反比例函数讲义经典推荐(一)

反比例函数讲义经典推荐(一)

2023年11月1日发(作者：矫情的句子)

愚人节整蛊玩法-

~

第六章 反比例函数讲义

6.1反比例函数

教材精华

知识点1 反比例函数的概念

定义：一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示成y＝比例函数．

拓展 (1)等号左边是函数y，等号右边是一个分式，分子是不为零的常数k(也叫做比例系数k)，分母中含有自变量x，且x的指数是1，若写成y＝kx－1．则x的指数是－1．

(2)比例系数k≠0是反比例函数定义的一个重要组成部分．

(3)自变量x的取值范围是x≠0的一切实数．

(4)函数y的取值范围也是一切非零实数．

知识点2 用待定系数法求反比例函数的表达式

由于在反比例函数y＝式．

知识点3 反比例关系与反比例函数的区别和联系

我们学过反比例关系．如果xy＝k(k是常数，k≠0)．那么x与y这两个量成反比例关系，这里x，y既可以代表单独的一个字母，也可以代表多项式或单项式，例如若y＋3与x－1成反比例，则y＋3＝反比例，则y＝k (k为常数，k≠0)的形式，那么称y是x的反xk中，只有一个待定系数．因此只需要一组对应值，即可求出k的值，从而确定其表达xk，若y与x2成x1kk．成反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数y＝中的两个变量必成反比例关系．

2xx拓展 反比例关系不一定是反比例函数，但反比例函数一定是反比例关系．

规律方法小结 类比思想：在学习反比例函数的概念时，注意与成反比例的量进行类比，与正比例函数的概念对比，这样便于我们对反比例函数的概念的理解与掌握．

课堂检测

基本概念题

1、下列各式中，y是x的反比例函数吗?为什么?

(1)xy＝2； (2)y＝10－x；

(3)y＝

基础知识应用题

2、判断下列各题中的两个变量是否成比例关系，若成比例关系，指出是正比例关系，还是反比例关系．

(1)三角形底边长为定值，它的面积S与这条边上的高h；

(2)三角形面积为定值，它的底边长a与这条边上的高h；

(3)正方形的面积S与它的一边长a；

(4)周长为定值的长方形的长和宽；

(5)面积为定值的长方形的长和宽；

(6)儿童的身高与年龄；

~~~

13b； (4)y＝ (b为常数，b≠0)．

3xx~

(7)圆的周长与它的半径．

3、若函数y＝(m＋1)xm3m1是反比例函数，求m的值．

综合应用题

4、一定质量的二氧化碳，它的体积V与它的密度ρ成反比例，当V＝5m3时，ρ=1.98kg／m3，求ρ与V的函数关系式．

5、一水池内蓄水40 m3.设放完满池水的时间为T小时，每小时的放水量为W m3，规定放水时间不得超过20小时，求T与W之间的函数关系式，指出函数T和自变量W的取值范围.

探索创新题

6、某工人计划利用一块不锈钢钢锭加工成一个面积为0．8m2的矩形框工件，设工件的长与宽分别为y

m与2x m．(不计厚度)

(1)请写出y与x之间的函数表达式；

(2)如果想使工件的长比宽多1．6 m，已知加工费为每米6元，求加工这个工件所需的费用．

体验中考

若梯形的下底长为x，上底长为下底长的的取值范围)

~~~

1，高为y，面积为60，则y与x的函数关系式是 ．(不考虑x3~

6.2反比例 函数的图像与性质

新课导引

【生活链接】爱思考的小明想在坐标系中描出横、纵坐标的积等于6的点，并列表如下：

x …

－－5－y …

－1.2

然后他将x，y的对应值分别作为点的横、纵坐标在直角坐标系中描了出来(如下图所示)．

－1.5－－－6 3 2

－4－－－1 2 3 4

1.55

1.21 …

6 …

【问题探究】如果用光滑曲线顺次连接图中各点，能得到怎样的图象?你能描述它的形状和性质吗?

【点拨】由xy=6可得y教材精华

知识点1 反比例函数的图象

反比例函数的图象是双曲线，也称双曲线y6，是反比例函数．反比例函数的图象叫做双曲线．

xk (k≠0)，其图象如图5－1所示．

x

拓展 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限，它们关于原点对称，由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以它们的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不能到达坐标轴．

知识点2 反比例函数图象的画法

(1)列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两边取三对(或三对以上)相反数，如1和－1，2和－2，3和－3等等，填y值时，只需计算原点一侧的函数值，如分别计算出当x＝1，2，3时的函数值，那么当x＝－1，－2，－3时的函数值应是与之对应的相反数．

