装车、电动轮自卸卡车（以下简称卡车）运输来完成。提高这些大型设备的利用率是增加露天矿经济效益的首要任务。

露天矿里有若干个爆破生成的石料堆，每堆称为一个铲位，每个铲位已预先根据铁含量将石料分成矿石和岩石。一般来说，平均铁含量不低于25%的为矿石，否则为岩石。每个铲位的矿石、岩石数量，以及矿石的平均铁含量（称为品位）都是已知的。每个铲位至多能安置一台电铲，电铲的平均装车时间为5分钟。

卸货地点（以下简称卸点）有卸矿石的矿石漏、2个铁路倒装场（以下简称倒装场）和卸岩石的岩石漏、岩场等，每个卸点都有各自的产量要求。从保护国家资源的角度及矿山的经济效益考虑，应该尽量把矿石按矿石卸点需要的铁含量（假设要求都为29.5%±1%，称为品位限制）搭配起来送到卸点，搭配的量在一个班次（8小时）内满足品位限制即可。从长远看，卸点可以移动，但一个班次内不变。卡车的平均卸车时间为3分钟。

所用卡车载重量为154吨，平均时速28kmh。卡车的耗油量很大，每个班次每台车消耗近1吨柴油。发动机点火时需要消耗相当多的电瓶能量，故一个班次中只在开始工作时点火一次。卡车在等待时所耗费的能量也是相当可观的，原则上在安排时不应发生卡车等待的情况。电铲和卸点都不能同时为两辆及两辆以上卡车服务。卡车每次都是满载运输。

每个铲位到每个卸点的道路都是专用的宽60m的双向车道，不会出现堵车现象，每段道路的里程都是已知的。

一个班次的生产计划应该包含以下内容：出动几台电铲，分别在哪些铲位上；出动几辆卡车，分别在哪些路线上各运输多少次（因为随机因素影响，装卸时间与运输时间都不精确，所以排时计划无效，只求出各条路线上的卡车数及安排即可）。一个合格的计划要在卡车不等待条件下满足产量和质量（品位）要求，而一个好的计划还应该考虑下面两条原则之一：

1.总运量（吨公里）最小，同时出动最少的卡车，从而运输成本最小；

2.利用现有车辆运输，获得最大的产量（岩石产量优先；在产量相同的情况下，取总运量最小的解）。

请你就两条原则分别建立数学模型，并给出一个班次生产计划的快速算法。针对下面的实例，给出具体的生产计划、相应的总运量及岩石和矿石产量。

某露天矿有铲位10个，卸点5个，现有铲车7台，卡车20辆。各卸点一个班次的产量要求：矿石漏1.2万吨、倒装场Ⅰ1.3万吨、倒装场Ⅱ1.3万吨、岩石漏1.9万吨、岩场1.3万吨。

- 11 - 铲位和卸点位置的二维示意图如下，各铲位和各卸点之间的距离（公里）如下表：

铲位铲位铲位铲位铲位铲位铲位铲位铲位铲位

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

矿石漏 5.26 5.19 4.21 4.002.952.742.461.90 0.64 1.27倒装场Ⅰ 1.90 0.99 1.90 1.131.272.251.482.04 3.09 3.51岩场 5.89 5.61 5.61 4.563.513.652.462.46 1.06 0.57岩石漏 0.64 1.76 1.27 1.832.742.604.213.72 5.05 6.10倒装场Ⅱ 4.42 3.86 3.72 3.162.252.810.781.62 1.27 0.50各铲位矿石、岩石数量(万吨)和矿石的平均铁含量如下表：

铲位铲位铲位铲位铲位铲位铲位铲位

1 2 3 4 5 6 7 8

矿石0．95 1．05 1．00 1．051．101．251．051．30

量

岩石1．25 1．10 1．35 1．051．151．351．051．15

量

铁含30% 28% 29% 32% 31% 33% 32% 31%

量

铲位9

铲位10

1．35 1．251．35 1．2533% 31%

- 12 -

2003年D题……抢渡长江

“渡江”是武汉城市的一张名片。1934年9月9日，武汉警备旅官兵与体育界人士联手，在武汉第一次举办横渡长江游泳竞赛活动，起点为武昌汉阳门码头，终点设在汉口三北码头，全程约5000米。有44人参加横渡，40人达到终点，张学良将军特意向冠军获得者赠送了一块银盾，上书“力挽狂澜”。

2001年，“武汉抢渡长江挑战赛”重现江城。2002年，正式命名为“武汉国际抢渡长江挑战赛”，于每年的5月1日进行。由于水情、水性的不可预测性，这种竞赛更富有挑战性和观赏性。

2002年5月1日，抢渡的起点设在武昌汉阳门码头，终点设在汉阳南岸咀，江面宽约1160米。据报载，当日的平均水温16.8℃，江水的平均流速为1.89米/秒。参赛的国内外选手共186人（其中专业人员将近一半），仅34人到达终点，第一名的成绩为14分8秒。除了气象条件外，大部分选手由于路线选择错误，被滚滚的江水冲到下游，而未能准确到达终点。

假设在竞渡区域两岸为平行直线，它们之间的垂直距离为1160米，从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为1000米，见示意图。

请你们通过数学建模来分析上述情况，并回答以下问题；

1.假定在竞渡过程中游泳者的速度大小和方向不变，且竞渡区域每点的流速均为1.89米/秒。试说明2002年第一名是沿着怎样的路线前进的，求她游泳速度的大小和方向。如何根据游泳者自己的速度选择游泳方向，试为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择游泳方向，并估计他的成绩。

