双曲线的简单几何性质精品教案

双曲线的简单几何性质精品教案

2023年11月1日发(作者：美丽的妈妈写人作文(精选34篇))

冬瓜汤的简易做法-

2.2.2 双曲线的简单几何性质

学习目标 1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中 a，b，c，e 间的关系.4.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.

知识点一 双曲线的简单几何性质

x2y2思考 类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的哪些几何性ab质？

答案 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线.

标准方程

x2y2－＝1

a2b2(a＞0，b＞0)

y2x2－＝1

a2b2(a＞0，b＞0)

图形

范围

对称性

性质

顶点坐标

渐近线

离心率

知识点二 双曲线的离心率

思考1 如何求双曲线的渐近线方程？

x≥a或x≤－a

对称轴：坐标轴

对称中心：原点

A1(－a,0)，A2(a,0)

by＝±x

ay≥a或y≤－a

对称轴：坐标轴

对称中心：原点

A1(0，－a)，A2(0，a)

ay＝±x

bce＝，e∈(1，＋∞)

ax2y2x2y2xy答案 将方程2－2＝1(a>0，b>0)右边的“1”换成“0”，如图，即由2－2＝0得±＝0，abababxyx2y2作直线±＝0，在双曲线2－2＝1的各支向外延伸时，与两直线无限接近，把这两条直线abab叫做双曲线的渐近线.

思考2 椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？

x2y2答案 双曲线2－2＝1的各支向外延伸无限接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取决abc2－a2bcb于的值，设e＝，则＝＝e2－1.

aaaab当e的值逐渐增大时，的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大.

a双曲线的半焦距c与实半轴长a的比值e叫做双曲线的离心率，其取值范围是(1，＋∞).e越大，双曲线的张口越大.

知识点三 双曲线的相关概念

(1)双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.

(2)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y＝±x.

类型一 双曲线的简单几何性质

x2y2例1 求与椭圆＋＝1有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线方程，并且求出这条双曲线144169的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程.

x2y2解 椭圆＋＝1的焦点是(0，－5)，(0,5)，焦点在y轴上，

144169y2x2于是可设双曲线的方程是2－2＝1(a＞0，b＞0).

ab又双曲线过点(0,2)，所以c＝5，a＝2，

所以b2＝c2－a2＝25－4＝21.

y2x2所以双曲线的标准方程为－＝1.

421c5221所以双曲线的实轴长为4，焦距为10，离心率e＝＝，渐近线方程是y＝±x.

a221反思与感悟 根据双曲线方程研究其性质的基本思路 (1)将双曲线的方程转化为标准方程.

(2)确定双曲线的焦点位置，弄清方程中的a，b所对应的值，再利用c2＝a2＋b2得到c的值.

(3)根据确定的a，b，c的值求双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标、离心率及渐近线方程等.

跟踪训练1 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.

y2x2解 把方程9y－16x＝144化为标准方程2－2＝1.

4322由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；

c＝a2＋b2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；

c54离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.

a43类型二 由双曲线的几何性质求标准方程

例2 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程：

(1)双曲线过点(3,92)，离心率e＝10；

3(2)过点P(2，－1)，渐近线方程是y＝±3x.

10c210解 (1)e＝，得2＝，设a2＝9k(k>0)，

9a92则c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.

x2y2y2x2于是，设所求双曲线方程为－＝1①或－＝1.②

9kk9kk把(3,92)代入①，得k＝－161，与k>0矛盾，无解；

把(3,92)代入②，得k＝9，

y2x2故所求双曲线方程为－＝1.

819(2)由渐近线方程3x±y＝0，

x22可设所求双曲线方程为－y＝λ(λ≠0)，(*)

19将点P(2，－1)代入(*)，得λ＝35，

x2y2∴所求双曲线方程为－＝1.

