2020-2021学年重庆市南岸区七年级(下)期末数学试卷(附答案详解)
2023年10月26日发(作者：经典qq个性签名)
家委会自我介绍简单大方-
2020-2021学年重庆市南岸区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）
1.
将一张长方形纸对折，然后用笔尖在上面扎出“M”，再把它铺平，你见到的图形可能是( )
A.
B.
C.
D.
2.
下列成语或词语所反映的事件中，可能性最小的是( )
A.
瓜熟蒂落
B.
旭日东升
C.
守株待兔
D.
夕阳西下
3.
如图，𝑚//𝑛，其中∠1=40°，则∠2的度数为( )
A.
130°
B.
140°
C.
150°
D.
160°
4.
下列计算正确的是( )
A.
(2𝑥2)3=8𝑥5
B.
(2𝑥2)3=6𝑥5
C.
(2𝑥2)3=6𝑥6
D.
(2𝑥2)3=8𝑥6
5.
如图所示，△𝐴𝐵𝐶的边AC上的高是( )
A.
线段AE
B.
线段BA
C.
线段BD
D.
线段DA
6.
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=30°，∠𝐵=50°，CD平分∠𝐴𝐶𝐵，则∠𝐴𝐷𝐶的度数是( )
A.
80°
B.
90°
C.
100°
D.
110°
7.
已知(𝑥−5)(𝑥+𝑎)=𝑥2+𝑏𝑥−15，则b的值是( )
第1页，共23页 A.
−5
B.
−2
C.
2
D.
3
8.
如图，通过尺规作图，得到△𝐶𝑂𝐷≌△𝐶′𝑂′𝐷′，再利用全等三角形的性质，得到了∠𝐴′𝑂′𝐵′=∠𝐴𝑂𝐵，那么，根据尺规作图得到△𝐶𝑂𝐷≌△𝐶′𝑂′𝐷′的理由是( )
A.
SAS
B.
AAS
C.
SSS
D.
ASA
9.
利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式：(𝑎+𝑏)2=𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2.你根据图乙能得到的数学公式是( )
A.
(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=𝑎2−𝑏2
C.
𝑎(𝑎+𝑏)=𝑎2+𝑎𝑏
B.
(𝑎−𝑏)2=𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2
D.
𝑎(𝑎−𝑏)=𝑎2−𝑎𝑏
10.
如图，△𝐴𝐵𝐶的面积为6，𝐴𝐶=3，现将△𝐴𝐵𝐶沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的𝐶′处，P为直线AD上的一点，则线段BP的长不可能是( )
A.
3
B.
4
C.
5.5
D.
10
11.
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点D是BC边上的中点.连接AD，点E是AD的中点，连接CE，点F是CE的中点.若𝑆△𝐷𝐸𝐹=2，则𝑆△𝐴𝐵𝐶等于( )
A.
16
B.
14
C.
12
D.
10
第2页，共23页 B为圆心，𝐴𝐵=𝐴𝐶，12.
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，分别以点A、以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若𝐵𝐶=4，△𝐴𝐵𝐶面积为10，则𝐵𝑀+𝑀𝐷长度的最小值为( )
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13.
计算：2𝑥2⋅𝑥=______．
14.
已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为______．
15.
新学期开学，刚刚组建的七年级(1)班有男生30人，女生24人，欲从该班级中选出一名值日班长，任何人都有同样的机会，则这班选中一名男生当值日班长的概率是______．
16.
如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中𝛼的度数是______°.
5
17.
若长方形的周长为20，其中一边长为𝑥(𝑥>0)，面积为y，则y与x之间的关系式为______
．
18.
定义：若一个正整数能表示为两个连续自然数的平方差，那么就称这个正整数为“平方差数”.例如：1=12−02，3=22−12，5=32−22，因此1，3，5这三个数都是“平方差数”.则不大于200的所有“平方差数”之和为______
．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分）
19.