终点: 汉阳南岸咀

1000m长江水流方1160m- 13 -

起点: 武昌汉阳2.在（1）的假设下，如果游泳者始终以和岸边垂直的方向游，他(她)们能否到达终点？根据你们的数学模型说明为什么 1934年和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差别；给出能够成功到达终点的选手的条件。

3.若流速沿离岸边距离的分布为 (设从武昌汉阳门垂直向上为 y轴正向)：

⎧1.47米/秒，0米≤y≤200米⎪v(y)=⎨2.11米/秒，200米

游泳者的速度大小（1.5米/秒）仍全程保持不变，试为他选择游泳方向和路线，估计他的成绩。

4.若流速沿离岸边距离为连续分布，例如

⎧2.28⎪200y，0≤y≤200⎪200

或你们认为合适的连续分布，如何处理这个问题。

5.用普通人能懂的语言，给有意参加竞渡的游泳爱好者写一份竞渡策略的短文。

你们的模型还可能有什么其他的应用？

抢渡长江线路图抢渡长江现场图

- 14 -

2004年C题……饮酒驾车

据报载，2003年全国道路交通事故死亡人数为10.4372万，其中因饮酒驾车造成的占有相当的比例。

针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克／百毫升，小于80毫克／百毫升为饮酒驾车（原标准是小于100毫克／百毫升），血液中的酒精含量大于或等于80毫克／百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于100毫克／百毫升）。

大李在中午12点喝了一瓶啤酒，下午6点检查时符合新的驾车标准，紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多的酒，两次检查结果会不一样呢？

请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量的数学模型，并讨论以下问题：

1.对大李碰到的情况做出解释；

2.在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：

酒是在很短时间内喝的；

酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。

3.怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。

4.根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？

5.根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。

参考数据

1.人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。

2. 体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下：

- 15 -

时间(小0.20.0.71时) 5 5 5

酒精含量 30 68 75 82时间(小6 7 8 9时)

酒精含量 38 35 28 25

1.25

8277101811152.35

6868121213103.4.4 5

5 5

5851 50 41

147

15 16

7 4

2004年B题……电力市场的输电阻塞管理

我国电力系统的市场化改革正在积极、稳步地进行。2003年3月国家电力监管委员会成立，2003年6月该委员会发文列出了组建东北区域电力市场和进行华东区域电力市场试点的时间表，标志着电力市场化改革已经进入实质性阶段。可以预计，随着我国用电紧张的缓解，电力市场化将进入新一轮的发展，这给有关产业和研究部门带来了可预期的机遇和挑战。

电力从生产到使用的四大环节——发电、输电、配电和用电是瞬间完成的。我国电力市场初期是发电侧电力市场，采取交易与调度一体化的模式。电网公司在组织交易、调度和配送时，必须遵循电网“安全第一”的原则，同时要制订一个电力市场交易规则，按照购电费用最小的经济目标来运作。市场交易-调度中心根据负荷预报和交易规则制订满足电网安全运行的调度计划――各发电机组的出力（发电功率）分配方案；在执行调度计划的过程中，还需实时调度承担AGC（自动发电控制）辅助服务的机组出力，以跟踪电网中实时变化的负荷。

设某电网有若干台发电机组和若干条主要线路，每条线路上的有功潮流（输电功率和方向）取决于电网结构和各发电机组的出力。电网每条线路上的有功潮流的绝对值有一安全限值，限值还具有一定的相对安全裕度（即在应急情况下潮流绝对值可以超过限值的百分比的上限）。如果各机组出力分配方案使某条线路上的有功潮流的绝对值超出限值，称为输电阻塞。当发生输电阻塞时，需要研究如何制订既安全又经济的调度计划。

电力市场交易规则：

1.以15分钟为一个时段组织交易，每台机组在当前时段开始时刻前给出下一个时段的报价。各机组将可用出力由低到高分成至多10段报价，每个段的长度称为段容量，每个段容量报一个价（称为段价），段价按段序数单调不减。在最低技术出力以下的报价一般为负值，表示愿意付费维持发电以避免停机带来更大的损失。

2.在当前时段内，市场交易-调度中心根据下一个时段的负荷预报，每台机组的报价、当前出力和出力改变速率，按段价从低到高选取各机组的段容量或其部分（见下面注释），直到它们之和等于预报的负荷，这时每个机组被选入的段容量或其部分之和形成该时段该机组的出力分配预案（初始交易结果）。最后一- 16 - 个被选入的段价（最高段价）称为该时段的清算价，该时段全部机组的所有出力均按清算价结算。

