2023年中考数学模拟试卷(含解析)
2023年10月28日发(作者：父亲节贺卡祝福语大全(精选5篇))
克尔白是地球的中心吗-
2023年中考数学模拟试卷（含解析）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置上．1.下列实数中，最小的无理数的是（A.）C.π）C.1）D.﹣1D.﹣523B.12.计算a-aA.a2的结果是（B.﹣a3.下列图形中，属于轴对称图形的是（A.B.C.D.4.函数yx2的自变量x的取值范围是（x5B.x2且x5）C.x2D.x2且x5A.x55.已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC，按如图所示方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（）A35°.B.30°C.25°D.65°6.已知某商店有两个商品都卖了80元，其中一个盈利60%，另一个亏损20%，在这次买卖中，这家商店（）B.盈利10元C.亏损20元D.盈利20元A.亏损10元上一点，则∠EPF的7.如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是DF度数是（）A.65°B.60°C.58°D.50°8.如图，∠AOC＝60°，以O为原点，OC所在直线为x轴建立直角坐标系，函数y▱OABC的周长为7，kx（x＞0）的图像经过▱OABC的顶点A和BC的中点M，则k的值为（）A.43B.12C.3D.69.如图，直角三角形ACB中，两条直角边AC=8，BC=6，将△ACB绕着AC中点M旋转一定角度，得到△DFE，点F正好落在AB边上，DE和AB交于点G，则AG的长为（）A.1.4B.1.8C.1.2D.1.610.已知，矩形ABCD中，E为AB上一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作平行四边形EFGH，点G，H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（）3AE二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填写在答题卡相应位置上．11.2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一步．已知火星与地球的近距离约为5500万公里，数字55000000用科学记数法表示为_____．12.某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x，6，已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是_____．13.因式分解：2x3y2xy________________．14.如图，某人跳芭蕾舞，踮起脚尖时显得下半身比上半身更修长．若以裙子的腰节为分界点，身材比例正好符合黄金分割，已知从脚尖到头顶高度为176cm，那么裙子的腰节到脚尖的距离为______cm．（结果保留根号）15.如图是小明同学的健康码示意图，用黑白打印机打印在边长为2cm的正方形区域内，图中黑部分的总面积为2cm2，现在向正方形区域内随机掷点，点落入黑部分的概率为_____．16.如图，在平面直角坐标系中，将线段AB平移至线段CD的位置，连接AC、BD．若点B2,2的对0的对应点C的坐标是____________．应点为D1,2，则点A3,17.如图，正方形ABCD的边长为2，A为坐标原点，AB和AD分别在x轴、y轴上，点E是BC边的中点，过点A的直线ykx交线段DC于点F，连接EF，若FA平分DFE，则k的值为__________．18.如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，△QBP的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②cos∠ABE=中正确的结论是_______（填序号）．3229；③当0＜t≤5时，y=t2；④当t=秒时，ABE∽QBP；其554三、解答题：本大题共10小题，共76分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑墨水签字笔．19.计算：4cos458(2022)0．20.先化简再求值：x3xx2，其中x满足x2x80．2x1x2x1x74x221.求不等式组的整数解．52x154x22.如图，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．（1）求证：△ABE≌△CAF；（2）若CF＝5，BE＝2，求EF的长．23.第24届冬季奥林匹克运动会（简称“冬奥会”）于2022年2月4日在北京开幕，本届冬奥会设7个大项、15个分项、109个小项．某校组织了关于冬奥知识竞答活动，随机抽取了七年级若干名同学的成绩，并整理成如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图：分组频数4121660x7070x8080x9090x100请根据图表信息，解答下列问题：（1）本次知识竞答共抽取七年级同学的扇形圆心角的度数为名；在扇形统计图中，成绩在“90x100”这一组所对应；（2）请将频数分布直方图补充完整；（3）该校计划对此次竞答活动成绩最高的小颖同学：奖励两枚“2022•北京冬梦之约”的邮票．