2014年安徽省高考数学试卷(理科)附送答案
2023年10月31日发(作者：关于着装的服饰礼仪常识)
过期的如宝啥意思-
2014年安徽省高考数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5分）设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z=1+i，则+i•=（ ）
A．﹣2 B．﹣2i C．2 D．2i
2．（5分）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
A．34 B．55 C．78 D．89
4．（5分）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为（ ）
A． B．2 C． D．2
5．（5分）x、y满足约束条件唯一，则实数a的值为（ ）
，若z=y﹣ax取得最大值的最优解不A．或﹣1 B．2或 C．2或1 D．2或﹣1
6．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f （x）=0，则f（A． B． C．0
）=（ ）
D．﹣
7．（5分）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）
A．21+ B．18+ C．21 D．18
8．（5分）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（ ）
A．24对 B．30对 C．48对 D．60对
9．（5分）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（ ）
A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或8
10．（5分）在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，点Q满足＜r≤|=（+），曲线C={P|=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区域Ω={P|0|≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（ ）
A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置．
11．（5分）若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是 ． 12．（5分）数列{an}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q= ．
n的展开式为a+ax+ax2+…+axn．13．（5分）设a≠0，n是大于1的自然数，（1+）若012n点Ai（i，ai）（i=0，1，2）的位置如图所示，则a= ．
14．（5分）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为 ．
15．（5分）已知两个不相等的非零向量，，两组向量，S=•+，•，+•，+•均由2个+•和3个，，，，和排列而成，记，Smin表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）．
①S有5个不同的值；
②若⊥，则Smin与||无关；
③若∥，则Smin与||无关；
④若||＞4||，则Smin＞0；
⑤若||=2||，Smin=8||2，则与的夹角为
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答早答题卡上的指定区域．
16．（12分）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．
． （Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求sin（A+）的值．
17．（12分）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．
（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．
18．（12分）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0．
（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；
（Ⅱ）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．
19．（13分）如图，已知两条抛物线E1：y2=2p1x（p1＞0）和E2：y2=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．
（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；
（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．
20．（13分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q． （Ⅰ）证明：Q为BB1的中点；
（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；
（Ⅲ）若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．
21．（13分）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*．
（Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；
