中考数学模拟试卷
2023年10月28日发(作者：个人能力及自我评价范文)
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中考数学模拟卷子〔3〕
一、选择题〔共10小题，每题3分，总分值30分〕
1．以下各式不成立的是〔 〕
A．|﹣2|=2 B．|+2|=|﹣2| C．﹣|+2|=±|﹣2| D．﹣|﹣3|=+〔﹣3〕
2．以下各实数中，最小的是〔 〕
A．﹣π B．〔﹣1〕0 C． D．|﹣2|
3．如图，AB∥CD，∠C=32°，∠E=48°，则∠B的度数为〔 〕
A．120° B．128° C．110° D．100°
4．以下全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔 〕
A． B． C． D．
5．以下计算正确的选项是〔 〕
A．2a+3b=5ab B．〔a〕=a C．a•a=a D．〔a﹣b〕=a﹣b
2483262226．据报道，中国内地首次采纳“全无人驾驶〞的燕房线地铁有望年底完工，列车通车后将极大改善房山和燕山居民的出行条件，估计年输送乘客可达7300万人次，将7300用科学记数法表示应为〔 〕
A．73×102 B．7.3×103 C．0.73×104 D．7.3×102
7．如图是依据某班50名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，则这个班50名同学一周参加体育锻炼时间的众数与中位数分别为〔 〕
A．9，8 B．8，9 C．8，8.5 D．19，17
8．已知关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是〔 〕
A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0
9．如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，将AD边绕点A顺时针旋转，使点D恰好落在BC边上的D′处，则阴影局部的扇形面积为〔 〕
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A．π B． C． D．
10．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点E是边AC上一动点，过点E作EF∥BC，交AB边于点F，点D为BC上任一点，连接DE，DF．设EC的长为x，则△DEF的面积y关于x的函数关系大致为〔 〕
A． B． C． D．
二、填空题〔本大题共6小题，每题4分，共24分〕
11．正多边形的一个内角的度数恰好等于它的外角的度数的3倍，则这个多边形的边数为 ．
12．分式方程=的解为 ．
13．如图，自行车的链条每节长为2.5cm，每两节链条相连接局部重叠的圆的直径为0.8cm，如果某种型号的自行车链条共有60节，则这根链条没有安装时的总长度为 cm．
14．如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为 ．
15．如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，假设AB=6，那么DE= ．
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16．如图，已知S△ABC=8m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC= m2．
三、解答题〔一〕〔本大题共3小题，每题6分，共18分〕
17．解方程：x﹣2x﹣4=0．
18．先化简，再求值：﹣÷．其中x=．
219．如图，BD是矩形ABCD的一条对角线．
〔1〕作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F，垂足为点O〔要求用尺规作图，保存作图痕迹，不要求写作法〕
〔2〕在〔1〕中，连接BE和DF，求证：四边形DEBF是菱形．
四、解答题〔二〕〔本大题共3小题，每题7分，共21分〕
20．将分别标有数字1，2，3的三张卡片洗匀后，反面朝上放在桌上．
〔1〕随机抽取一张，求抽到奇数的概率；
〔2〕随机抽取一张作为十位上的数字〔不放回〕，再抽取一张作为个位上的数字，能组成哪些两位数？用树状图〔或列表法〕表示全部可能出现的结果．这个两位数恰好是4的倍数的概率是多少？
21．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．
〔1〕求证：①△ABG≌△AFG； ②BG=GC；
〔2〕求△FGC的面积．
22．“关注校车，关爱儿童〞成为今年全社会热议的焦点话题之一．某幼儿园方案购进一批校车．假设单独购置35座校车假设干辆，现有的需接送的儿童刚好坐满；假设单独购置55座校车，则可以少买一辆，. 优选文档
且余45个空座位．
〔1〕求该幼儿园现有的需接送儿童人数；
〔2〕已知35座校车的单价为每辆32万元，55座校车的单价为每辆40万元．依据购车资金不超过150万元的预算，学校决定同时购进这两种校车共4辆〔可以坐不满〕，请你计算本次购进小车的费用．
五、解答题〔三〕〔本大题共3小题，每题9分，共27分〕
23．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=〔x＞0〕的图象交于P〔n，2〕，与x轴交于A〔﹣4，0〕，与y轴交于C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．
〔1〕求一次函数、反比例函数的解析式；
〔2〕反比例函数图象有一点D，使得以B、C、P、D为顶点的四边形是菱形，求出点D的坐标．
24．⊙O的半径为5，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在直线AB上．
〔1〕如图〔1〕，已知∠BCD=∠BAC，求证：CD是⊙O的切线；
〔2〕如图〔2〕，CD与⊙O交于另一点E．BD：DE：EC=2：3：5，求圆心O到直线CD的距离；