35359反思与感悟 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方b程为mx2－ny2＝1 (mn>0)，从而直接求得.若已知双曲线的渐近线方程为y＝±x，还可以将ax2y2方程设为2－2＝λ(λ≠0)，避免讨论焦点的位置.

abx2y2跟踪训练2 已知圆M：x＋(y－5)＝9，双曲线G与椭圆C：＋＝1有相同的焦点，它502522的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程.

x2y2解 椭圆C：＋＝1的两焦点为F1(－5,0)，F2(5,0)，

5025故双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.

x2y2b设双曲线G的方程为2－2＝1(a>0，b>0)，则G的渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，且abaa2＋b2＝25.

∵圆M的圆心为(0,5)，半径为r＝3.

∴|5a|＝3⇒a＝3，b＝4.

a2＋b2x2y2∴双曲线G的方程为－＝1.

916类型三 直线与双曲线的位置关系

例3 已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4.

(1)若直线与双曲线没有公共点，求k的取值范围；

(2)若直线与双曲线只有一个公共点，求k的取值范围.

y＝kx－1，解 由22得(1－k2)x2＋2kx－5＝0.①

x－y＝4，

(1)直线与双曲线没有公共点，则①式方程无解.

21－k≠0，55∴解得k＞或k＜－，

2222Δ＝4k＋201－k＜0，

则k的取值范围为k＞55或k＜－.

22(2)直线与双曲线只有一个公共点，则①式方程只有一解.

当1－k2＝0，即k＝±1时，①式方程只有一解；

当1－k2≠0时，应满足Δ＝4k2＋20(1－k2)＝0，

55解得k＝±，故k的值为±1或±.

22反思与感悟 (1)直线与双曲线的公共点就是以直线的方程与双曲线的方程联立所构成方程组的解为坐标的点，因此对直线与双曲线的位置关系的讨论，常常转化为对由它们的方程构成的方程组解的情况的讨论.

(2)直线与椭圆的位置关系是由它们交点的个数决定的，而直线与双曲线的位置关系不能由其交点的个数决定. (3)弦长公式：直线y＝kx＋b与双曲线相交所得的弦长与椭圆的相同：d＝1＋k2|x1－x2|＝11＋2|y1－y2|.

ky2跟踪训练3 经过点M(2,2)作直线l交双曲线x－＝1于A，B两点，且M为AB中点.

42(1)求直线l的方程；

(2)求线段AB的长.

4解 (1)设A(x，y)，B(x，y)，则yx－4＝1②，1122222222y1x1－＝1①，

y1－y2y1＋y2①－②得(x1－x2)(x1＋x2)－＝0.

4又x1＋x2＝4，y1＋y2＝4，∴y1－y2＝4＝k.

x1－x2∴直线l的方程为y－2＝4(x－2)，

即4x－y－6＝0.

4x－y－6＝0，(2)由2y2得3x2－12x＋10＝0，

x－4＝1，10∴x1＋x2＝4，x1x2＝.

3∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|

2102＝1＋k2x1＋x22－4x1x2＝.3

1.双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )

A.2 B.22 C.4 D.42

答案 C

x2y2解析 双曲线的标准方程为－＝1，故实轴长为4.

48x2y22.设双曲线＋＝1的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )

a9A.－4 B.－3 C.2 D.1

答案 A

解析 ∵方程表示双曲线， y2x2∴a<0，标准方程为－＝1，

9－a∴渐近线方程为y＝±∴3 x，

－a33＝，解得a＝－4.

－a2x2y23.已知双曲线2－＝1(a＞0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( )

a534A.

143C.

2答案 C

c3解析 由题意知a2＋5＝9, 解得a＝2，e＝＝.

a24.等轴双曲线的一个焦点是F1(－6,0)，则其标准方程为( )

x2y2A.－＝1

99y2x2C.－＝1

1818答案 D

解析 ∵等轴双曲线的焦点为(－6,0)，∴c＝6，

∴2a2＝36，a2＝18.

x2y2∴双曲线的标准方程为－＝1.

