历年高考理科数列真题大全含答案解析
2023年10月31日发(作者：身边的活雷锋作文(精选32篇))
far为什么有四个比较级-
高考数列选择题部分
（
2016全国
I） （
3）已知等差数列
a10
=8，则
a100
=
（
A）
100
97
（
B）
99
{an}
前
9项的和为
27，
（
C）
98
（
D）
（
2016
上海）
已知无穷等比数列
Sn，且
an
的公比为
q，前
n
项和为lim Sn
S
.
n
下列条件中，使得
（
A）
a1
0,0.6 q 0.7
（
C）
2Sn
S n N
恒成立的是（ ）
（
B）
a1
0, 0.7 q 0.6
a1
0,0.7 q 0.8
（
D）
a1
0, 0.8 q 0.7
（
2016
四川） 5.
【题设】某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入
.若该
公司
2015
年全年投入研发资金
130
万元，在此基础上，每年投入的研发资金比
上一年增长
投入的研发资金开始超过
12%，则该公司全年200
万元的年份是
（参考数据：
lg 1.12≈
0.05，
lg 1.3≈
0.11，
lg2≈
0.30）
（
A）
2018年 （
B）
2019年 （
C）
2020年 （
D）
2021
年
（
2016
天津）
（
5）设
数的等比数列，公比为
“对任
{ an}是首项为正q，则 “q<0”是
意的正整数
（
A）充要条件
n，
a2n?1+a2n<0”的（ ）
（
B）充分而不必要条件
（
C）必要而不充分条件 （
D）既不充分也不必要条件 （
2016
浙 江 ） 6.
如 图 ， 点 列
{An}
，
{ Bn}
分 别 在 某 锐 角
的 两 边 上 ， 且
AnAn 1
An 1An 2
,An
An2,n N，
**
BnBn 1
Bn 1Bn 2
,Bn
Bn 2,n N， （
P
*Q表示点
P与
Q不重合
）
.
若
dn
AnBn
，
Sn为△
An
BnBn 1的面积，则
A．
{Sn}
是等差数列
B．
{ Sn}是等差数列
2C．
{dn}
是等差数列
D．
{ dn}是等差数列
21【. 2015
高考重庆，
a4=2， 则
a6=
A、
-1
D、
6
理
2】 在等差数列
an
中， 若
a2=4，
B、
0 C、
1
2 .【
2015高考福建，理
8】若
0
的两个不
a,b
是函数
f x x
px q p 0,q
2同的零点，且
a, b, 2
这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成
等比数列，则
A．
6 B．
7 C．
8 D．
9
an
是等差数列
p q
的值等于（ ）
3 .
【
2015
高考北京，理
6】设
下列结论中正确的是（ ）
A．若
a1
a2
0
，则
C．
0
，则
a2
a1
a2
0
a2
，
.
a3
0
B．若
a1
a3
若
0 a1
a1
a2
a3
则
a2
a1a3
D． 若
a1
0
， 则
a2
0
4 .【
2015高考浙江，理
3】已知
{an}是等差数列，公差
d 不为零，前
n项和是
Sn，
若
a3，
a4，
a8成等比数列，则（ ）
A.
a1d 0, dS4
0
B.
a1d 0,dS4
0
C.
a1d 0, dS4
0
D.
a1d 0,dS4
0
1 .【
2014年重庆卷 （理
02） 】 对任意等比数列
下列说法一定正确的是 （
A.a1,a3,a9成等比数列
B.a2, a3, a6成等比数列
C.a2,a4,a8成等比数列
D.a3,a6,a9成等比数列
2 .
【
2014
年全国大纲卷（
10） 】等比数列
a4
2,a5
5，则数列
{lg an}
的
前
8
项和等于（ ）
A．
6 B
．
5 C
．
4 D
．
3
5.
【
2014
年福建卷（理
03） 】等差数列
项和为
Sn，若
a1＝
2，
S3＝则
a6
等于（
{an}
）
{an}中，n}的前
n
，
,
{a
12A．
8 B．
10
高考数列填空题部分
C．
12 D．
14
（
2016全国
I） （
15）设等比数列
an
满足
a1+a3=10,a2+a4=5,则
a1a2
⋯a
n的最大
值为 ．
无穷数列
an
由
k
个不 同的数组成，an
的前
n
项和
.若对任意
（
2016
上海）
Sn
为
n N
，
Sn
2,3
，则
k
的最大值为 _____
.
（
2016
北京） 12.已知
和，若
a1
6，
a3
a5
0，
{an}为等差数列，
Sn为其前
n项则
S6= ____ ..
（
2016江苏） 8.
已知
{an}是等差数列，
Sn是其前
n
项和
.
若
a1+a22=-
3，
S5=10，则
a9的值是 ▲
.
（
2016
浙江） 13.设数列
*an+1=2Sn+1
，
n∈
N，则
a1=
{an}的前
n
项和为
Sn.若
S2=4，
，
S5= .
{an}是递增的等5 .【
2015
高考安徽，理
14】已知数列
比数列，
a1
a4
9,a2a3
8，
则数列
{an}的前
n项和等于
.
6
【. 2015
高考新课标
2， 理
的前
n
项和， 且
a1
1，
16】
an 1
设
Sn是数列
anSnSn 1，
则
Sn ______
．
7 .【
中，若
a3
2015
高考广东，理
a4
a5
a6
10】在等差数列
ana7
25，则 8 .【
2015
高考陕西，
数
1010
的一组数构成等差数列，
2015，
理
13】 中位其末项为则该数列的首项为 ．
{an}满足
a1
1
，且
an 1
an
n 19 .【
2015江苏高考，
11】数列
*（
n N） ，则数
列
{
1 }
的前
10
项和为
an
3.
【
2014
年广东卷（理
13） 】若等比数列
an
的各项均为正数，且
5a10a11
a9a12
2e
，则
ln a1
ln a2
L ln a20
。
4.