计算：
(1)(𝑎+𝑏)2+𝑎(𝑎−2𝑏)；
(2)(12𝑎3−9𝑎2+3𝑎)÷3𝑎．
第3页，共23页
20.
如图，已知𝐴𝐵//𝐶𝐷，𝐴𝐵=𝐶𝐷，𝐵𝐸=𝐶𝐹．
(1)△𝐴𝐵𝐹与△𝐷𝐶𝐸全等吗？请说明理由；
(2)请说明𝐴𝐹//𝐷𝐸．
21.
如图，已知△𝐴𝐵𝐶．
(1)作∠𝐴𝐵𝐶的平分线，交边AC于点D；作BC的垂直平分线，交BC于点E，交AB于点F，连接DF；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)在(1)所作的图中，连接𝐶𝐹.如果𝐷𝐹//𝐶𝐵，猜想并说明∠𝐵𝐶𝐹与∠𝐵𝐷𝐹存在的数量关系．
第4页，共23页
22.
已有两根长度分别为4cm和5cm的线段，同时，在一旁有7根长度不等的线段，这些线段的长度分别与相应的卡片正面上标注的线段长一致.这7张卡片的背面完全相同，卡片正面上分别标注了3cm、4cm、4cm、5cm、6cm、7cm、7𝑐𝑚.把这7张卡片背面朝上，从中随机抽取一张卡片，以卡片上标注的数据对应的线段作为第三条线段的长度，回答以下问题：
(1)判断事件“从中抽取的长度能够与4cm和5cm组成等边三角形”是什么事件，并写出其发生的概率；
(2)求抽取出的卡片上标注的数据对应的线段能够与4cm和5cm的线段组成等腰三角形的概率；
(3)小兰和小英打算以取出一张卡片上标注的数据对应的线段能够与4cm和5cm组成三角形的周长的奇偶性作为游戏规则.三角形周长为奇数，小兰胜；三角形周长为偶数，小英胜，请问游戏公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请重新设计一个公平的规则．
23.
阅读思考：
我们知道：152=225=1×(1+1)×100+5×5；32×38=1216=3×(3+1)×100+2×8；74×76=5624=7×(7+1)×100+4×6；66×64=4224=6×(6+1)×100+6×4．
观察以上等式，可以发现，两个两位数相乘，若它们的十位数字相同，个位数字之和为10，可以先用这两个两位数的十位数字乘以比它们十位数字大1的数，并把所得的结果乘以100；再加上这两个两位数个位数字相乘的积，所得的结果就是这两个两位数相乘的积．
解决问题：
(1)请用观察到的规律直接写出：
第5页，共23页 ①37×33；
②95×95；
(2)十位数字为a，个位数字分别为m，n的两个两位数相乘，则这两个两位数可以分别表示为10𝑎+𝑚，10𝑎+𝑛.如果𝑚+𝑛=10，上述规律可表示为(10𝑎+𝑚)(10𝑎+𝑛)=100𝑎(𝑎+1)+𝑚𝑛，请说明这个等式成立的合理性；
(3)个位数字为c，十位数字分别为a，b的两个两位数相乘，如果𝑎+𝑏=10，请仿照(2)写出其规律等式，并说明这个等式成立的合理性．
24.
甲、乙两地的路程为300km，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后，按原速继续前进.设汽车出发𝑥 ℎ后离甲地的路程为𝑦 𝑘𝑚，图中折线𝑂−𝐶−𝐷−𝐸表示y与x之间的函数关系．
(1)根据图象，直接写出休息前汽车行驶的速度；
(2)若线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为𝑦=80𝑥−40；当上午10点时，求汽车离开甲地的距离是多少km？
(3)上午11点接到通知，要求12点准时到达乙地，请问汽车仍按原速行驶能否准时到达？如果能，请算出到达的时间；如果不能，请求出速度提升为多少时，汽车能在12点准时到达乙地？
第6页，共23页
25.