现有如图所示“2022•北京冬梦之约”的四枚邮票供小颖选择，依次记为A，B，C，D，背面完全相同．将这四枚邮票背面朝上，洗匀放好，小颖从中随机抽取一枚不放回，再从中随机抽取一枚．请用列表或画树状图的方法，求小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的概率．24.如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延长线上，且BC＝12cm．（1）当PA＝45cm时，求PC的长；（2）若∠AOC＝120°，求PC的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：2≈1.414，3≈1.732），B（0，1），交反比例函数y25.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（2，0）＝m（x＞0）的图象于点C（3，n），点E是反比例函数图象上的一动点，横坐标为t（0＜t＜3），EF∥yx轴交直线AB于点F，D是y轴上任意一点，连接DE、DF．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）当t为何值时，△DEF为等腰直角三角形．26.如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠A=2∠BDE，点C在AB的延长线上，∠C=∠ABD．（1）求证：CE是⊙O的切线：（2）连接BE，若⊙O的半径长为5，OF=3，求EF的长，27.我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．（1）如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形；（2）理解运用：如图2，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，以AB，AC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，连接EG．求证：△ABC与△AEG为偏等积三角形；（3）如图3，四边形ABED是一片绿花园，△ACB、△DCE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°（0＜∠BCE＜90°），已知BE＝60m，△ACD的面积为2100m2．计划修建一条经过点C的笔直的小路CF，F在BE边上，FC的延长线经过AD中点G．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价．28.如图，二次函数y＝﹣12x+bx+4的图象与x轴交于点A、B与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣8，0），6．P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）（1）b＝，点B的坐标是；（2）连接AC、BC，证明：∠CBA＝2∠CAB；（3）点D为AC的中点，点E是抛物线在第二象限图象上一动点，作DE，把点A沿直线DE翻折，点A的对称点为点G，点E运动时，当点G恰好落在直线BC上时，求E点的坐标．答案与解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置上．1.下列实数中，最小的无理数的是（A.）C.πD.﹣52B.1【答案】A【解析】【分析】先出无理数，再比较大小即可求解．【详解】选项中的无理数有2和π，∵2＜2＜3＜π，∴最小的无理数是2，故选：A．【点睛】本题考查了无理数的概念以及实数比较大小的知识，出选项中的无理数是解答本体的关键．2.计算a-a32的结果是（B.﹣a）C.1D.﹣1A.a【答案】A【解析】【分析】根据同底数幂的除法法则进行计算．【详解】解：原式＝a-a＝aa＝a，故选：A．【点睛】本题主要考查同底数幂的除法，熟练掌握运算方法是解题的关键．3.下列图形中，属于轴对称图形的是（）3232A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合；B、是轴对称图形，故本选项符合；C、不是轴对称图形，故本选项不符合；D、不是轴对称图形，故本选项不符合．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，识别轴对称图形的关键是寻对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．4.函数yA.x5【答案】D【解析】【分析】由分式与二次根式有意义的条件得函数自变量的取值范围．【详解】解：由题意得：x2的自变量x的取值范围是（x5B.x2且x5）C.x2D.x2且x5x20,x50解得：x2且x5.故选D．【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围，掌握分式与二次根式有意义的条件是解题的关键．5.