【
2014
年江苏卷（理
为正数的等比数列
{an}中，若
a8
a6
2a2
，则
a6
的值是
07） 】在各项均a2
1，
．
6.
【
2014
年天津卷（理
11） 】设
{an}是首项为
a1，公差为
1的等差数列，
Sn为
其前
n项和，若
S1、
S2、
S4成等比数列，则
a1的值为
.
7.
【
2014
年北京卷（理
足
a7
a8
a9
12）
0
，
】若等差数列
a7
a10
0，则
an
满当
n ______
时
an
的前
n
项和最大
.
高考数列简答题部分
（
2016
全国
II
）
17.（本题满分
12分）
Sn为等差数列
an
的前
n
项和， 且
a1=1， S7
28.
记
bn= lgan
， 其中
x
表示不
超过
x的最大整数，如
0.9 =0，
lg99 =1
．
（Ⅰ）求
b1， b11， b101；
（Ⅱ）求数列
bn
的前
1 000
项和． （
2016全国
III
）
（
17） （本小题满分
12
分）
已知数列
{an}的前
n
项和
Sn
1 an，其中
0．
（
I
）证明
{an}是等比数列，并求其通项公式；
（
II
）若
S5
31
，求 ．
32
（
2016
北京） 20.（本小题
13
分）
（N
）.如果对小于
n（2 nk都有
ak
设数列
A：
a1
，
a2
,
⋯
aN
N）的每个正整数
<
an
，则称
n是数列
A
的一个“
G
时刻”
.记 “G（A）是数列
A
的所有“
G
时刻”
组成的集合
.
（
1）对数列
（A）的所有元素；
2）证明：若数列
科网A：
-2，
2，
-1，
1，
3，写出
GA
中存在
an
使得
an>a1，则
G（A）
；学
.3）证明：若数列
A
满足
（
n=2,3,
⋯
,）N ,a-an 1
则
G（ A）的元素个数a-
不小于
a.
2016
四川） 19.
【题设】 （本小题满{
an
}
的首项为
1，
Sn
为数分
12
分）
列
{
an
}的前
n
项和，
Sn 1
q>0，
n N
n
N
1
qSn
1
，其中
I）若
2a2,a3,a2
2
成等差数列，求
any22
（ii）设双曲线
x1
的离心率为
en
，2
的通项公式；
5
且
e2
，证明：
e1
e2
an
3
2016
天津） （18）
已
知
an
是各项均为正数的
n N , bn
是
an
和等差数列，公差为
an 1
的等比中项
2（Ⅰ
）设
cn
bn
.
2*2n
2，求证：1
bn, n
cn
11
1
n bnN, n N*，
2 .求证：
k1是等差数列；
k1
Tk
2d
2016
山东）
（
18） （ 本小题满分
12
分 ）
n
项和
等差数列，且
b的通项公式；
n
4
3n
en
n1
d
，对任意的
Sn=3n+8n，
an
2b是n
bn 1.
n 1n
(an
1)
求数列
cn.c
(bn
n2)
n
项和
Tn.
2016
江苏）
20.
（本小题记
U 1,2,⋯
，满分100
.
对数列
T t1,t2
,⋯ ，
tk
16
分an
n N
*
和
U
的子集）
T，若
T
12k,
定义
ST
0
;
ST
at
at
⋯ +at
.
例 如 ：
T=
1,3,66
， 定 义
ST
a1
a3+a66
.
现设
an
n
时 ，
是公比为
3
的等比数列，且当
T= 2,4
时， ST=30.
（
1
）求数列
an
的通项公式；
（
2）对任意正整数
若
T 1,2,
⋯ ，
k
，求证：
（
3）设
（
2016
浙江）
1
，
n
．
k 1 k 100
，ST
ak 1；
C U,D U ,SC
SD,
求证：
SC
SCI D
2SD
.
20.（本题满分
15
分）设数列
an
满足
an
an 12
（
I
）证明：
an 2n 1 a1 2
，
n
；
n
（
II
）若
an
，
n
，证明：
an
2，
n
．
3n2
10.
【
2015江苏高考，
20】 （本小题满分
16
分）
设
a1,a2,a3,a4是各项为正数且公差为
d（d 0）的等差数列
（
1）证明：
2,2,2,2依次成等比数列；
a1a2a3a4（
2）是否存在
说明理由；
（
3）是否存在
3k依次成等比数列，
并说
明理由
.
a1,d，使得
a1,a2,a3,a4依次成等比数列，并234a1,d
及正整数
n,k
，使得
a1,a2,a3,a4nn kn 2kn
11.
【
2015高考浙江，理
20】已知数列
an
满足
a1=
12*
且
an 1=an-an（
n N）
2
n nn
（
1
）证明：
an 1
1
2
（
n N
） ；
an*（
2）设数列
*N）
.
n
an
的前
n项和为
2nSn，证明
1 Sn
1
（
n
2（n 2） n 2（n 1）
12 .【
项和为
2015高考山东，理
nSn.
已知
2Sn
3
18】设数列
an
的前
n
3.
I
）求
an
的通项公式；
II
）若数列
bn
.
满足
anbn
log3an，求
bn
的前
n
项和
Tn13 .
【
2015高考安徽，
*2n 2N，
xn是曲线
y x
1
在点
理
18】 设
n
（1， 2）处的切线
与
x
轴交点的横坐标
.
（Ⅰ）求数列
{xn}的通项公式；
（Ⅱ）记
Tn
x12x32L x22n 1，证明
Tn
1
.
4n
14 .【
2015
高考天津，理
数列
{an}满足
18】 （本小题满分
13分）已知an 2
qan（q为实数，且
q 1），
n N*, a1
1,a2
2
，且
a2
+a3
, a3
+a4
,a4
+a5成等差数列
.