〔3〕假设图〔2〕中的点D是直线AB上的动点，点D在运动过程中，会出现C，D，E在三点中，其中一点是其它两点连线的中点的情形，问这样的情况出现几次？
25．如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．
〔1〕求证：△DEC≌△EDA；
〔2〕求DF的值；
〔3〕如图2，假设P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其顶点Q落在线段AE上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．
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中考数学模拟卷子〔3〕
参考答案与真题解析
一、选择题〔共10小题，每题3分，总分值30分〕
1．以下各式不成立的是〔 〕
A．|﹣2|=2 B．|+2|=|﹣2| C．﹣|+2|=±|﹣2| D．﹣|﹣3|=+〔﹣3〕
【考点】绝对值．
【分析】分别依据绝对值的定义求出各选项的值即可．
【解答】解：A、正确，符合绝对值的定义；
B、正确，符合绝对值的定义；
C、错误，因为﹣|+2|=﹣2，±|﹣2|=±2；
D、正确，因为﹣|﹣3|=﹣3，+〔﹣3〕=﹣3．
应选C．
【点评】此题考查的是绝对值的定义，即一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
2．以下各实数中，最小的是〔 〕
A．﹣π B．〔﹣1〕0 C． D．|﹣2|
【考点】实数大小比拟；零指数幂．
【分析】首先求出每个选项中的数各是多少；然后依据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，推断出最小的实数是多少即可．
【解答】解：﹣π≈﹣3.14，〔﹣1〕=1，∵﹣3.14＜﹣1＜1＜2，
∴﹣∴各实数中，最小的是﹣π．
应选：A．
【点评】〔1〕此题主要考查了实数大小比拟的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
〔2〕此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：〔1〕a0=1〔a≠0〕；〔2〕00≠1．
〔3〕此题还考查了立方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0．
〔4〕此题还考查了绝对值的非负性的应用，要熟练掌握．
.
0，
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3．如图，AB∥CD，∠C=32°，∠E=48°，则∠B的度数为〔 〕
A．120° B．128° C．110° D．100°
【考点】平行线的性质．
【分析】依据三角形的内角和=180°，求出∠CDE=100°，由AB∥CD，同位角相等得到∠B的度数．
【解答】解：∵∠C=32°，∠E=48°，
∴∠CDE=100°，
∵AB∥CD，
∴∠B=∠CDE=100°．
应选D．
【点评】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
4．以下全国各地地铁标志图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是〔 〕
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】依据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
应选C．
【点评】此题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻觅对称轴，图形两局部沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻觅对称中心，旋转180度后与原图重合．
5．以下计算正确的选项是〔 〕
A．2a+3b=5ab B．〔a2〕4=a8 C．a3•a2=a6 D．〔a﹣b〕2=a2﹣b2
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法；完全平方公式．
【分析】依据同底数幂的乘法的性质，幂的乘方的性质，积的乘方的性质，合并同类项的法则，对各选项分析推断后利用排解法求解．
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【解答】解：A、2a与3b不是同类项，不能合并，故错误；
B、正确；
C、a3•a2=a5，故错误；
D、〔a﹣b〕=a﹣2ab+b，故错误；
应选：B．
【点评】此题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．
6．据报道，中国内地首次采纳“全无人驾驶〞的燕房线地铁有望年底完工，列车通车后将极大改善房山和燕山居民的出行条件，估计年输送乘客可达7300万人次，将7300用科学记数法表示应为〔 〕
A．73×102 B．7.3×103 C．0.73×104 D．7.3×102
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将7300用科学记数法表示为：7.3×10．
应选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
7．如图是依据某班50名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，则这个班50名同学一周参加体育锻炼时间的众数与中位数分别为〔 〕
3222
A．9，8 B．8，9 C．8，8.5 D．19，17
【考点】中位数；条形统计图；众数．
【专题】图表型．
【分析】解读统计图，猎取信息，依据定义求解．
【解答】解：数据8出现了19次，最多是8，8为众数；
在第25位、26位的均是9，所以9为中位数．