已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC，按如图所示方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（）A.35°【答案】D【解析】B.30°C.25°D.65°【分析】由平行线的性质：两直线平行，内错角相等直接可得答案．【详解】解：∵m∥n，∴∠2＝∠ABC+∠1＝30°+35°＝65°．故选：D．【点睛】本题主要考查平行线的性质，准确判断角的位置关系是解题的关键．6.已知某商店有两个商品都卖了80元，其中一个盈利60%，另一个亏损20%，在这次买卖中，这家商店（A.亏损10元【答案】B【解析】【分析】设盈利60%的进价为x元，亏损20%的进价为y元，根据销售问题的数量关系建立方程求出其解B.盈利10元C.亏损20元D.盈利20元）即可．【详解】解：设盈利60%的进价为x元，亏损20%的进价为y元，由题意，得x（1+60%）=80，y（1-20%）=80，解得：x=50，y=100，∴成本为：50+100=150元．∵售价为：80×2=160元，利润为：160-150=10元．故选：B．【点睛】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，销售问题的数量关系利润=售价-进价的运用，解答时由销售问题的数量关系建立方程是关键．上一点，则∠EPF的7.如图，⊙O是等边△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点E，F，D，P是DF度数是（）A.65°【答案】B【解析】B.60°C.58°D.50°【分析】连接OE，OF．求出∠EOF的度数即可解决问题．【详解】解：如图，连接OE，OF．∵⊙O是△ABC的内切圆，E，F是切点，∴OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠OEB=∠OFB=90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，∴∠EOF=120°，∴∠EPF=2∠EOF=60°，故选：B．1【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．∠AOC＝60°，以O为原点，函数y8.如图，OC所在直线为x轴建立直角坐标系，▱OABC的周长为7，（x＞0）的图像经过▱OABC的顶点A和BC的中点M，则k的值为（）kxA.43【答案】C【解析】B.12C.3D.6【分析】作AD⊥x轴于D，MN⊥x轴于N，设OA=a，根据题意得到OC=7-a，解直角三角形表示出A、M2的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征得到关于a的方程，解得a，求得A的坐标，即可求得k的值．【详解】解：作AD⊥x轴于D，MN⊥x轴于N，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA=BC，AB=OC，OA∥BC，∴∠BCN=∠AOC=60°．设OA=a，由▱OABC的周长为7，∴OC=7-a，213a,ADa，22∵∠AOC=60°，OD13Aa,a，22∵M是BC的中点，BC=OA=a，∴CM=2a，又∠MCN=60°，113CNa,MNa，44∴ON=OC+CN=7173aaa，2424733Ma,a，244∵点A，M都在反比例函数yk的图象上，x13733aaaa，解得a=2，22244A(1,3)，k133．故选：C．【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的性质以及解直角三角形，解本题的关键是列出方程求出a的值．9.如图，直角三角形ACB中，两条直角边AC=8，BC=6，将△ACB绕着AC中点M旋转一定角度，得到△DFE，点F正好落在AB边上，DE和AB交于点G，则AG的长为（）A.1.4【答案】A【解析】B.1.8C.1.2D.1.6【分析】由勾股定理可求AB=10，由旋转的性质可得∠A=∠D，DM=AM，CM=MF，DE=AB=10，可得AM=MF=CM，可得∠AFC=90°，由锐角三角函数可求AF的长，由直角三角形的性质可求GF的长，即可求AG的长．【详解】解：如图，连接CF，∵AC=8，BC=6，∴AB=AC2BC28262=10，∵点M是AC中点，∴AM=MC=4，∵将△ACB绕着AC中点M旋转一定角度，得到△DFE，∴∠A=∠D，DM=AM，CM=MF，DE=AB=10，∴AM=MF=CM，∴∠MAF=∠MFA，∠MFC=∠MCF，∵∠MAF+∠MFA+∠MFC+∠MCF=180°，∴∠MFA+∠MFC=90°，∴∠AFC=90°，∵2×AB×CF=2×AC×BC，∴CF=1124，5∴AF=AC2CF282(24232)，55∵∠A=∠D，∠A=∠AFM，∴∠D=∠AFM，又∵∠DFE=90°，∴DG=GF，∠E=∠GFE，∴GF=GE，∴GF=GD=GE=5，∴AG=AF-GF=故选：A．732-5==1.4，55【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形内角和定理，求AF的长是本题的关键．10.