南京玄武外国语学校高中

南京玄武外国语学校2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有

一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置

．．．．．．．

上）

1.

下列各组数中，是勾股数的是（）

A.2

、

3

、

4B.3

、

4

、

5C.4

、

5

、

6D.5

、

6

、

7

2.下列图形中，不一定

．．．

是轴对称图形的是（）

A.

直角三角形

B.

等腰三角形

C.

等边三角形

D.

正方形

3.

如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快画了一个与书本上完全一样的三角

形，那么聪聪画图的依据是（）

A.

SSS

B.

SAS

C.

ASA

D.

AAS

4.在平面直角坐标系中，点2,1

关于

x轴的对称点的坐标是（）

A.2,1

B.2,1

C.2,1

D.1,2

5.

在RtABC中，90B，2ABBC，ACa．下列关于

a

的四种说法：①

a

是无理数；②

a

可

以用数轴上的一个点来表示；③

a

是

8

的算术平方根；④34a．其中，所有正确的说法的序号是（）

A.

①②④

B.

②③④

C.

①②③

D.

①③④

6.如图，点

P

在锐角AOB的内部，连接OP，3OP，点

P

关于OA、OB所在直线的对称点分别是

1

P

、

2

P

，则

1

P

、

2

P

两点之间的距离可能是（）

A.

8

B.

7

C.

6

D.

5

7.

如图，

70AOB

，在OA上取点C，以点C为圆心，CO长为半径画弧交OB于点

D

，连接CD；以

点

D

为圆心，DC长为半径画弧交OB于点E，连接CE，DCE的度数为（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

8.

如图，

P

为正六边形ABCDEF边上一动点，点

P

从点

D

出发，沿六边形的边以

1cm/s

的速度按逆时针

方向运动，运动到点C停止．设点

P

的运动时间为sx

，以点

P

、C、D为顶点的三角形的面积是2cmy

，

则下列图像能大致反映y与

x

的函数关系的是（）

A.B.C.D.

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接

填写在答题卡相应位置上）

9.9

的平方根是

_________

．

10.计算2

3

1

2

8

______．

11.与26最接近的整数为______．

12.

如图，在ABC中，ABAC，AD是ABC的角平分线，E是AC中点，连接DE，若

3DE

，

则AB______．

13.将函数

24yx

的图像向下平移2个单位长度，则平移后的图像对应的函数表达式是______．

14.在平面直角坐标系中，一次函数

1

ykx

（k是常数，0k）与

2

ymxn

（

m、

n

是常数，0m）

的图像如图所示，则关于

x

的不等式kxmxn的解集为______．

15.

某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李．当行李的质量超过规定时，需付的行李费

y

（元）与行李质量kgx

之间满足一次函数关系，部分对应值如下表：

kgx

…

304050

…

y（元）…468…

则旅客最多可免费携带行李的质量是

______kg

．

16.如图，在平面直角坐标系中，5ABAC，点

B

，C的坐标分别是5,2

，5,8

，则点

A

的坐标是

______．

17.已知一次函数

ykxb（k、b是常数，0k）的图像与

x

轴交于点2,0

，与y轴交于点0,m

．若

1m>

，则k的取值范围为

______

．

18.

如图，将一张边长为

4cm

的正方彩纸片ABCD折叠，使点

A

落在点

P

处，折痕经过点

D

交边AB于点

E．连接BP、CP，若90BPC，则AE的长为______

cm

．

三、解答题（本大题共9小题，共64分．请在答题卷指定区域

．．．．．．．

内作答，解答时应写出文字说

明、证明过程或演算步骤）

19.

求下列各式中

x的值：

（1）

32764x；（2）214x．

20.

如图，AC、BD相交于点O，ABDC，BC．E、F分别为OB、OC的中点．求证

OEFOFE．

21.

如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为

1

个单位长度，

A

、

B

、C三点在格点上（网格线的

交点叫做格点），现将ABC先向上平移4个单位长度，再关于y轴对称得到

111

ABC△

．

（1）在图中画出

111

ABC△

，点

1

C

的坐标是______；

（2）连接

1

AA

，线段

1

AA

的长度为______；

（3）若,Pab

是ABC内部一点，经过上述变换后，则

111

ABC△

内对应点

1

P

的坐标为______．

22.已知一次函数的图像经过点8,0A0,6B

．

（

1

）求一次函数的表达式；

（2）若点

1

2,Cay

、2

1,Day

在一次函数的图像上，

12

yy

，求

a的取值范围；

（

3

）过原点O的直线恰好把AOB的面积分成相等的两部分，直接写出这条直线对应的函数表达式．

23.

如图，已知线段AB，用两种不同的方法作一点C，使得90ACB．

要求：（

1

）尺规作图；

（

2

）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．

24.

