怎么样挑选冰箱

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层次分析法----购买冰箱的选择

【案例分析】购买冰箱的选择：层次分析法问题提出

购买冰箱最重要的选择就是品牌的选择，但是市场上的冰箱的品牌越来越多，首先我们筛

选了三个品牌：海尔、美菱、西门子，从这三个品牌中选择适合的品牌。除了考虑价格因素外，

我们还需要考虑功能因素以及品牌影响力，既是多准则决策问题，考虑运用多层次分析法。

1.建立递阶层次结构

应用AHP解决实际问题，首先明确要分析决策的问题，并把它条理化、层次化，理出递

阶层次结构。

AHP要求的递阶层次结构一般由以下三个层次组成：

目标层（最高层）：指问题的预定目标；

准则层（中间层）：指影响目标实现的准则；

措施层（最低层）：指促使目标实现的措施；

通过对复杂问题的分析，首先明确决策的目标，将该目标作为目标层（最高层）的元素，

这个目标要求是唯一的，即目标层只有一个元素。

然后找出影响目标实现的准则，作为目标层下的准则层因素，在复杂问题中，影响目标

实现的准则可能有很多，这时要详细分析各准则因素间的相互关系，即有些是主要的准则，有

些是隶属于主要准则的次准则，然后根据这些关系将准则元素分成不同的层次和组，不同层次

元素间一般存在隶属关系，即上一层元素由下一层元素构成并对下一层元素起支配作用，同一

层元素形成若干组，同组元素性质相近，一般隶属于同一个上一层元素（受上一层元素支配），

不同组元素性质不同，一般隶属于不同的上一层元素。

在关系复杂的递阶层次结构中，有时组的关系不明显，即上一层的若干元素同时对下一

层的若干元素起支配作用，形成相互交叉的层次关系，但无论怎样，上下层的隶属关系应该是

明显的。

最后分析为了解决决策问题（实现决策目标）、在上述准则下，有哪些最终解决方案（措

施），并将它们作为措施层因素，放在递阶层次结构的最下面（最低层）。

明确各个层次的因素及其位置，并将它们之间的关系用连线连接起来，就构成了递阶层

次结构。

【案例分析】购买冰箱进行决策：建立递阶层次结构

购买冰箱时要考虑自身的经济状况，还要考虑冰箱的质量，选择适合自己的冰箱。为了

实现这一目标，需要考虑的主要准则有三个即：功能、价格、品牌影响。但问题绝不这么简单。

通过深入思考，我们还需要考虑容积、制冷度、保鲜度、用户评价、销售量、售后服务，从相

互关系上分析，这些因素隶属于主要准则，因此放在下一层次考虑，并且分属于不同准则。

假设本问题只考虑这些准则，接下来需要明确为了实现决策目标、在上述准则下可以有

哪些方案。根据题中所述，本问题有三个解决方案，即海尔、美菱、西门子，这三个方案作为

措施层元素放在递阶层次结构的最下层。很明显，这三个方案于所有准则都相关。

将各个层次的因素按其上下关系摆放好位置，并将它们之间的关系用连线连接起来。同

时，为了方便后面的定量表示，一般从上到下用A、B、C、D。。。代表不同层次，同一层次从左

到右用1、2、3、4。。。代表不同因素。这样构成的递阶层次结构如下图。

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目标层A

准则层B

准则层C

措施层D

图1递阶层次结构示意图

2.构造判断矩阵并赋值

根据递阶层次结构就能很容易地构造判断矩阵。

构造判断矩阵的方法是：每一个具有向下隶属关系的元素（被称作准则）作为判断矩阵

的第一个元素（位于左上角），隶属于它的各个元素依次排列在其后的第一行和第一列。

重要的是填写判断矩阵。填写判断矩阵的方法有：

大多采取的方法是：向填写人（专家）反复询问：针对判断矩阵的准则，其中两个元素

两两比较哪个重要，重要多少，对重要性程度按1-9赋值（重要性标度值见下表）。

表1重要性标度含义表

重要性标度含义

1表示两个元素相比，具有同等重要性

3表示两个元素相比，前者比后者稍重要

