高中数学题库及答案

..

;..

第三章不等式

一、选择题

1．已知x≥

2

5

，则f(x)＝

4－2

5＋4－2

x

xx

有()．

A．最大值

4

5

B．最小值

4

5

C．最大值1D．最小值1

2．若x＞0，y＞0，则2

2

1

＋)(

y

x

＋2

2

1

＋)(

x

y

的最小值是()．

A．3B．

2

7

C．4D．

2

9

3．设a＞0，b＞0则下列不等式中不成立的是()．

A．a＋b＋

ab

1

≥22B．(a＋b)(

a

1

＋

b

1

)≥4

C．

22ab

ab



≥a＋bD．

ba

ab



2

≥

ab

4．已知奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，则不等式

x

xfxf)()(－－

＜0

的解集为()．

A．(－1，0)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0，1)

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1，0)∪(0，1)

5．当0＜x＜

2

时，函数f(x)＝

x

xx

2sin

sin8＋2cos＋12

的最小值为()．

A．2B．32C．4D．34

6．若实数a，b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是()．

A．18B．6C．23D．243

7．若不等式组











4≤3

4≥3

0≥

yx

yx

x

＋

＋，所表示的平面区域被直线y＝kx＋

3

4

分为面积相等的两部

分，则k的值是()．

A．

7

3

B．

3

7

C．

4

3

D．

3

4

8．直线x＋2y＋3＝0上的点P在x－y＝1的上方，且P到直线2x＋y－6＝0的距离为

..

;..

35，则点P的坐标是()．

A．(－5，1)B．(－1，5)C．(－7，2)D．(2，－7)

9．已知平面区域如图所示，z＝mx＋y(m＞0)在平面区

域内取得最优解(最大值)有无数多个，则m的值为()．

A．－

20

7

B．

20

7

C．

2

1

D．不存在

10．当x＞1时，不等式x＋

1

1

x

≥a恒成立，则实数a

的取值范围是()．

A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]

二、填空题

11．不等式组







所表示的平面区域的面积是．

12．设变量x，y满足约束条件











若目标函数z＝ax＋y(a＞0)仅在点(3，

0)处取得最大值，则a的取值范围是．

13．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是．

14．设a，b均为正的常数且x＞0，y＞0，

x

a

＋凹凸不平

y

b

＝1，则x＋y的最小值为．

15．函数y＝log

a

(x＋3)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny

＋1＝0上，其中mn＞0，则

m

1

＋

n

2

的最活动开场白台词 小值为．

16．某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为p

1

，第三年比第二年增长的百分

率为p

2

，若p

1

＋p

2

为定值，则年平均增长的百分率p的最大值为．

(x－y＋5)(x＋y)≥0

0≤x≤3

x＋2y－3≤0

x＋3y－3≥0，

y－1≤0

(第9题)

..

;..

三、解答题

17．求函数y＝

1＋

10＋7＋2

x

xx

(x＞－1)的最小值．

18．已知直线l经过点P(3，2)，且与x轴、y轴正半轴分别交于A，B两点，当△AOB

面积最小时，求直线l的方程．

(第18题)

..

;..

19．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；

生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售

每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料

不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是多少？

20．(1)已知x＜

4

5

，求函数y＝4x－1＋

5－4

1

x

的最大值；

(2)已知x，y∈R＊(正实数集)，且

x

1

＋

y

9

＝1，求x＋y的最小值；

(3)已知a＞0，b＞0，且a2＋

2

2b

＝1，求2＋1ba的最大值．

..

;..

参考答案

1．D

解析：由已知f(x)＝

4－2

5＋4－2

x

xx

＝

)(

)(

2－2

1＋2－2

x

x

＝

2

1













2－

1

＋2－

x

x)(，

∵x≥

2

5

，x－2＞0，

∴

2

1













2－

1

＋2－

x

x)(≥

2

1

2－

1

2－2

x

x)(＝1，

当且仅当x－2＝

2－

1

x

，即x＝3时取等号．

2．C

解析：2

2

1

＋)(

y

x

＋2

2

1

＋)(

x

y

＝x2＋

2

2

24

1

＋＋＋

4

1

＋

x

x

y

y

y

y

x

＝











2

2

4

1

＋

x

x＋

















2

2

4

1

＋

y

y＋

















x

y

y

x

＋．

∵x2＋

24

1

x

≥2

2

2

4

1

x

x＝1，当且仅当x2＝

24

1

x

，x＝

2

2

时取等号；

4

1

＋

2

2

y

y

≥2

2

2

4

1

y

y＝1，当且仅当y2＝

24

1

y

，y＝

2

2

时取等号；

x

y

y

x

＋

≥2

x

y

y

x

＝2(x＞0，y＞0)，当且仅当

y

x

＝

x

y

，y2＝x2时取等号．

∴













2

2

4

1

＋

x

x

＋

















2

2

4

1

＋

y

y＋

















x

y

y

x

＋≥1＋1＋2＝4，前三个不等式的等号同时成立

时，原式取最小值，故当且仅当x＝y＝

2

2

时原式取最小值4．

3．D

解析：

方法一：特值法，如取a＝4，b＝1，代入各选项中的不等式，易判断只有

ba

ab



2

≥

ab

不成立．

..

