高中数学人教B版必修第二册《5.3.5 随机事件的独立性》练习题(1)
2023年10月28日发(作者：)
苏秦和张仪哪个在前-
人教B版必修第二册《5.3.5 随机事件的独立性》练习题(1)
一、单选题（本大题共7小题，共35.0分）
1. 在下列结论中，正确的是( )
A.
若A与B是两互斥事件，则𝐴+𝐵是必然事件．
B.
若A与B是对立事件，则𝐴+𝐵是必然事件．
C.
若A与B是互斥事件，则𝐴+𝐵是不可能事件．
D.
若A与B是对立事件，则𝐴+𝐵不可能是必然事件．
2. 在[−8,8]上任取一个实数a，则函数𝑓(𝑥)=𝑥2−6|𝑥|+5−𝑎在[−7,7]上恰有4个零点的概率为( )
A.
16
3.
3B.
2
1C.
16
9D.
4
3将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的概率是( )
A.
8
4.
1B.
6
1C.
4
和1D.
2
，甲、乙两人各射击一次，目标被命中1甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为的概率为：
A.
5.
B.
C.
9D.
某商场在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的概率是20，连续两天顾客量超过1万人次的概率是20，已知商场在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次，则随后一天的接纳顾客量超过1万人次概率是( )
7A.
10
6.
7B.
10
9C.
5
4D.
9
7某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是
A.
恰有1名男生与恰有2名女生
C.
至少有1名男生与至少有1名女生
B.
至少有1名男生与全是男生
D.
至少有1名男生与全是女生 7. 某大学毕业生参加2013年教师资格考试，他必须先参加四场不同科目的计算机考试并全部过关(若仅有一科不过关则该科有一次补考的机会)，然后才能参加教育学考试，过关后就可以获得教师资格，该大学毕业生参加每场考试过关的概率均为2，每场考试费用为100元，则他花掉500元考试费的概率是( )
1A.
16
3B.
32
3C.
32
5D.
16
1二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）
8. 已知甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是至少有一人达标的概率是
．
9. 一种报警器的可靠性为90%，那么将这两只这样的报警器并联后能将可靠性提高到______
．
、、，则三人中10.
通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
爱好
不爱好
总计
男
40
20
60
女
20
30
50
总计
60
50
110
为了判断爱好该项运动是否与性别有关，由表中的数据此算得
，因为那么这种判断出错的可能性为
11. 已知A，B是相互独立事件，且𝑃(𝐴)=4，𝑃(𝐵)=3，则𝑃(𝐴𝐵)=______．
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）
12. 有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件．求：⑴第一次抽到次品的概率；⑴第一次和第二次都抽到次品的概率；⑴在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．
13. 某学校为了解本校学生的身体素质情况，决定在全校的1000名男生和800名女生中按分层抽样的方法抽取45名学生对他们课余参加体育锻炼时间进行问卷调查，将学生课余参加体育锻炼时A类(课余参加体育锻炼且平均每周参加体育锻炼的时间超过3小时)，B类(课间的情况分三类：余参加体育锻炼但平均每周参加体育锻炼的时间不超过3小时)，C类(课余不参加体育锻炼)，调查结果如表：
12，所以判定爱好该项运动与性别有关，
男生
女生
A类
18
10
B类
x
8
C类
3
y
(1)求出表中x、y的值；
(2)根据表格统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为课余参加体育锻炼且平均每周参加体育锻炼的时间超过3小时与性别有关；
A类
B类和C类
总计
男生
女生
总计
(3)在抽取的样本中，从课余不参加体育锻炼学生中随机选取三人进一步了解情况，求选取三人中男女都有且男生比女生多的概率．
附：𝐾2=(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)
𝑃(𝐾2≥𝑘0)
𝑘0
14. 甲乙两队参加听歌猜歌名游戏，每队3人．随机播放一首歌曲，参赛者开始抢答，每人只有一次抢答机会(每人抢答机会均等)，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为3，乙队中3人答对的概率分别为3，3，2，且各人回答正确与否相互之间没有影响．
(1)若比赛前随机从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，求抽到的两名选手在同一个队的概率；
(2)用𝜉表示甲队的总得分，求随机变量𝜉的分布列和数学期望；
(3)求两队得分之和大于4的概率．
2211𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)20.10
2.706
0.05
3.841
0.01
6.635
15.
甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的．
(1)已知甲船上有男女乘客各3名，现从中任选3人出来做某件事情，求所选出的人中恰有一位女乘客的概率；
(2)如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．
16.
某电视台的一个智力游戏节目中，有一道将中国四大名著《三国演义》、《水浒传》、《西游记》、《红楼梦》与它们的作者连线的题目，每本名著只能与一名作者连线，每名作者也只能与一本名著连线，每连对一个得2分，连错得−1分，某观众只知道《三国演义》的作者是罗贯中，其它不知道随意连线，将他的得分记作𝜉．
(1)求该观众得分𝜉为负数的概率；
(2)求𝜉的分布列及数学期望．
【答案与解析】
1.答案：B
解析：
本题正确理解必然事件、互斥事件的定义与对立事件的定义及其关系是解题的关键，属于中档题．
B互为对立事件．𝐴∪𝐵为必然事件，解：由对立事件的定义可知：若𝐴∩𝐵为不可能事件，则事件A，可知B正确．
故选B．
2.答案：C
𝑥2−6𝑥+5,𝑥≥0解析：解：设𝑔(𝑥)=𝑥2−6|𝑥|+5={2，
𝑥+6𝑥+5,𝑥<0∴𝑔(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑔(3)=−4，𝑔(0)=5，𝑔(7)=2，
∵函数𝑓(𝑥)=𝑥2−6|𝑥|+5−𝑎在[−7,7]上恰有4个零点，
∴−4<𝑎<5，
∴在[−8,8]上任取一个实数a，则函数𝑓(𝑥)=𝑥2−6|𝑥|+5−𝑎在[−7,7]上恰有4个零点的概率为：
𝑝=8−(−8)=16．
故选：C．
𝑔(0)=5，𝑔(7)=2，设𝑔(𝑥)=𝑥2−6|𝑥|+5，求出𝑔(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑔(3)=−4，由函数𝑓(𝑥)=𝑥2−6|𝑥|+5−𝑎在[−7,7]上恰有4个零点，得−4<𝑎<5，由此能求出在[−8,8]上任取一个实数a，则函数𝑓(𝑥)=𝑥2−6|𝑥|+5−𝑎在[−7,7]上恰有4个零点的概率．
本题考查概率的求法，考查函数性质、零点、几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
5−(−4)93.答案：B
解析：解：将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，
这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，
再随机摸出一球，基本事件总数𝑛=4×3=12，
11两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”包含的基本事件个数𝑚=𝐶2𝐶1=2， ∴两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的概率是𝑝=故选：B．
𝑚𝑛=12=6．
21先求出基本事件总数𝑛=4×3=12，再求出两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”包含的基本事件个11数𝑚=𝐶2𝐶1=2，由此能求出两次摸出的球上的汉字组成“孔孟”的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.答案：A
解析：试题分析：目标被命中包括恰好被命中一次，恰好被命中两次，再依据结论，即可；由于目标被命中包括恰好被命中一次，恰好被命中两次，则其概率为考点：互斥事件
点评：主要是考查了互斥事件的概率的加法公式的运用，属于基础题。
5.答案：D
解析：解：设第一天的接纳顾客量超过1万人次的事件为A，第二天接纳顾客量超过1万人次为B，
由𝑃(𝐴)=20，𝑃(𝐴𝐵)=20，
则𝑃(𝐵丨𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴)97=，
977∴随后一天的接纳顾客量超过1万人次概率是9，
故选D．
方法二：设随后一天的接纳顾客量超过1万人次概率为p，则由题意可得20×𝑝=20，
解得𝑝=9，
故选：D．
由𝑃(𝐴)=20，𝑃(𝐴𝐵)=20，根据条件概率概率公式，即可求得答案．
本题考查条件的概率公式，考查计算能力，属于基础题．
977976.答案：A