（I）求
q的值和
{ an}的通项公式；
（II）设
bn
log2 a2n ,n N，求数列
*{bn}的前
n
项和
.
a2n 1
15 .【
3,an
2015
高考重庆，理
22】在数列
an
中，
a11an
an 1
an2
0 n N
2,
求数列
an
的通项公式；
1,证明：
2
1 ak
3k0
1
k0 1
2
1
2k0
1
1
（
1）若
0,
（
2）若
1 k0
N , k0
2 ,
k0
0 0 16 .【
项和
2015高考四川，理
16】设数列
{an}的前
n
Sn
2an
a1，且
a1, a2
1,a3成
等差数列
.
（
（
得
|Tn
1|
1）求数列
{an}的通项公式；
2）记数列
{
1 }的前
n
项和
1
成立的
n
的最小值
.
n nan
1000
Tn，求17 .
【
2015
高考湖北，理
d，前
n项和为
18】设等差数列
{an}的公差为Sn，等比
数列
{bn}
的公比为
q
．已知
b1
a1
，
b2
2
，
q d
，
S10
100．
{an}，
{bn}的通项公式；
cn
an
，求数列
{cn}的前
n项和
Tn．
bn
（Ⅰ）求数列
（Ⅱ）当
d 1时，记
18 .【
2015高考陕西，
设
fn
x
是等比数列
理
21】 （本小题满分
12
分）
21，
x，
x， x
的各项和，其中
x 0
，
n
n 2．
n
（
I）证明：函数
有且仅有一个零点（记为
1 1
n1
xn
；
22
Fn
x fn
x 2在
xn） ，且
1 ,1
内2
nxn
（
II）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其
各项和为
gn
x
，比较
fn
x
与
gn
x
的大小，并加以证明．
19 .
【
2015
高考新课标
1
，理
前
n项和
.
已知
an
>
0，
2
17】
Sn为数列
{
an
}的an
an
=4Sn
3.
（Ⅰ）求
{
an}的通项公式；
1
（Ⅱ）设
bn
anan 1
,
求数列
{
bn
}
的前
n
项和
.
n2
20 .【
n4
2n
2015
高考广东，理
21】数列
an
满足
a1
2a2
L nan21 n N*
，
（1）
求
a3的值；
（2）
求数列
an
前
n
项和
Tn；
（3）
2
，证明：数列
nn令
b1
a1
，
bn
Tn 1
bn
的前
n
项
n 23 n
1
1 1 1 an
n
和
Sn
满足
Sn
2 2ln n
．
【
2015
高考上海，理
an
2 bn
22】已知数列
an
1
bn
，
n
.
与
bn
满足
an 1 （
1
）若
式；
（
2）设
an
的第
（
n
） ，求证：数列
是最大项；
（
3）设
a1
的取值范围，使得
最小值
m
，且
m
bn
3n 5，且
a1
1，求数列
an
的通项公n0项是最大项，即
bn
的第
an
ann0项
0，
bn
an
有最大值
（
n
） ，求
与
n2,2
8.
【
2014
年湖南卷（理
20） 】
（
本小题满分
13
分
）
n已知数列
{an}满足
a1
1，
|an 1
an
| p，
n N*
.
（
1）若
{an}是递增数列，且
a1，
2a2，
3a3成等差数列，求
p的值；
（
2）若
{a2n}递减数列，求数列
2
p
，且
{a2n 1}
是递增数列，是{an}的通项公
1式.
9.
【
2014
年全国大纲卷（
分）
18） 】 （本小题满分
12
等差数列
{an}的前
a2为整数，且
Sn
S4.
（
1
）求
{an}
的通项公式；
1
（
2）设
bn
anan 1
n
项和为
Sn，已知
a1
10，
1
，求数列
{bn}的前
n
项和
Tn.
10.
分）
【
2014年山东卷（理
19） 】
（本小题满分
12
{an}的公差为
2，前
n项和为
Sn，且
S1， 已知等差数列
S2，
S4成等比数列。 （
I
）求数列
{ an}
的通项公式；
（
II
Tn。
）令
bn=（ 1）anan 1
n 1
4n ,求数列
{bn}的前
n项和11.
【
2014
年全国新课标Ⅰ
17） 】
（
本小题满分
12
分
）已知数列
（理{
an}的前
n项
和为
Sn，
a1=1，
an
0，1，其中 为常数
.
（Ⅰ
）证明：
an 2 an
；
（Ⅱ）是否存在 ，使得
{
an}为等差数列？并说明理由
.
高考数列选择题部分
（
2016
全国
1） 【答案】
C
【解析】
试题分析： 由已知，
9a1
36d 27,所以
1,a100
a1
99d 1 99 98,
a1
9d 8
1 100 1
故选
C.
考点：等差数列及其运算
anan 1
Sn
a1
1,d 2016
上海)
【答案】
B
2016
四川)
答案】
B
2016
天津)
【答案】
C
【解析】 试题分析：由题意得，
a2n 1
a2n
0 a1
(q2n 2 3 q) 0 q2n 42(n 1)(q 1) 0 q ( , 1)， 故是必要不充分
条件，故选
C.
(
2016
浙江)
【答案】
A
【解析】
Sn表示点
hn)乘以
BnBn 1
长度一半，即
Sn
1An到对面直线的距离(设为 hn
BnBn 1
， 由题目中条件可知
值，
BnBn 1
的长度为定那么我们需要知道
hn的
关系式，过
A1作垂直得到初始距离
h1，那么
A1, An和两个垂足构成了等腰梯形，
那么
hn
h1
值，那么
AnAn 1
tan
，其中 为两条线的夹角，即为定11
Sn
(h1
A1An
tan ) BnBn 1
，
Sn 1
(h1
A1An 1
22
1
Sn 1
Sn
2(AnAn 1
tan ) BnBn 1
，都为定值，所以
tan ) BnBn 1
，作差后：
a6
2a4
a2
2 2 4 0，选
p，
a b q
，则
a 0,b
0
a,b, 2适当排序后成
2
【
2015
高考福建，理
8】
3
【
2015
高考北京，理
6】
4
【
2015
高考重庆，理
2】
【答案】
D
【答案】
C
【答案】
B
等2必为等比中项，故
a b q
比4，
2a
4
a
列时，
2必不是等差中项，当2
，解得
a 1
，
b
数
a是等差中项时，
4
；
列是等差中项时，
a 2
，解得
a 4，
b
1
，综上所述，
a b p 5
，所
时aa
，
p q 9
，选
D．
【解析】先分析四个答案支，
A举一反例
a1
2,
a2
1,a3
4，
a1
a2
0而
a2
a3 0
，
A3错误，
B
举同样反例
a 0
， 而
a a
12a1
0
，
2,
a2 1,a3 4
，
a1B
错误，下面针对
a2
，则
a1
C
进行研究，
an
是等差数列，若
0 a1
0,
设公差
为
d
，则
d
0
，数列各项均为正，由于
a22
a1a5
（a1
d
）2
a1（
a1
0，则
a1
a1a3
a1
22d
）
a12
2a1d d2
a12
2a1d d
2a1a3
，选
C.