如图，已知∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸=90°，𝐴𝐵=𝐴𝐷，𝐴𝐸=𝐴𝐶．
(1)△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐷𝐸全等吗？请说明理由；
(2)若𝐴𝐹⊥𝐶𝐵，垂足为F，请说明线段2𝐶𝐹=𝐶𝐸；
(3)在(2)的基础上，猜想线段BF，DE，CD存在的数量关系，并直接写出结论．
第7页，共23页
B两个居民小区26.
要在一条笔直的公路l边上建一个快递配送点，方便为l同侧的A，发送快件．
(1)试确定快递配送点P的位置，使它分别到A，B的两个居民小区的距离相等，请在如图1中，画出点P的大致位置；
(2)试确定快递配送点M的位置，使它到A，B的两个居民小区的距离之和最短.请在如图2中画出点M的大致位置；
(3)如图3，D是△𝐴𝐵𝐶内一点，连接BD，𝐷𝐶.延长BD交AC于点E．
∵在△𝐷𝐸𝐶中，𝐷𝐸+𝐸𝐶>𝐷𝐶①，
在△𝐴𝐵𝐸中，𝐴𝐵+𝐴𝐸>𝐵𝐷+𝐷𝐸②，
∴①+②得𝐷𝐸+𝐸𝐶+𝐴𝐵+𝐴𝐸>𝐷𝐶+𝐵𝐷+𝐷𝐸；
∴𝐴𝐵+𝐴𝐶>𝐵𝐷+𝐷𝐶．
如果在A，B两个居民区之间规划一个正方形生态保护区，送快件的路线不能穿过该区域.请同学们用以上这个结论，在图4中，画出快递配送点Q的大致位置，使得它到两个居民小区路程之和最短．
第8页，共23页
第9页，共23页 答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：观察选项可得：A选项是轴对称图形，符合题意．
故选：A．
根据题意可知所得到的图形是轴对称图形，然后认真观察图形，出符合要求的选项即可．
本题考查轴对称图形的定义，属于基础题，注意掌握如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴，仔细观察图形是正确解答本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：𝐴.瓜熟蒂落，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
B.旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意；
C.守株待兔所反映的事件可能发生也可能不发生，是不确定事件，符合题意；
D.夕阳西下，是必然事件，发生的可能性为1，不符合题意．
故选：C．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案．
本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．
3.【答案】B
【解析】解：如图，
∵𝑚//𝑛，∠1=40°，
∴∠3=∠1=40°，
第10页，共23页 ∵∠2+∠3=180°，
∴∠2=180°−∠3=140°，
故选：B．
由平行线的性质得到∠3=∠1=40°，再根据平角的定义即可得解．
此题考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：𝐴.(2𝑥2)3=8𝑥6，因此选项A不符合题意；
B.(2𝑥2)3=8𝑥6，因此选项B不符合题意；
C.(2𝑥2)3=8𝑥6，因此选项C不符合题意；
D.(2𝑥2)3=8𝑥6，因此选项D符合题意；
故选：D．
根据幂的乘方与积的乘方的计算法则进行计算即可．
本题考查积的乘方与幂的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的计算方法是解决问题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：由题意可知，△𝐴𝐵𝐶的边AC上的高是线段BD．