解析：试题分析：互斥事件是二者一个发生了另一个就不能发生。对立事件是二者互斥并且二者必有一个发生。据此可知，互斥不对立的两个事件是“恰有1名男生与恰有2名女生”，选A。
考点：本题主要考查互斥事件、对立事件的概念。
点评：简单题，互斥事件是二者一个发生了另一个就不能发生。对立事件是二者互斥并且二者必有一个发生。 7.答案：A
解析：解：若他四科计算机考试全部通过，并参加了教育考试，则他一定花费500元，
概率为2×2×2×2=16．
若他四科计算机考试有一科补考，且补考也没有通过，则他一定花费500元，
1⋅()3⋅(1−)=． 概率为𝐶42228111111111综上，他16+8=16，
故选：A．
若他四科计算机考试全部通过，并参加了教育考试，则他一定花费500元，求得此时的概率．若他四科计算机考试有一科补考，且补考也没有通过，则他一定花费500元，求得此时的概率，再把这2个概率相加，即得所求．
本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望，同时考查了计算能力，属于中档题．
1138.答案：0.96
解析：试题分析：“三人中至少有一人达标”的反面为“三人中，没有一人达标”，记人中，没有一人达标”，则根据相互独立事件的概率乘法公式可得，所以“三人中至少有一人达标”这一事件的概率为．
事件为“三考点：1.相互独立事件的概率计算；2.对立事件．
9.答案：0.99
解析：
本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，所求的事件与它的对立事件概率间的关系，属于中档题．
两个报警器都不可靠的概率为(1−90%)(1−90%)=0.01，故两个报警器至少一个可靠的概率1−0.1=0.99，从而得到答案．
解：两个报警器都不可靠的概率为(1−90%)(1−90%)=0.01，
故两个报警器至少一个可靠的概率1−0.1=0.99，
故将这两只这样的报警器并联后能将可靠性提高到，0.99，
故答案为0.99．
10.答案：0.01 解析：试题分析：本题考查独立性检验的问题。越大，爱好该项运动越与性别有关。由已知得，
>6.635，错。所以可以看出犯错的可能性为0.01．
考点：独立重复试验某事件发生的概率
。
p是判断两者有关会错的概率，概率越小说明越不会11.答案：12
解析：
本题考查相互独立事件的概率乘法公式的应用．
运用概率乘法公式可得结果．
解：根据题意得，𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴)(1−𝑃(𝐵))=4×(1−3)=12，
故答案为12．
1121112.答案：⑴⑴.⑴
解析：试题分析：设第一次抽到次品为事件A，第二次都抽到次品为事件B．
⑴第一次抽到次品的概率⑴8分
12分
4分
⑴在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率为考点：本题考查了随机事件的概率
点评：求概率的步骤：第一步：确定事件的性质(古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验)，然后把所给问题归结为四类事件中的某一种。第二步：判断事件的运算，和事件、积事件，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式。第三步：运用公式，古典概型：；互斥事件：；条件概率：；独立事件：；n次独立重复试验：=,
13.答案：解：(1)由题意，{18+𝑦421+𝑥+18+𝑦=45∴𝑥=4，𝑦=2；
(2)列联表
21+𝑥5 A类
B类和C类
总计
245(180−70)2
男生
18
7
25
女生
10
10
20
总计
28
17
45
∴𝐾=25×20×28×17≈2.288<2.706，
∴没有90%的把握认为课余参加体育锻炼且平均每周参加体育锻炼的时间超过3小时与性别有关；
3(3)在抽取的样本中，从课余不参加体育锻炼学生中随机选取三人进一步了解情况，有𝐶5=10种情况，
21选取三人中男女都有且男生比女生多，有𝐶3𝐶2=6种情况，
故所求概率为10=0.6．
解析：本题考查概率的计算，考查独立性检验知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
(1)由题意，18+𝑦=4，21+𝑥+18+𝑦=45，即可求出表中x、y的值；
(2)完成列联表，计算𝐾2，即可得出结论；