(2)描点：先画出反比例函数的图象的一侧，另一侧可根据图象关于原点对称的性质来画．

~~~ ~

(3)连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸．

拓展 画反比例函数的图象时，应注意以下几点：

(1)两条曲线是平滑的，不要只画一个分支，而忘了画另一个分支．

(2)两条曲线无限靠近坐标轴，但与坐标轴无交点．

探究交流 反比例函数y 点拨 反比例函数yk (k≠0)的图象是轴对称图形吗?

xk (k≠0)的图象是轴对称图形，它的对称轴有两条，分别是直线y＝x和直线y＝－x．

x知识点3 反比例函数的性质

反比例函数yk (k≠0)的性质如下：

x 当k＞0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是说，在每个象限内，y随x的增大而减小．

当k＜0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是说，在每个象限内，y随x的增大而增大．

拓展 (1)描述函数值的增减情况时，必须指出“在每个象限内”．若说成“当k＞0(或k＜0)时，y随x的增大而减小(或增大)”，就会出现与事实不符的矛盾．

(2)反比例函数的图象的位置、函数的增减性都是由比例系数k的符号决定的．反过来，由双曲线的位置、反比例函数的增减性也可以推断出k的符号，即双曲线在第一、三象限时，k＞0；双曲线在第二、四象限时，k＜0．

探究交流 反比例函数的表达式中k的几何意义．

点拨 反比例函数y重要性质．

若A是反比例函数yk的本质特征是两个变量y与x的乘积是一个常数k，由此可以推得反比例函数的一个xk图象上任意一点，且AB垂直x轴，垂足为B，xAC垂直y轴，垂足为C，则S矩形ABOC＝k，如图5－2所示．

由反比例函数图象与矩形面积的关系可以得出反比例函数图象与三角＝S△AOC＝S矩形ABOC＝形面积的关系：S△AOB1k．

2规律方法小结 数形结合思想：学习反比例函数与学习其他函数一样，要善于数形结合，由表达式联想图象的位置及性质，由图象和性质联想比例系数k的符号．

课堂检测

基础知识应用题

1、在同一直角坐标系内画出反比例函数y

2、已知反比例函数的表达式为y44与y的图象．

xx4k，分别根据下列条件求出字母k的取值范围．

x~~~ ~

(1)函数图象位于第一、三象限；

(2)在每一个象限内，y随x的增大而增大．

综合应用题

3、如图5－5所示，A，B是函数y1的图象上关于原点O的对称点，AD平行于y轴，xBC平行于x轴，△ABC的面积为S，则下列各式正确的是 ( )

A．S＝1 B．S＝2

C．S＞2 D．1＜S＜2

4、已知反比例函数yk1的图象经过点(4，)，若一次函数y＝x＋1的图象平移后经过该反比例函数图象上x2的点B(2，m)，求平移后的一次函数图象与x轴的交点坐标．

探索创新题

5、如图5－7所示，已知双曲线y问题．

(1)若点A的坐标为(4，2)，则点B的坐标为 ，若点A的横坐标为m，则点B的坐标可表示为 ．

k (k＞0)与直线y＝k′x交于A，B两点，点A在第一象限，试解答下列x (2)如图5－8所示，过原点O作另一条直线l，交双曲线y ①试说明四边形APBQ一定是平行四边形；

k (k＞0)于P，Q两点，点P在第一象限．

x

②设点A，P的横坐标分别为m，n，四边形APBQ可能是矩形吗?可能是正方形吗?若可能，直接写出m，n应满足的条件；若不可能，请说明理由．

体验中考

~~~ ~

1、已知图5－10(1)中的曲线是反比例函数ym5 (m为常数)图象的一支．

x (1)这个反比例函数图象的另一支在第几象限?常数m的取值范围是什么?

(2)若该函数的图象与正比例函数y=2x的图象在第一象限内的交点为A，过A点作x轴的垂线，垂足为B，当△OAB的面积为4时，求点A的坐标及反比例函数的解析式．

2、如图5－11所示，已知A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y＝kx＋b的图象和反比例函数y两个交点．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；

m的图象的xm0的解(请直接写出答案)；

xm (4)求不等式kxb＜0的解集(请直接写出答案)．

x (3)求方程kxb

6.3反比例函数的应用

【生活链接】一段时期市场上使用杆称，一些不法商贩在卖货时将秤砣挖空，或更换较小的秤砣，使砣较轻，从而欺骗客户．

【问题探究】(1)如右图所示，对于同一物体，哪个图用的是标准秤砣，哪个图用的是较轻的秤砣?

(2)在称同一物体时，所称得的物体质量y(千克)与所用秤砣质量x(千克)之间满足什么关系?

(3)当砣较轻时，称得的物体变重，这正好符合哪个函数的哪些性质?