故选：C．
根据三角形高线的定义，过点B作𝐵𝐷⊥𝐴𝐶交CA的延长线于点D，则BD为AC边上的高．
本题主要考查了三角形的高线，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
6.【答案】C
【解析】解：∵∠𝐴=30°，∠𝐵=50°，
∴∠𝐴𝐶𝐵=180°−30°−50°=100°(三角形内角和定义)．
∵𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，
∴∠𝐵𝐶𝐷=2∠𝐴𝐶𝐵=2×100°=50°，
第11页，共23页
11∴∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐵𝐶𝐷+∠𝐵=50°+50°=100°．
故选：C．
根据三角形的内角和定理和三角形的外角的性质即可得到结论．
本题考查了三角形外角的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：(𝑥−5)(𝑥+𝑎)
=𝑥2+𝑎𝑥−5𝑥−5𝑎
=𝑥2+(𝑎−5)−5𝑎，
∵(𝑥−5)(𝑥+𝑎)=𝑥2+𝑏𝑥−15，
∴5𝑎=15，𝑏=𝑎−5，
解得：𝑎=3，𝑏=−2，
故选：B．
根据多项式乘多项式的运算法则进行计算求解．
本题考查多项式乘多项式的运算，掌握运算法则是解题基础．
8.【答案】C
【解析】解：由作图得𝑂𝐶=𝑂𝐷=𝑂𝐶′=𝑂𝐷′，𝐶𝐷=𝐶′𝐷′，
则根据”SSS“可判断△𝐶𝑂𝐷≌△𝐶′𝑂′𝐷′，
所以∠𝐴′𝑂′𝐵′=∠𝐴𝑂𝐵．
故选：C．
利用作法得到𝑂𝐶=𝑂𝐷=𝑂𝐶′=𝑂𝐷′，𝐶𝐷=𝐶′𝐷′，然后根据全等三角形的判定方法得到正确选项．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判定．
9.【答案】B
第12页，共23页 【解析】解：大正方形的面积=(𝑎−𝑏)2，
还可以表示为𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2，
∴(𝑎−𝑏)2=𝑎2−2𝑎𝑏+𝑏2．
故选：B．
根据图形，左上角正方形的面积等于大正方形的面积减去两个矩形的面积，然后加上多减去的右下角的小正方形的面积．
正确列出正方形面积的两种表示是得出公式的关键，也考查了对完全平方公式的理解能力．
10.【答案】A
【解析】解：如图：
过B作𝐵𝑁⊥𝐴𝐶于N，𝐵𝑀⊥𝐴𝐷于M，
∵将△𝐴𝐵𝐶沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的𝐶′处，
∴∠𝐶′𝐴𝐵=∠𝐶𝐴𝐵，
∴𝐵𝑁=𝐵𝑀，
∵△𝐴𝐵𝐶的面积等于6，边𝐴𝐶=3，
∴2×𝐴𝐶×𝐵𝑁=6，
∴𝐵𝑁=4，
∴𝐵𝑀=4，
即点B到AD的最短距离是4，
∴𝐵𝑃的长不小于4，
即只有选项A的3不正确，
故选：A．
过B作𝐵𝑁⊥𝐴𝐶于N，𝐵𝑀⊥𝐴𝐷于M，根据折叠得出∠𝐶′𝐴𝐵=∠𝐶𝐴𝐵，根据角平分线性质得出𝐵𝑁=𝐵𝑀，根据三角形的面积求出BN，即可得出点B到AD的最短距离是4，得出选项即可．
本题考查了折叠的性质，三角形的面积，角平分线性质的应用，解此题的关键是求出B到AD的最短距离，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
111.【答案】A
第13页，共23页 【解析】解：∵𝑆△𝐷𝐸𝐹=2，F为EC中点，
∴𝑆△𝐷𝐹𝐶=𝑆△𝐷𝐸𝐹=2，
∴𝑆△𝐷𝐸𝐶=2+2=4．
∵𝐸为AD中点，
∴𝑆△𝐷𝐸𝐶=𝑆△𝐴𝐸𝐶=4，
∴𝑆△𝐷𝐴𝐶=4+4=8，
