2006年安徽高考数学试题(理科)及答案

2006年安徽高考数学试题(理科)及答案

2023年10月31日发(作者：爱无处不在作文)

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2006年安徽高考数学试题（理科）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）、复数13i等于

3iA．i B．i C．3i D．3i

2 （2）、设集合Axx22,xR，Byx,1x2，则CRAB等于

A．R B．xxR,x0 C．0 D．

x2y21的右焦点重合，则p的值为 （3）、若抛物线y2px的焦点与椭圆622A．2 B．2 C．4 D．4

22abab（4）、设a,bR，已知命题p:ab；命题q:，则p是q成立的

222A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2x,

x0

（5）、函数y 的反函数是

x,

x0

2x，

x0

2x,

x0

2 A．y B．y

x，

x0

x，

x0

x，

x0

2x,

x0

2C．y D．y

x，

x0

x，

x0

（6）、将函数ysinx(0)的图象按向量a示，则平移后的图象所对应函数的解析式是

,0平移，平移后的图象如图所6第1页

A．ysin(xB．ysin(x6)

)

6C．ysin(2xD．ysin(2x

3)

3)

（7）、若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为

A．4xy30

B．x4y50

C．4xy30

D．x4y30

（8）、设a0，对于函数fx A．有最大值而无最小值

B．有最小值而无最大值

C．有最大值且有最小值

D．既无最大值又无最小值

（9）、表面积为23 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为

sinxa(0x)，下列结论正确的是

sinx A．12222

 B． C． D．3333

xy10，

（10）、如果实数x、y满足条件

y10， 那么2xy的最大值为

xy10，

A．2 B．1 C．2 D．3

（11）、如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则

A．A1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形

B．A1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形

第2页

C．A1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形

D．A1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形

（12）、在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为

A．1234 B． C． D．

77772006年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

理科数学

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

注意事项：

请用0.5毫米黑墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡的相应位置。

3213x （13）、设常数a0，ax展开式中的系数为，则2x2lima(ana__________)。

n4 （14）、在ABCD中，M为BC的中点，则MN_______。ABa,ADb,AN3NC，（用a、b表示）

（15）、函数fx对于任意实数x满足条件fx2若f15,则f1，fxD1

C1

A1

B1

f5_______________。

（16）、多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，C

正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上D

与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面的距离可能是：

A

①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7

第16题图

以上结论正确的为________________________。（写出所有正确结论的编号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

（17）、（本大题满分12分）

B

310,tancot

43（Ⅰ）求tan的值；

已知第3页

5sin2（Ⅱ）求28sin2cos211cos228的值。

2sin2

（18）、（本大题满分12分）

在添加剂的搭配使用中，为了到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。

（Ⅰ）写出的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）

（Ⅱ）求的数学期望E。（要求写出计算过程或说明道理）

（19）、（本大题满分12分）

如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，PA1，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。

（Ⅰ）证明PA⊥BF；

（Ⅱ）求面APB与面DPB所成二面角的大小。

（20）、（本大题满分12分）

已知函数fx在R上有定义，对任何实数a0和任何实数x，都有faxafx

（Ⅰ）证明f00；

kx,

x0，

（Ⅱ）证明fx 其中k和h均为常数；

hx,

x0，

（Ⅲ）当（Ⅱ）中的k0时，设gx内的单调性并求极值。

（21）、（本大题满分12分）

P

F

H

A

O

B

第19题图

E

D

C

1fx(x0)，讨论gx在0,fx第4页

数列an的前n项和为Sn，已知a11,Snn2annn1,n1,2,

2（Ⅰ）写出Sn与Sn1的递推关系式n2，并求Sn关于n的表达式；

（Ⅱ）设fnxSnn1x,bnfn/ppR，求数列bn的前n项和Tn。

n

（22）、（本大题满分14分）

F为双曲线C：x2y2如图，a2b21a0,b0的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点。已知四边形OFPM为平行四边形，PFOF。

（Ⅰ）写出双曲线C的离心率e与的关系式；

（Ⅱ）当1时，经过焦点F且品行于OP的直线交双曲线于A、B点，若AB12，求此时的双曲线方程。

第5页

y

M

H

P

x

O F

第22题图

2006年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）

理科数学

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

13i等于（ ）

3iA．i B．i C．3i D．3i

（1）复数解：13i13i1i故选A

3ii(13i)i2（2）设集合Axx22,xR，By|yx,1x2，则CRAB等于（ ）

A．R B．xxR,x0 C．0 D．

解：A[0,2]，B[4,0]，所以CRA2BCR{0}，故选B。

x2y21的右焦点重合，则p的值为（ ）（3）若抛物线y2px的焦点与椭圆

62A．2 B．2 C．4 D．4

x2y21的右焦点为(2,0)，所以抛物线y22px的焦点为(2,0)，则解：椭圆62p4，故选D。

22abab（4）设a,bR，已知命题p:ab；命题q:，则p是q成立的222（ ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