1818x2y235.若双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是____________.

4m2答案 (±7，0)

解析 由渐近线方程为y＝±m3x＝±x，

22y2x2B.－＝1

99x2y2D.－＝1

181832B.

44D.

3得m＝3，c＝7，且焦点在x轴上.

x2y26.设双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为ab________________.

2答案 y＝±x

2解析 由条件知2b＝2,2c＝23，

∴b＝1，c＝3，a2＝c2－b2＝2，

x222∴双曲线方程为－y＝1，因此其渐近线方程为y＝±x.

22 x2y21.渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程2－2＝1(a>0，b>0)ab右边的常数1换为0，就是渐近线方程.反之由渐近线方程ax±by＝0变为a2x2－b2y2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程.

2.准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口.对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.

3.直线与双曲线的位置关系，可以通过由直线方程与双曲线方程得到的方程来判断，首先看二次项系数是否为零，如果不为零，再利用Δ来判断直线与双曲线的关系.

4.弦长问题可以利用弦长公式，中点弦问题可使用点差法.

一、选择题

1.过双曲线x2―y2＝4的右焦点且平行于虚轴的弦长是( )

A.1 B.2 C.3 D.4

答案 D

解析 设弦与双曲线交点为A，B(A点在B点上方)，由AB⊥x轴且过右焦点，可得A，B两点横坐标为22，代入双曲线方程得A(22，2)，B(22，－2)，故|AB|＝4.

x2y252.已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的离心率为，则C的渐近线方程为( )

ab21A.y＝±x

41C.y＝±x

2答案 C

a2＋b25c5c25b21222解析 因为e＝＝，所以2＝，又因为c＝a＋b，所以2＝，得2＝，所以渐近a2a4a4a41线方程为y＝±x.

2x223.若直线x＝a与双曲线－y＝1有两个交点，则a的值可以是( )

4A.4 B.2 C.1 D.－2

答案 A

x22解析 ∵双曲线－y＝1中，x≥2或x≤－2，

41B.y＝±x

3D.y＝±x ∴若x＝a与双曲线有两个交点，则a>2或a<－2，故只有A选项符合题意.

x2y24.双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1、F2，过F1作倾斜角为30°的直线，交ab双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为( )

A.6

C.2

答案 B

解析 如图，在Rt△MF1F2中，∠MF1F2＝30°.

又|F1F2|＝2c，

∴|MF1|＝2c43＝c，

cos 30°323c.

323cc.∴e＝＝3.

3aB.3

D.3

3|MF2|＝2c·tan 30°＝∴2a＝|MF1|－|MF2|＝x2y25.如图，双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过点F1作倾斜角为30°ab的直线l，l与双曲线的右支交于点P，若线段PF1的中点M落在y轴上，则双曲线的渐近线方程为( )

A.y＝±x

C.y＝±2x

答案 C

23解析 设F1(－c,0)，M(0，y0)，因为M为PF1中点，且PF1倾斜角为30°，则Pc，c，

342cc3将其代入双曲线方程得2－2＝1，

ab2B.y＝±3x

D.y＝±2x

b4b2b2＝2或b2＝－2(舍去). 又有c2＝a2＋b2，整理得3－4－4＝0，解得aaaa3故所求渐近线方程为y＝±2x.

x2y26.已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直ab线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( ) x2y2A.－＝1

5203x23y2C.－＝1

25100答案 A

x2y2B.－＝1

2053x23y2D.－＝1

10025解析 令y＝0，可得x＝－5，即焦点坐标为(－5,0)，

∴c＝5，

x2y2∵双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，

abb∴＝2，

a∵c2＝a2＋b2，

∴a2＝5，b2＝20，

x2y2∴双曲线的方程为－＝1.

520二、填空题

x2y27.已知双曲线C：－＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是4m____________.

答案 (4，＋∞)

解析 ∵等轴双曲线的离心率为2，且双曲线C的开口比等轴双曲线更开阔，

4＋mx2y2∴双曲线C：－＝1的离心率e>2，即>2.

