等腰三角形有几条对称轴

1

等腰三角形性质及判定（基础）

【学习目标】

1.掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段

相等以及两条直线垂直．

2.掌握等腰三角形的判定定理．

3.熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．

【要点梳理】

要点一、等腰三角形的定义

有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫

做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做

底角.

如图所示，在△ABC中，AB=AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC

为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．

要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等

腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝

角（或直角）.

∠A=180°－2∠B，∠B=∠C=

180

2

A

.

要点二、等腰三角形的性质

1.等腰三角形的性质

2

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．

性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互

相重合（简称“三线合一”）．

2.等腰三角形的性质的作用

性质1：证明同一个三角形中的两角相等，是证明角相等的一个

重要依据．

性质2：用来证明线段相等，角相等，垂直关系等．

3.等腰三角形是轴对称图形

等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线

是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．

要点三、等腰三角形的判定

如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等

（简称“等角对等边”）。

要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，

是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰

三角形的性质定理和判定定理是互逆定理.

【典型例题】

类型一、等腰三角形中有关度数的计算题

1、如图，在△ABC中，D在BC上，且AB=AC=BD，∠1=30°，求

∠2的度数.

3

【答案与解析】

解：∵AB=AC

∴∠B=∠C

∵AB=BD

∴∠2=∠3

∵∠2=∠1＋∠C

∴∠2=∠1＋∠B

∵∠2＋∠3＋∠B=180°

∴∠B=180°－2∠2

∴∠2=∠1＋180°－2∠2

∴3∠2=∠1＋180°

∵∠1=30°

∴∠2=70°

【总结升华】解该题的关键是要找到∠2和∠1之间的关系，显然∠

2=∠1＋∠C，只要再找出∠C与∠2的关系问题就好解决了，而∠C=

∠B，所以把问题转化为△ABD的角之间的关系，问题就容易的多了.

关于角度问题可以通过建立方程进行解决.

4

举一反三：

【变式】已知：如图，D、E分别为AB、AC上的点，AC=BC=BD，AD=AE，

DE=CE，求∠B的度数．

【答案】

解：∵AC=BC=BD，AD=AE，DE=CE，

∴设∠ECD=∠EDC=

x

，∠BCD=∠BDC=y，

则∠AED=∠ADE=2

x

，∠A=∠B=180°－4

x

在△ABC中，根据三角形内角和得，

x＋y＋180°－4x＋180°－4x=180°①

又∵A、D、B在同一直线上，∴2

x

＋

x

＋y=180°②

由①，②解得

x

=36°

∴∠B=180°－4

x

=180°－144°=36°.

类型二、等腰三角形中的分类讨论

2、在等腰三角形中，有一个角为40°，求其余各角．

【思路点拨】唯独等腰三角形的角有专用名词“顶角”“底角”，别的

三角形没有，然而此题没有指明40°的角是顶角还是底角，所以要

分类讨论.

【答案与解析】

解：(1)当40°的角为顶角时，由三角形内角和定理可知：

两个底角的度数之和=180°－40°=140°，

5

又由等腰三角形的性质可知：两底角相等，

故每个底角的度数

1

14070

2

；

(2)当40°的角为底角时，另一个底角也为40°，

则顶角的度数=180°－40°－40°=100°．

∴其余各角为70°，70°或40°，100°．

【总结升华】条件指代不明，做此类题应分类讨论，把可能出现的情

况都讨论到，别遗漏.