滑撑杆在悬窗中应用广泛．如图，某款滑撑杆由滑道OC，撑杆AB、BC组成，滑道OC固定在窗台

上．悬窗关闭或打开过程中，撑杆AB、BC的长度始终保持不变．当悬窗关闭时，如图①，此时点

A

与

点O重合，撑杆AB、BC恰与滑道OC完全重合；当悬窗完全打开时，如图②，此时撑杆AB与撑杆BC

恰成直角，即90B，测量得12cmOA，撑杆15cmAB，求滑道OC的长度．

25.

如图，在RtABC和RtEFD中，90ABC，90EFD，ACED，ACED，垂足为M．连

接EA，连接

EC

并延长交AB的延长线于点G．

（

1

）求证ABCEFD≌；

（

2

）若45G，求证EAED．

26.

如图①，在一条笔直的公路上依次有

A

、

B

、C三地．一辆慢车从

A

地出发，沿公路匀速驶向C地．

2

小时后，一辆快车从C地出发，以每小时

60

千米的速度沿公路驶向

B

地，到达

B

地后停止．慢车、快车离

B

地的距离

1

y

、2

kmy

与慢车行驶时间hx

之间的函数关系如图②所示．

（

1

）

A

、C两地之间的距离是

______km

，慢车的速度是

______km/h

；

（

2

）求点

P

的坐标，并解释点

P

的实际意义．

（3）画出两车之间的距离

3

kmy

与慢车行驶时间hx

之间的函数图像．

27.在平面直角坐标系中，对于11

,Axy

、22

,Bxy

两点，用以下方式定义两点间的“极大距离”,dAB

；

若

1212

xxyy

，则12

,dABxx

；若

1212

xxyy

，则12

,dAByy

．例如：如图，

点2,3P

，则,3dPO

．

【理解定义】

（1）若点3,2A

、1,1B

，则,dAB

______．

（2）在点2,2C

、1,2D

、3,2E

、1,2F

中，到坐标原点O的“极大距离”是2的点是

______

．（填写所有正确的字母代号）

【深入探索】

（3）已知点

13

,

22

Maa







，,2dMO

，O为坐标原点，求

a

的值．

【拓展延伸】

（4）经过点1,3

的一次函数ykxb（k、b是常数，0k）的图像上是否存在点

P

，使,2dPO

，

O为坐标原点，直接写出点

P

的个数及对应的k的取值范围．

答案与解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有

一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置

．．．．．．．

上）

1.

下列各组数中，是勾股数的是（）

A.2

、

3

、

4B.3

、

4

、

5C.4

、

5

、

6D.5

、

6

、

7

【

1

题答案】

【答案】

B

【解析】

【分析】根据勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，即²²²abc，

那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．

【详解】A选项：因为

222313，

2416，1316，²²²abc，即2、3、4不是勾股数，本选项

错误

;

B选项：因为223425，

2525，2525，²²²abc，即3、4、5是勾股数，本选项正确;

C选项：因为224541，

2636，4136，²²²abc，即4、5、6不是勾股数，本选项错误;

D选项：因为225661

，2749，6149，²²²abc，即5、6、7不是勾股数，本选项错误;

故选：

B.

【点睛】此题主要考查了勾股数的判定方法，将各选项数据分别计算，看各选项数据是否符合勾股定理的

逆定理

.

2.下列图形中，不一定

．．．

是轴对称图形的是（）

A.

直角三角形

B.

等腰三角形

C.

等边三角形

D.

正方形

【

2

题答案】

【答案】

A

【解析】

【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．

【详解】解：根据轴对称的定义，等腰三角形、等边三角形、正方形一定是轴对称图形，

直角三角形不一定是轴对称图形，

故选：

A

．

【点睛】本题主要考查了轴对称图形的知识，掌握轴对称图形的概念是解决此类问题的关键．

3.

如图，聪聪书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学知识很快画了一个与书本上完全一样的三角

形，那么聪聪画图的依据是（）

A.

SSS

B.

SAS

C.

ASA

D.

AAS

【

3

题答案】

【答案】

C

【解析】

【分析】根据图象，三角形有两角和它们的夹边是完整的，所以可以根据“角边角”画出．

【详解】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一

样的三角形．

故选：

C

．

【点睛】本题考查了三角形全等的判定的实际运用，熟练掌握判定定理并灵活运用是解题的关键．

4.在平面直角坐标系中，点2,1

关于

x轴的对称点的坐标是（）

A.2,1

B.2,1

C.2,1

D.1,2

【

4

题答案】

【答案】

B

【解析】

【分析】根据关于

x

轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．

【详解】解：点

P

（

2

，

-1

）关于

x

轴的对称点的坐标为（

2

，

1

），

故选：

B

．

【点睛】此题主要考查了关于

x

轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．

5.