(3)求出基本事件的个数，即可求出概率．
2=15种结果，
14.答案：解：(1)6个选手中抽取两名选手共有𝐶62抽到的两名选手在同一个队包括同在甲队或乙队，共有：2𝐶3=6种结果，
21+𝑥56用A表示事件：“从两队的6个选手中抽取两名选手，抽到的两名选手在同一个队”，
62则𝑃(𝐴)=15=5．
2故从两队的6个选手中抽取两名选手进行示范，抽到的两名选手在同一个队的概率为5．
(2)由题意知，𝜉的可能取值为0，1，2，3，且
0𝑃(𝜉=0)=𝐶3×(1−)3=32127，
1𝑃(𝜉=1)=𝐶3×3×(1−3)2=9，
2222𝑃(𝜉=2)=𝐶3×(3)2×(1−3)=9，
2243𝑃(𝜉=3)=𝐶3×(3)3=27．
28所以𝜉的分布列为：
𝜉
0
1
2
3
1248P
279927𝜉的数学期望𝐸(𝜉)=0×27+1×9+2×9+3×27=2．
(3)用B表示事件：两队得分之和大于4，
包括：两队得分之和为5，两队得分之和为6，
用𝐴1表示事件：两队得分之和为5，包括甲队3分乙队2分和乙队3分甲队2分．
𝑃(𝐴1)=()3×[××+××+××]+(××)=333232332393232．
用𝐴2表示事件：两队得分之和为6，甲队3分乙队3分，
𝑃(𝐴2)=()3×××=33322211827×=918243，
𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐴2)=40243+8243=1681．
所以两队得分之和大于4的概率为81．
解析：本题考查了古典概型的计算与应用，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望和相互独立事件同时发生的概率．
(1)利用古典概型的概率公式计算即可；
(2)由题意知𝜉的可能取值为0，1，2，3，由此能求出随机变量𝜉的分布列和数学期望；
(3)用B表示事件：两队得分之和大于4，包括：两队得分之和为5，两队得分之和为6，用𝐴1表示事件：两队得分之和为5，包括甲队3分乙队2分和乙队3分甲队2分．用𝐴2表示事件：两队得分之和为6，甲队3分乙队3分，由𝑃(𝐵)=𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐴2)，能求出两队得分之和大于4的概率．
1615.答案：解：记男乘客分别为1，2，3，记女乘客分别5，6，124，125，126，134，为4，从中任取3人有123，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，共20种取法，其中恰含一125，126，134，135，136，234，235，女乘客的有124，236共9种，
∴所求概率𝑃=20---------------------------(6分)
(2)当甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间为2小时，两船不需等待码头空出，则满足𝑥−𝑦≥2或𝑦−𝑥≥4．
0≤𝑥≤24设在上述条件时“两船不需等待码头空出”为事件B，画出区域如图：{0≤𝑦<24，
𝑦−𝑥>4或𝑥−𝑦>2𝑃(𝐵)=11×20×20+×22×2222924×24=442576=221-------------------------288.(12分)
解析：(1)利用列举法进行求解即可．
(2)利用几何概型求出对应的面积进行求解即可．
本题主要考查古典概型和几何概型的概率计算，利用列举法是解决古典概型的常用方法，利用转化法是解决几何概型的常用方法．
1(1)当该观众只连对《三国演义》，解：其余全部连错时，得分为负数，此时𝜉=−1，有𝐶2=216.答案：种情况
故得分负数的概率为𝑃(𝜉=−1)=𝐴3=3…(4分)
321(2)𝜉的可能取值为−1，2，8…(5分)
𝑃(𝜉=−1)=𝐴3=3，𝑃(𝜉=2)=𝐴3=2，𝑃(𝜉=8)=𝐴3=6.…(9分)
333213111𝜉的分布列为：
𝜉
P
…(10分)
数学期望𝐸𝜉=−1×3+2×2+8×6=2…(12分)
111−1
1
32
1
28
61解析：(1)当该观众只连对《三国演义》，其余全部连错时，得分为负数，此时𝜉=−1，故可求分负数的概率；
(2)𝜉的可能取值为−1，2，8，求出相应的概率，即可得到𝜉的分布列与数学期望．
本题考查离散型随机变量的概率分布列与期望，解题的关键是确定𝜉的可能取值及其概率，属于中档题．