3、已知等腰三角形的周长为13，一边长为3，求其余各边．

【答案与解析】

解：(1)3为腰长时，则另一腰长也为3，底边长=13－3－3=7；

(2)3为底边长时，则两个腰长的和=13－3=10，则一腰长

1

105

2

．

这样得两组：①3，3，7②5，5，3．

而由构成三角形的条件：两边之和大于第三边可知：3＋3＜7，

故不能组成三角形，应舍去．

∴等腰三角形的周长为13，一边长为3，其余各边长为5，5．

【总结升华】唯独等腰三角形的边有专用名词“腰”“底”，别的三角

形没有，此题没有说明边长为3的边是腰还是底，所以做此题应分类

讨论．同时结合三角形内角和定理、三角形两边之和大于第三边、两

边之差小于第三边，来验证讨论哪些情况符合，哪些情况不符合，从

而决定取舍，最后得到正确答案．

举一反三：

6

【变式】已知等腰三角形的底边BC=8

cm

，且|AC－BC|=2

cm

，那么腰

AC的长为()．

A．10

cm

或6

cm

B．10

cm

C．6

cm

D．8

cm

或6

cm

【答案】A；

解：∵|AC－BC|=2

cm

，∴AC－BC=±2．

又BC=8

cm

．∴AC=10

cm

或6

cm

．∴AB=10

cm

或6

cm

．

类型三、等腰三角形性质和判定综合应用

4、已知：如图，△ABC中，∠ACB=45°，AD⊥BC于D，CF交AD

于点F，连接BF并延长交AC于点E，∠BAD=∠FCD．

求证：（1）△ABD≌△CFD；（2）BE⊥AC．

【思路点拨】此题由等腰三角形的判定知AD=DC，易证△ABD≌△CFD，

要证BE⊥AC，只需证∠BEC=90°即可，DF=BD，可知∠FBD=45°，由

已知∠ACD=45°，可知∠BEC=90°.

【答案与解析】

证明：(1)∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠FDB=90°.

∵45ACB，

∴45ACBDAC

∴AD=CD

7

∵BADFCD，

∴△ABD≌△CFD

(2)∵△ABD≌△CFD

∴BD=FD.

∵∠FDB=90°，

∴45FBDBFD.

∵45ACB，

∴90BEC.

∴BE⊥AC．

【总结升华】本题主要考查全等三角形判定定理及性质，垂直的性质，

三角形内角和定理，等腰直角三角形的性质等知识点，关键在于熟练

的综合运用相关的性质定理，通过求证△ABD≌△CFD，推出BD=FD，

求出∠FBD=∠BFD=45°．

举一反三：

【变式】如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AB=BC，

E是AB的中点，CE⊥BD．

(1)求证：BE=AD；

(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；

(3)△DBC是等腰三角形吗?并说明理由．

E

B

A

D

C

F

8

【答案】

(1)证明：∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠BAD=∠ABC=90°．

又∵EC⊥BD，

∴∠BEC＋∠DBE=90°，∠BEC＋∠BCE=90°．

∴∠DBE=∠BCE．

在△DAB与△EBC中，

,

,

,

BADEBC

ABBC

ABDBCE

















∴△DAB≌△EBC(ASA)．

∴AD=BE．

(2)证明：连接AC，ED．

∵E为AB的中点，∴BE=AE．

又∵AD=BE(已证)，

∴AE=AD且∠A=90°．△AED为等腰三角形．

∴∠AED=∠ADE(等边对等角)，

即∠AED=∠ADE=45°．

又∵AB=BC，AD∥BC，∠ABC=90°．

∴∠BAC=∠BCA(等边对等角)．

∴∠BAC=∠BCA=

1

(18090)45

2

．

∴45CADBAC．

9

由等腰三角形性质．可知AC垂直平分ED，即AC是线段ED的垂直

平分线．

(3)解：△DBC是等腰三角形．

理由如下：由(2)得CD=CE．

由(1)可得CE=BD，

∴CD=BD．

∴△DBC是等腰三角形．

【巩固练习】

一.选择题

1.已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，则它的周长为()

A．16B．17C．16或17D．10或12

2.若一个三角形的三个外角度数比为2：3：3，则这个三角形是（）

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

3.将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，

两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是

（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

4.如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE

∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的有()

10

①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE=DB＋CE；

③AD＋DE＋AE=AB＋AC；④BF=CF.

A．1个B．2个C．3个D．4个

5.如图，D是AB边上的中点，将ABC沿过D的直线折叠，使点A

落在BC上F处，若50B，则BDF度数是（）

A．60°B．70°C．80°D．不确定

6.如图，ΔABC中，AB=AC，∠BAC=108°，若AD、AE三等分∠BAC，

则图中等腰三角形有（）

A．4个B．5个C．6个D．7个

二.填空题

7．如图，△ABC中，D为AC边上一点，AD=BD=BC，若∠A=40°，则

∠CBD=_____°．

11

8.等腰三角形的顶角比其中一个底角大30°，则顶角的度数

为．

9.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，BD平分∠CBA交AC

于点D，DE⊥AB于E．若△ADE的周长为8

cm

，则AB=_________

cm．

10.等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数

是.

11.如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON

∥AC，BC=10cm，则ΔOMN的周长=______cm．

12.如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D，若CD=1.8cm，则

BC=______．

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三.解答题

13．已知：如图，ΔABC中，AB=AC，D是AB上一点，延长CA至E，

使AE=AD．

试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．

14.已知：如图，AD是∠BAC的平分线，∠B=∠EAC，EF⊥AD于F.

求证：EF平分∠AEB．

15.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分别在BC、

CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ

＋AQ=AB＋BP．