应选B．
【点评】此题属于根底题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．
一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项．注意中位数的时候肯定要先排. 优选文档
好顺序，然后再依据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则中间两位数的平均数．
8．已知关于x的一元二次方程mx+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是〔 〕
A．m＜﹣1 B．m＞1 C．m＜1且m≠0 D．m＞﹣1且m≠0
【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．
【分析】由关于x的一元二次方程mx+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，依据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得m≠0且△＞0，即22﹣4•m•〔﹣1〕＞0，两个不等式的公共解即为m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴m≠0且△＞0，即22﹣4•m•〔﹣1〕＞0，解得m＞﹣1，
∴m的取值范围为m＞﹣1且m≠0．
∴当m＞﹣1且m≠0时，关于x的一元二次方程mx2+2x﹣1=0有两个不相等的实数根．
应选D．
【点评】此题考查了一元二次方程ax+bx+c=0〔a≠0〕的根的判别式△=b﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＜0，方程有两个相等的实数根；当△=0，方程没有实数根；也考查了一元二次方程的定义．
9．如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，将AD边绕点A顺时针旋转，使点D恰好落在BC边上的D′处，则阴影局部的扇形面积为〔 〕
2222
A．π B． C． D．
【考点】扇形面积的计算；旋转的性质．
【分析】先依据图形旋转的性质得出AD′的长，再依据直角三角形的性质得出∠AD′B的度数，进而得出∠DAD′的度数，由扇形的面积公式即可得出结论．
【解答】解：∵线段AD′由线段AD旋转而成，AD=2，
∴AD′=AD=2．
∵AB=1，∠ABD=90°，
∴∠AD′B=30°．
∵AD∥BC，
∴∠DAD′=∠AD′B=30°，
∴S阴影=应选C．
.
=． 优选文档
【点评】此题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
10．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点E是边AC上一动点，过点E作EF∥BC，交AB边于点F，点D为BC上任一点，连接DE，DF．设EC的长为x，则△DEF的面积y关于x的函数关系大致为〔 〕
A． B． C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】推断出△AEF和△ABC相似，依据相似三角形对应边成比例列式求出EF，再依据三角形的面积列式表示出S与x的关系式，然后得到大致图象选择即可．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴即∴EF=∴S=×
，
，
•x=﹣x+4x=﹣〔x﹣3〕+6〔0＜x＜5〕，
22纵观各选项，只有D选项图象符合．
应选：D．
【点评】此题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的性质，求出S与x的函数关系式是解题的关键，也是此题的难点．
二、填空题〔本大题共6小题，每题4分，共24分〕
11．正多边形的一个内角的度数恰好等于它的外角的度数的3倍，则这个多边形的边数为 8 ．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】首先设正多边形的一个外角等于x°，由在正多边形中，一个内角的度数恰好等于它的外角的度数的3倍，即可得方程：x+3x=180，解此方程即可求得答案．
【解答】解：设正多边形的一个外角等于x°，
∵一个内角的度数恰好等于它的外角的度数的3倍，
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∴这个正多边形的一个内角为：3x°，
∴x+3x=180，
解得：x=45，
∴这个多边形的边数是：360°÷45°=8．
故答案为：8．
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用．
12．分式方程=的解为 x=3 ．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x+3=3x，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解，
故答案为：x=3
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的根本思想是“转化思想〞，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程肯定注意要验根．
13．如图，自行车的链条每节长为2.5cm，每两节链条相连接局部重叠的圆的直径为0.8cm，如果某种型号的自行车链条共有60节，则这根链条没有安装时的总长度为 102.8 cm．
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】依据已知可得两节链条的长度为：2.5×2﹣0.8，3节链条的长度为：2.5×3﹣0.8×2，以及60节链条的长度为：2.5×60﹣0.8×59，得出答案即可．
【解答】解：∵依据图形可得出：