注释：

① 每个时段的负荷预报和机组出力分配计划的参照时刻均为该时段结束时刻。

② 机组当前出力是对机组在当前时段结束时刻实际出力的预测值。

③ 假设每台机组单位时间内能增加或减少的出力相同，该出力值称为该机组的爬坡速率。由于机组爬坡速率的约束，可能导致选取它的某个段容量的部分。

④ 为了使得各机组计划出力之和等于预报的负荷需求，清算价对应的段容量可能只选取部分。

市场交易-调度中心在当前时段内要完成的具体操作过程如下：

① 监控当前时段各机组出力分配方案的执行，调度AGC辅助服务，在此基础上给出各机组的当前出力值。

② 作出下一个时段的负荷需求预报。

③ 根据电力市场交易规则得到下一个时段各机组出力分配预案。

④ 计算当执行各机组出力分配预案时电网各主要线路上的有功潮流，判断是否会出现输电阻塞。如果不出现，接受各机组出力分配预案；否则，按照如下原则实施阻塞管理：

输电阻塞管理原则：

① 调整各机组出力分配方案使得输电阻塞消除。

② 如果（1）做不到，还可以使用线路的安全裕度输电，以避免拉闸限电（强制减少负荷需求），但要使每条线路上潮流的绝对值超过限值的百分比尽量小。

③ 如果无论怎样分配机组出力都无法使每条线路上的潮流绝对值超过限值的百分比小于相对安全裕度，则必须在用电侧拉闸限电。

④ 当改变根据电力市场交易规则得到的各机组出力分配预案时，一些通过竞价取得发电权的发电容量（称序内容量）不能出力；而一些在竞价中未取得发电权的发电容量（称序外容量）要在低于对应报价的清算价上出力。因此，发电商和网方将产生经济利益冲突。网方应该为因输电阻塞而不能执行初始交易结果付出代价，网方在结算时应该适当地给发电商以经济补偿，由此引起的费用称之为阻塞费用。网方在电网安全运行的保证下应当同时考虑尽量减少阻塞费用。

你需要做的工作如下：

① 某电网有8台发电机组，6条主要线路，表1和表2中的方案0给出了- 17 - 各机组的当前出力和各线路上对应的有功潮流值，方案1~32给出了围绕方案0的一些实验数据，试用这些数据确定各线路上有功潮流关于各发电机组出力的近似表达式。

② 设计一种简明、合理的阻塞费用计算规则，除考虑上述电力市场规则外，还需注意：在输电阻塞发生时公平地对待序内容量不能出力的部分和报价高于清算价的序外容量出力的部分。

③ 假设下一个时段预报的负荷需求是982.4MW，表3、表4和表5分别给出了各机组的段容量、段价和爬坡速率的数据，试按照电力市场规则给出下一个时段各机组的出力分配预案。

④ 按照表6给出的潮流限值，检查得到的出力分配预案是否会引起输电阻塞，并在发生输电阻塞时，根据安全且经济的原则，调整各机组出力分配方案，并给出与该方案相应的阻塞费用。

假设下一个时段预报的负荷需求是1052.8MW，重复3~4的工作。

- 18 -

表1各机组出力方案（单位：兆瓦，记作MW）

方案机组

120

133.02

129.63

158.77

145.32

120

78.596

75.45

90.487

83.848

180

231.39198.48212.64190.55180

180

75.85765.95887.25897.82480

125

150.71141.58132.37156.93125

125

138.88131.21141.71149.29125

125

7 8

81.1 90

60.582 90

70.962 90

64.854 90

75.529 90

81.1 104.8481.1 111.2281.1 98.092- 19 - 32 120 73 180 80 125 125 81.1 120.44- 20 - 表2各线路的潮流值（各方案与表1相对应，单位：MW）

方案线路

1 2 3 4 5 6

164.78

165.81

165.51

167.93

166.79

164.94

164.8

165.59

165.21

167.43

165.71

166.45

165.23

164.23

163.04

165.54

166.88

164.07

164.27

164.57

163.89

166.35

165.54

166.75

167.69

162.21

163.54

162.7

164.06

164.66

164.7

164.67

164.69

140.87140.13140.25138.71139.45141.5

141.13143.03142.28140.82140.82140.82140.85140.73140.34141.1

141.4

143.03142.29141.44143.61139.29140.14138.95138.07141.21141

141.14140.94142.27142.94141.56143.84-144.25-145.14-144.92-146.91-145.92-143.84-144.07-143.16-143.49-152.26-147.08-149.33-145.82-144.18-144.03-144.32-144.34-140.97-142.15-143.3-140.25-144.2-144.19-144.17-144.14-144.13-144.16-144.21-144.18-147.2-148.45-145.88-150.34- 21 -

119.09118.63118.7

117.72118.13118.43118.82117.24117.96129.58122.85125.75121.16119.12119.31118.84118.67118.75118.85119

118.64119.1

119.09119.15119.19116.03117.56116.74118.24120.21120.68119.68121.34135.44

135.37

135.33

135.41

136.72

136.02

139.66

137.98

132.04

134.21

133.28

134.75

135.57

135.97

135.06

134.67

133.75

134.27

134.88

133.28

136.33

135.81

136.55

137.11

135.5

135.44

135.4

135.28

135.16

135.29

135.12

157.69

160.76

159.98

166.81

163.64

157.22

157.5

156.59

156.96

153.6

156.23

155.09

156.77

157.2

156.31

158.26

159.28

158.83

158.37

158.01

159.12

157.59

157.67

157.59

157.65

154.26

155.93

154.88

156.68

157.65

157.63

157.61

157.64

表3各机组的段容量（单位：MW）

机组段

1 2345678910

70 51 51501515095 0 0

008

40040

001

101010

20010

1032

10155

表4各机组的段价（单位：元/兆瓦小时，记作元/MWh）

机组段

-505

-560

-610

-590

-607

2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 124168213 489

0 182260410 495

0 8308356415 500

0 5250310396 510

0 159173205 520

-500 150 175380435 800

-500 120 185335348 548

-800 153 3303318400 800

表5各机组的爬坡速率（单位：MW/分钟）

机组 1

速率 2.2

3.24

1.35

1.86

1.48

1.8

表6各线路的潮流限值（单位：MW）和相对安全裕度

线路

限值

165

150

160

- 22 -

155

132

162 安全裕度 13% 18% 9% 11% 15% 14%

2008年B题……高等教育学费标准探讨

高等教育事关高素质人才培养、国家创新能力增强、和谐社会建设的大局，因此受到党和政府及社会各方面的高度重视和广泛关注。培养质量是高等教育的一个核心指标，不同的学科、专业在设定不同的培养目标后，其质量需要有相应的经费保障。高等教育属于非义务教育，其经费在世界各国都由政府财政拨款、学校自筹、社会捐赠和学费收入等几部分组成。对适合接受高等教育的经济困难的学生，一般可通过贷款和学费减、免、补等方式获得资助，品学兼优者还能享受政府、学校、企业等给予的奖学金。