4m4∴m>4.

x2y28.双曲线＋＝1的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是____________.

4k答案 (－12,0)

x2y2解析 双曲线方程可变为－＝1，

4－k4－kc则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝，

a2又∵e∈(1,2)，则1<4－k<2，解得－12

2π9.过点(0,1)作直线l与双曲线4x2―ay2＝1相交于P，Q两点，且∠POQ＝(O为坐标原点)，2则a的取值范围是______________.

答案 0

y＝kx＋1，解析 由2得：(4－ak2)x2－2akx－a－1＝0，

24x－ay＝1， －a－1xx＝，4－ak得4－kyy＝4－ak，1222122Δ＝－2ak2＋4a＋14－ak2＞0， ①

π由∠POQ＝，得OP⊥OQ⇒x1x2＋y1y2＝0，

2－a－14－k2则＋＝0，②

4－ak24－ak2由①②得0

三、解答题

10.根据下列条件，求双曲线的标准方程.

x2y2(1)与双曲线－＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)；

9163(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y＝±x.

2x2y21解 (1)设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝，

9164x2y214x2y2所以双曲线方程为－＝，即－＝1.

9164943(2)设渐近线方程为y＝±x的双曲线方程为

2x2y2－＝λ.

499当λ＞0时，2a＝24λ＝6⇒λ＝.

4当λ＜0时，a2＝－9λ，∴2a＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.

x2y2y2x2∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1

981944y211.已知双曲线x－＝1，过P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是22线段AB的中点？若能，求出l的方程；若不能，请说明理由.

解 设l与双曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，

2则yx－2＝1，222222y1x1－＝1，

两式相减得

y1＋y2y1－y2(x1＋x2)(x1－x2)－＝0，

2y1＋y2y1－y2即(x1＋x2)－·＝0，

2x1－x2又直线过P(1,1)且为线段AB中点，

所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，

所以kAB＝2，所以l方程为y＝2x－1，

y＝2x－1，由22消去y，得2x2－4x＋3＝0，

2x－y＝2，

因为Δ＝16－4×2×3＜0，故直线l与双曲线没有交点，即直线l不存在.

x2212.已知直线l：x＋y＝1与双曲线C：2－y＝1(a>0).

a1(1)若a＝，求l与C相交所得的弦长.

2(2)若l与C有两个不同的交点，求双曲线C的离心率e的取值范围.

1解 (1)当a＝时，双曲线C的方程为4x2－y2＝1，

2x＋y＝1，联立22消去y，得3x2＋2x－2＝0.

4x－y＝1，

设两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，

22则x1＋x2＝－，x1x2＝－，

33于是|AB|＝x1－x22＋y1－y22

＝x1－x22＋x1－x22

＝2·x1＋x22－4x1x2＝2×28214＝.

93x22(2)将y＝－x＋1代入双曲线2－y＝1中得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，

a21－a≠0，所以4解得0

224a＋8a1－a＞0，

1＋a2又双曲线的离心率e＝＝a所以e>6且e≠2，

21＋1，

a2即离心率e的取值范围是6，2∪(2，＋∞).

2x2213.若原点O和点F(－2,0)分别为双曲线2－y＝1(a>0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支a→→上的任意一点，求OP·FP的取值范围. x22解 由双曲线方程2－y＝1(a>0)知b＝1，

a又F(－2,0)，∴c＝2.

∴a2＋1＝c2＝4，∴a2＝3，

x22∴双曲线方程为－y＝1.

3设双曲线右支上点P(x，y)，且x≥3.

→→OP·FP＝(x，y)·(x＋2，y)＝x2＋2x＋y2

3447x＋2－. ＝x2＋2x－1＝3344∵x≥3，∴当x＝3时，上式有最小值3＋23.

→→故OP·FP的取值范围为[3＋23，＋∞).

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