两节链条的长度为：2.5×2﹣0.8，
3节链条的长度为：2.5×3﹣0.8×2，
4节链条的长度为：2.5×4﹣0.8×3，
∴60节链条的长度为：2.5×60﹣0.8×59=102.8cm．
故答案为：102.8．
【点评】此题主要考查了图形的变化类，依据题意得出60节链条的长度与每节长度之间的关系是解决问题的关键．
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14．如图，菱形ABCD的边长为15，sin∠BAC=，则对角线AC的长为 24 ．
【考点】菱形的性质；解直角三角形．
【分析】连接BD，交AC与点O，首先依据菱形的性质可知AC⊥BD，解三角形求出BO的长，利用勾股定理求出AO的长，即可求出AC的长．
【解答】解：连接BD，交AC与点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOB中，
∵AB=15，sin∠BAC=，
∴sin∠BAC=∴BO=9，
∴AB2=OB2+AO2，
∴AO=∴AC=2AO=24，
故答案为24．
==12，
=，
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形的知识，解答此题的关键是掌握菱形的对角线相互垂直平分，此题难度不大．
15．如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，假设AB=6，那么DE= 9 ．
【考点】位似变换．
【分析】由△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，可得AB：DE=2：3，接着可求得DE的长．
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【解答】解：△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，
∴AB：DE=2：3，
∵AB=6，
∴DE=AB=6×=9．
故答案为：9．
【点评】此题考查了位似图形的性质．此题比拟简单，注意掌握数形结合思想的应用．
16．如图，已知S△ABC=8m2，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC= 4 m2．
【考点】等腰三角形的判定与性质；三角形的面积．
【分析】延长BD交AC于点E，则可知△ABE为等腰三角形，则S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE，可得出S△ADC=S△ABC．
【解答】解：如图，延长BD交AC于点E，
∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，
∴∠BAD=∠EAD，∠ADB=∠ADE，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED〔ASA〕，
∴BD=DE，
∴S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE，
∴S△ABD+S△BDC=S△ADE+S△CDE=S△ADC，
∴S△ADC═S△ABC=×8=4〔m2〕，
故答案为：4．
【点评】此题主要考查等腰三角形的判定和性质，由BD=DE得到S△ABD=S△ADE，S△BDC=S△CDE是解题的关键．
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三、解答题〔一〕〔本大题共3小题，每题6分，共18分〕
17．解方程：x2﹣2x﹣4=0．
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【分析】在此题中，把常数项﹣4移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
【解答】解：由原方程移项，得
x﹣2x=4，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2﹣2x+1=5，
配方，得
〔x﹣1〕2=5，
∴x=1±∴x1=1+，
，x2=1﹣．
2【点评】此题考查了一元二次方程的解法﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：
〔1〕把常数项移到等号的右边；
〔2〕把二次项的系数化为1；
〔3〕等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
18．先化简，再求值：﹣÷．其中x=．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=当x=时，原式=﹣=﹣1．
•=﹣=，
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
19．如图，BD是矩形ABCD的一条对角线．
〔1〕作BD的垂直平分线EF，分别交AD，BC于点E，F，垂足为点O〔要求用尺规作图，保存作图痕迹，不要求写作法〕
〔2〕在〔1〕中，连接BE和DF，求证：四边形DEBF是菱形．
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【考点】作图—根本作图；菱形的判定；矩形的性质．
【分析】〔1〕分别以B、D为圆心，以大于BD的长为半径四弧交于两点，过两点作直线即可得到线段BD的垂直平分线；
〔2〕利用垂直平分线证得△DEO≌△BFO即可证得EO=FO，进而利用菱形的判定方法得出结论．
【解答】〔1〕解：如下图：EF即为所求；
〔2〕证明：如下图：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵EF垂直平分线段BD，
∴BO=DO，
在△DEO和三角形BFO中，
∵，
∴△DEO≌△BFO〔ASA〕，
∴EO=FO，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵EF⊥BD，
∴四边形DEBF是菱形．
【点评】此题考查了根本作图及全等三角形的判定与性质、菱形的判定等知识，正确掌握菱形的判定方法是解题关键．
四、解答题〔二〕〔本大题共3小题，每题7分，共21分〕
20．将分别标有数字1，2，3的三张卡片洗匀后，反面朝上放在桌上．
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〔1〕随机抽取一张，求抽到奇数的概率；
〔2〕随机抽取一张作为十位上的数字〔不放回〕，再抽取一张作为个位上的数字，能组成哪些两位数？用树状图〔或列表法〕表示全部可能出现的结果．这个两位数恰好是4的倍数的概率是多少？
【考点】列表法与树状图法．
【分析】〔1〕由将分别标有数字1，2，3的三张卡片洗匀后，反面朝上放在桌上，直接利用概率公式求解即可求得答案；
〔2〕首先依据题意画出树状图，然后由树状图求得全部等可能的结果与这个两位数恰好是4的倍数的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：〔1〕∵将分别标有数字1，2，3的三张卡片洗匀后，反面朝上放在桌上，
∴P〔抽到奇数〕=；
〔2〕画树状图得：
∴能组成的两位数是12，13，21，23，31，32．
∵共有6种等可能的结果，这个两位数恰好是4的倍数的有2种情况，
∴这个两位数恰好是4的倍数的概率为： =．
【点评】此题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出全部可能的结果，列表法合适于两步完成的事件，树状图法合适两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
21．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．
〔1〕求证：①△ABG≌△AFG； ②BG=GC；
〔2〕求△FGC的面积．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；翻折变换〔折叠问题〕．
【分析】〔1〕①依据折叠的性质可以得到∠B=∠AFG=90°，AB=AF，AG=AG，依据HL定理即可证明两三角形全等；
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②不妨设BG=FG=x，〔x＞0〕，则CG=6﹣x，EG=2+x，在Rt△CEG中，利用勾股定理即可列方程求得；
〔2〕依据三角形的面积公式可得：S△FGC=S△EGC，即可求解．
【解答】解：〔1〕证明：①在正方形ABCD中，AD=AB，∠D=∠B=∠C=90°，
又∵△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G
∴∠AFG=∠AFE=∠D=90°，AF=AD，
即有∠B=∠AFG=90°，AB=AF，AG=AG，
在直角△ABG和直角△AFG中，∴△ABG≌△AFG；
②∵AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，
∴DE=FE=2，CE=4，
不妨设BG=FG=x，〔x＞0〕，
则CG=6﹣x，EG=2+x，
在Rt△CEG中，〔2+x〕2=42+〔6﹣x〕2
解得x=3，于是BG=GC=3，
〔2〕∵∴=，
，
=，
． ∴S△FGC=S△EGC=××4×3=
【点评】此题考查了正方形的性质，以及图形的折叠的性质，三角形全等的证明，理解折叠的性质是关键．
22．“关注校车，关爱儿童〞成为今年全社会热议的焦点话题之一．某幼儿园方案购进一批校车．假设单独购置35座校车假设干辆，现有的需接送的儿童刚好坐满；假设单独购置55座校车，则可以少买一辆，且余45个空座位．
〔1〕求该幼儿园现有的需接送儿童人数；
〔2〕已知35座校车的单价为每辆32万元，55座校车的单价为每辆40万元．依据购车资金不超过150万元的预算，学校决定同时购进这两种校车共4辆〔可以坐不满〕，请你计算本次购进小车的费用．
【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．
【分析】〔1〕设单独购置35座客车需x辆．依据单独购置35座客车假设干辆，则刚好坐满和单独购置55座客车，则可以少购置一辆，且余45个空座位，分别表示出总人数，从而列方程求解；
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〔2〕设购置35座客车y辆，则购置55座客车〔4﹣y〕辆．依据不等关系：①两种车坐的总人数不小于175人；②购置资金不超过1500元．列不等式组分析求解．
【解答】解：〔1〕设单独租用35座客车需x辆．
由题意得：35x=55〔x﹣1〕﹣45，
解得：x=5．
∴35x=35×5=175〔人〕．
答：该校八年级参加社会实践活动的人数为175人．
〔2〕设租35座客车y辆，则租55座客车〔4﹣y〕辆．
由题意得：，
解这个不等式组，得1≤y≤2．
∵y取正整数，
∴y=2．
∴4﹣y=4﹣2=2．
∴购进小车的费用为：32×2+40×2=144〔万元〕．
答：本次购进小车的费用是144万元．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，到关键描述语，进而到所求的量的等量关系和不等关系．
五、解答题〔三〕〔本大题共3小题，每题9分，共27分〕
23．如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=〔x＞0〕的图象交于P〔n，2〕，与x轴交于A〔﹣4，0〕，与y轴交于C，PB⊥x轴于点B，且AC=BC．
〔1〕求一次函数、反比例函数的解析式；
〔2〕反比例函数图象有一点D，使得以B、C、P、D为顶点的四边形是菱形，求出点D的坐标．
【考点】反比例函数综合题．
【分析】〔1〕先依据题意得出P点坐标，再将A、P两点的坐标代入y=kx+b求出kb的值，故可得出一次函数的解析式，把点P〔4，2〕代入反比例函数y=即可得出m的值，进而得出结论；