学费问题涉及到每一个大学生及其家庭，是一个敏感而又复杂的问题：过高的学费会使很多学生无力支付，过低的学费又使学校财力不足而无法保证质量。学费问题近来在各种媒体上引起了热烈的讨论。

请你们根据中国国情，收集诸如国家生均拨款、培养费用、家庭收入等相关数据，并据此通过数学建模的方法，就几类学校或专业的学费标准进行定量分析，得出明确、有说服力的结论。数据的收集和分析是你们建模分析的基础和重要组成部分。你们的论文必须观点鲜明、分析有据、结论明确。

最后，根据你们建模分析的结果，给有部门写一份报告，提出具体建议。

- 23 -

2008年D题……NBA赛程的分析与评价

NBA是全世界篮球迷们最钟爱的赛事之一，姚易加盟以后更是让中国球迷宠爱有加。NBA共有30支球队，西部联盟、东部联盟各15支，大致按照地理位置，西部分西南、西北和太平洋3个区，东部分东南、中部和大西洋3个区，每区5支球队。对于2008~2009新赛季，常规赛阶段从2008年10月29日（北京时间）直到2009年4月16日，在这5个多月中共有1230场赛事，每支球队要进行82场比赛，附件1是30支球队2008~2009赛季常规赛的赛程表，附件2是分部、分区和排名情况（排名是2007~2008赛季常规赛的结果），见/nba/。

对于NBA这样庞大的赛事，编制一个完整的、对各球队尽可能公平的赛程是一件非常复杂的事情，赛程的安排对球队实力的发挥和战绩有一定的影响，从报刊上经常看到球员、教练和媒体对赛程的抱怨或评论。这个题目主要是要求用数学建模方法对已有的赛程进行定量的分析与评价：

1）为了分析赛程对某一支球队的利弊，你认为有哪些要考虑的因素，根据这些因素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，并给出评价赛程利弊的数量指标。

2）按照1）的结果计算、分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，并出赛程对30支球队最有利和最不利的球队。

3）分析赛程可以发现，每支球队与同区的每一球队赛4场（主客各2场），与不同部的每一球队赛2场（主客各1场），与同部不同区的每一球队有赛4场和赛3场（2主1客或2客1主）两种情况，每支球队的主客场数量相同且同部3个区的球队间保持均衡。试根据赛程出与同部不同区球队比赛中，选取赛3场的球队的方法。这种方法如何实现，对该方法给予评价，也可以给出你认为合适的方法。

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2009年A题……制动器试验台的控制方法分析

汽车的行车制动器（以下简称制动器）联接在车轮上，它的作用是在行驶时使车辆减速或者停止。制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，直接影响着人身和车辆的安全。为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试。在道路上测试实际车辆制动器的过程称为路试，其方法为：车辆在指定路面上加速到指定的速度；断开发动机的输出，让车辆依惯性继续运动；以恒定的力踏下制动踏板，使车辆完全停止下来或车速降到某数值以下；在这一过程中，检测制动减速度等指标。假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动。

为了检测制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试。但是，车辆设计阶段无法路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。通常试验台仅安装、试验单轮制动器，而不是同时试验全车所有车轮的制动器。制动器试验台一般由安装了飞轮组的主轴、驱动主轴旋转的电动机、底座、施加制动的辅助装置以及测量和控制系统等组成。被试验的制动器安装在主轴的一端，当制动器工作时会使主轴减速。试验台工作时，电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速(模拟实验中，可认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致)后电动机断电同时施加制动，当满足设定的结束条件时就称为完成一次制动。

路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量(以下转动惯量简称为惯量)在本题中称为等效的转动惯量。试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量。飞轮组由若干个飞轮组成，使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量。例如，假设有4个飞轮，其单个惯量22分别是：10、20、40、80 kg·m，基础惯量为10 kg·m，则可以组成10，20，2但对于等效的转动惯量为45.7 kg·m230，…，160 kg·m的16种数值的机械惯量。的情况，就不能精确地用机械惯量模拟试验。这个问题的一种解决方法是：把机2械惯量设定为40 kg·m，然后在制动过程中，让电动机在一定规律的电流控制下参与工作，补偿由于机械惯量不足而缺少的能量，从而满足模拟试验的原则。

一般假设试验台采用的电动机的驱动电流与其产生的扭矩成正比（本题中比例系数取为1.5 A/N·m）；且试验台工作时主轴的瞬时转速与瞬时扭矩是可观测的离散量。

由于制动器性能的复杂性，电动机驱动电流与时间之间的精确关系是很难得到的。工程实际中常用的计算机控制方法是：把整个制动时间离散化为许多小的时间段，比如10 ms为一段，然后根据前面时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计出本时段驱动电流的值，这个过程逐次进行，直至完成制动。

评价控制方法优劣的一个重要数量指标是能量误差的大小，本题中的能量误差是指所设计的路试时的制动器与相对应的实验台上制动器在制动过程中消耗- 25 - 的能量之差。通常不考虑观测误差、随机误差和连续问题离散化所产生的误差。

现在要求你们解答以下问题：

1.设车辆单个前轮的滚动半径为0.286 m，制动时承受的载荷为6230 N，求等效的转动惯量。

2.飞轮组由3个外直径1 m、内直径0.2 m的环形钢制飞轮组成，厚度分别为0.0392 m、0.0784 m、0.1568 m，钢材密度为7810 kg/m3，基础惯量为10 kg·m2，问可以组成哪些机械惯量？设电动机能补偿的能量相应的惯量的范围为 [-30，