4.
【
2015
高考浙江，理
3】
1.
【
2014
年重庆卷（理
【答案】
B.
02） 】 【答案】
D
【解析】设
3a93q,
q，所以
{an}
公比为
q，因为
a3,a6,a9成等比数列，选择
a3
a6
a6
D
2.
【
2014
年全国大纲卷（
10） 】 【答案】
C
【解析】∵等比数列
{a
n}
中
a4=2，
a5=5，∴
a4?a5=2×
5=10，∴数列
{lga
n}的前
8
4 项和
S=lga
1+lga
2+⋯
+lga
8=lg（
a1?a2⋯
a4?a5）
=4lg（
a4?a5）
=4lg10=4
a8）
=lg（故选：
C
5.
【
2014
年福建卷（理
03） 】 【答案】
C
【解析】由题意可得
S3＝
a1＋
a2＋
a3＝
3a2＝
12，解得
a2＝
4，∴公差
d＝
﹣
2＝
2，
∴
a6＝
a1＋
5d＝
2＋
5×
（
2016
全国
I
） 【答案】
64
（
2016
上海）
答案】
4
【解析】试题分析：
要满足数列中的条件，
为
2,1, 1,0,0,0,
a2﹣
2＝
12，故选：a1＝
4
C．
涉及最多的项的数列可以， 所以最多由
4 个不同的数组成
2016
北京)
【答案】
6
试题分析： ∵
a1
3d
S6
6a1
15d 6 6 15
{an}是等差数列， ∴
a3
a5
2a4
0，
a4
0，
a46，
d 2，
( 2) 6，故填：
6． ∴
(
2016
江苏)
【答案】
20.
S5
10
得
a3
2，因此
2 2d (2 d)2【解析】由
3 d 3,a9
2 3 6 20.
(
2016
浙江)
【答案】
1 121
n5.
【
2015
高考安徽，理
14】 答案】
2
1
【解析】 由题意，
得
a1
1,a4
8或者
a1
8,a4
1， 而数列
1 4， 解{an}
a2
a3
a1
a4
8
是递增的等比数列， 所以
a1
1,a4
8， 即
所以
q 2， 因而数列
{an}
a1
q3 a4 8，
的前
n
项和
a1(1 q)
n1 2
2
Sn
1q
1.
12
n6.
【
2015
高考新课标
2，理
n
16】 【答案】
11 1an 1
Sn 1
Sn
Sn 1
Sn， 两边同时除以
Sn 1
Sn， 得
1，
Sn 1
Sn
故数列
是以
1为首项，
1
为公差的等差数列，则
1 1 (n 1) n，所
1Sn
Sn
以
Sn
．
n
7.
【
2015
高考广东，理
10】 【答案】
10．
【 解 析 】 因 为
an
a3
a7
a3
a4
a5
a6
a7
5a5
25即
a5
10，故应填入
10．
是 等 差 数 列 ， 所 以a4
a6
a2
a8
2a5
，
5，所以
a2
a8
2a58.
【
2015
高考陕西，理
13】
【答案】
5
【解析】设数列的首项为
a1，则
2020，所以
a1
5，故该数列
的首项为
9.
【
2015
江苏高考，
5，所以答案应填：
5．
2011】 【答案】
a1
2015 2 1010
11
3.
【
2014
年广东卷(理
13) 】
【答案】
50
【解析】由题意得，
10
a10a11
a9a12
a1a20
e
，又∵
an
0，
5
∴
ln a1 ln a2 L ln a20
=ln(a1a2 L a20)
=
ln(a1a20)
=10 ln e
=50.
4.
【
2014
年江苏卷(理
07) 】 【答案】
4
【解析】 根据等比数列的定义，
a8
a2q6,a6
a2q4,
2a4
a2q， 所以由
a8
a6
2a2得
64222a2q a2q 2a2q，消去
a2q，得到关于
q
的一元二次方程222
(q) q 2 0，解
242得
q 2，
a6
a2q 1 2 4
6.
【
2014
年天津卷(理
11) 】 【答案】
-
12 【解析】依题意得
S2
- 6)，解得
2= S1S4
，所以
(2a1
1- 1) = a1
(4a1
2a1
= -
.
7.
【
2014
年北京卷(理
12) 】
【答案】
8
【解析】由等差数列的性质可得
a7+a8+a9=3a8>
0，∴
a8>
0，又
a7+a10=a8+a9<
0，
∴
a9<
0，
∴等差数列
始为负数，
{a
n}
的前
8
项为正数，
∴等差数列
从第
9
项开{an}
的前
8
项 和最大，故答案为：
8
高考数列简答题
（Ⅰ）
b1
0，
b11
1
，
b101
2； （Ⅱ）
1893.
考点：等差数列的的性质，前
运算
.
n
项和公式，对数的（
2016
全国
III
）
【答案】 （Ⅰ）
an
n11
（
1
）； （Ⅱ）
1
．
n 1【解析】
考点：
1、数列通项
an
与前
和为
Sn关系；
2、等比数列的定义与通项及前
和为
Sn
．
（
2016
北京）
n项n项
【答案】 （
1）
G（A）的元素为
析； （
3）详见解析
如果
mi
,ak
Gi
，取
an
am
ii2和
5； （
2）详见解.
min Gi
，则对任何
1 k mi
.