在RtABC中，90B，2ABBC，ACa．下列关于

a

的四种说法：①

a

是无理数；②

a

可

以用数轴上的一个点来表示；③

a

是

8

的算术平方根；④34a．其中，所有正确的说法的序号是（）

A.①②④B.②③④C.①②③D.①③④

【

5

题答案】

【答案】

C

【解析】

【分析】先利用勾股定理求出22a，再根据无理数的定义判断①；根据实数与数轴的关系判断②；利

用算术平方根的定义判断③；利用估算无理数大小的方法判断④．

【详解】解：∵RtABC中，90B，2ABBC，ACa，

∴2222aABBC，

①22a是无理数，说法正确；

②

a

可以用数轴上的一个点来表示，说法正确；

③

a

是

8

的算术平方根，说法正确．

④∵4＜8＜9，∴2223，即2＜a＜3，说法错误；

所以说法正确的有①②③．

故选：

C

．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，实数中无理数的概念，算术平方根的概念，实数与数轴的关系，估算

无理数大小，有一定的综合性．

6.如图，点

P

在锐角AOB的内部，连接OP，3OP，点

P

关于OA、OB所在直线的对称点分别是

1

P

、

2

P

，则

1

P

、

2

P

两点之间的距离可能是（）

A.

8

B.

7

C.

6

D.

5

【

6

题答案】

【答案】

D

【解析】

【分析】由对称得

OP

1=OP=3

，

OP=OP2=3

，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果．

【详解】解：连接

OP

1，

OP2，

P1P2，

∵点

P

关于直线

l

，

m

的对称点分别是点

P

1，

P2，

∴

OP

1=OP=3

，

OP=OP2=3

，

OP1+OP2＞

P1P2，

0

＜

P1P2＜

6

，

所以

A

，

B

，

C

不符合题意，

D

符合题意；

故选

D

【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形三边之间的关系，解本题的关键熟练掌握对称性和三角形三边

的关系．

7.

如图，

70AOB

，在OA上取点C，以点C为圆心，CO长为半径画弧交OB于点

D

，连接CD；以

点

D

为圆心，DC长为半径画弧交OB于点E，连接CE，DCE的度数为（）

A.

20°

B.

25°

C.

30°

D.

35°

【

7

题答案】

【答案】

D

【解析】

【分析】根据等腰三角形的性质可得∠

CDO=

∠

AOB=70°

，∠

DCE=

∠

DEC

，再根据三角形外角的性质即可

得出结论．

【详解】解：由题意可知

OC=CD=DE

，

∴∠

CDO=

∠

AOB=70°

，∠

DCE=

∠

DEC

，

∵∠

CDO=

∠

DCE+

∠

DEC

，

∴∠

DCE=

∠

DEC=35°

，

故选：

D

．

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质．能正确识图，结合相关性质得出角度之间的关

系是解题关键．

8.

如图，

P

为正六边形ABCDEF边上一动点，点

P

从点

D

出发，沿六边形的边以

1cm/s

的速度按逆时针

方向运动，运动到点C停止．设点

P

的运动时间为sx

，以点

P

、C、D为顶点的三角形的面积是2cmy

，

则下列图像能大致反映y与

x

的函数关系的是（）

A.B.C.D.

【

8

题答案】

【答案】

A

【解析】

【分析】设正六边形ABCDEF的边长为1，当

P

在DE上时，过

P

作PHCD于

,H

而

120,,CDPPDxÐ=°=

求解此时的函数解析式，当

P

在EF上时，延长

,CDFE

交于点

,M

过

P

作

PQCD

于

,Q

并求解此时的函数解析式，当

P

在AF上时，连接

,,ACCF

并求解此时的函数解析式，

由正六边形的对称性可得：

P

在AB上的图象与

P

在EF上的图象是对称的，

P

在BC上的图象与

P

在DE

上的图象是对称的，从而可得答案.

【详解】解：设正六边形ABCDEF的边长为

1

，当

P

在DE上时，

过

P

作PHCD于

,H

而

120,,CDPPDxÐ=°=

60,PDHÐ=°

3

sin60,

2

PHPDx=°=g

1133

1,

2224

yCDPHxx==创=g

当

P

在EF上时，延长

,CDFE

交于点

,M

过

P

作

PQCD

于

,Q

同理：

120,CDEFEDÐ=Ð=°

60,EDMDEMÐ=Ð=°

则DEM△为等边三角形，

60,1,,EMDEMEDPMPEEMPEEDxÐ=°===+=+=

3

sin60,

2

PQPMx=°=g

1133

1,

2224

yCDPQxx==创=g

当

P

在AF上时，连接

,,ACCF

由正六边形的性质可得：

120,,ABCBAFAFEBABCÐ=Ð=Ð=°=

(

)

1

18012030,1203090,

2

BACCAF���靶=��

由正六边形的对称性可得：

1

60,

2

AFCAFEÐ=Ð=°而

1,AF

tan603,ACAF=°=g

113

13,

222

yCDAC==创=g

由正六边形的对称性可得：

P

在AB上的图象与

P

在EF上的图象是对称的，

P

在BC上的图象与

P

在DE上的图象是对称的，

所以符合题意的是

A

，

故选

A

【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，锐角三角函数的应用，正多边形的性质，清晰的分类讨论是

解本题的关键.