30] kg·m2，对于问题1中得到的等效的转动惯量，需要用电动机补偿多大的惯量？

3.建立电动机驱动电流依赖于可观测量的数学模型。

在问题1和问题2的条件下，假设制动减速度为常数，初始速度为50 km/h，制动5.0秒后车速为零，计算驱动电流。

m2，机械惯量为35 kg·m2，4.对于与所设计的路试等效的转动惯量为48 kg·主轴初转速为514转/分钟，末转速为257转/分钟，时间步长为10 ms的情况，用某种控制方法试验得到的数据见附表。请对该方法执行的结果进行评价。

5.按照第3问导出的数学模型，给出根据前一个时间段观测到的瞬时转速与/或瞬时扭矩，设计本时间段电流值的计算机控制方法，并对该方法进行评价。

6.第5问给出的控制方法是否有不足之处？如果有，请重新设计一个尽量完善的计算机控制方法，并作评价。

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2009年B题……眼科病床的合理安排

医院就医排队是大家都非常熟悉的现象，它以这样或那样的形式出现在我们面前，例如，患者到门诊就诊、到收费处划价、到药房取药、到注射室打针、等待住院等，往往需要排队等待接受某种服务。

我们考虑某医院眼科病床的合理安排的数学建模问题。

该医院眼科门诊每天开放，住院部共有病床79张。该医院眼科手术主要分四大类：白内障、视网膜疾病、青光眼和外伤。附录中给出了2008年7月13日至2008年9月11日这段时间里各类病人的情况。

白内障手术较简单，而且没有急症。目前该院是每周一、三做白内障手术，此类病人的术前准备时间只需1、2天。做两只眼的病人比做一只眼的要多一些，大约占到60%。如果要做双眼是周一先做一只，周三再做另一只。

外伤疾病通常属于急症，病床有空时立即安排住院，住院后第二天便会安排手术。

其他眼科疾病比较复杂，有各种不同情况，但大致住院以后2-3天内就可以接受手术，主要是术后的观察时间较长。这类疾病手术时间可根据需要安排，一般不安排在周一、周三。由于急症数量较少，建模时这些眼科疾病可不考虑急症。

该医院眼科手术条件比较充分，在考虑病床安排时可不考虑手术条件的限制，但考虑到手术医生的安排问题，通常情况下白内障手术与其他眼科手术（急症除外）不安排在同一天做。当前该住院部对全体非急症病人是按照FCFS（First

come， First serve）规则安排住院，但等待住院病人队列却越来越长，医院方面希望你们能通过数学建模来帮助解决该住院部的病床合理安排问题，以提高对医院资源的有效利用。

问题一：试分析确定合理的评价指标体系，用以评价该问题的病床安排模型的优劣。

问题二：试就该住院部当前的情况，建立合理的病床安排模型，以根据已知的第二天拟出院病人数来确定第二天应该安排哪些病人住院。并对你们的模型利用问题一中的指标体系作出评价。

问题三：作为病人，自然希望尽早知道自己大约何时能住院。能否根据当时住院病人及等待住院病人的统计情况，在病人门诊时即告知其大致入住时间区间。

问题四：若该住院部周六、周日不安排手术，请你们重新回答问题二，医院的手术时间安排是否应作出相应调整?

问题五：有人从便于管理的角度提出建议，在一般情形下，医院病床安排可采取使各类病人占用病床的比例大致固定的方案，试就此方案，建立使得所有病人在系统内的平均逗留时间（含等待入院及住院时间）最短的病床比例分配模型。

- 27 - 【附录】2008-07-13到2008-09-11的病人信息

序号

类型

外伤

视网膜疾病

白内障

视网膜疾病

青光眼

视网膜疾病

白内障(双眼)

视网膜疾病

白内障(双眼)

白内障

视网膜疾病

白内障(双眼)

青光眼

视网膜疾病

白内障

青光眼

白内障(双眼)

视网膜疾病

青光眼

白内障

白内障(双眼)

视网膜疾病

青光眼

白内障

外伤

白内障(双眼)

视网膜疾病

门诊时间

2008-7-13

入院时间

2008-7-142008-7-252008-7-252008-7-252008-7-252008-7-26第一次手术时间

2008-7-15

2008-7-27

2008-7-28

2008-7-27

2008-7-29

第二次手术时间

出院时间

2008-7-192008-8-8

2008-7-312008-8-4

2008-8-5

2008-8-112008-7-13 2008-7-262008-7-14 2008-7-262008-7-14 2008-7-262008-7-14 2008-7-262008-7-14 2008-7-262008-7-14 2008-7-262008-7-14 2008-7-262008-7-14

2008-7-14

2008-7-15

2008-7-272008-7-272008-7-272008-7-272008-7-272008-7-272008-7-28 2008-7-30 2008-8-2

2008-7-29 / 2008-8-6

2008-7-28 2008-7-30 2008-8-1

2008-7-28

2008-7-29

2008-7-302008-8-8

2008-7-28 2008-7-30 2008-8-2

2008-7-29

2008-7-28

2008-7-29

2008-8-4

2008-8-9

2008-8-6

2008-8-122008-7-302008-8-5

2008-7-15 2008-7-272008-7-15

2008-7-15

2008-7-272008-7-272008-7-272008-7-272008-7-28 2008-7-30 2008-8-2

2008-7-29

2008-7-28

2008-8-4

2008-7-31

2008-7-30

2008-7-18

2008-8-4

2008-7-31

2008-8-6

2008-8-9

2008-8-6

2008-7-302008-7-302008-8-9

2008-8-102008-8-7

2008-8-3

2008-7-222008-8-9

2008-8-102008-7-15 2008-7-282008-7-15

2008-7-16

2008-7-282008-7-282008-7-282008-7-172008-7-16 2008-7-282008-7-16 2008-7-28- 28 - 32