又D为BC中点，
∴𝑆△𝐷𝐴𝐵=𝑆△𝐷𝐴𝐶=8，
∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=8+8=16．
故选：A．
由𝑆△𝐷𝐸𝐹=2，F为EC中点，可得𝑆△𝐷𝐹𝐶=𝑆△𝐷𝐸𝐹=2，因此𝑆△𝐷𝐸𝐶=2+2=4，同理可得𝑆△𝐷𝐴𝐶=4+4=8，进而可得𝑆△𝐴𝐵𝐶=8+8=16．
本题考查了三角形中线的性质，三角形的中线将三角形分成了面积相等的两个三角形，熟悉这个性质是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴𝑀𝐵=𝑀𝐴，
∴𝐵𝑀+𝑀𝐷=𝑀𝐴+𝑀𝐷，
连接MA、DA，如图，
∵𝑀𝐴+𝑀𝐷≥𝐴𝐷(当且仅当M点在AD上时取等号)，
∴𝑀𝐴+𝑀𝐷的最小值为AD，
∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，D点为BC的中点，
∴𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，
∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=2⋅𝐵𝐶⋅𝐴𝐷=10，
∴𝐴𝐷=10×241=5，
∴𝐵𝑀+𝑀𝐷长度的最小值为5．
故选：D．
由基本作图得到得EF垂直平分AB，则𝑀𝐵=𝑀𝐴，所以𝐵𝑀+𝑀𝐷=𝑀𝐴+𝑀𝐷，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断𝑀𝐴+𝑀𝐷的最小值为AD，再利用等腰第14页，共23页 三角形的性质得到𝐴𝐷⊥𝐵𝐶，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了等腰三角形的性质．
13.【答案】2𝑥3
【解析】解：2𝑥2⋅𝑥
=2𝑥2+1
=2𝑥3．
故答案为：2𝑥3．
结合单项式乘单项式的运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
求解即可．
本题考查了单项式乘单项式，解答本题的关键在于熟练掌握该知识点的运算性质：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
14.【答案】8.23×10−7
【解析】解：将0.000000823用科学记数法表示为8.23×10−7．
故答案为：8.23×10−7．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为𝑎×10−𝑛，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为𝑎×10−𝑛，其中1≤|𝑎|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
15.【答案】9
【解析】解：全班共有学生30+24=54(人)，
其中男生30人，
第15页，共23页
5则这班选中一名男生当值日班长的概率是54=9．
故答案为：9．
先求出全班的学生数，再根据概率公式进行求解即可．
本题考查了简单的概率计算，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率𝑃(𝐴)=𝑛．
𝑚530516.【答案】30
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠𝐷=180°−∠𝐶=60°，
∴∠𝛼=180°−(540°−70°−140°−180°)=30°，
故答案为：30．
根据平行四边形的性质解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的邻角互补解答．