从而
mi G（A）
且
mi ni 1
.
np是
G（ A）中的最大元素，所以又因为
Gp
.
考点：数列、对新定义的理解2016
四川）
（Ⅰ）
an=q； （Ⅱ）详见解析
n-1试题解析： (Ⅰ) 由已知，1,
两式相减得到
an+2= qan+1,n? 1
.
又由
S2
= qS1
+ 1
得到
a2
= qa1
，故所以，数列
{an}是首项为
从而
an- 1n
=q
.
由
2a2， a3，2q2=3q + 2,
，则
(2q+ 1)(q - 2) = 0，
由已知
,
q> 0，故
q=2
.
所以
an
= 2n-1(n? N*)
.
2
所以双曲线
x2 -
y
2
= 1
an
由
q = 1+ q2 =
5
解得
q =
4
.
Sn+1
= qSn
+ 1,Sn+2
= qSn+1
+
an+1
= qan对所有
n3 1都成立
.
1，公比为
q
的等比数列
.
2
+2
成等比数列，可得
2a3=3a2
+ 2
，即
n- 1
an
= q
的离心率
en
= 1 + an2
= 1+ q2(n- 1)
a33
因为
1+q2(k-1)> q2(k-1)，所以
1+q2(k-1)>qk-(1
k?N*)
.
n
n- 1于是
e1
+ e2
+ 鬃 ? en
> 1+q+ 鬃 ? q
=
，
qq- 1
故
4- 3
e1
+ e2
+ 鬃 ? e3
>
nn考点：数列的通项公式、双曲线的离心率、等比数列的求和公式3n-1
（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析
考点：等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和
（
2016
山东）
【答案】 （Ⅰ）n
3n 1
； （Ⅱ）Tn
3n 2n 2
.
b
cn
(6n 6)n 1
n 13(n 1) 2，
n(3n 3)
又
Tn
c1
c2
c3
cn
，
得
Tn
3 [2 2 3 2 4 2
234
n1
(n 1)
3）下面分三种情况证明
①若
②若
D
是
C
的子集，则
SC
SC I D
SC
SD
SD
SD
2SD
.
D
的子集，则
SC SC
I
D SC SC 2SC 2SD
.
C
是
③若
D
不是
C
的子集，且
C
不是
D
的子集
.
考点：等比数列的通项公式、求和
（
2016
浙江）
【试题分析】
1
，变形为
1（
I
）先利用三角形不等式得
an an 1
an an1 1nn
1n
，
n 2
n 1n2 2nn 1 2
n再用累加法可得
anna1 ann 1
，进而可证
an
2 a1
2
； （
II
）由（
I
）可得
3 m
amm
1n 1
，进而可得
an
2 2，再利用
nm的任意性可证
an2．
nmn 1
2 2 2
n 4
n
II
)任取
n
1，
n1
2
I
)知，对于任意
m n
，
故
m
2 2．
4
3n从而对于任意
m n，均有
10.
【
2015
江苏高考，
20】
(
1)详见解析(
2)不存在(
3)不存在
试题分析(
1)根据等比数列定义只需验证每一项与前一项的比值都为同一个不
为零的常数即可(
d难，首先令
t
将二元问题转化为
2)本题列式简单，变形较a1
一元，再分别求解两个高次方程，利用消最高次的方法得到方程：
7t +4t 3
0，
2无解，所以不存在(
次，所
3)同(
2)先令
t
将二元问题转化为一元，为降da1
以两边取对数，消去
n,k
得到关于
t
的一元方程
4ln(1 3t)ln(1 t) ln(1 3t)ln(1 2t) 3ln(1 2t)ln(1 t) 0， 从而将方程的解转化为研
究函数
g(t) 4ln(1 3t)ln(1 t) ln(1 3t)ln(1 2t) 3ln(1 2t)ln(1
况， 这个函
数需要利用二次求导才可确定其在
(0, )
上无零点
t)零点情an 1
试题解析：
数，
a1a2a3a42an1 and(
1)证明：因为
2
2(
n 1
，
2，
3)是同一个常a所以
2
，
2，
2，
2依次构成等比数列．
(
2) 令
a1
d a， 则
a1，
a2，
a3，
a4分别为
a d，
a，
a d
，a 2d( ，a 2d，d 0) ．
a d a4
假a1，
d
，使得
依
设
a1，
3
a2，62 4
则次存
a3，
2d
d a d
，且
a d a a
4
令a a
41
t在
36构
1 1 t 1 t
，且
1 t
1 2t
(
2 t 1，
t
d
，则
成
0）
a
22等化简得
2t2 0（ ） ，且
t
t
t 1
代入
，
2
3比
t 1．将t
1 （ ）式，
2
t
4
1
t t 1 2 t 1 2 t2
3t t 1 3t 4t
数
0
，列1
1则
，
显然
t
43
不是上面a1
，
a4a1
，
a3
，
2方程得解，
a2依
d
n 3kn 2k
a4
k
次a1na2n k
a3
3）假设存在矛盾，所以，使d
及正整数，
依
设不成得
a1
n
，构假
数
，
次， 使成立，
列构2n k n 3k
得
等nk 2 n 2k
4
n 2kn3d
d
则
a1 a1
2d
2d
，
a1
aa1
d a1
成
比1
等d
2n
k
1
2 n 2k
数
a1
分1比
及
a1
，
，
t
a(
t
列别
a1
并令
0) ，
n 2k 2 n k n 3k 2 n 2k
．
在
3
1 3t 1 2t
则
1 2t 1 t
，且
两
t2k 22 n k ln
将个
ln t 1
，
上等2t
n 2k l且
n k ln 1 t n 3k ln 1 3t
述
式n
．
两2t
的化简得
2k ln 1 2t ln 1 t n
2l1t l
个
n n
，
两且n 3ln 1 t ln 1 3t
等边
3k ln 1 3t ln 1
t
式同两除边以
取对数，得
， ，4
令
2t
由
g 0
1
t
，则
2
t
1
12
1 t 1 2t 1 3t
0 0，
2t 0，
0．
0 0
2
知
2
t
，
1
t
，
t
，
g t
在
1 ,0
和
0,
上均单调．
故
g t
只有唯一零点
t 0，即方程（
所以不存在
a1
，
列．
11.