白内障(双眼)

视网膜疾病

白内障

视网膜疾病

白内障(双眼)

外伤

青光眼

白内障(双眼)

视网膜疾病

白内障(双眼)

外伤

白内障(双眼)

白内障

青光眼

视网膜疾病

外伤

白内障

白内障(双眼)

视网膜疾病

白内障

白内障(双眼)

视网膜疾病

2008-7-16 2008-7-282008-7-16

2008-7-17

2008-7-282008-7-282008-7-292008-7-292008-7-292008-8-4

2008-7-31

2008-7-30

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2008-8-4

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2008-8-112008-8-102008-8-3

2008-8-8

2008-8-102008-8-8

2008-8-8

2008-7-282008-8-7

2008-8-9

2008-8-8

2008-7-17 2008-7-292008-7-17 2008-7-292008-7-17 2008-7-182008-7-17 2008-7-292008-7-17 2008-7-292008-7-17 2008-7-302008-7-17 2008-7-302008-7-17 2008-7-302008-7-18 2008-7-302008-7-18 2008-7-302008-7-18 2008-7-192008-7-18 2008-7-302008-7-18

2008-7-18

2008-7-302008-7-302008-7-302008-7-192008-7-312008-8-6 2008-8-102008-8-6

2008-8-8

2008-8-6 2008-8-10/

2008-8-6

2008-7-262008-8-9

2008-8-6

2008-8-8

2008-8-112008-7-252008-8-7

2008-8-8

2008-8-9

2008-8-132008-8-142008-8-8

2008-8-9

2008-8-8

2008-8-112008-7-18 2008-7-312008-7-18 2008-7-312008-7-18 2008-7-312008-7-19 2008-7-312008-7-19 2008-7-312008-7-19

2008-7-19

2008-8-1

- 29 - 63

青光眼

白内障

外伤

白内障

青光眼

视网膜疾病

白内障

白内障(双眼)

白内障

外伤

视网膜疾病

白内障

外伤

白内障(双眼)

外伤

白内障

白内障(双眼)

外伤

青光眼

白内障

视网膜疾病

青光眼

外伤

白内障

外伤

白内障

白内障(双眼)

2008-7-19 2008-8-1

2008-7-19 2008-7-202008-7-19 2008-8-2

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2008-7-20 2008-8-2

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100

101

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135

136

视网膜疾病

白内障

视网膜疾病

青光眼

视网膜疾病

白内障(双眼)

白内障

视网膜疾病

白内障

青光眼

视网膜疾病

白内障

视网膜疾病

白内障

视网膜疾病

白内障(双眼)

视网膜疾病

白内障(双眼)

青光眼

白内障

青光眼

外伤

青光眼

白内障

白内障(双眼)

白内障

视网膜疾病

外伤

视网膜疾病

白内障(双眼)

青光眼

视网膜疾病

外伤

青光眼

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- 31 - 137 外伤

138 视网膜疾病

139 青光眼

140 视网膜疾病

白内障(双141

眼)

142 青光眼

143 视网膜疾病

144 视网膜疾病

145 青光眼

白内障(双146

眼)

147 视网膜疾病

148 白内障

149 青光眼

150 白内障

151 视网膜疾病

152 白内障

153 外伤

白内障(双154

眼)

155 外伤

156 外伤

157 青光眼

158 视网膜疾病

159 青光眼

160 青光眼

白内障(双161

眼)

162 视网膜疾病

163 外伤

164 视网膜疾病

165 青光眼

166 视网膜疾病

167 外伤

168 视网膜疾病

白内障(双169

眼)

170 青光眼

白内障(双171

眼)

白内障(双172

眼)

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174 视网膜疾病

175 外伤

176 外伤

白内障(双177

眼)

178 视网膜疾病

179 视网膜疾病

180 视网膜疾病

181 白内障

182 视网膜疾病

白内障(双183

眼)

184 青光眼

白内障(双185

眼)

186 青光眼

187 视网膜疾病

白内障(双188

眼)

189 白内障

白内障(双190

眼)

191 视网膜疾病

192 视网膜疾病

193 视网膜疾病

194 视网膜疾病

白内障(双195

眼)

196 视网膜疾病

白内障(双197

眼)

198 外伤

白内障(双199

眼)

200 白内障

201 视网膜疾病

202 视网膜疾病

203 白内障

204 白内障

205 青光眼

206 视网膜疾病

207 白内障

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白内障

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白内障

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250 外伤

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2008-8-28 2008-9-102008-8-28 2008-9-102008-8-28 2008-9-102008-8-28 2008-9-102008-8-28 2008-9-102008-8-28 2008-9-102008-8-28 2008-9-9

2008-8-29 2008-9-10- 39 -

2008-9-15 2008-9-17

2008-9-12

2008-9-15 2008-9-17

2008-9-11

2008-9-12

/ 61

视网膜疾病 2008-8-29 2008-9-10青光眼 2008-8-29 2008-9-10白内障(双2008-8-29 2008-9-10眼)

视网膜疾病 2008-8-29 2008-9-10白内障 2008-8-29 2008-9-11白内障(双2008-8-29 2008-9-11眼)

白内障 2008-8-29 2008-9-11白内障(双2008-8-29 2008-9-11眼)