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接

填写在答题卡相应位置上）

9.9

的平方根是_________．

【

9

题答案】

【答案】

±3

【解析】

【分析】根据平方根的定义解答即可．

【详解】解：∵（

±3

）

2=9

，

∴

9

的平方根是±

3

．

故答案为

±3

．

【点睛】本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；

0

的平方根是

0

；负数

没有平方根．

10.计算2

3

1

2

8

______．

【

10

题答案】

【答案】

1

2

2

##5

2

【解析】

【分析】根据立方根和算术平方根的求解方法求解即可．

【详解】解：2

3

111

222

822

，

故答案为：

1

2

2

．

【点睛】本题主要考查了算术平方根和立方根，熟知二者的定义是解题的关键．

11.与26最接近的整数为______．

【

11

题答案】

【答案】5

【解析】

【分析】先判断5266,<<再根据

26251,362610,-=-=

从而可得答案.

【详解】解：

252636,<

5266,<<

26251,362610,-=-=Q

而

110,<

26更接近的整数是5.

故答案为：

5

【点睛】本题考查的无理数的估算，掌握“无理数的估算方法”是解本题的关键.

12.

如图，在ABC中，ABAC，AD是ABC的角平分线，E是AC中点，连接DE，若

3DE

，

则AB______．

【

12

题答案】

【答案】

6

【解析】

【分析】根据等腰三角形三线合一可得

D

为

BC

的中点，再结合

E

为

AC

的中点，可得

DE

为△

ABC

的中位

线，从而可求得

AB

的长度．

【详解】解：∵

AB=AC

，

AD

平分∠

BAC

，

∴

D

为

BC

的中点，

∵

E

为

AC

的中点，

∴

AB=2DE=6

．

故答案为：

6

．

【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的中位线定理等知识，能正确识图，判断

DE

为△

ABC

的中

位线是解题关键．

13.将函数

24yx

的图像向下平移2个单位长度，则平移后的图像对应的函数表达式是______．

【

13

题答案】

【答案】

22yx

【解析】

【分析】根据

“

上加下减

”

的原则求解即可．

【详解】解：将直线

24yx

向下平移2个单位长度，所得的函数解析式为

22yx

．

故答案为：

22yx

．

【点睛】本题考查的是一次函数的图象的平移，熟知函数图象变换的法则是解答此题的关键．

14.在平面直角坐标系中，一次函数

1

ykx

（k是常数，0k）与

2

ymxn

（

m、

n

是常数，0m）

的图像如图所示，则关于

x

的不等式kxmxn的解集为______．

【

14

题答案】

【答案】3x

【解析】

【分析】由函数图像可知关于

x

的不等式kxmxn的解集即为正比例函数图像在一次函数图像上方自变

量的取值范围，由此求解即可

【详解】解：由函数图像可知关于

x

的不等式kxmxn的解集即为正比例函数图像在一次函数图像上方

自变量的取值范围，

∴关于

x

的不等式kxmxn的解集为3x，

故答案为：3x．

【点睛】本题主要考查了用图像法求一元一次不等式的解集，理解关于

x

的不等式kxmxn的解集即为

正比例函数图像在一次函数图像上方自变量的取值范围是解题的关键．

15.

某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李．当行李的质量超过规定时，需付的行李费

y

（元）与行李质量kgx

之间满足一次函数关系，部分对应值如下表：

kgx

…

304050

…

y（元）…468…

则旅客最多可免费携带行李的质量是______

kg

．

【

15

题答案】

【答案】

10

【解析】

【分析】利用待定系数法求一次函数解析式，令

y=0

时求出

x

的值即可．

【详解】解：∵

y

是

x

的一次函数，

∴设

y=kx+b

（

k≠0

）

将

x=30

，

y=4

；

x=40

，

y=6

分别代入

y=kx+b

，得

430

640

kb

kb











，

解得：

0.2

2

k

b











，

∴函数表达式为

y=0.2x-2

，

当

y=0

时，

0=0.2x-2

，解得

x=10

，

∴旅客最多可免费携带行李的质量是

10kg

，

故答案为：

10

．

【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量．

16.如图，在平面直角坐标系中，5ABAC，点

B

，C的坐标分别是5,2

，5,8

，则点

A

的坐标是

______．

【

16

题答案】

【答案】1,5A

【解析】

【分析】如图，过

A

作

ADBC

于

,D

证明BCx轴，则ADx∥轴，

826,BC=-=

再利用等腰三角

形的性质求解

3,BD

利用勾股定理求解

4,AD

从而可得答案.

【详解】解：如图，过

A

作

ADBC

于

,D

(

)

(

)5,2,5,8,BCQ

BCx轴，则ADx∥轴，

826,BC=-=

5,ABAC==Q

3,BDCD==

224,ADABBD=-=

541,325,

AAD

xyy=-===+=

(

)1,5.A

故答案为：1,5A

【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，坐标与图形，勾股定理的应用，掌握“坐标与线段长度的关系”

是解本题的关键.