（Ⅱ）数列{an}满足a1＞
，an+1=an+an1﹣p．证明：an＞an+1＞．
2014年安徽省高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．（5分）（2014•安徽）设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z=1+i，则+i•=（ ）
A．﹣2 B．﹣2i C．2 D．2i
【分析】把z及代入+i•，然后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．
【解答】解：∵z=1+i，
∴∴+i•==故选：C．
2．（5分）（2014•安徽）“x＜0”是“ln（x+1）＜0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】解：∵x＜0，∴x+1＜1，当x+1＞0时，ln（x+1）＜0；
∵ln（x+1）＜0，∴0＜x+1＜1，∴﹣1＜x＜0，∴x＜0，
∴“x＜0”是ln（x+1）＜0的必要不充分条件．
故选：B．
3．（5分）（2014•安徽）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）
，
．
A．34 B．55 C．78 D．89
【分析】写出前几次循环的结果，不满足判断框中的条件，退出循环，输出z的值．
【解答】解：第一次循环得z=2，x=1，y=2；
第二次循环得z=3，x=2，y=3；
第三次循环得z=5，x=3，y=5；
第四次循环得z=8，x=5，y=8；
第五次循环得z=13，x=8，y=13；
第六次循环得z=21，x=13，y=21；
第七次循环得z=34，x=21，y=34；
第八次循环得z=55，x=34，y=55；退出循环，输出55，
故选B
4．（5分）（2014•安徽）以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为（ ）
A． B．2 C． D．2
【分析】先求出直线和圆的直角坐标方程，求出半径和弦心距，再利用弦长公式求得弦长．
【解答】解：直线l的参数方程是（t为参数），化为普通方程为 x﹣y ﹣4=0；
圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，化为直角坐标方程为x2+y2=4x，
即 （x﹣2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心、半径r等于2的圆．
弦心距d=故选：D．
=＜r，∴弦长为2=2=2，
5．（5分）（2014•安徽）x、y满足约束条件值的最优解不唯一，则实数a的值为（ ）
A．或﹣1 B．2或 C．2或1 D．2或﹣1
，若z=y﹣ax取得最大【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z斜率的变化，从而求出a的取值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．
由z=y﹣ax得y=ax+z，即直线的截距最大，z也最大．
若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在A处取得最大值，不满足条件，
若a＞0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，
则直线y=ax+z与直线2x﹣y+2=0平行，此时a=2，
若a＜0，目标函数y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最优解不唯一，
则直线y=ax+z与直线x+y﹣2=0，平行，此时a=﹣1，
综上a=﹣1或a=2，
故选：D
6．（5分）（2014•安徽）设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（A． B． C．0 D．﹣
）=（ ）
【分析】利用已知条件，逐步求解表达式的值即可．
【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，
∴f（=f（=f（=f（=sin==．
故选：A．
7．（5分）（2014•安徽）一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（ ）
）=f（）+sin）+sin）+sin+sin
）
+sin+sin+sin
+sin
A．21+ B．18+ C．21 D．18
【分析】判断几何体的形状，结合三视图的数据，求出几何体的表面积．
【解答】解：由三视图可知，几何体是正方体的棱长为2，截去两个正三棱锥，侧棱互相垂直，侧棱长为1，
几何体的表面积为：S=故选：A．
正方体﹣2S．
棱锥侧+2S棱锥底=21+
8．（5分）（2014•安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有（ ）
A．24对 B．30对 C．48对 D．60对
【分析】利用正方体的面对角线形成的对数，减去不满足题意的对数即可得到结果．
【解答】解：正方体的面对角线共有12条，两条为一对，共有=66条，
同一面上的对角线不满足题意，对面的面对角线也不满足题意，一组平行平面共 有6对不满足题意的直线对数，
不满足题意的共有：3×6=18．
从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对．其中所成的角为60°的共有：66﹣18=48．
故选：C．
9．（5分）（2014•安徽）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（ ）
A．5或8 B．﹣1或5 C．﹣1或﹣4 D．﹣4或8