视网膜疾病 2008-8-30 2008-9-11白内障 2008-8-30 2008-9-11视网膜疾病 2008-8-30 2008-9-11外伤 2008-9-4 2008-9-5

外伤 2008-9-5 2008-9-6

外伤 2008-9-6 2008-9-7

外伤 2008-9-8 2008-9-9

外伤 2008-9-9 2008-9-10外伤 2008-9-9 2008-9-10

白内障(双2008-8-30 /

眼)

视网膜疾病 2008-8-30 /

青光眼 2008-8-30 /

视网膜疾病 2008-8-30 /

白内障(双2008-8-30 /

眼)

白内障 2008-8-31 /

青光眼 2008-8-31 /

白内障(双2008-8-31 /

眼)

视网膜疾病 2008-8-31 /

青光眼 2008-8-31 /

白内障 2008-8-31 /

视网膜疾病 2008-9-1 /

青光眼 2008-9-1 /

- 40 -

2008-9-12

2008-9-15 2008-9-17

2008-9-12

2008-9-15

2008-9-15 2008-9-17

2008-9-15 /

2008-9-15 2008-9-17

2008-9-13

2008-9-15

2008-9-13

2008-9-6

2008-9-7

2008-9-8

2008-9-10

2008-9-11

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白内障(双眼)

视网膜疾病

白内障

视网膜疾病

白内障

白内障(双眼)

白内障

视网膜疾病

白内障(双眼)

白内障

视网膜疾病

白内障

视网膜疾病

白内障(双眼)

白内障

青光眼

视网膜疾病

青光眼

白内障(双眼)

青光眼

视网膜疾病

白内障(双眼)

2008-9-1

2008-9-2

2008-9-3

2008-9-4

2008-9-5

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白内障(双2008-9-5

眼)

白内障(双2008-9-5

眼)

视网膜疾病 2008-9-5

白内障(双2008-9-5

眼)

青光眼 2008-9-5

白内障(双2008-9-5

眼)

白内障 2008-9-5

白内障(双2008-9-5

眼)

白内障(双2008-9-5

眼)

白内障(双2008-9-6

眼)

视网膜疾病 2008-9-6

青光眼 2008-9-6

白内障(双2008-9-6

眼)

视网膜疾病 2008-9-7

白内障(双2008-9-7

眼)

视网膜疾病 2008-9-7

白内障 2008-9-8

视网膜疾病 2008-9-8

白内障 2008-9-8

白内障(双2008-9-8

眼)

白内障 2008-9-8

视网膜疾病 2008-9-8

白内障 2008-9-8

青光眼 2008-9-9

视网膜疾病 2008-9-9

白内障 2008-9-9

视网膜疾病 2008-9-10

白内障 2008-9-10

白内障(双2008-9-10

眼)

- 42 - 白内障

白内障

白内障(双86

眼)

87 白内障

88 青光眼

白内障(双89

眼)

90 视网膜疾病

91 视网膜疾病

92 青光眼

白内障(双93

眼)

白内障(双94

眼)

95 青光眼

白内障(双96

眼)

97 外伤

白内障(双98

眼)

99 视网膜疾病

100 白内障

101 视网膜疾病

102 视网膜疾病

2008-9-10

2008-9-11

- 43 -

2009年D题……会议筹备

某市的一家会议服务公司负责承办某专业领域的一届全国性会议，会议筹备组要为与会代表预订宾馆客房，租借会议室，并租用客车接送代表。由于预计会议规模庞大，而适于接待这次会议的几家宾馆的客房和会议室数量均有限，所以只能让与会代表分散到若干家宾馆住宿。为了便于管理，除了尽量满足代表在价位等方面的需求之外，所选择的宾馆数量应该尽可能少，并且距离上比较靠近。

筹备组经过实地考察，筛选出10家宾馆作为备选，它们的名称用代号①至⑩表示，相对位置见附图，有关客房及会议室的规格、间数、价格等数据见附表1。

根据这届会议代表回执整理出来的有关住房的信息见附表2。从以往几届会议情况看，有一些发来回执的代表不来开会，同时也有一些与会的代表事先不提交回执，相关数据见附表3。附表2，3都可以作为预订宾馆客房的参考。

需要说明的是，虽然客房房费由与会代表自付，但是如果预订客房的数量大于实际用房数量，筹备组需要支付一天的空房费，而若出现预订客房数量不足，则将造成非常被动的局面，引起代表的不满。

会议期间有一天的上下午各安排6个分组会议，筹备组需要在代表下榻的某几个宾馆租借会议室。由于事先无法知道哪些代表准备参加哪个分组会，筹备组还要向汽车租赁公司租用客车接送代表。现有45座、36座和33座三种类型的客车，租金分别是半天800元、700元和600元。

请你们通过数学建模方法，从经济、方便、代表满意等方面，为会议筹备组制定一个预订宾馆客房、租借会议室、租用客车的合理方案。

附表1……10家备选宾馆的有关数据

宾馆代号

①

客房

规格

普通双标间

商务双标间

普通单人间

商务单人间

普通双标间

商务双标间

豪华双标间A

豪华双标间B

普通双标间

商务双标间

间数

价格（天）180元

220元

180元

220元

140元

160元

180元

200元

150元

180元

- 44 -

会议室

规模

200人

150人

60人

130人

180人

45人

30人

200人

100人

间数

价格(半天)