17.已知一次函数

ykxb（k、b是常数，0k）的图像与

x

轴交于点2,0

，与y轴交于点0,m

．若

1m>

，则k的取值范围为______．

【

17

题答案】

【答案】

1

2

k

【解析】

【分析】将已知点2,0

、0,m

代入ykxb后可得2mk，再根据

m

的取值范围可得k的取值范围．

【详解】解：∵一次函数ykxb（k、b是常数，0k）的图像与

x

轴交于点2,0

，与y轴交于点0,m

，

∴02

mb

kb











，

∴2mk，

∵

1m>

，

∴21k，即

1

2

k．

故答案为：

1

2

k．

【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，解一元一次不等式，能代入点求得

m

和k的关系是解题

关键．

18.

如图，将一张边长为

4cm

的正方彩纸片ABCD折叠，使点

A

落在点

P

处，折痕经过点

D

交边AB于点

E．连接BP、CP，若90BPC，则AE的长为______

cm

．

【

18

题答案】

【答案】

4

3

##1

1

3

【解析】

【分析】如图所示，过点

P

作

GF

⊥

CD

交

CD

于

F

，交

AB

于

G

，过点

P

作

PH

⊥

BC

于

H

，取

BC

中点

M

，

连接PM，则

1

2cm

2

PMBC，然后证明四边形ADFG是矩形，得到AG=DF，GF=AD，同理可证

PH=BG=CF，HC=PF，设cmDFx，

cmPFy，则4cmGPy

，

=4cmPHCFCDDFx

，

cmHCy

，在直角△PHM中，222PMPHMH，得到

22

2242xy，228416xyxy①；由折叠的性质可得4cmPDAD，AE=PE，在

直角△DPF中

222DPDFPF，得到

2216xy②；联立①②得：

8432xy

即

28xy

，由此

求出

12

5

x，

16

5

y，

12

cm

5

AG

4

5

GP，

设cmAEPEz，则

12

cm

5

GEAGAEz









，在直角△PEG中

222PEPGEG，得到

2

2

2

124

55

zz









，由此求解即可．

【详解】解：如图所示，过点

P

作

GF

⊥

CD

交

CD

于

F

，交

AB

于

G

，过点

P

作

PH

⊥

BC

于

H

，取

BC

中点

M

，连接

PM

，

∵∠

BPC=90°

，

∴

1

2cm

2

PMBC，

∵四边形

ABCD

是正方形，

∴∠

A=

∠

ADF=90°

，

又∵

GF

⊥

CD

，

∴四边形

ADFG

是矩形，

∴

AG=DF

，

GF=AD

，

同理可证

PH=BG=CF

，

HC=PF

，

设

cmDFx

，

cmPFy

，则4cmGPy

，=4cmPHCFCDDFx

，

cmHCy

，

∵

1

2cm

2

CMBC，

∴2cmHMHCCMy

，

在直角△

PHM

中，

222PMPHMH，

∴22

2242xy，

∴

228416xyxy①；

由折叠的性质可得4cmPDAD，

AE=PE

，

在直角△

DPF

中

222DPDFPF，

∴

2216xy②；

联立①②得：

8432xy

即

28xy

，

∴

82yx

③，

把③代入②中得：2

28216xx，

解得

12

5

x或

4x

（舍去），

∴

16

5

y，

12

cm

5

AG

∴

4

5

GP，

设cmAEPEz，则

12

cm

5

GEAGAEz









，

在直角△PEG中

222PEPGEG，

∴

2

2

2

124

55

zz









，

解得

4

3

z，

∴

4

cm

3

AE，

故答案为：

4

3．

【点睛】本题主要考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，矩形的性质与判定，熟知相关知识是解

题的关键．

三、解答题（本大题共9小题，共64分．请在答题卷指定区域

．．．．．．．

内作答，解答时应写出文字说

明、证明过程或演算步骤）

19.

求下列各式中

x

的值：

（1）

32764x；（2）214x．

【

19

题答案】

【答案】（1）

4

3

x；（2）

12

1,

【解析】

【分析】（1）把原方程化为

3

64

27

x=，再利用立方根的含义解方程即可；

（

2

）直接利用平方根的含义把原方程化为12x或12x，再解两个一次方程即可.

【详解】解：（1）

32764x

3

64

27

x=

解得：

4

3

x

（2）214x

12x或12x

解得：

12

1,

【点睛】本题考查的是利用立方根的含义与平方根的含义解方程，掌握“立方根与平方根的含义”是解本

题的关键.

20.

如图，AC、BD相交于点O，ABDC，BC．E、F分别为OB、OC的中点．求证

OEFOFE．

【

20

题答案】

【答案】证明见解析．

【解析】

【分析】先证明ABO≌

DCO

得出

OB=OC

，再根据中点的定义即可推出

OE=OF

．

【详解】证明：

在ABO和

DCO

中

∵

AOBDOC

BC

ABDC

















，

∴ABO≌

DCO

（

AAS

）

∴

OB=OC

，

∵E、F分别为OB、OC的中点，

∴

11

,

22

OEOBOFOC，

∴

OE=OF

．

【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定．熟练掌握全等三角形的判定定理，并能几何实际情况灵活运

用是解题关键．

21.