已知，矩形ABCD中，E为AB上一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作平行四边形EFGH，点G，H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（）4AE【答案】C【解析】3AE【分析】设AB=a，BCb，BEc，BFx，由于四边形EFGH为平行四边形且四边形ABCD是矩形，所以△AEH△CGF，△BEF△DGH，根据SEFGHSABCD2S△AEHS△EBF，化简后得a2cxbc，F为BC上一动点，x是变量，a2c是x的系数，根据平SEFGH不会随点F的位置改变而改变，为固定值，x的系数为0，bc为固定值，a2c0，进而可得点E是AB的中点，即可进行判断．【详解】解：∵四边形EFGH为平行四边形且四边形ABCD是矩形，∴△AEH△CGF，△BEF△DGH，设AB=a，BCb，BEc，BFx，∴SEFGHSABCD2S△AEHS△EBF11ab2acbxcx22ababaxbccxcxababaxbccxcxa2cxbc∵F为BC上一动点，∴x是变量，a2c是x的系数，∵SEFGH不会随点F的位置改变而改变，为固定值，∴x的系数为0，bc为固定值，∴a2c0，∴a2c，∴E是AB的中点，∴AB2AE，故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，掌握矩形的性质是解决本题的关键．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填写在答题卡相应位置上．11.2021年5月15日，天问一号探测器成功着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一步．已知火星与地球的近距离约为5500万公里，数字55000000用科学记数法表示为_____．【答案】5.5107【解析】【分析】科学记数法的表现形式为a10n的形式，其中1a10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．【详解】解：550000005.5107故答案为：5.5107．【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．12.某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x，6，已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是_____．【答案】5【解析】【分析】先根据平均数的定义计算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，出最中间的数，即为中位数．【详解】∵某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x，6，已知这组数据的平均数是5，∴x=5×5﹣4﹣4﹣5﹣6=6，∴这一组数从小到大排列为：4，4，5，6，6，∴这组数据的中位数是5．故答案为：5．【点睛】本题考查了平均数和中位数，弄清题意，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．平均数为一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；将一组数据按从小到大顺序排列，处于最中间位置的一个位置的一个数据，或是最中间两个数据的平均数称为中位数．13.因式分解：2x3y2xy________________．【答案】2xyx1x1【解析】【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【详解】2x3y2xy2xy(x21)2xy(x1)(x1)，故答案为2xy(x1)(x1)．【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14.如图，某人跳芭蕾舞，踮起脚尖时显得下半身比上半身更修长．若以裙子的腰节为分界点，身材比例正好符合黄金分割，已知从脚尖到头顶高度为176cm，那么裙子的腰节到脚尖的距离为______cm．（结果保留根号）【答案】885-88##-88+885【解析】()()51即可解答．2【分析】根据黄金分割的黄金数得腰节到脚尖的距离：脚尖到头顶距离=【详解】解：设腰节到脚尖的距离为xcm，根据题意，得：x51，1762解得：x88588，∴腰节到脚尖的距离为（88588）cm，故答案为：88588．【点睛】本题考查黄金分割，熟知黄金分割和黄金数51=较长线段：全线段是解答的关键．215.如图是小明同学的健康码示意图，用黑白打印机打印在边长为2cm的正方形区域内，图中黑部分的总面积为2cm2，现在向正方形区域内随机掷点，点落入黑部分的概率为_____．【答案】【解析】【分析】用黑部分的总面积除以正方形的面积即可求得概率．【详解】解：∵正方形的面积为2×2=4cm2，黑部分的总面积为2cm2，∴向正方形区域内随机掷点，点落入黑部分的概率为1221，42故答案为：1．2【点睛】本题考查了几何概率，解决本题的关键是掌握概率公式．16.如图，在平面直角坐标系中，将线段AB平移至线段CD的位置，连接AC、BD．若点B2,2的对0的对应点C的坐标是____________．应点为D1,2，则点A3,4【答案】0，【解析】【分析】根据点B、D的坐标确定出平移规律，再根据平移规律解答即可．2的对应点为D1，2，【详解】解：∵点B2，∴平移规律为向右平移3个单位，向上平移4个单位，0的对应点C的坐标为0，4．∴点A3，4．