【分析】分类讨论，利用f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，建立方程，即可求出实数a的值．
【解答】解：1；
﹣≤x≤﹣1，f（x）=﹣x﹣1+2x+a=x+a﹣1≥﹣1；
x＞﹣1，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞a﹣2，
∴﹣1=3或a﹣2=3，
∴a=8或a=5，
a=5时，﹣1＜a﹣2，故舍去；
≥﹣1时，x＜﹣1，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞2﹣a；
﹣1≤x≤﹣，f（x）=x+1﹣2x﹣a=﹣x﹣a+1≥﹣+1；
x＞﹣，f（x）=x+1+2x+a=3x+a+1＞﹣+1，
∴2﹣a=3或﹣+1=3，
∴a=﹣1或a=﹣4，
a=﹣1时，﹣+1＜2﹣a，故舍去；
综上，a=﹣4或8．
故选：D．
＜﹣1时，x＜﹣，f（x）=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1＞﹣ 10．（5分）（2014•安徽）在平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，点Q满足域Ω={P|0＜r≤|=（+），曲线C={P|=cosθ+sinθ，0≤θ≤2π}，区|≤R，r＜R}．若C∩Ω为两段分离的曲线，则（ ）
A．1＜r＜R＜3 B．1＜r＜3≤R C．r≤1＜R＜3 D．1＜r＜3＜R
【分析】不妨令=（1，0），=（0，1），则P点的轨迹为单位圆，Ω={P|（0＜r≤||≤R，r＜R}表示的平面区域为：以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，若C∩Ω为两段分离的曲线，则单位圆与圆环的内外圆均相交，进而根据圆圆相交的充要条件得到答案．
【解答】解：∵平面直角坐标系xOy中．已知向量、，||=||=1，•=0，
不妨令=（1，0），=（0，1），
则=（+）=（，），
=cosθ+sinθ=（cosθ，sinθ），
故P点的轨迹为单位圆，
Ω={P|（0＜r≤||≤R，r＜R}表示的平面区域为：
以Q点为圆心，内径为r，外径为R的圆环，
若C∩Ω为两段分离的曲线，
则单位圆与圆环的内外圆均相交，
故|OQ|﹣1＜r＜R＜|OQ|+1，
∵|OQ|=2，
故1＜r＜R＜3，
故选：A
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置．
11．（5分）（2014•安徽）若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单 位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是 ．
【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin（2x+2φ=kπ+﹣2φ），再根据所得图象关于y轴对称可得﹣，k∈z，由此求得φ的最小正值．
）的图象向右平移φ个单位，
]=sin（2x+﹣2φ）关于y【解答】解：将函数f（x）=sin（2x+所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣φ）+轴对称，
则 ﹣2φ=kπ+．
，k∈z，即 φ=﹣﹣，故φ的最小正值为，
故答案为：
12．（5分）（2014•安徽）数列{an}是等差数列，若a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列，则q= 1 ．
【分析】设出等差数列的公差，由a1+1，a3+3，a5+5构成公比为q的等比数列列式求出公差，则由化简得答案．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
由a1+1，a3+3，a5+5构成等比数列，
得：整理得：即化简得：（d+1）2=0，即d=﹣1．
∴q=故答案为：1．
13．（5分）（2014•安徽）设a≠0，n是大于1的自然数，（1+）n的展开式为=．
，
，
+5a1+a1+4d． a0+a1x+a2x2+…+anxn．若点Ai（i，ai）（i=0，1，2）的位置如图所示，则a= 3 ．
n的展开式的通项为【分析】求出（1+），由图知，a0=1，a1=3，a2=4，列出方程组，求出a的值．
【解答】解：（1+）n的展开式的通项为由图知，a0=1，a1=3，a2=4，
∴，a2﹣3a=0，
解得a=3，
故答案为：3．
14．（5分）（2014•安徽）设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、，，
，
，
右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A、B两点，若|AF1|=3|F1B|，AF2⊥x轴，则椭圆E的方程为 x2+=1 ．
【分析】求出B（﹣c，﹣b2），代入椭圆方程，结合1=b2+c2，即可求出椭圆的方程．
【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），AF2⊥x轴，∴|AF2|=b2，
∴A点坐标为（c，b2），
设B（x，y），则
∵|AF1|=3|F1B|，
∴（﹣c﹣c，﹣b2）=3（x+c，y） ∴B（﹣c，﹣b2），
代入椭圆方程可得∵1=b2+c2，
∴b2=，c2=，
∴x2+=1．
=1．
，
故答案为：x2+
15．（5分）（2014•安徽）已知两个不相等的非零向量，，两组向量，S=•，+和•+，•，+•，+，•，，均由2个和3个排列而成，记，Smin表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是 ②④ （写出所有正确命题的编号）．
①S有5个不同的值；
②若⊥，则Smin与||无关；
③若∥，则Smin与||无关；