【
2015高考浙江，理
20】
t 0
，故假设不成立．
nn kd
及正整数
n
，
k
，使得
a1
，
a2
，（
1）详见解析； （
2）详见解析
.
1an
2
，再由递推公式变形可知试题分析： （
1
）首先根据递推公式可得
an an
2
[1,2]，从而得11
12)由
1
得，
1
n2
an 1
1(n*1
= an
和
1 an
21
1 1 2
，从而可得
N），即可得证
.
1
an，
an
， 由
an
试题解析：
得
an
(1
2
（
1） 由题意得，
an 1 an
an
0， 即
an 1
an1)(1 an2) (1
1
a1)a1an an
2
1
an 1
an
a 1 a
an
[1,2]，即
1
2
； （
an 1
1 1anan2）由题意得
an
an
an 1
，
11
Sn
a1
an 1
①，由
=
和
1
an 1
an
an 1
an 1
2
得，
11
2n，因此
11 an 1
2(n
N
)
②，由①②得
*an1
a1
2(n 1)
n1
1 Sn
1
2(n 2) n 2(n 1)
12.
【
2015
高考山东，理
18】
(
I
)
a3, n 1,
n
n 1n
13 6n 3
3, n 1,
II
T12 4 3n
所以
T1
b1
1
3
当
n 1
时，
所以
3Tn
1 1 30 2 3
1 L
1 32
两式相减，得
所以
Tn
13 6n 3
12 4 3n
经检验，
n 1
时也适合，
综上可得：
Tn
136n312
43n
13.
【
2015
高考安徽，理
18】
试题分析：
题中所给曲线的解析式进行求导，得出曲线
（Ⅰ）对y x2n 2
1 在点
（1， 2）线方程为
令
y 0
处的切线斜率为
2n 2
.
从而可以写出切y 2 (2n 2)(x 1).
解得切线与
x
轴交点的横坐标xn
1
n1
n
n1
Tn
x2n 12，通过适当放缩能够使得每项相消即可
.
2n 1
2证明
.
思路如下：先表示出
Tn
1
(2)()L(
）
，求出初始条
x1
x3
L
2n
1
件当
n 1时
T1
并放缩得
.当
n 2时 ，
单独考虑
2
x2n
1
4
222
x2n
2n 1
2(2n
1)(2n
1)
1
4n
4n n1
)
1
(222 2n (2n)
n
(2n)
(2n)
22 2
12342
，综上可得对任意的
N*
，均有
1
Tn
Tn
4n
4n
2n
3x
1
在点
（1， 2）
处的
试题解析： （Ⅰ）解：
2n
y'
22n 1
1)' (2n 2)x
，曲线
11
21
(2)
2
n1
n
(x
切线斜率为
2n 2
.
从而切线方程为y 2 (2n 2)(x 1)
.
令
y
0
，解得切线与x轴交点的横坐标
xn
n
1
n1 n1
T1 3 2n 1
22 2 2 2
n
2
n x1 x3 L x2n 1 ( ) ( ) L ( )
.
n 1 3 2n 1
2 4 2n
n 1
时，
T1
IV V
.
4当
n 2时，因为
x2n 12
(2n 1)2
n 2 2 3 n 4n
2n
综上可得对任意的
n N *
，所以均有
Tn (1
)2
1 2
L n 1 1
14.
【
2015
高考天津，理
18】
n 1)2
(2n 1)2
1 4n2
4n n 1
n1
(I)
2an
2
,n,为奇数
;
Sn2
n
22n
,n(II)
为偶2n 1
(11)
由
(I)
得
bn
数log2a2n
.
nn 1
，设数列
bn
的前
n项
222
(2n)2
(2n)2
(2n)2
n
V
4n
和为
Sn，则
a2n 1
Sn
111
1
0 2
1 3
20
21
2
1
L n
n 1
，
22
2n 1
2两式相减得
S
n
111 1 1 1
2 2
23L 1 n
2 2
n 1n 21n 2n
2 2
整理得
Sn
4
n
12
n
n2
2，
nn12 2
1
2
nn2
所以数列
bn
的前
n
项和为
2n 1
,n
4
2n 1
（
1）
a
3 2n 1
； （
2）证明见解析
试题分析： （
1）由于
0, 2
，因此把已知等式具体化得
an 1an
，显然由
于
a1
3
，则
an
0（否则会得出
a1
0） ，从而
an 1
，所以 是等比数列，
（
2）本小题是数列与不等式的综合性问题，数列的递
12
推关系是
anan+1an
k0
an
n N
2k0
0
， 因此
1， 于是可得
1
有
an k0
2
2 n
an 1
an， 即>an
>an+1
>L >0，
a11
-
2+
2
k02
k02
1 1 1又
又
an+1
=
an
于是有
1 =
=an
- + ?
ak0+1
= a1
+(a2
- a1)+L +
ak0
+1
- ak0
()
an
2(n N*)
，
15.
【
2015
高考重庆，理
22】
，这里应用了累加求和3k0
1
的思想方法，由这个结论可知
2
1 ak0+1
=
11
a1
k0
1
Lk0ak
01
1
k0
k0
k0a1
1 k0a2
11 1L 1
，
这2
k0
2k0
1 2k0
1
样22k0
1
2k
结有
an 1an
2an ,(n证明应用了放缩法
.(1)
由
0， 2
,
论 N )
得证若存在某个
n0
N
，使得
，本an
= 0，则由题不上述递推公式易得
an +1
= 0，重
21
复上述过
程可得
a1
= 0
，此与
任意
从而
an+1
=2an
n N
，即
1
a1
= 3矛盾，所以对n N
,
an
0
.