〔2〕依据PB为菱形的对角线与PC为菱形的对角线两种情况进行商量即可．
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【解答】解：〔1〕∵AC=BC，CO⊥AB，A〔﹣4，0〕，
∴O为AB的中点，即OA=OB=4，
∴P〔4，2〕，B〔4，0〕，
将A〔﹣4，0〕与P〔4，2〕代入y=kx+b得：解得：k=，b=1，
∴一次函数解析式为y=x+1，
将P〔4，2〕代入反比例解析式得：m=8，即反比例解析式为y=．
〔2〕如下图，
当PB为菱形的对角线时，
∵四边形BCPD为菱形，
∴PB垂直且平分CD，
∵PB⊥x轴，P〔4，2〕，
∴点D〔8，1〕．
当PC为菱形的对角线时，PB∥CD，
此时点D在y轴上，不可能在反比例函数的图象上，故此种情形不存在．
综上所述，点D〔8，1〕．
，
【点评】此题考查的是反比例函数综合题，涉及到一次函数与反比例函数图象上点的坐标特点、菱形的判定与性质等知识，难度适中．
24．⊙O的半径为5，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在直线AB上．
〔1〕如图〔1〕，已知∠BCD=∠BAC，求证：CD是⊙O的切线；
〔2〕如图〔2〕，CD与⊙O交于另一点E．BD：DE：EC=2：3：5，求圆心O到直线CD的距离；
〔3〕假设图〔2〕中的点D是直线AB上的动点，点D在运动过程中，会出现C，D，E在三点中，其中一点是其它两点连线的中点的情形，问这样的情况出现几次？
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【考点】圆的综合题．
【分析】〔1〕连接OC，依据弦切角定理和圆的性质可得到∠BCD=∠BAC=∠OCA，结合圆周角定理可求得∠OCD=90°，可证明CD是切线；
〔2〕先证明△BCD∽△EAD，结合条件可求得BD=2，DE=3，EC=5，在△OBC中可求得O到CD的距离；
〔3〕分点D在⊙O外和点D在⊙O内两种情况，当D在⊙O外时又分D在A点左边和D在B点右边两种情况，当D在⊙O内时只有一种，结合图形可给出答案．
【解答】〔1〕证明：如图〔1〕，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠BCD=∠BAC=∠OCA，
∴∠BCD+∠OCB=90°，即OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
〔2〕解：∵∠ADE=∠CDB，∠BCD=∠EAD，
∴△BCD∽△EAD，
∴∴，
，
又∵BD：DE：EC=2：3：5，⊙O的半径为5，
∴BD=2，DE=3，EC=5，
如图〔2〕，连接OC、OE，则△OEC是等边三角形，
作OF⊥CE于F，则EF=CE=，∴OF=，
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∴圆心O到直线CD的距离是．
〔3〕解：这样的情形共有出现三次：
当点D在⊙O外时，点E是CD中点，有以下两种情形，如图1、图2；
当点D在⊙O内时，点D是CE中点，有以下一种情形，如图3．
【点评】此题主要考查切线的判定和性质及相似三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的性质等知识点的综合应用．在〔1〕中掌握好切线的两种证明方法，①有切点时连接圆心和切点证明垂直，②无切点时作垂直证明距离等于半径；在〔2〕中注意利用相似三角形的对应边成比例来求得线段的长度；在〔3〕中注意分类商量．此题难度适中，属于根底性的综合．
25．如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．
〔1〕求证：△DEC≌△EDA；
〔2〕求DF的值；
〔3〕如图2，假设P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其顶点Q落在线段AE上，定点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．
【考点】四边形综合题．
【专题】压轴题．
【分析】〔1〕由矩形和翻折的性质可知AD=CE，DC=EA，依据“SSS〞可求得△DEC≌△EDA；
〔2〕依据勾股定理即可求得．
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〔3〕由矩形PQMN的性质得PQ∥CA，所以后依据矩形的面积公式求得解析式，即可求得．
，从而求得PQ，由PN∥EG，得出=，求得PN，然【解答】〔1〕证明：由矩形和翻折的性质可知：AD=CE，DC=EA，
在△ADE与△CED中，
∴△DEC≌△EDA〔SSS〕；
〔2〕解：如图1，
∵∠ACD=∠BAC，∠BAC=∠CAE，
∴∠ACD=∠CAE，
∴AF=CF，
设DF=x，则AF=CF=4﹣x，
在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，
即32+x2=〔4﹣x〕2，
解得：x=，
即DF=．
〔3〕解：如图2，由矩形PQMN的性质得PQ∥CA
∴
=5
，即PQ=
又∵CE=3，AC=设PE=x〔0＜x＜3〕，则过E作EG⊥AC于G，则PN∥EG，
∴=
， 又∵在Rt△AEC中，EG•AC=AE•CE，解得EG=∴=，即PN=〔3﹣x〕，
设矩形PQMN的面积为S，
则S=PQ•PN=﹣x2+4x=﹣+3〔0＜x＜3〕
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所以当x=，即PE=时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为3．
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，平行线分线段成比例定理．
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