;..

方法二：可逐项使用均值不等式判断

A：a＋b＋

ab

1

≥2广告经典案例

ab

＋

ab

1

≥2

ab

ab

1

2＝22，不等式成立．

B：∵a＋b≥2ab>0，

a

1侄子英语

＋

b

1

≥2

ab

1

>0，相乘得(a＋b)(

a

1

＋

b

1

)≥4成立．

C：∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2

2

2













ba

＝2

2

2













ba

，

又ab≤

2

ba



ab

1

≥

ba

2

，∴

22ab

ab



≥a＋b成立．

D：∵a＋b≥2ab

ba

1

≤

ab2

1

，∴

ba

ab



2

≤

ab

ab

2

2

＝

ab

，即

ba

ab



2

≥

ab

不成立．

4．D

解析:因为f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，

x

xfxf)()(－－

＜0

x

xf)(2



＜0xf(x)＜0，满足x与f(x)异

号的x的集合为所求．

因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，画出f(x)在

(0，＋∞)的简图如图，再根据f(x)是奇函数的性质得到f(x)在

(－∞，0)的图象．

由f(x)的图象可知，当且仅当x∈(－1，0)∪(0，1)时，x与f(x)异号．

5．C

解析：由0＜x＜

2

，有sinx＞0，cosx＞0．

f(x)＝

x

xx

2sin

sin8＋2cos＋12

＝

xx

xx

cossin2

sin8＋cos222

＝

x

x

sin

cos

＋

x

x

cos

sin4

≥2

x

x

x

x

cos

sin4

sin

cos

＝4，当且仅当

x

x

sin

cos

＝

x

x

cos

sin4

，即tanx＝

2

1

时，取“＝”．

∵0＜x＜

2

，∴存在x使tanx＝

2

1

，这时f(x)

min

＝4．

6．B

解析：∵a＋b＝2，故3a＋3b≥2ba33＝2ba3＝6，当且仅当a＝b＝1时取等号．

O

y

x

－1

1

(第4题)

..

;..

故3a＋3b的最小值是6．

7．A

解析：不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分

△ABC．

由







43

43

＝＋

＝＋

yx

yx

得A(1，1)，又B(0，4)，C(0，

4

3

)．

由于直线y＝kx＋

4

3

过点C(0，

4

3

)，设它与直线

3x＋y＝4的交点为D，

则由S△BCD

＝

2

1

S△ABC

，知D为AB的中点，即x

D

＝

2

1

，∴y

D

＝

2

5

，

∴

2

5

＝k

2

1

＋

3

4

，k＝

3

7

．

8．A

解析：设P点的坐标为(x

0

，y

0

)，则















解得







.1＝

，5＝－

0

0

y

x

∴点P坐标是(－5，1)．

9．B

解析：当直线mx＋y＝z与直线AC平行时，线段AC上的每个点都是最优解．

∵k

AC

＝

1－5

5

22

－3

＝－

20

7

，

∴－m＝－

20

7

，即m＝

20

7

．

10．D

解析：由x＋

1－

1

x

＝(x－1)＋

1－

1

x

＋1，

∵x＞1，∴x－1＞0，则有(x－1)＋

1－

1

x

＋1≥2

1－

1

1－

x

x中国人口最多的县 )(

＋1＝3，

则a≤3．

.53＝

5

6＋2

，0＜1－－

，0＝3＋2＋

00

00

00

yx

yx

yx

..

;..

二、填空题

11．24．

解析：不等式(x－y＋5)(x＋y)≥0可转化为两个

二元一次不等式组．

















或











这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求．第一个不等式组所对应的区域如图，而

第二个不等式组所对应的区域不存在．

图中A(3，8)，B(3，－3)，C(0，5)，阴影部分的面积为

2

5＋113)(

＝24．

12．













2

1

＞aa．

解析：若z＝ax＋y(a＞0)仅在点(3，0)处取得最大

值，则直线z＝ax＋y的倾斜角一定小于直线x＋2y－3＝

0的倾斜角，直线z＝ax＋y的斜率就一定小于直线x＋2y

－3＝0的斜率，可得：－a＜－

2

1

，即a＞

2

1

．

13．ab≥9．

解析：由于a，b均为正数，等式中含有ab和a＋b这个特养肺润肺的食物有哪些 征，可以设想使用

2

＋ba

≥

ab

构造一个不等式．

∵ab＝a＋b＋3≥ab2＋3，即ab≥ab2＋3(当且仅当a＝b时等号成立)，

∴(

ab

)2－ab2－3≥0，

∴(ab－3)(

ab

＋1)≥0，∴ab≥3，即ab≥9(当且仅当a＝b＝3时等号成立)．

14．(a＋b)2．

解析：由已知

x

ay

，

y

bx

均为正数，

(x－y＋5)(x＋y)≥0

0≤x≤3

x－y＋5≥0

x＋y≥0

0≤x≤3

x－y＋5≤0

x＋y≤0

0≤x≤3

(第11题)

..