故答案为：0，【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．17.如图，正方形ABCD的边长为2，A为坐标原点，AB和AD分别在x轴、y轴上，点E是BC边的中点，过点A的直线ykx交线段DC于点F，连接EF，若FA平分DFE，则k的值为__________．【答案】1或3【解析】【分析】分两种情况：①当点F在DC之间时，作出辅助线，求出点F的坐标即可求出k的值；②当点F与点C重合时求出点F的坐标即可求出k的值．【详解】解：①如图，作AG⊥EF交EF于点G，连接AE,∵AF平分∠DFE,∴DA=AG=2,在Rt△ADF和Rt△AGF中，DAAGAFAF∴Rt△ADF≌Rt△AGF(HL)∴DF=FG,∴点E是BC边的中点，∴BE=CE=1,AEAB2BE25GEAE2AG21∵在Rt△FCE中，EF2=FC2+CE2，即(DF+1)2=(2-DF)2+1，解得：DF=∴点F(2，32，2)32k，解得k=33把点F的坐标代入ykx得：2=②当点F与点C重合时，∵四边形ABCD是正方形，∴AF平分∠DFE∴F(2，2)把点F的坐标代入ykx得：2=2k，解得k=1故答案为：1或3【点睛】本题主要考查了一次函数综合题，涉及角平分线的性质，三角形全等的判定及性质，正方形的性质定理，及勾股定理，解题的关键是分两种情况求出k.．18.如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同发t秒时，△QBP的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD=BE=5；②cos∠ABE=正确的结论是_______（填序号）．3229；③当0＜t≤5时，y=t2；④当t=秒时，ABE∽QBP；其中554【答案】①③④【解析】【详解】根据图（2）可得，当点P到达点E时点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，∴BC=BE=5，∴AD=BE=5，故①小题正确；又∵从M到N的变化是2，∴ED=2，∴AE=AD﹣ED=5﹣2=3，在Rt△ABE中，AB=BE2AE25232=4，∴cos∠ABE=AB4=，故②小题错误；BE5过点P作PF⊥BC于点F，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠PBF，∴sin∠PBF=sin∠AEB=AB4=，BE5∴PF=PBsin∠PBF=4t，51∴当0＜t≤5时，y=2BQ•PF=2t•当t=1422t=t，故③小题正确；551292929秒时，点P在CD上，此时，PD=﹣BE﹣ED=﹣5﹣2=，4444115=，44PQ=CD﹣PD=4﹣AB4BQ54，∴AE3PQ153，4∴ABBQ=，AEPQ又∵∠A=∠Q=90°，∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．综上所述，正确的有①③④．三、解答题：本大题共10小题，共76分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑墨水签字笔．19.计算：4cos458(2022)0．【答案】1【解析】【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂，二次根式的化简，然后根据实数的计算法则求解即可．【详解】解：4cos458(2022)0422212222211【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，零指数幂，二次根式的化简，实数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．20.先化简再求值：x【答案】x2x；8【解析】【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将x2x80变形为x2x8，即可得出值．【详解】解：x3xx2，其中x满足x2x80．2x1x2x13xx2x1x22x12骣x2+x3x÷(x+1)ç÷=ç-´÷ç桫x+1x+1÷x-2x(x-2)(x+1)=´x+1x-22x2x，∵x2x80，∴x2x8，即原式的值为8．【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟悉掌握分式混合运算法则是解题的关键．21.求不等式组x74x2的整数解．52x154x【答案】3x5【解析】【分析】分别求出每个不等式的解集，出两个解集的公共部分可得不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解即可．x74x2①【详解】52x154x②解不等式①得：x3，解不等式②得：x5，∴不等式组的解集为：3x5．∴不等式组的整数解为：-2，-1，0，1，2，3，4，【点睛】本题考查解一元一次不等式组，正确得出两个不等式的解集是解题关键．22.如图，∠BAC＝90°，AB＝AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．（1）求证：△ABE≌△CAF；（2）若CF＝5，BE＝2，求EF的长．