等式的
{an}是一个公比
q = 2.
的等比数列
故
an
= a1q = 3?2
n-1n- 1求和得
ak+1
= a1
+(a2
- a1)+L +ak+1
- ak
000()
另一方面，由上已证的不等式知
a1
>a2
>L >ak
>ak+1
>2得
11
综上：
2 + < ak +1
< 2+
k0+13k0
+1 2k0
+1
16.
【
2015
高考四川，理
16】
(
1)
an
2
； (
2)
10.
n(
1)由已知
Sn
2an
a1，有
an
Sn
Sn 1
2an
2an 1(n 1)，
an
2an 1(n 1).
从而
又因为
所以
所以，数列
a2
2a1
,a3
4a1
.
a1,a2
1,a3成等差数列，即
a1
a3
2(a2
1).
a1
4a1
2(2a1
1)，解得
a1
2
.
{an}
是首项为
2，公比为
2的等比数列 故
an
2
.
1)得
1
2nan
2
)由111
L(
所以11 [1
1n( )]
21 2n1
Tn
2 2223
n
211
212
|Tn
1| |1
2n
1|
2
1000n
100
100
29
512 1000 1024
0
20
10
所以
n
，
10
.
1
于是，使
|Tn
1|
1
成
立的
17.
【
n
2015
高考湖北，理n
1000
1
an
2n 1
18an
1 (2n
】
n1
,b79),
n1
n
2
或
bn
9
1
2 213579
2 23 24 25 L
2n 1
2Tn
2n
①
-
②可得1
2Tn
1 2n 1
2
L
n2
2
故2n 3
Tn
2n 16
18. 21
【
2015
高考陕（
I
】II
） 当
证西，理）
x=1时，
明证明
见见解
析；
解
试题分析：析
．
（
I
） 先利用零点定理可证
Fn
x
.
10.
2n 3
2n 1
2n 3
2n
fn(x) = gn(x)
， 当
x 1
时，(x) < gn(x)，
在
1 ,1
内至少存在一个零点，
再利用
2
fn
Fn
x
在
,1
内有且仅有一个零点，进而利用
xn是
Fn
x
的零
n2
1xn
1 1 xnn 1； (
II
) 先设
h x fn
x gn
x
， 再对
x的取值范围进行讨论
n
2 2n n n
h x
与
0
的大小，进而可得
fn
x
和
gn
x
的大小．
(
I
)
Fn(x) fn(x) 2 1 x x2 L xn 2，则
Fn(1)=n- 1>0,
Fn(x)在
1 ,1
内至少存在一个零点
xn.
n2
n
Fn
(x) 1 2x L nxn 1 0，故在
1 ,1
内单调递增，
n2
F在
1n(x) ,1
内有且仅有一个零点
xn.
n2
n
xn是
Fn(x)的零点，所以
Fn(xn)=0，即
1- xnn+1
-2=0，故
xn=1 +1xnn+1.
1- xn
2 2
(II)
解法一：由题设，
g+
nn
(x)
x
所以
h(x) fn(x) 综上所述，当 x=1 时 , fn(x) = gn(x) ；当 x 1 时 fn(x)< gn(x) 解法二 由题设， fnn (x) 1 x n 1 1 x x2 L xn, gn(x) 2 ,x 0. x=1 时 , fn(x) = g x 1 n(x) fn(x) < 时 , 用gn n=2数学归1 (x). 时 , f< 0, 所以2(x)-g2(x)=-2(1-x) 假设纳法可 f2(x) < g2(x) n k(k 2)时，不等式成立，即 以证明 成立f . k(x) 那么，当. n = k+1 时， k+1k+1k k+1 k fk+1 (x) = fk(x)+x = ( () +xk+1 2xk+1= +(k +11+ x )2 k+1+1)xk 2xk+1 + k +1)xk +k kx - (k +k+1 +1)xk +1 +1 )2 又 gk+1(x)- ( 2 h2 k(xkxk 1 k 1 xk 1(x 0) hk (x) k(k 1)xk ) k k 1 xk 1 k k 1 xk 1(x 1) 所以当 0 < x <1, 0, hk(x) 在 hk x>1(x) , hk(x) 0, hk(x)(0,1) 在 (1, 上递)上递增 . 减； 2x k+1 k 所以k+1 +(k+1)xk hk(x) >hk(1)= 0，从而 gk+1 (x)> +k+1 故 fk+1(x) < gk+1(x) . 即 n = k+1，不等式也成立 . 所n 2的整数，都有 以 fn(x) 解法，. {ak}, 等比数列为1,2,L ,n 1. 三对 : {bk}, 由已于an+1 = bn n 知，记+1 =x， k 一n 所以等差数 切 列为 1+ x 1(2 n)k1 a k k n , bk x (2 k n), 令k1 1 k1 am1 x ,x 0(2 k n). k(x) k 则b1 a1 = =1 ， x=1 时 , ak =bk , 所以 fn(x) = gn(x) . 当 x 1 时 , mk 1 n1 k2 k2 nk1 k (x) nx (k 1)x k 1 x x 1 n 而 2 k n ，所以 k - 1 >0 ， n k 1 1. 若 0 < x <1， n- k+1x < 1 ， mk (x) 0 ， 当 x>1 ， xn-k+1 >1 ， mk(x) 0 ， 从而 mk(x) 在 (0,1) 上递减， mk (x) 在 上递增 . 所以 mk(x) > mk(1)= 0， 所以当 x 0且 x 1时 , ak bk(2 k n), 又 a1 = b an+1 = bn+1 ，故 fn (x) < gn(x) 综上所述，当 x=1时， fn(x) =gn(x) ；当 x fn(x) 19. 【 2015 高考新课标 1，理 17】 【答案】 (Ⅰ) 2n 1 (Ⅱ) 1 1 6 4n 6 所以 an =2n 1 ； 1(1b n = 22n1 2n13)，(2n 1)(2n 3) 所以数列 { b1n } 前 n bn项和为=11 12[(3 b1 b2 L 11 = (1, )1，时(2n 1 2n 3)]1 6 4n 6 20. 