22abab解：命题p:ab是命题q:等号成立的条件，故选B。

222x,x0（5）函数y2 的反函数是（ ）

x,x02xx2x,x0,x0,x02x,x0A．y2 B．y C． D．y

y2x,x0x,x0x,x0x,x0解：有关分段函数的反函数的求法，选C。

第6页

（6）将函数ysinx(0)的图象按向量a,06平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ）

A．ysin(xC．ysin(2x) B．ysin(x)

66) D．ysin(2x)

33,06平移，平移后的图象所对应的解析式为ysin(x)，由图673)象知，(，所以2，因此选C。

1262（7）若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80垂直，则l的方程为（ ）

A．4xy30 B．x4y50 C．4xy30 D．x4y30

解：与直线x4y80垂直的直线l为4xym0，即yx4在某一点的导数为4，而y4x3，所以yx4在(1，1)处导数为4，此点的切线为4xy30，故选A

sinxa(0x)，下列结论正确的是（ ） （8）设a0，对于函数fxsinx解：将函数ysinx(0)的图象按向量aA．有最大值而无最小值 B．有最小值而无最大值

C．有最大值且有最小值 D．既无最大值又无最小值

sinxa(0x)的值域为函数sinxaay1,t(0,1]的值域，又a0，所以y1,t(0,1]是一个减函减，故选B。

tt（9）表面积为23 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为

解：令tsinx,t(0,1]，则函数fx12222

 B． C． D．33333a2解：此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由823知，a1，4则此球的直径为2，故选A。

xy10（10）如果实数x、y满足条件y10 ，那么2xy的最大值为（ ）

xy10A．2 B．1 C．2 D．3

解：当直线2xyt过点(0，-1)时，t最大，故选B。

（11）如果A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则 A．（ ）

A．A1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形 B．A1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形

C．A1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形

D．A1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形

第7页

解：A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则A1B1C1是锐角三角形，若A2B2C2是sinAcosAsin(A)A21122A12A2B2C2，锐角三角形，由sinB2cosB1sin(B1)，得B2B1，那么，222sinCcosCsin(C)C21122C12所以A2B2C2是钝角三角形。故选D。

（12）在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概．．率为（ ）

1234 B． C． D．

77773解：在正方体上任选3个顶点连成三角形可得C8个三角形，要得直角非等腰三角形，．． A．则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对角线)，共有24个，得所以选C。

24，C832006年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）理科数学

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

注意事项：

请用0.5毫米黑墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效。

．．．．．．．．．．．．．．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填写在答题卡的相应位置。

3213x（13）设常数a0，ax展开式中的系数为，则2xlim(aa2an)_____。

n4解：Tr1Car44rx82rx1r2，由x82rx1r231r4ra=知a=，所以x3,得r2,由C4221lim(aa2an)21，所以为1。

n112BCD中，ABa,ADb,AN3NC，（14）在AM为BC的中点，则MN_______。b表示） （用a、解：由AN3NC得4AN3AC=3(ab)，AMa1b，所以2MN3111(ab)(ab)ab。

4244（15）函数fx对于任意实数x满足条件fx21，若f15,则fxff5__________。

第8页

11解：由fx2fx得fx4fx2f(x)，所以f(5)f(1)5，则ff5f(5)f(1)11f(12)5。

D1

（16）多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到的距离分别为1，2和4，P是正方体的其余四个顶点D

C

中的一个，则P到平面的距离可能是：

①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7

以上结论正确的为______________。（写出所有正确结论的编号A

．．）

解：如图，B、D、A第16题图1到平面的距离分别为1、2、4，则D、A1的中点到平面的距离为3，所以D51到平面的距离为6；B、A1的中点到平面的距离为2，所以B1到平面的距离为5；则D、B的中点到平面的距离为32，所以C到平面的距离为3；C、A1的中点到平面的距离为72，所以C1到平面的距离为7；而P为C、C1、B1、D1中的一点，所以选①③④⑤。

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

（17）（本大题满分12分）已知34,tancot103

（Ⅰ）求tan的值；

5sin211cos2（Ⅱ）求28sin2cos228的值。

2sin2解：(Ⅰ)由tancot1023得3tan10tan30，即tan3或tan13，又34，所以tan13为所求。

5sin28sincos11cos21-cos4sin111+cos8（Ⅱ）22285222sin2=2

cos2=55cos8sin1111cos168sin6cos8tan22cos=22cos622=526。

（18）（本大题满分12分）在添加剂的搭配使用中，为了到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂。现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验。用表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和。

（Ⅰ）写出的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）

（Ⅱ）求的数学期望E。（要求写出计算过程或说明道理）

解：（Ⅰ）



1 2 3 4 5 6 7 8 9

第9页

C1

A1

B1

B

P

112232211

5151515（Ⅱ）E1

112232221234567895P

5151515F

H

A

O

B

第19题图

C

D

E

（19）（本大题满分12分）如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，PA1，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。