【答案】（1）见解析【解析】【分析】（1）由BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F得∠AEB=∠CFA=90°，而∠BAC=90°，根据同角的余角相等可证明∠B=∠FAC，还有AB=CA，即可证明△ABE≌△CAF；（2）由△ABE≌△CAF，根据全等三角形的性质即可求解．【小问1详解】证明：∵BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，∴∠AEB=∠CFA=90°，∵∠BAC=90°，∴∠B=∠FAC=90°-∠BAE，（2）EF的长为3．在△ABE和△CAF中，AEBCFABFAC，ABCA∴△ABE≌△CAF（AAS）；【小问2详解】解：∵△ABE≌△CAF，CF=5，BE=2，∴AF=BE=2，AE=CF=5，∴EF=AE-AF=5-2=3，∴EF的长为3．【点睛】此题考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确理解与运用全等三角形的判定定理是解题的关键．23.第24届冬季奥林匹克运动会（简称“冬奥会”）于2022年2月4日在北京开幕，本届冬奥会设7个大项、15个分项、109个小项．某校组织了关于冬奥知识竞答活动，随机抽取了七年级若干名同学的成绩，并整理成如下不完整的频数分布表、频数分布直方图和扇形统计图：分组频数4121660x7070x8080x9090x100请根据图表信息，解答下列问题：（1）本次知识竞答共抽取七年级同学扇形圆心角的度数为名；在扇形统计图中，成绩在“90x100”这一组所对应的；（2）请将频数分布直方图补充完整；（3）该校计划对此次竞答活动成绩最高的小颖同学：奖励两枚“2022•北京冬梦之约”的邮票．现有如图所示“2022•北京冬梦之约”的四枚邮票供小颖选择，依次记为A，B，C，D，背面完全相同．将这四枚邮票背面朝上，洗匀放好，小颖从中随机抽取一枚不放回，再从中随机抽取一枚．请用列表或画树状图的方法，求小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的概率．【答案】（1）40，72（2）见解析【解析】【分析】（1）由成绩在“70＜x≤80”的人数除以所占百分比得出本次知识竞答共抽取七年级同学的人数，即可解决问题；（2）根据成绩在“90＜x≤100”这一组的人数，补全数分布直方图即可解决问题；（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的结果有2种，再由概率公式求解即可．【小问1详解】解：本次知识竞答共抽取七年级同学为：12÷30%=40（名），则在扇形统计图中，成绩在“90＜x≤100”这一组的人数为：40-4-12-16=8（名），在扇形统计图中，成绩在“90＜x≤100”这一组所对应的扇形圆心角的度数为：360°×故答案为：40，72；【小问2详解】解：将频数分布直方图补充完整如下：8=72°，40（3）小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的概率为1．6【小问3详解】解：画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的结果有2种，∴小颖同学抽到的两枚邮票恰好是B（冰墩墩）和C（雪容融）的概率为21．126【点睛】此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表、频数分布直方图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24.如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延长线上，且BC＝12cm．（1）当PA＝45cm时，求PC的长；（2）若∠AOC＝120°，求PC的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：2≈1.414，3≈1.732）【答案】（1）27cm【解析】【分析】（1）连接PO，利用垂直平分线的性质得出PA=PO，然后利用勾股定理即可求出PC；（2）过D点作DE⊥OC于E点，过D点作DF⊥PC于F点，根据矩形的性质可知DE=FC，DF=EC，分别在在Rt△DOE和Rt△PDF中利用勾股定理以及锐角三角函数即可求出DE、EO，进而求出PF，即可得解．【小问1详解】连接PO，如图，（2）34.6cm∵点D为AO中点，且PD⊥AO，∴PD是AO的垂直平分线，∴PA=PO=45cm，∵BO=24cm，BC=12cm，∠C=90°，∴OC=OB+BC=36(cm)，∴在Rt△POC中，PC即PC长为27cm；PO2OC245236227(cm)，【小问2详解】过D点作DE⊥OC于E点，过D点作DF⊥PC于F点，如图，∵PC⊥OC，∴四边形DECF是矩形，即FC=DE，DF=EC，在Rt△DOE中，∠DOE=180°-∠AOC=180°-120°=60°，∵DO=AD=2AO=12(cm)，∴DE=DO·sinDOE=DO·sin60=63(cm)，EO=2DO=6(cm)，∴FC=DE=63cm，DF=EC=EO+OB+BC=6+24+12=42(cm)，∵∠FDO=∠DOE=60°，∠PDO=90°，∴∠PDF=90°-60°=30°，在Rt△PDF中，PF=DF·tanPDF42tan30o42∴PC=PF+FC=14363203(cm)，∴PC203cm34.6cm，即PC的长度为34.6cm．