【点拨】(1)设物体重为W，阻力臂为L1，秤砣重F，动力臂为L2，则由于W·L1＝F·L2，且W·L1一定，∴F越小，L2越大，显示物体质量越多，故(2)用的是标准秤砣，(1)用的是较轻的秤砣．

(2)由(1)的分析可知，y与x之间满足反比例关系．

(3)设这个反比例函数为yk (k＞0)，则当x变小时，y增大，所以当砣较轻时，称得的物体变重，这正好符x~~~ ~

合反比例函数y大而减小)．

教材精华

k中，当k＞0，x＞0时，函数的图象在第一象限内，y随x的减小而增大的性质(即y随x的增x知识点 利用反比例函数解决实际问题

反比例函数是反映现实世界中两个变量之间关系的一种重要的数学模型．它在现实生活中有着广泛的应用．利用反比例函数的图象与性质，能比较清晰、直观、简捷地解决一些实际问题．

在生活中有许许多多成反比例关系的实例．如：当路程s一定时，时间t与速度v成反比例关系，写成t是常数)；当矩形面积S一定时，长a与宽b成反比例关系，写成a的底边长y与高x成反比例关系，写成ys(svS (S是常数)；当面积是常数S时，三角形b2S (S是常数)；当功是常数W时，力F与物体在力的方向上通过的位xFW移s成反比例关系，写成F (W是常数)；当压力F一定时，压强p与受力面积S之间成反比例关系，写成p

sSU(F是常数)；在某一电路中，保持电压U不变，电流I与电阻R成反比例关系，写成I (U是常数)等等．

Rk 在利用反比例函数解决实际问题时，一定要注意y (k为常数，k≠0)这一条件．结合图象说出性质，根据x性质大致画出图象，求函数的表达式是必须掌握的．

拓展 实际问题中的数量关系一般都具有实际意义，所以在建立数学模型解答问题时，需注意实际问题对数学答案的要求与限制．如一些数量非负(时间、速度、长度一定是正数，人数是正整数等)，在解答过程中要时刻注意问题中的要求．

规律方法小结 数学建模思想是解决实际问题的基本思想方法．在许多实际问题中，需抽象出数学模型(如建立坐标系，设出函数关系式，列出方程等)，即用数学关系式或图形来表示实际问题中数量之间的关系，从而运用数学方法求出问题的答案，使问题得以解决．

课堂检测

基础知识应用题

1、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图5－19所示．当气球内的气压大于120 kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，气球的体积应 ( )

535m B．小于 m3

4444 C．不小于 m3 D．小于 m3

55 A．不小于

2、一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50千米／时的平均速度从甲地出发，则经过6小时可到达乙地．

(1)甲、乙两地相距多少千米?

(2)如果汽车把速度提高到v千米／时，那么从甲地到乙地所用时间t小时将怎样变化?

(3)写出t与v之间的函数关系式；

~~~ ~

(4)因某种原因，这辆汽车需要在5小时内从甲地到达乙地，则此时汽车的平均速度至少应是多少?

(5)已知汽车的平均速度最大可达80千米／时，那么它从甲地到乙地最快需要多长时问?

综合应用题

3、某课外小组在做气体试验时，获得压强p(pa)与体积V(cm3)之间有下列对应数据：

p(Pa)

V(cm3)

…

…

1

6

2

3

3

2

4

1.5

5

1.2

…

…

根据表中提供的信息，回答下列问题．

(1)猜想p与V之间的关系，并求出函数关系式；

(2)当气体的体积是12 cm3时，压强是多少?

4、某地区去年电价为0．8元，年用电量为1亿度，今年计划将电价调至0．55～0．75元之间，经测算，若电价调至x元，则今年新增加用电量y亿度与(x－0．4)元成反比例，当x＝0．65元时，y＝0．8．

(1)求y与x之间的函数表达式；

(2)若每度电的成本价为0．3元，则电价调至多少元时，今年电力部门的收益将比去年的增加20％?(收益＝用电量×实际电价－用电量×成本价)

探索创新题

5、某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(千帕)(千帕是一种压强单位)是气体体积V(米3)的反比例函数，其图象如图5－20所示．

(1)写出这个函数的表达式；

(2)当气球的体积为0．8立方米时，气球内的气压是多少千帕?

(3)当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不小于多少立方米?

体验中考

1、一块蓄电池的电压为定值，使用此蓄电池为电源时，电流I(A)与电阻R(Ω)之间的函数关系如图5－23所示，如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10 A，那~~~ ~

么此用电器的可变电阻应 ( )

A．不小于4．8 Ω B．不大于4．8 Ω

C．不小于14 Ω D．不大于14 Ω

2、为了预防流感，某学校在休息日用药熏消毒对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y所示，根据图5－24中提供的信息，解答下列问题．

(1)写出从药物释放开始，y与t之间的两个函数关系式及相应的自变量的取值范围；

(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0．25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室?

a (a为常数)，如图5－24t~~~

项目负责人的工作内容包括-