【 2015 高考广东，理 21 】 n1 （ 1） （ 1）（ 3）见3a3 a2a2 3a2a2 a解1 1 3 2) 2 23 22 1 a3 依 题 a2a2 L a1 1 nan an a1 an 数an 是1 列 首， 项公 3 ） 依 为题 a1 比a2 由 bn 为 baa2 1 3 a3， 2a2 L 20 1 也适合此式，12 的 等an 比数列，故 析． 1 an 2n Tn abn 1 2n b2 2n a1 a2 ， 2015 高考上海，理 22】 （ 1） an 1（ 3） ,0 n6n 5（ 2）详见解析2 1 ）由 bn 1 bn 3，得 an 1 an 6， 所以 an 是首项为 1，公差为 6的等差数列， 故 an 的通项公式为 an 6n 5， n . 证明： （ 2）由 1 an 2bn . an 1 n a2 bn 1 bn ，得 an 1 2bn 2b1 ，即 an所以 an 2bn 为常数列， an 2bn a1 2bn a1 2b1 . 因为 an an ， n 2b1 ，即 bn bn . 00，所以 2bn a1 2b1 02bn a1 故 bn 的第 n0项是最大项 . 解： （ 3）因为 bn n，所以 an 1 an 2 n 1 n ， n 2 时， an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 a1 1 a1 时所a，n 以 0 a2n 2n 2，1 ①an 不所时当 存3以 1 ，而 2, ②1 时， an ，在2 ； 1 当 的最大值为由0 最2a2 2 ， 3，最小值为 an 的最指大时 最小 大值22 数，1 、2 20 值m a函2及 最 0 1 由，1 数指小. 1得 ,0 的数 综值 . 单上； 函2 8. 【 2014 年湖南卷调数， na1 an 1 an | an an | p，而 （理性的 1 2 1 ，因此 20 a3 p p a1 ， a2 1 p ，知 单1 3成等差数列，1 ） 】 ， 2a3a2 ， 23a34a2 a1 3p 调1 0 ，解得 p 或 p解： （ 1）因为 {an}是所以 ，性 n} 0 {a但当 0 时，递增数列，所以an 因 知， p an 1 是递 而 a2n 1 a2 1 0 ，（2） 由于， 3 增数 a2n} ) (a (a2n {a2n 12n a2n 1 ) 0 于是 列相1 11 是递增数列，① |a2n 1 a2n | a2n 1 矛 因而 2n 22n 1 |a2n 2n盾，1 ( 1) 0 则①②可知， a2na2 a2n 故 22n 1 22n 1 a2n 1 ， {a2n}a2n 1 a2n 0 因2n 1 递减， 1 ( 1) 故 a2n 1 a2n 此 2n数22n 1 a2n 2n 1 2 列，1a 同理于是 可得故数列 {a n}的通项公式为 an 9. 【 2014 年全国大纲卷（ 18） 】 2 (1)n1 2n . ( 1)n 2n 1 (n ). 解 ： ( 若1)设等差数列 {an} 的公差为 d ，而 a1 10，从而有 an 10 (n 1)d 0 ， Sn 10n ，此时 Sn S4 不成立 0， 数列 {an}是一个单调递增数列， Sn随着 n的a5 0 {an}是一个单调递减数列，要使 Sn d 增大而增大， 也不满足 Sn S4 a4 时S4，则须满足 若10 d 54d 0 10 3 ，又因为 a2 d 为整数，所以 d ， d3 10 d 3d 数0 3(n 1) a1 此Z ，所以 a列n 12 时11 ) 2 ) 由 ( 0 1) 3 3n 1 可得 bn an 1 an 1 (13 3n)(10 (3n 13)(3n (3n 13n 10 Tn 13( 110 ( 71)) 31( 3n) 10) ) 3 所以 11 3n 13 3n 10 13 131111 L17 ( 4)) L ( 1( 1 ( 10 ( 7) ( 7) ( 4) 3n 13 3n 10 3 10 3n 10 1 10(3n 10. 2014 19) 10) 解年山】2a d,S4 4a1 6d, ：东卷I ) d 2,S1 a1, 1 解得 (S2 理a1 1, a n 2n 1 II ) bn ( 1)n1 4n a1(nan 1 12n11 2n1 1) ) 11. 17) 【 2014 ： 】 anan SSn 1 年全国新n 1an 1 an 课标(Ⅰ )， 2 1 ， Ⅰ(理an 1 an 2 n 1，由于 由题设aaan 0 6 n an 2 an ，两式分 a1=1a1a2 S所1 a相减 2 1 1 ，由 假设 n 为等差数列，则， 1 ，( Ⅰ ) 知 aa}以 3 a1 a3 2a{ 可2 ，解得a1,a2,a3证 4 成等差数列，∴4时， { a得 n }为等差数列：由 an ； 明数 2 an 4知 a2m 1 是首项为 1，公差为a2m 1 4m 3 列 令奇 n 2m 1,则 m n 1 4的等差数an 2n 1 (n 2m 1) 数2 列 项数列偶数项构成的a2m 是首项为 3，公差为 4 的等差构数列 数列 a2m 4m 1 成的数列 3 令 n 2m, 则 an 2n 1 (n 2m) * m an 2n 1 ( n N ) ， an 1 an 4，使得 n2 12 { an}为等差3 4 5 数列 345n 22Tn 3 [2 2 3 2 4 2 (n 1) 2]， (Ⅱ )设 a1 d,Tn 两式作差，得 所以 Tn 3n 2 考点：数列前 公式；错位相减法 （ 2016 江苏） 【答案】 （ 1） an 3n 1项和与第 n 项的关系；等差数列定义与通项 2）详见解析（ 3）详见解析 n （张敬轩 粤语歌-