17.【答案】𝑦=(10−𝑥)𝑥
【解析】解：长方形的一边是𝑥 𝑐𝑚，则另一边长是(10−𝑥)𝑐𝑚．
则𝑦=(10−𝑥)𝑥．
故答案是：𝑦=(10−𝑥)𝑥．
首先利用x表示出长方形的另一边长，然后利用长方形的面积公式求解．
本题考查了列函数关系式，理解长方形的边长、周长以及面积之间的关系是关键．
18.【答案】10000
【解析】解：由题意可得，
∵1=12−02，3=22−12，5=32−22，7=42−32，9=52−42，
第16页，共23页 ∴可知“平方差数”都是奇数，
∴1−200之间的平方差数为1，3，5，7，⋅⋅⋅197，199，
∴1+3+5+7+9+⋅⋅⋅+197+199=12−02+22−12+32−22+42−32+52−42+⋅⋅⋅+992−982+100−992=1002=10000．
故答案为：10000．
先根据题意可知“平方差数”都是奇数，所以1−200之间的平方差数为1，3，5，7，⋅⋅⋅197，199，再由题意1+3+5+7+9+⋅⋅⋅+197+199=12−02+22−12+32−22+42−32+52−42+⋅⋅⋅+992−982+100，即可得出答案．
本题主要考查了平方差公式，正确理解题意再应用平方差公式进行计算是解决本题的关键．
19.【答案】解：(1)(𝑎+𝑏)2+𝑎(𝑎−2𝑏)
=𝑎2+2𝑎𝑏+𝑏2+𝑎2−2𝑎𝑏
=2𝑎2+𝑏2；
(2)(12𝑎3−9𝑎2+3𝑎)÷3𝑎
=12𝑎3÷3𝑎−9𝑎2÷3𝑎+3𝑎÷3𝑎
=4𝑎2−3𝑎+1．
【解析】(1)直接利用乘法公式以及单项式乘多项式计算得出答案；
(2)直接利用多项式除单项式运算法则计算得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握整式除法运算法则是解题关键．
20.【答案】(1)解：结论：△𝐴𝐵𝐹≌△𝐷𝐶𝐸．
理由：∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，
∴∠𝐵=∠𝐶，
∵𝐵𝐸=𝐶𝐹，
∴𝐵𝐸−𝐸𝐹=𝐶𝐹−𝐸𝐹，
即𝐵𝐹=𝐶𝐸，
在△𝐴𝐵𝐹和△𝐷𝐶𝐸中，
𝐴𝐵=𝐷𝐶{∠𝐵=∠𝐶，
𝐵𝐹=𝐶𝐸第17页，共23页 ∴△𝐴𝐵𝐹≌△𝐷𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)．
(2)证明：∵△𝐴𝐵𝐹≌△𝐷𝐶𝐸，
∴∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐷𝐸𝐶，
∴∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐷𝐸𝐹，
∴𝐴𝐹//𝐷𝐸．
【解析】(1)先由平行线的性质得∠𝐵=∠𝐶，从而利用SAS判定△𝐴𝐵𝐹≌△𝐷𝐶𝐸；
(2)根据全等三角形的性质得∠𝐴𝐹𝐵=∠𝐷𝐸𝐶，由等角的补角相等可得∠𝐴𝐹𝐸=∠𝐷𝐸𝐹，再由平行线的判定可得结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，这属于几何基础知识的考查，难度不大．
21.【答案】解：(1)如图，BD、EF为所作；
(2)∠𝐵𝐶𝐹=2∠𝐵𝐷𝐹．
理由如下：∵𝐵𝐷平分∠𝐴𝐵𝐶，
∴∠𝐷𝐵𝐶=∠𝐴𝐵𝐶，
21∵𝐷𝐹//𝐵𝐶，
∴∠𝐵𝐷𝐹=∠𝐷𝐵𝐶=2∠𝐴𝐵𝐶，
∴𝐸𝐹垂直平分BC，
∴𝐹𝐵=𝐹𝐶，
∴∠𝐵𝐶𝐹=∠𝐶𝐵𝐹，
∴∠𝐵𝐶𝐹=2∠𝐵𝐷𝐹．
【解析】(1)根据基本作图作∠𝐴𝐵𝐶的平分线和线段BC的垂直平分线即可；
(2)利用角平分线的定义和平行线的性质得到∠𝐵𝐷𝐹=∠𝐷𝐵𝐶=2∠𝐴𝐵𝐶，再根据线段垂第18页，共23页