④若||＞4||，则Smin＞0；
⑤若||=2||，Smin=8||2，则与的夹角为．
++++，【分析】依题意，可求得S有3种结果：S1=S2=+•+•++，S3=•+•+•+•++﹣2•≥+，可判断①错误；
﹣2||•||=进一步分析有S1﹣S2=S2﹣S3=≥0，即S中最小为S3；再对②③④⑤逐一分析即可得答案．
【解答】解：∵xi，yi（i=1，2，3，4，5）均由2个和3个排列而成，
∴S=xiyi可能情况有三种：①S=2S有3种结果：S1=+++++3，
；②S=+2•+2；③S=4•+． S2=+•+•++，
，故①错误；
+﹣2||•||=≥0，
S3=•+•+•+•+∵S1﹣S2=S2﹣S3=∴S中最小为S3；
若⊥，则Smin=S3=+﹣2•≥，与||无关，故②正确；
，与||有关，故③错误；
＞﹣4||•||+＞﹣③若∥，则Smin=S3=4•+④若||＞4||，则Smin=S3=4||•||cosθ++=0，故④正确；
=8，
⑤若||=2||，Smin=S3=8||2cosθ+4∴2cosθ=1，∴θ=即与的夹角为，
．
综上所述，命题正确的是②④，
故答案为：②④．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答早答题卡上的指定区域．
16．（12分）（2014•安徽）设△ABC的内角为A、B、C所对边的长分别是a、b、c，且b=3，c=1，A=2B．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求sin（A+）的值．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，可得a=6cosB，再利用余弦定理，即可求a的值；
（Ⅱ）求出sinA，cosA，即可求sin（A+【解答】解：（Ⅰ）∵A=2B，∴a=6cosB，
）的值．
，b=3， ∴a=6∴a=2；
，
（Ⅱ）∵a=6cosB，
∴cosB=∴sinB=，
，
，cosA=cos2B=2cos2B﹣1=﹣，
（sinA+cosA）=．
∴sinA=sin2B=∴sin（A+
）=17．（12分）（2014•安徽）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．
（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；
（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．
【分析】（1）根据概率的乘法公式，求出对应的概率，即可得到结论．
（2）利用离散型随机变量分别求出对应的概率，即可求X的分布列；以及均值．
【解答】解：用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，Ak表示第k局甲获胜，Bk表示第k局乙获胜，
则P（Ak）=，P（Bk）=，k=1，2，3，4，5
（Ⅰ）P（A）=P（A1A2）+P（B1A2A3）+P（A1B2A3A4）=（）2+×（）2+××（）2=．
（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5．
P（X=2）=P（A1A2）+P（B1B2）=，
P（X=3）=P（B1A2A3）+P（A1B2B3）=，
P（X=4）=P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）=， P（X=5）=P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）=或者P（X=5）=1﹣P（X=2）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=故分布列为：
X
P
2
=，
，
3
4
5
E（X）=2×+3×+4×
+5×=．
18．（12分）（2014•安徽）设函数f（x）=1+（1+a）x﹣x2﹣x3，其中a＞0．
（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性；
（Ⅱ）当x∈[0，1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值．
【分析】（Ⅰ）利用导数判断函数的单调性即可；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在[0，1]时的单调性，得出取最值时的x的取值．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），f′（x）=1+a﹣2x﹣3x2，
由f′（x）=0，得x1=∴由f′（x）＜0得x＜由f′（x）＞0得故f（x）在（﹣∞，在（
，x2=，x＞＜x＜）和（）上单调递增；
；
，x1＜x2，
；
，+∞）单调递减，
，（Ⅱ）∵a＞0，∴x1＜0，x2＞0，∵x∈[0，1]，当时，即a≥4
①当a≥4时，x2≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，1]上单调递增，∴f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．
②当0＜a＜4时，x2＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，x2]单调递增，在[x2，1]上单调递减，
因此f（x）在x=x2=处取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a， ∴当0＜a＜1时，f（x）在x=1处取得最小值；
当a=1时，f（x）在x=0和x=1处取得最小值；
当1＜a＜4时，f（x）在x=0处取得最小值．