（Ⅰ）证明PA⊥BF；

（Ⅱ）求面APB与面DPB所成二面角的大小。

解：（Ⅰ）在正六边形ABCDEF中，ABF为等腰三角形，

∵P在平面ABC内的射影为O，∴PO⊥平面ABF，∴AO为PA在平面ABF内的射影；∵O为BF中点，∴AO⊥BF，∴PA⊥BF。

（Ⅱ）∵PO⊥平面ABF，∴平面PBF⊥平面ABC；而O为BF中点，ABCDEF是正六边形 ，∴A、O、D共线，且直线AD⊥BF，则AD⊥平面PBF；又∵正六边形ABCDEF的边长为1，∴AO1，2DO33，BO。

22过O在平面POB内作OH⊥PB于H，连AH、DH，则AH⊥PB，DH⊥PB，所以AHD为所求二面角平面角。

1721AO在AHO中，OH=，tanAHO。

2=7OH2122173DO21在DHO中，tanDHO；

2OH22177214282221而tanAHDtan(AHODHO)

72132112221（Ⅱ）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，P(0,0，1)，A(0，0,0)，D(0,2，0)，∴PA(0,,1)，PB(13,0)，B(，223,0,1)，PD(0,2,1)

21y1102设平面PAB的法向量为n1(x1,y1,1)，则n1PA，n1PB，得，3x101223n1(,2,1)；

312第10页

2y210设平面PDB的法向量为n2(x2,y2,1)，则n2PD，n2PB，得3，x2102231n2(,,1)；

32nncosn1,n212

|n1||n2|（20）（本大题满分12分）已知函数fx在R上有定义，对任何实数a0和任何实数x，都有faxafx

kx,x0（Ⅰ）证明f00；（Ⅱ）证明fx 其中k和h均为常数；

hx,x01（Ⅲ）当（Ⅱ）中的k0时，设gxfx(x0)，讨论gx在0,fx内的单调性并求极值。

证明（Ⅰ）令x0，则f0af0，∵a0，∴f00。

假设x0时，f(x)kx(kR)，则fxkx，而xfxxkxkx，∴fxxfx，即f(x)kx成立。

②令xa，∵a0，∴x0，fxxfx

假设x0时，f(x)hx(hR)，则fxhx，而xfxxhxhx2（Ⅱ）①令xa，∵a0，∴x0，则fxxfx。

22222222，2∴fxxfx，即f(x)hx成立。∴fxkx,x0成立。

hx,x01x2111（Ⅲ）当x0时，gx

fxkx，g(x)2kkxkx2fxkx令g(x)0，得x1或x1；

当x(0,1)时，g(x)<0，∴g(x)是单调递减函数；

当x[1,)时，g(x)>0，∴g(x)是单调递增函数；

1所以当x1时，函数gx在0,内取得极小值，极小值为g(1)k

k（21）（本大题满分12分）数列an的前n项和为Sn，已知1a1,Snn2annn1,n1,2,

2（Ⅰ）写出Sn与Sn1的递推关系式n2，并求Sn关于n的表达式；

Snn1x,bnfn/ppR，求数列bn的前n项和Tn。

n22解：由Snnannn1n2得：Snn(SnSn1)nn1，即（Ⅱ）设fnx(n21)Snn2Sn1nn1，所以n1nSnSn11，对n2成立。

nn1第11页

n1nnn132SnSn11，Sn1Sn21，…，S2S11相加得：nn1n1n221n11n2Sn2S1n1，又S1a1，所以Sn，当n1时，也成立。

n2n1Sn1nn1x，得bnfn/pnpn。 （Ⅱ）由fnxnxnn1而Tnp2p23p3(n1)pn1npn，

由pTnp22p33p423(n1)pnnpn1，

n1nn1p(1pn)(1P)Tnpppppnpnpn1

1px2y2（22）（本大题满分14分）如图，F为双曲线C：221a0,b0的右焦点。abP为双曲线C右支上一点，且位于x轴上方，M为左准线上一点，O为坐标原点。已知四边形OFPM为平行四边形，PFOF。

（Ⅰ）写出双曲线C的离心率e与的关系式；

y

（Ⅱ）当1时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若AB12，求此时的双曲线方程。

H

M P

|PM|c，作解：∵四边形OFPM是，∴|OF|a2双曲线的右准线交PM于H，则|PM||PH|2，又c|PF||OF|cc2e2e，a2a2c22a2e22|PH|c2c2cce2e20。

22x

O F

第22题图

x2y2（Ⅱ）当1时，e2，c2a，b3a，双曲线为221四边形OFPM4a3a是菱形，所以直线OP的斜率为3，则直线AB的方程为y3(x2a)，代入到双曲线方22程得：9x48ax60a0，

又AB12，由AB1k2248a260a2(x1x2)4x1x2得：122(，解)4992x2y292721为所求。 得a，则b，所以274494

第12页

鞠躬是中国人的礼仪吗-