;..

∴x＋y＝(x＋y)(

x

a

＋

y

b

)＝a＋b＋

x

ay

＋

y

bx

≥a＋b＋

y

bx

x

ay

2＝a＋b＋2ab，

即x＋y≥(a＋b)2，当且仅当

1＝＋

＝

y

b

x

a

y

bx

x

ay

即

abby

abax

＋＝

＋＝

时取等号．

15．8．

解析：因为y＝log

a

x的图象恒过定点(1，0)，故函数y＝log

a

(x＋3)－1的图象恒过定

点A(－2，－1)，把点A坐标代入直线方程得m(－2)＋n(－1)＋1＝0，即2m＋n＝1，而由

mn＞0知

m

n

，

n

m4

均为正，

∴

m

1

＋

n

2

＝(2m＋n)(

m

1

＋

n

2

)＝4＋

m

n

＋

n

m4

≥4＋

n

m

m

n4

2＝8，当且仅当

1＝＋2

4

＝

nm

n

m

m

n

即

2

1

＝

4

1

＝

n

m

时取等号．

16．

2

21

pp

．

解析：设该厂第一年的产值为a，由题意，a(1＋p)2＝a(1＋p

1

)(1＋p

2

)，且1＋p

1

＞0，

1＋p

2

＞0，

所以a(1＋p)2＝a(1＋p

1

)(1＋p

2

)≤a

2

21

2

＋1＋＋1













pp

＝a

2

21

2

＋

＋1













pp

，解得

p≤

2

＋

21

pp

，当且仅当1＋p

1

＝1＋p

2

，即p

1

＝p

2

时取等号．所以p的最大值是

2

＋

21

pp

．

三、解答题

17．解：令x＋1＝t＞0，则x＝t－1，

y＝

t

tt10＋1－7＋1－2)()(

＝

t

tt4＋5＋2

＝t＋

t

4

＋5≥

t

t

4

2＋5＝9，

当且仅当t＝

t

4

，即t＝2，x＝1时取等号，故x＝1时，y取最小值9．

..

;..

18．解：因为直线l经过点P(3，2)且与x轴y轴都相交，

故其斜率必存在且小于0．设直线l的斜率为k，

则l的方程可写成y－2＝k(x－3)，其中k＜0．

令x＝0，则y＝2－3k；令y＝0，则x＝－

k

2

＋3．

S

△AOB

＝

2

1

(2－3k)(－

k

2

＋3)＝

2

1













)()(

k

k

4

－＋9－＋12≥











)()(

k

k

4

－9－2＋12

2

1

＝12，当且仅当(－9k)＝(－

k

4

)，即k＝－

3

2

时，S

△AOB

有最小值12，所求直线方程为

y－2＝－

3

2

(x－3)，即2x＋3y－12＝0．

19．解：设生产甲产品

x

吨，生产乙产品y吨，则有关系：

A原料用量B原料用量

甲产品x吨

3x2x

乙产品y吨

y3y

则有























18≤32

13≤3

0

0

yx

yx

y

x

，目标函数z＝5x＋3y

作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知

当x＝3，y＝4时可获得最大利润为27万元.

20．解：(1)∵x＜

4

5

，∴4x－5＜0，故5－4x＞0．

y＝4x－1＋

54

1

x－

＝－(5－4x＋

x－45

1

)＋4．

∵5－4x＋

x－45

1

≥

x－

x－

45

1

452)(

＝2，

∴y≤－2＋4＝2，

当且仅当5－4x＝

x－45

1

，即x＝1或x＝

2

3

(舍)时，等号成立，

故当x＝1时，y

max

＝2．

x

O

A

y

P(3,2)

B

(第18题)

(第18题)

..

;..

(2)∵x＞0，y＞0，

x

1

＋

y

9

＝1，

∴x＋y＝(

x

1

＋

y

9

)(x＋y)＝

x

y

＋

y

x9

＋10≥2

y

x

x

y9

＋10＝6＋10＝16．

当且仅当

x

y

＝

y

x9

，且

x

1

＋

y

9

＝1，即







12＝

，4＝

y

x

时等号成立，

∴当x＝4，y＝12时，(x＋y)

min

＝16．

(3)a2＋1b

＝a

















2

＋

2

1

2

2b

＝

2

a

2

＋

2

12b

≤

2

2

















2

＋

2

1

＋

2

2

b

a

＝

4

23

，

当且仅当a＝

2

＋

2

12b

，即a＝

2

3

，b＝

2

2

时，a2＋1b

有最大值

4

23

．