5表示两个元素相比，前者比后者明显重要

7表示两个元素相比，前者比后者强烈重要

9表示两个元素相比，前者比后者极端重要

2，4，6，8表示上述判断的中间值

倒数若元素I与元素j的重要性之比为aij,则元素j与元素I

的重要性之比为aji=1/aij

设填写后的判断矩阵为A=(aij)n×n，判断矩阵具有如下性质：

(1)aij〉0

(2)aji=1/aji

(3)aii=1

根据上面性质，判断矩阵具有对称性，因此在填写时，通常先填写aii=1部分，然后再仅

需判断及填写上三角形或下三角形的n(n-1)/2个元素就可以了。

在特殊情况下，判断矩阵可以具有传递性，即满足等式：aij*ajk=aik

当上式对判断矩阵所有元素都成立时，则称该判断矩阵为一致性矩阵。

选择冰箱(A)

功能(B1)

价格(B2)品牌影响力(B3)

容积

(C1)

制冷

度

(C2)

保鲜

度

(C3)

用户

评价

(C4)

销售

量

(C5)

售后

服务

(C6)

海尔D1

西门子D3

美菱D2

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表2判断矩阵表

3.层次单排序（计算权向量）与检验

对于专家填写后的判断矩阵，利用一定数学方法进行层次排序。

层次单排序是指每一个判断矩阵各因素针对其准则的相对权重，所以本质上是计算权向

量。计算权向量有特征根法、和法、根法、幂法等，这里简要介绍和法。

和法的原理是，对于一致性判断矩阵，每一列归一化后就是相应的权重。对于非一致性

判断矩阵，每一列归一化后近似其相应的权重，在对这n个列向量求取算术平均值作为最后的

权重。具体的公式是：∑

∑

a

an

1=j

n

1=k

kl

ij

in

1

=W

需要注意的是，在层层排序中，要对判断矩阵进行一致性检验。

在特殊情况下，判断矩阵可以具有传递性和一致性。一般情况下，并不要求判断矩阵严

格满足这一性质。但从人类认识规律看，一个正确的判断矩阵重要性排序是有一定逻辑规律的，

例如若A比B重要，B又比C重要，则从逻辑上讲，A应该比C明显重要，若两两比较时出现A

比C重要的结果，则该判断矩阵违反了一致性准则，在逻辑上是不合理的。

因此在实际中要求判断矩阵满足大体上的一致性，需进行一致性检验。只有通过检验，

才能说明判断矩阵在逻辑上是合理的，才能继续对结果进行分析。

一致性检验的步骤如下。

第一步，计算一致性指标C.I.

AB1B2B3B1C1C2C3B2D1D2D3

B111/41/2C1121/2D111/35

B213C211D217

B31C31D31

B3C1C2C3C1D1D2D3C2D1D2D3

C411/35D1117D1121/2

C517D217D211

C61D31D31

C3D1D2D3B2D1D2D3C4D1D2D3

D1121/3D111/35D111/61/8

D211D217D211/3

D31D31D31

C5D1D2D3C6D1D2D3

D111/41/2D111/41/4

D211/3D211/2

D31D31

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1

..max







n

n

IC



第二步，查表确定相应的平均随机一致性指标R.I.（randomindex）

据判断矩阵不同阶数查下表，得到平均随机一致性指标R.I.。例如，对于5阶的判断矩

阵，查表得到R.I.=1.12

表3平均随机一致性指标R.I.表（1000次正互反矩阵计算结果）

矩阵阶数12345678

R.I.000.520.891.121.261.361.41

矩阵阶数91

R.I.1.461.491.521.541.561.581.59

第三步，计算一致性比例C.R.并进行判断

..

..

..