如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为

1

个单位长度，

A

、

B

、C三点在格点上（网格线的

交点叫做格点），现将ABC先向上平移4个单位长度，再关于y轴对称得到

111

ABC△

．

（1）在图中画出

111

ABC△

，点

1

C

的坐标是______；

（2）连接

1

AA

，线段

1

AA

的长度为______；

（3）若,Pab

是ABC内部一点，经过上述变换后，则

111

ABC△

内对应点

1

P

的坐标为______．

【

21

题答案】

【答案】（1）画图见解析，(

)1

1,2C

；（2）213；（3）(

),4ab-+

【解析】

【分析】（1）分别确定

,,ABC

平移与轴对称后的对应点

111

,,,ABC

再顺次连接

111

,,,ABC

再根据

1

C

的位

置可得其坐标；

（2）利用勾股定理求解

1

AA

的长度即可；

（

3

）根据平移的性质与轴对称的性质依次写出每次变换后的坐标即可.

【详解】解：（1）如图，

111

ABC△

是所求作的三角形，其中(

)1

1,2,C

（2）由勾股定理可得：

22

1

4652213,AA=+==

故答案为：213.

（

3

）由平移的性质可得：

,Pab

向上平移4个单位长度后的坐标为：(

),4,ab+

再把点(

),4ab+

沿

y轴对折可得：(

)1

,-+

故答案为：(

),-+

【点睛】本题考查的是画平移与轴对称后的图形，平移的性质，轴对称的性质，坐标与图形，二次根式的

化简，掌握“平移与轴对称的作图及平移与轴对称变换的坐标变化规律”是解本题的关键.

22.已知一次函数的图像经过点8,0A0,6B

．

（

1

）求一次函数的表达式；

（2）若点

1

2,Cay

、2

1,Day

在一次函数的图像上，

12

yy

，求

a的取值范围；

（

3

）过原点O的直线恰好把AOB的面积分成相等的两部分，直接写出这条直线对应的函数表达式．

【

22

题答案】

【答案】（1）

3

6

4

yx；（2）

1

3

a；（3）y=

3

4

x

【解析】

【分析】（

1

）设一次函数解析式为

y=kx+b

，然后用待定系数法求解；

（

2

）根据函数的增减性列出关于

a

的不等式求解；

（

3

）先根据过原点O的直线恰好把AOB的面积分成相等的两部分，求出点

E

坐标，然后利用待定系数

法求解．

【详解】解：（1）设一次函数解析式为y=kx+b，把8,0A

，0,6B

代入，得

80

6

kb

b











，

∴

3

=

4

6

k

b













，

∴

3

6

4

yx；

（2）∵

3

0

4

，

∴

y

随

x

的增大而增大，

∵

12

yy

，

∴

2a<1-a

，

∴

1

3

a；

（

3

）∵过原点O的直线恰好把AOB的面积分成相等的两部分，

∴

E

为线段

AB

中点，

∵8,0A

，0,6B

，

∴E

x=

80

4

2



，E

y=

0+6

=3

2

，

∴

E(-4

，

3)

，

设直线

OE

的解析式为

y=ax

，

把

E(-4

，

3)

代入得，

-4a=3

，

∴a=

3

4

，

∴y=

3

4

x．

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象与性质，中点坐标公式，解一元一次

不等式，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握待定系数法是解答本题的关键．

23.

如图，已知线段AB，用两种不同的方法作一点C，使得90ACB．

要求：（

1

）尺规作图；

（

2

）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．

【

23

题答案】

【答案】作图与说明见解析．

【解析】

【分析】作法一作两个等腰直角三角形△

ANC

和△

BNC

即可；

作法二先作出一边，再过

B

点作垂线即可．

【详解】解：作法一如下，

说明：作

AB

的垂直平分线

EF

，与

AB

交于

N

，作

NC=NB

，可得

CN=AN=NB

，∠

ANC=

∠

BNC=90°

，从而

△

ANC

和△

BNC

为等腰直角三角形，∠

CAN=

∠

BCN=45°

，所以可得∠

ACB=90°

；

作法二如下，

说明：过点

A

向右上方作射线

AM

，过点

B

作

AM

的垂线与

AM

交于

C

，连接

BC

，则∠

ACB=90°

．

【点睛】本题考查作直角三角形．主要考查作线段垂直平分线和过一点作已知直线的垂线，熟练掌握五种

基本尺规作图的方法是解题关键．

24.