1500元

1200元

600元

1000元

1500元

300元

1200元

800元

②

③ 普通单人间

普通双标间

④

商务双标间

普通双标间A

普通双标间B

⑤

豪华双标间

普通单人间

普通双标间

⑥ 商务单人间

精品双人间

普通双标间

商务单人间

⑦

商务套房（1床）

普通双标间A

普通双标间B

⑧

高级单人间

普通双人间

普通单人间

⑨ 豪华双人间

豪华单人间

经济标准房（2

床）

⑩

标准房（2床）

150元

140元

200元

140元

160元

200元

160元

170元

180元

220元

150元

160元

300元

180元

160元

180元

260元

280元

260元

280元

150人

60人

150人

50人

150人

180人

50人

160人

180人

140人

60人

200人

160人

130人

160人

120人

200人

180人

140人

1000元

320元

900元

300元

1000元

1500元

500元

1000元

1200元

800元

300元

1000元

800元

1300元

800元

1200元

1500元

1000元

附表2……本届会议的代表回执中有关住房要求的信息（单位：人）

男

女

合住1

154

合住2

104

合住3

独住1

107

独住2

独住3

说明：表头第一行中的数字1、2、3分别指每天每间120~160元、161~200元、201~300元三种不同价格的房间。合住是指要求两人合住一间。独住是指可安排单人间，或一人单独住一个双人间。

附表3……以往几届会议代表回执和与会情况

发来回执的代表数量

发来回执但未与会的代表数量

未发回执而与会的代表数量

第一届

315

第二届

356

115

第三届

408

121

第四届

711

213

104

- 45 - 附图（其中500等数字是两宾馆间距，单位为米）

④③500②100150①300⑤⑦⑧300

200300150⑨⑥700⑩

- 46 - 从以上几道竞赛题的内容可以看出，既有工程技术方面的问题，也有社会以及和我们日常生活学习中有关的问题；既有医疗、疾病传播等问题，也有我们所喜欢的体育运动等方面的问题。总之一句活，几乎涉及所有的问题。什么是数学模型，至今还没有一个统一的说法。

但可以这样讲：这就是对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具得到的一个数学结构式。也就是说，数学模型是通过抽象、简化的过程，使用数学语言对实际现像的一个近似的刻画，以便于人们更深刻地认识所研究对像。数学模型并不是新事物，它早就有之。自从有了数学，也就有了数学模型。

一个最典型的也最成功的数学模型的例子是行星运动规律的发现。开普勒根据他的老师第谷30年天文观测的大量数据，用了10年时间总结出行星运动的三大规律，但当时还只是经验的规律，只有确认这些规律，到它们的内在的根据，才能有效地加以应用。牛顿提出与距离平方成反比的万有引力公式，利用运动三大定律证明了开普勒的结论，严格推导出行星运动的三大定律，成功地解释并预测了行星运动规律，也证明了他建立的数学模型的正确性。这是数学建模取得光辉成功的一个著名的例子。

应用数学知识解决实际问题的第一步就是通过实际问题本身，从形式上杂乱无章的现象中抽象出恰当的数学关系式，也就是构建这个实际问题的数学模型，其过程就是数学建模的过程。什么是数学模型，大家可以从以上几道竞赛题所提出的问题，仔细琢磨琢磨便可理解。这里不再多讲了。

二、为什么要学习数学模型

1、数学模型无处不在，我们的生活、工作、学习都离不开它

目前，数学的应用已经渗透到了各个领域，或者说各行各业日益依赖于数学，在人们日常生活的各种活动中，数学无处不在。也就是说在数学发展的进程中，无时无刻不留下数学模型的烙印，在数学应用的各个领域无处没有数学模型的身影。数学模型无处不在，它不仅存在于传统的科技领域，例如，物理、化学、天文、机械等领域，同时也存在于我们的日常生活中，人人都会接触到它。例如：生活中的合理投资问题、银行的按揭问题、养老保险问题、住房公积金问题、新技术的传播问题、流言蜚语的传播问题、流行性传染病的传播问题、语言学中用词变化问题、人口的增长问题、.减肥问题以及各种资源的管理问题等等，这从上面所举的几个竞赛题的内容也可见一般。下面再举两个简单的例子。

例1买房贷款问题

设某人买房因资金不足需向银行贷款p元，年利率为r％，计划办理n年银行按揭，问每个月末应向银行存款多少钱？即每月等额应还银行多少钱？

- 47 - 设每月还款A元，由现值公式可知：

第一期还款A元的折现值为A，其中i为月利率=r/12

1+i第=期还款A元的折现值为A(1+i)2

…………………………………………

第n期还款A元的折现值为A(1+i)n

n⎤⎞AAAA⎡⎢⎛1⎥

⎟++󰀢+=⎢1−⎜⎟所以， P=⎜2n⎝1+i⎟⎠⎥⎥1+i(1+i)i⎢⎣⎜(1+i)⎦iPi故A=−n

1−(1+i)。上术公式即银行按揭的数学模型，又称资金还原公式（已知P求A）例2物体冷却过程的数学模型

将某物体放置于空气中，在时刻t=0时，测量得它的温度为u0=1500C，0u=100C，试求决定此物体的温度u和时间t的关10分钟后测量得温度为10u=24C 系。并计算20分钟后物体的温度。这里我们假定空气的温度保持为a解：为了解决上述问题，需要了解有关热力学的一些基本规律：例如：热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；在一定的温度范围内(其中包括了上述问题的温度在内)，一个物体的温度变化速度与这物体的温度和其所在介质温度的差值成正比例。这是己为实验证明了的牛顿冷却定规。

du设物体在时刻t的温度为u=u(t)，则温度的变化速度为。注意到热dt量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的，因而u0>ua，所以温差dtu−ua恒正；又因为物体的温度将随时间而逐渐冷却，故温度变化速度dx恒- 48 -

王小波黄金时代经典句子-

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