IR

IC

RC

当C.R.<0.1时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，C.R.>0.1时，认为判断矩阵不

符合一致性要求，需要对该判断矩阵进行重新修正。

计算权向量及检验

计算所得的权向量及检验结果见下：

表4层次计算权向量及检验结果表

A单(总)排序权值B1单排序权值B3单排序权值B2单排序权

值

B10.1365C10.31081C30.278950.62501

B20.62501C20.1958C40.64912

B30.23849C30.49339C50.71927

CR0.0158CR0.0462CR0.0559

C1单排序权值C2单排序权值C3单排序权值C4单排序权

值

D10.46667D10.31081D10.3720D10.0650

D20.46667D20.1958D20.2287D20.3871

D30.06667D30.49339D30.3993D30.5479

CR0CR0.0462CR0.0662CR0.0634

C5单排序权值C6单排序权值B2单排序权值

D10.1243D10.1085D10.27895

D20.3586D20.3445D20.64912

D30.5171D30.5469D30.71927

CR0.0930CR0.0462CR0.0559

可以看出，所有单排序的C.R.<0.1，认为每个判断矩阵的一致性都是可以接受的。

4.层次总排序与检验

总排序是指每一个判断矩阵各因素针对目标层（最上层）的相对权重。这一权重的计算

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采用从上而下的方法，逐层合成。

很明显，第二层的单排序结果就是总排序结果。假定已经算出第k-1层m个元素相对于

总目标的权重w(k-1)=(w1

(k-1),w2

(k-1),…,wm

(k-1))T，第k层n个元素对于上一层（第k层）第j个元素

的单排序权重是pj

(k)=(p1j

(k),p2j

(k),…,pnj

(k))T，其中不受j支配的元素的权重为零。令

P(k)=(p1

(k),p2

(k),…,pn

(k)),表示第k层元素对第k-1层个元素的排序，则第k层元素对于总目标的

总排序为：

w(k)=(w1

(k),w2

(k),…,wn

(k))T=p(k)w(k-1)

或





m

j

jiji

kk(k)wpw

1

)1()(I=1,2,…,n

同样，也需要对总排序结果进行一致性检验。

假定已经算出针对第k-1层第j个元素为准则的C.I.j

(k)、R.I.j

(k)和C.R.j

(k),j=1,2,…,m,

则第k层的综合检验指标

C.I.j

(k)=（C.I.1

(k),C.I.2

(k),…,C.I.m

(k)）w(k-1)

R.I.j

(k)=（R.I.1

(k),R.I.2

(k),…,R.I.m

(k)）w(k-1)

)(

)(

)(

..

..

..

k

k

k

IR

IC

RC

当C.R.(k)<0.1时，认为判断矩阵的整体一致性是可以接受的。

【案例分析】市政工程项目建设决策：层次总排序及检验

上例层次总排序及检验结果见下：

表5C层次总排序

C1C2C3C4C5C6B2

0.04240.02670.06730.06650.15480.17150.62501

表6D层次总排序

D1D2D3

0.26960.65190,6929

5.结果分析

通过对排序结果的分析，得出最后的决策方案。

从方案层总排序的结果看购买西门子冰箱的权重最大因此，最终的决策方案是购买西门

子冰箱。

根据层次排序过程分析决策思路。

对于准则层B的3个因子，功能（B1）和环境效益（B3）的权重最低，价格（B2）权重

都比较高，说明在决策中比较看重价格。

从准则层C总排序结果也可以看出，销售量（C5）、售后服务（C6）是权重值较大的，而

如果单独考虑这两个因素，方案排序都是购买西门子远远大于其他两个品牌。

由此我们可以分析出决策思路，即决策比较看重的价格，对于具体因子，销售量和售后

服务成为主要考虑因素，对于这两个因素，都是购买西门子更佳，由此，最终的方案选择购买

西门子也就顺理成章了。

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6.程序：

x=[11/35;317;1/51/71]

[V,D]=eig(x);%

c=max(diag(D))%最大特征根位置

f=find(diag(D)==max(diag(D)));%求lamda（最大特征根）位置----其中:diag为矩阵

对角线上的元素

W=V(:,f)/sum(V(:,f))%归一特征向量

B=x/sum(x)%计算权向量

CI=(c-3)/2%一致性指标

CR=CI/0.58%一致性比率，要小于0.1