滑撑杆在悬窗中应用广泛．如图，某款滑撑杆由滑道OC，撑杆AB、BC组成，滑道OC固定在窗台

上．悬窗关闭或打开过程中，撑杆AB、BC的长度始终保持不变．当悬窗关闭时，如图①，此时点

A

与

点O重合，撑杆AB、BC恰与滑道OC完全重合；当悬窗完全打开时，如图②，此时撑杆AB与撑杆BC

恰成直角，即90B，测量得12cmOA，撑杆15cmAB，求滑道OC的长度．

【

24

题答案】

【答案】滑道OC的长度为

51cm

．

【解析】

【分析】设OCmcm，可得出

(15)BCm

cm，

(12)ACm

cm，在在Rt△ABC中，根据勾股定理

可得

m

的值，由此可得结论．

【详解】解：设OCmcm，则由图①可知

(15)BCOCABm

cm，

由图②可知

(12)ACOCOAm

cm，

∵90B，

∴在

Rt

△

ABC

中，根据勾股定理可得，

222ABBCAC，

∴

22215(15)(12)mm，

解得51m，

∴滑道OC的长度为

51cm

．

【点睛】本题考查勾股定理的应用，能结合撑杆AB、BC的长度始终保持不变正确表示出

BC

和

AC

是解

题关键．

25.

如图，在RtABC和RtEFD中，90ABC，90EFD，ACED，ACED，垂足为M．连

接EA，连接

EC

并延长交AB的延长线于点G．

（

1

）求证ABCEFD≌；

（

2

）若45G，求证EAED．

【

25

题答案】

【答案】（

1

）证明见解析；（

2

）证明见解析．

【解析】

【分析】（

1

）根据同角的余角相等可得ADMACB，从而利用

AAS

可证明ABCEFD≌；

（

2

）根据已知可得△

EFG

和△

CBG

都为等腰直角三角形，再结合（

1

）中的全等进一步证明

AB=FG

，从而

可得AFDF，结合垂直平分线的性质可证明结论．

【详解】解：（

1

）证明：∵ACED，90ABC

∴90CADADM，90CADACB

∴ADMACB，

在ABC和EFD△中，

∵

90ABCEFD

ADMACB

ACED

















，

∴ABCEFD≌（

AAS

）；

（

2

）证明：∵ABCEFD≌，

∴DFBC，EFAB，

∵90ABC，45G，90EFD，

∴45BCGFEGG，

∴ABEFFG，DFBCBG，

∴ABBFFGBF，即AFBGDF，

∵90EFD，

∴EAED．

【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定等．（

1

）中能利用同

角的余角相等证明ADMACB是解题关键；（

2

）中能结合图形得出△

EFG

和△

CBG

都为等腰直角三

角形是解题关键．

26.