19．（13分）（2014•安徽）如图，已知两条抛物线E1：y2=2p1x（p1＞0）和E2：y2=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．
（Ⅰ）证明：A1B1∥A2B2；
（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．
【分析】（Ⅰ）由题意设出直线l1和l2的方程，然后分别和两抛物线联立求得交点坐标，得到的坐标，然后由向量共线得答案；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）可知△A1B1C1与△A2B2C2的三边平行，进一步得到两三角形相似，由相似三角形的面积比等于相似比的平方得答案．
【解答】（Ⅰ）证明：由题意可知，l1和l2的斜率存在且不为0，
设l1：y=k1x，l2：y=k2x．
联立，解得．
联立，解得． 联立，解得．
联立，解得．
∴，
．
，
∴A1B1∥A2B2；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知A1B1∥A2B2，
同（Ⅰ）可证B1C1∥B2C2，A1C1∥A2C2．
∴△A1B1C1∽△A2B2C2，
因此，
又，
∴．
故
．
20．（13分）（2014•安徽）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1A⊥底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，且AD=2BC，过A1、C、D三点的平面记为α，BB1与α的交点为Q．
（Ⅰ）证明：Q为BB1的中点；
（Ⅱ）求此四棱柱被平面α所分成上下两部分的体积之比；
（Ⅲ）若AA1=4，CD=2，梯形ABCD的面积为6，求平面α与底面ABCD所成二 面角的大小．
【分析】（Ⅰ）证明平面QBC∥平面A1D1DA，可得△QBC∽△A1AD，即可证明Q为BB1的中点；
（Ⅱ）设BC=a，则AD=2a，则ABCD===，VQ﹣=ahd，利用V棱柱=ahd，即可求出此四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积之比；
（Ⅲ）△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E，则DE⊥平面AEA1，DE⊥A1E，可得∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角，求出S△ADC=4，AE=4，可得tan∠AEA1==1，即可求平面α与底面ABCD所成二面角的大小．
【解答】（Ⅰ）证明：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，
∴平面QBC∥平面A1D1DA，
∴平面A1CD与面QBC、平面A1D1DA的交线平行，∴QC∥A1D
∴△QBC∽△A1AD，
∴=，
∴Q为BB1的中点；
（Ⅱ）解：连接QA，QD，设AA1=h，梯形ABCD的高为d，四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积为V1，V2，
设ABCD=BC=a，则AD=2a，∴=ahd，
==，VQ﹣∴V2=， ∵V棱柱=ahd，
∴V1=ahd，
；
∴四棱柱被平面α所分成上、下两部分的体积之比（Ⅲ）解：在△ADC中，作AE⊥DC，垂足为E，连接A1E，则DE⊥平面AEA1，∴DE⊥A1E，
∴∠AEA1为平面α与底面ABCD所成二面角的平面角，
∵BC∥AD，AD=2BC，
∴S△ADC=2S△ABC，
∵梯形ABCD的面积为6，DC=2，
∴S△ADC=4，AE=4，
∴tan∠AEA1=∴∠AEA1=，
．
=1，
∴平面α与底面ABCD所成二面角的大小为
21．（13分）（2014•安徽）设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*．
（Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；
（Ⅱ）数列{an}满足a1＞，an+1=an+an1﹣p．证明：an＞an+1＞．
【分析】第（Ⅰ）问中，可构造函数f（x）=（1+x）p﹣（1+px），求导数后利用函数的单调性求解；
对第（Ⅱ）问，从an+1着手，由an+1=an+an1﹣p，将求证式进行等价转 化后即可解决，用相同的方式将an＞an+1进行转换，设法利用已证结论证明．
p﹣p﹣1﹣p=p[【解答】证明：（Ⅰ）令（fx）=（1+x）（1+px），则f′（x）=p（1+x）（1+x）p﹣1﹣1]．
①当﹣1＜x＜0时，0＜1+x＜1，由p＞1知p﹣1＞0，∴（1+x）p﹣1＜（1+x）0=1，
∴（1+x）p﹣1﹣1＜0，即f′（x）＜0，
∴f（x）在（﹣1，0]上为减函数，
∴f（x）＞f（0）=（1+0）p﹣（1+p×0）=0，即（1+x）p﹣（1+px）＞0，
∴（1+x）p＞1+px．
②当x＞0时，有1+x＞1，得（1+x）p﹣1＞（1+x）0=1，
∴f′（x）＞0，
∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴f（x）＞f（0）=0，
∴（1+x）p＞1+px．
综合①、②知，当x＞﹣1且x≠0时，都有（1+x）p＞1+px，得证．
（Ⅱ）先证an+1＞．
∵an+1=an+an1﹣p，∴只需证an+an1﹣p＞，
将写成p﹣1个相加，上式左=，
当且仅当，即时，上式取“=”号，
当n=1时，由题设知，∴上式“=”号不成立，
∴an+an1﹣p＞，即an+1＞．
再证an＞an+1．
只需证an＞an+an1﹣p，化简、整理得anp＞c，只需证an＞c．
边 由前知an+1＞成立，即从数列{an}的第2项开始成立，
成立，
又n=1时，由题设知∴对n∈N*成立，∴an＞an+1．
，原不等式得证．
综上知，an＞an+1＞