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的判定与性质、锐角三角函数等知识，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．25.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（2，0），B（0，1），交反比例函数y＝113143(cm)，3m（x＞0）的图象于点C（3，n），点E是反比例函数图象上的一动点，横坐标为t（0＜t＜3），EF∥yx轴交直线AB于点F，D是y轴上任意一点，连接DE、DF．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）当t为何值时，△DEF为等腰直角三角形．【答案】（1）一次函数表达式为y（2）t1或【解析】13x1，反比例函数表达式为y22x1103【分析】(1)先用待定系数法求出一次函数的解析式，则可求出C点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数式即可；(2)分三种情况讨论，即①当∠FDE为直角时，则△DEF为等腰直角三角形，根据DHHEHF建立方程；②当EFD90时，根据EFFD建立方程；③当∠FED为直角时，和∠FDE为直角时得到的等式相同；结合t的范围，分别求出方程的解，即可解决问题．【小问1详解】1EF22ab0解：由题意得：，b11a解得2，b1∴y1x1，21131，22∵C点在一次函数图象上，∴n1C3，∴，2∴mxy3∴y31，223；2x3，2t【小问2详解】由题意得：yE1yFt1，2∴EFyFyE13t1，22t①如图，当FDED时，过D作DHEF，∵EDF是等腰直角三角形，∴EF2DH，∴13t12t，22t3，5整理得：5t22t30，解得：t1或-∵0t3，∴t1；②如图，当EFD90时，EFFD，∴13t1t，22t整理得：3t22t30，解得：t110110或，33∵0t3，∴t110；3③如图，当FED90时，EFED，∵等式同②，∴t110；3110时，DEF为等腰直角三角形．3综上所述，当t1或【点睛】本题主要考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的性质、待定系数法求函数表达式等知识点，解题的关键是要注意分类求解，避免有所遗漏．26.如图，AB是⊙O的直径，点D，E在⊙O上，∠A=2∠BDE，点C在AB的延长线上，∠C=∠ABD．（1）求证：CE是⊙O的切线：（2）连接BE，若⊙O的半径长为5，OF=3，求EF的长，【答案】（1）见解析；（2）10；【解析】【分析】（1）根据圆周角定理和相似三角形的判定和性质即可证明；（2）连接OE，BE，AE，根据圆周角定理和等腰三角形的性质求得∠DFC=∠CBE，从而可得∠EFB=∠EBF，于是EF=BE，再由OB=OE，可证△OBE∽△EBF，即可解答；【小问1详解】证明：如图，连接OE，AB是圆的直径，则∠ABD=90°，△DAB和△EOC中，∠DAB=2∠BDE=∠EOB，∠ABD=∠OCE，∴△DAB∽△EOC，∴∠ABD=∠OEC=90°，∴CE是圆的切线；【小问2详解】解：如图，连接OE，BE，AE，AB是圆的直径，则∠AEB=90°，∵∠OEC=90°，∴∠AEO=∠BEC，∵OA=OE，∴∠OEA=∠OAE，∴∠BEC=∠BAE=∠BDE，∵∠ABD=∠C，∴∠DFC=∠CBE，∴180°-∠DFC=180°-∠CBE，即∠EFB=∠EBF，∴EF=BE，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB=∠EFB，∴△OBE∽△EBF，∴∴EF=BE=10；【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质；根据相关性质寻角的等量关系是解题关键．27.我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．OBBE，∴BE=5210，BEBF（1）如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形；（2）理解运用：如图2，已知△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，以AB，AC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG，连接EG．求证：△ABC与△AEG为偏等积三角形；（3）如图3，四边形ABED是一片绿花园，△ACB、△DCE是等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°（0＜∠BCE＜90°），已知BE＝60m，△ACD的面积为2100m2．计划修建一条经过点C的笔直的小路CF，F在BE边上，FC的延长线经过AD中点G．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价．【答案】（1）见解析；（2）见解析；【解析】【分析】（1）如图1，作ABC的中线AE，AEC与ABE的面积相等（作中线BF也可以）;（2）如图2，过点E作EHGA交GA的延长线于H．