11直平分线的性质得到𝐹𝐵=𝐹𝐶，则∠𝐵𝐶𝐹=∠𝐶𝐵𝐹，从而得到∠𝐵𝐶𝐹=2∠𝐵𝐷𝐹．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的性质和线段垂直平分线的性质．
22.【答案】解：(1)事件“从中抽取的长度能够与4cm和5cm组成等边三角形”是不可能事件，其发生的概率为0；
(2)抽取出的卡片上标注的数据对应的线段能够与4cm和5cm的线段组成等腰三角形的有4cm，4cm，5cm，
所以抽取出的卡片上标注的数据对应的线段能够与4cm和5cm的线段组成等腰三角形的概率=7；
(3)取出一张卡片上标注的数据对应的线段与4cm和5cm组成三角形的周长为12cm，13cm，13cm，14cm，15cm，16cm，16cm，
因为三角形周长为奇数的结果数为3，三角形周长为偶数的结果数为4，
所以小兰胜的概率=7，小英胜的概率=7，
而7<7，
所以游戏不公平．
公平的游戏规则可为：取出一张卡片上标注的数据对应的线段能够与4cm和5cm组成三角形的周长大小作为游戏规则，三角形周长小于14cm，小兰胜；三角形周长大于14cm，小英胜．
【解析】(1)根据等边三角形的判定和不可能事件的定义计算判断；
(2)先确定等腰三角形的结果数，然后根据概率公式计算；
(3)先写出所有三角形的周长，再求出小兰胜的概率和小英胜的概率，接着比较两概率的大小可判断游戏不公平，然后根据三角形周长的大小写出公平的游戏规则．
本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质．
3434323.【答案】(1)①37×33=3×(3+1)×100+3×7=1221，
②95×95=9(9+1)×100+5×5=9025，
第19页，共23页 (2)由题意知：
(10𝑎+𝑚)×(10𝑎+𝑛)
=100𝑎²+10𝑎𝑚+10𝑎𝑛+𝑚𝑛
=100𝑎²10𝑎(𝑚+𝑛)+𝑚𝑛，
因为𝑚+𝑛=10，
上式=100𝑎²10𝑎×10+𝑚𝑛
=100𝑎(𝑎+1)+𝑚𝑛，
(3)个位数字为c，十位数字分别为a，b的两个两位数分别为10𝑎+𝑐，10𝑏+𝑐，
其规律为(10𝑎+𝑐)×(10𝑏+𝑐)=(𝑎×𝑏+𝑐)×100+𝑐²，
证明：(10𝑎+𝑐)×(10𝑏+𝑐)
=100𝑎𝑏+10𝑎𝑐+10𝑏𝑐+𝑐²
=100𝑎𝑏+10𝑐(𝑎+𝑏)+𝑐²
∵𝑎+𝑏=10，
上式=100𝑎𝑏+100𝑐+𝑐²
=(𝑎𝑏+𝑐)×100+𝑐²．
【解析】根据题目描述，到其规律，进行运算．
本题主要考查数学规律的归纳，关键是多项式乘多项式的运算．
24.【答案】解：(1)由图象可知，休息前汽车行驶的速度为80𝑘𝑚/ℎ；
答：休息前汽车行驶的速度是80𝑘𝑚/ℎ；
(2)上午10点时汽车出发的时间𝑥=10−8=2(ℎ)，
∵线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为：𝑦=80𝑥−40，
∴汽车离开甲地的距离𝑦=80×2−40=120(𝑘𝑚)，
答：汽车离开甲地的距离是120km；
(3)上午11点接到通知时，汽车离开甲地的距离𝑦=80×(11−8)−40=200(𝑘𝑚)，
∴上午11点距离乙地的距离为300−200=100(𝑘𝑚)，
接到通知后，汽车仍按原速行驶，则到乙地还需时间为：100÷80=1.25(ℎ)，
∴汽车仍按原速行驶不能准时到达．
∴汽车要想按时到达速度为：12−11=100(𝑘𝑚/ℎ)，
第20页，共23页
100答：汽车仍按原速行驶不能准时到达，速度为速度提升为100𝑘𝑚/ℎ时，汽车能在12点准时到达乙地．
【解析】(1)观察图象即可得出休息前汽车行驶的速度；
(2)根据题意求出上午10点时汽车出发的时间，再代入函数表达式为𝑦=80𝑥−40即可求解；