如图①，在一条笔直的公路上依次有

A

、

B

、C三地．一辆慢车从

A

地出发，沿公路匀速驶向C地．

2

小时后，一辆快车从C地出发，以每小时

60

千米的速度沿公路驶向

B

地，到达

B

地后停止．慢车、快车离

B

地的距离

1

y

、2

kmy

与慢车行驶时间hx

之间的函数关系如图②所示．

（

1

）

A

、C两地之间的距离是

______km

，慢车的速度是

______km/h

；

（

2

）求点

P

的坐标，并解释点

P

的实际意义．

（3）画出两车之间的距离

3

kmy

与慢车行驶时间hx

之间的函数图像．

【

26

题答案】

【答案】（

1

）

420

；

30

；（

2

）点

P

的坐标为（

6

，

120

），点

P

的实际意义为：慢车出发

6

小时后与快车相遇，

相遇时距离

B

第

120km

；；（

3

）见解析

【解析】

【分析】（

1

）根据函数图像可知，慢车从

A

地出发

2

小时行驶

60

千米后到达

B

地，则

A

地与

B

地的距离

为60千米，慢车的速度我

60

=30km/h

2，再由一开始快车距离B地的距离为360千米，且快车是从C地

出发，得到

C

地与

B

地的距离为

360

千米，由此即可得到答案；

（2）先求出快车出发后，慢车与快车相遇的时间为

420302

=4h

3060





，然后求出慢车在四小时内行驶的距

离为

30

×

4=120km

，由此即可得到

P

点的坐标；则点

P

的实际意义为：慢车出发

6

小时后与快车相遇，相

遇时距离

B

第

120km

；

（

3

）根据题意可得前两个小时内，快车与慢车的距离即为

A

、

C

两地的距离减去慢车行驶的距离；当慢车

行驶到

B

地后，快车出发，这时，快车与慢车相对行走，快车与慢车的距离以每小时3060=90km的速

度缩小，相遇后快车与慢车的距离又以每小时90km的速度增大，直至快车到达

2

小时后到达

B

地，再快

车与慢车的距离以每小时30km的速度增大，直至

420308

=6

30



小时后到达C地，由此求解即可．

【详解】解：（

1

）由函数图像可知，慢车从

A

地出发

2

小时行驶

60

千米后到达

B

地，

∴A地与B地的距离为60千米，慢车的速度我

60

=30km/h

2

又∵一开始快车距离

B

地的距离为

360

千米，且快车是从

C

地出发，

∴

C

地与

B

地的距离为

360

千米，

∴

A

、

C

两地的距离36060420km，

故答案为：

420

；

30

；

（

2

）∵慢车出发两小时后，快车才出发，

∴快车出发后，慢车与快车相遇的时间为

420302

=4h

3060





，

∴

P

点的横坐标为

2+4=6

，

∵慢车在四小时内行驶的距离为

30

×

4=120km

，

∴

P

点纵坐标为

120

，

∴点

P

的坐标为（

6

，

120

），

∴点

P

的实际意义为：慢车出发

6

小时后与快车相遇，相遇时距离

B

第

120km

；

（

3

）∵慢车出发两小时后，快车才出发，

∴前两个小时内，快车与慢车的距离即为

A

、

C

两地的距离减去慢车行驶的距离；

∵当慢车行驶到

B

地后，快车出发，这时，快车与慢车相对行走，

∴快车与慢车的距离以每小时3060=90km的速度缩小，

∴快车与慢车在快车出发四小时后会相遇，相遇后快车与慢车的距离又以每小时90km的速度增大，直至

快车到达2小时后到达B地，再快车与慢车的距离以每小时30km的速度增大，直至

420308

=6

30



小时

后到达

C

地，

∴函数图像如下所示：

【点睛】本题主要考查了从函数图像获取信息，画函数图像，解题的关键在于能够正确读懂函数图像．

27.在平面直角坐标系中，对于11

,Axy

、22

,Bxy

两点，用以下方式定义两点间的“极大距离”,dAB

；

若

1212

xxyy

，则12

,dABxx

；若

1212

xxyy

，则12

,dAByy

．例如：如图，

点2,3P

，则,3dPO

．

【理解定义】

（1）若点3,2A

、1,1B

，则,dAB

______．

（2）在点2,2C

、1,2D

、3,2E

、1,2F

中，到坐标原点O的“极大距离”是2的点是

______

．（填写所有正确的字母代号）

【深入探索】

（3）已知点

13

,

22

Maa







，,2dMO

，O为坐标原点，求

a

的值．

【拓展延伸】

（4）经过点1,3

的一次函数ykxb（k、b是常数，0k）的图像上是否存在点

P

，使,2dPO

，

O为坐标原点，直接写出点

P

的个数及对应的k的取值范围．

【

27

题答案】

【答案】（1）4；（2）,,CDF；（3）

4

3

a或

4

3

a；（4）当

1

3

k或1k时，满足条件的

P

点有1

个，当

1

3

k时，满足条件的

P

点有2个，当

1

0

3

k时，不存在满足条件的

P

点，当1k时，满足条

件的

P

点有

2

个，当10k时，不存在满足条件的

P

点.

【解析】

【分析】（1）根据新定义分别计算

1212

,,xxyy--

再比较即可得到答案；

（2）根据新定义分别计算点2,2C

、1,2D

、3,2E

、1,2F

中，到坐标原点O的“极大距离”，

从而可得答案；

（3）由

13

,

22

Maa







，先求解

1212

13

,,

22

xxayya-=-=

结合

13

,

22

aa£

再列绝对值方程即可；

（4）先求解直线的解析式为：

3,ykxk=+-

再判断

P

在正方形ABCD的边上，且

(

)

(

)

(

)

(

)2,2,2,2,2,2,2,2,ABCD----

再结合函数图象进行分类讨论即可.

【详解】解：（1）



点3,2A

、1,1B

，

(

)

(

)31314,21213,--=+=--=+=

而

43,

,4dAB

（2）



点2,2,0,0,CO

202,-=

(

),2,dCO=

同理可得：1,2D

、3,2E

、1,2F

到原点O的“极大距离”为：

(

)

(

)

(

),2,,3,,2,dDOdEOdFO===

故答案为：

,,.CDF

（3）

13

,

22

Maa









，

1212

13

,,

22

xxayya-=-=

而

13

,

22

aa£

(

)

3

,=2,

2

dMOa=

解得：

4

3

a或

4

,

3

a

（4）如图，直线ykxb过1,3,

3,kb+=

则

3,bk=-



直线为：

3,ykxk=+-

,2dPO，O为坐标原点，

P

在正方形ABCD的边上，且(

)

(

)

(

)

(

)2,2,2,2,2,2,2,2,ABCD----

当直线

3ykxk

过

B

时，

则：

232,kk-+-=

解得：

1

,

3

k=

当直线

3ykxk

过

A

时，

则：

232,kk+-=

解得：

1,k

结合函数图象可得：当

1

3

k或1k时，满足条件的

P

点有1个，

当

1

3

k时，满足条件的

P

点有2个，

当

1

0

3

k时，不存在满足条件的

P

点，

当1k时，满足条件的

P

点有

2

个，

当10k时，不存在满足条件的

P

点，

【点睛】本题考查的是新定义情境下的一次函数的应用，坐标与图形，理解新定义，结合数形结合解题是

解题的关键.