证明AHEACB(AAS)，推出EHBC可得结论;（3）首先，过A作AM⊥DC于M，过B作BNCE于N，证ACMBCN(AAS)，得AMBN，则SACDSBCE2100m2；其次，过点A作AN//CD，交CG的延长线于N，证得AGNDGC(AAS)，得到ANCD，再证ACNCBE(SAS)，得ACNCBE，由余角的性质可证CFBE，然后由三角形面积得SBCE【小问1详解】如图1中，作ABC的中线AE，AEC与ABE的面积相等（作中线BF也可以）;1BECF，求出CF70(m)，即可求解．2（3）42000元.【小问2详解】证明：如图，过点E作EHGA交GA的延长线于H;四边形ABDE，四边形ACFG都是正方形，AEAB，ACAG，EABCAGHAC90，EAHBAC，HACB90，AHEACB(AAS)，EHBC，SABC11ACBC，SEAGAGEH，22SABCSEAG，ABC与AEG为偏等积三角形;【小问3详解】首先，过A作AM⊥DC于M，过B作BNCE于N，如图所示，则AMCBNC90，ACB、DCE是等腰直角三角形，ACBDCE90，ACBC，CDCE，BCNACD360ACBDCE3609090180，ACMACD180，ACMBCN，在ACM和BCN中，AMCBNC，ACMBCN，ACBC，ACMBCN(AAS)，AMBN，11SACDCDAM，SBCECEBN，22SACDSBCE2100m2，其次，如图，过点A作AN//CD，交CG的延长线于N，则NGCD，G点为AD的中点，AGGD，在AGN和DGC中，NGCD，AGNDGC，AGDG，AGNDGC(AAS)，ANCD，CDCE，ANCE，AN//CD，CANACD180，QACBDCE90，ACDBCE3609090180，BCECAN，在ACN和CBE中，ANCE，CANBCE，ACCB，ACNCBE(SAS)，ACNCBE，ACNBCF1809090，CBEBCF90，BFC90，CFBE，SBCECF1BECF，SBCESACD2100，22SBCE2210070(m)，BE60修建小路CF的总造价为：6007042000（元)．【点睛】本题是三角形综合题目，考查了新定义“偏等积三角形”的定义、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握“偏等积三角形”的定义，证明ACMBCN和ACNCBE是解题的关键，属于中考常考题型．28.如图，二次函数y＝﹣12，x+bx+4的图象与x轴交于点A、B与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣8，0）6P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）．（1）b＝，点B的坐标是；（2）连接AC、BC，证明：∠CBA＝2∠CAB；（3）点D为AC的中点，点E是抛物线在第二象限图象上一动点，作DE，把点A沿直线DE翻折，点A的对称点为点G，点E运动时，当点G恰好落在直线BC上时，求E点的坐标．【答案】（1）;3,0.（3）E56（2）见解析．【解析】3185162185,.23【分析】（1）根据二次函数图象与坐标轴交点性质可得答案．（2）在x轴上出点B的对称点B，由点B，点C的坐标，可求出BC的长，由点A的坐标，得出AB的长，从而得出ABBCBC5,由等腰三角形的性质即可得出结果．（3）当点G恰好落在BC上时，由对称性可知：AD=DG=CD，所以A，C，G三点在以D为圆心，AC为直径的圆上，连接AG，所以AGC90，从而可知ED/BC，求出直线BC的解析式，从而可求出ED的解析式，联立直线DE的解析式与抛物线的解析式即可求出点E的坐标．【小问1详解】∵点A8,0在二次函数y＝﹣12x+bx+4的图象上，61648b40,65b,615yx2x4,66当y0时，y125xx40,66x18,x23,∴点B的坐标为3,0.故答案为：;3,0.【小问2详解】如图1，作点B关于y轴对称的点B，连接CB56CBCB,CBACBO,∵x0时，y125xx44,66C0,4,OC4,令y0,即125xx40,66x18,x23,B3,0,OB3,BCBC5,OA8,ABBCBC5,CAOCBA,CBO2CAB,CBA2CAB.【小问3详解】如图2所示：连接AG交直线DE于点F，连接DG，∵当点G恰好落在直线BC上时，由对称性可知，DADG,∵点D为AC的中点，DADC,DADCDG,∴点A，C，G三点共圆，即在以点D为圆心，直径为AC的圆上，AGC90,∵直线DE垂直平分AG，DFG90,DEBC,设直线BC的解析式为：ykxb,把点C0,4,B3,0代入ykxb,b43kb0b44k3∴直线BC的解析式为：y4x4,34xm,3∴可设直线DE的解析式为：yA8,0,C0,4,点D为线段AC的中点，D4,0,把D4,0代入y4xm中，3m10,3∴直线DE的解析式为：y把直线DE和抛物线联立，得410x,33410yx33y1x25x466∴解得x3185,2∵点E是抛物线在第二象限图象上一个动点，x3185,23185162185E,.23【点睛】此题考查的是二次函数的综合题目，涉及知识点有二次函数的有关性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，抛物线与坐标轴交点问题，圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解决此题关键．