(3)求出到达乙地所行驶的时间即可得汽车仍按原速行驶能否准时到达，由汽车距乙地的距离和时间，求出速度即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
25.【答案】解：(1)△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，理由如下：
如图1，∵∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸=90°，
∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸=90°−∠𝐶𝐴𝐷，
在△𝐴𝐵𝐶和△𝐴𝐷𝐸中，
𝐴𝐵=𝐴𝐷{∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸，
𝐴𝐶=𝐴𝐸∴△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸(𝑆𝐴𝑆)．
(2)如图2，作𝐴𝐺⊥𝐵𝐶于点G，则∠𝐴𝐺𝐶=∠𝐴𝐺𝐸=90°，
∵𝐴𝐶=𝐴𝐸，𝐴𝐺=𝐴𝐺，
∴𝑅𝑡△𝐴𝐺𝐶≌𝑅𝑡△𝐴𝐺𝐸(𝐻𝐿)，
∴𝐶𝐺=𝐸𝐺=2𝐶𝐸，∠𝐶𝐴𝐺=∠𝐸𝐴𝐺=121∠𝐶𝐴𝐸=45°，
∴∠𝐴𝐶𝐺=∠𝐸=45°，
∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，
∴∠𝐴𝐶𝐹=∠𝐸=45°，
∵𝐴𝐹⊥𝐶𝐵，
∴∠𝐹=90°，
∴∠𝐶𝐴𝐹=45°，
∵∠𝐴𝐶𝐹=∠𝐴𝐶𝐺=45°，𝐴𝐶=𝐴𝐶，∠𝐶𝐴𝐹=∠𝐶𝐴𝐺=45°，
第21页，共23页 ∴△𝐶𝐴𝐹≌△𝐶𝐴𝐺，
∴𝐶𝐹=𝐶𝐺=𝐶𝐸，
21∴2𝐶𝐹=𝐶𝐸．
(3)𝐵𝐹=(𝐶𝐷−𝐷𝐸)，理由如下：
21如图2，由(2)得，𝐶𝐹=𝐶𝐺=𝐸𝐺，
∵△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸，
∴𝐵𝐶=𝐷𝐸，
∴𝐶𝐹−𝐵𝐶=𝐸𝐺−𝐷𝐸，
∴𝐵𝐹=𝐷𝐺，
∵𝐷𝐺=𝐸𝐺−𝐷𝐸=𝐶𝐸−𝐷𝐸=(𝐶𝐷+𝐷𝐸)−𝐷𝐸=(𝐶𝐷−𝐷𝐸)，
222111∴𝐵𝐹=(𝐶𝐷−𝐷𝐸)．
21
【解析】(1)先证明∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷𝐴𝐸，再由𝐴𝐵=𝐴𝐷，𝐴𝐸=𝐴𝐶及三角形全等的判定定理证明△𝐴𝐵𝐶≌△𝐴𝐷𝐸；
(2)过点A作𝐴𝐺⊥𝐶𝐸于点G，可证明△𝐴𝐺𝐶≌△𝐴𝐺𝐸≌△𝐴𝐹𝐶，即可说明2𝐶𝐹=𝐶𝐸；
(3)由(1)、(2)的结论可推出线段BF，DE，CD的数量关系是𝐵𝐹=2(𝐶𝐷−𝐷𝐸)．
此题重点考查全等三角形的判定、三角形的内角和定理及其推论，解题的关键是正确地作出辅助线并且由三角形内角和定理及其推论导出相等的角，此题难度不大，但解题过程充分体现了研究数学问题的常用方法−转化法．
126.【答案】解：(1)如图1中，点P即为所求．
(2)如图2中，点M即为所求．
(3)如图4中，如图，点Q即为所求，
第22页，共23页
【解析】(1)如图1中，作线段AB的垂直平分线交直线l于点P，连接AP，PB，点P即为所求．
(2)如图2中，作点A关于直线l的对称点𝐴′连接𝐴′𝐵交直线l于点M，连接AM，点M即为所求．
(3)如图4中，作点A关于直线l的对称点𝐴′，连接𝐴′𝐽交直线l于点Q，此时𝐴𝑄+𝑄𝐽+𝐵𝐽的和最小，点Q即为所求．
本题考查轴对称−最短问题，垂线段最短，作图−应用与设计作图等知识，解题的关键是灵活运用应用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
第23页，共23页